2026高考数学圆锥曲线专项：阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题（学生版）

阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题

目录

题型一阿波罗尼斯圆1

题型二蒙日圆5

题型通关10

题型一阿波罗尼斯圆

【解题规律·提分快招】

一、阿波罗尼斯圆

1.阿波罗尼斯圆的定义

PA

在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足=λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个

PB

圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P点的轨迹是线段AB的中垂线)

2.阿波罗尼斯圆的证明

PAλ2+12

设Px,y，A1-a,0，Ba,0．若=λ(λ>0且λ≠1)，则点P的轨迹方程是x-a+

PBλ2-1

2aλ2λ2+12aλ

y2=，其轨迹是以a,0为圆心，半径为r=的圆．

λ2-1λ2-1λ2-1

22

证明：由PA=λPB及两点间距离公式，可得x+a+y2=λ2x-a+y2，

化简可得1-λ2x2+1-λ2y2+21+λ2ax+1-λ2a2=0①，

(1)当λ=1时，得x=0，此时动点的轨迹是线段AB的垂直平分线；

2a1+λ2x

(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x2+y2++a2=0，化为标准形式即为：

1-λ2

λ2+122aλ2λ2+12aλ

x-a+y2=，∴点P的轨迹方程是以a,0为圆心，半径为r=的

λ2-1λ2-1λ2-1λ2-1

圆．

图①图②图③

【定理】A,B为两已知点，M,N分别为线段AB的定比为λλ≠1的内外分点，则以MN为直径的圆C

上任意点P到A,B两点的距离之比为λ．

AMAN2aλ2aλ

证明：以λ>1为例．如图②，设AB=2a，==λ，则AM=，BM=2a-=

MBNB1+λ1+λ

1

2a，

1+λ

2aλ2aλ2a

AN=，BN=-2a=．过B作AB的垂线圆C交于Q，R两点，由相交弦定理及

λ-1λ-1λ-1

4a24a2λ22a

勾股定理得QB2=MB⋅BN=，QA2=AB2+QB2=，于是QB=，QA=

λ2-1λ2-1λ2-1

2aQA

，∴=λ．

λ2-1QB

∵M，Q，N同时在到A，B两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，

∴圆C上任意一点P到A，B两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．

3.阿波罗尼斯圆的相关结论

【结论1】当λ>1时，点B在圆C内，点A在圆C外；当0<λ<1时，点A在圆C内，点B在圆C外．

【结论2】因AQ2=AM⋅AN，故AQ是圆C的一条切线．若已知圆C及圆C外一点A，可以作出与之

对应的点B，反之亦然．

4aλ4πa2λ2

【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN=，面积为．

22

λ-1λ2-1

【结论4】过点A作圆C的切线AQ(Q为切点)，则QM，QN分别为∠AQB的内、外角平分线．

【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB和外分AB所得的两个分点，如图所示，M是AB

的内分点，N是AB的外分点，此时必有PM平分∠APB，PN平分∠APB的外角．

PAMANASΔPAMMA

证明：如图①，由已知可得===λ(λ>0且λ≠1)，∵==λ，又SΔPAM

PBMBNBSΔPBMMB

11PA⋅PMsin∠APM

=PA⋅PMsin∠APM，S=PB⋅PMsin∠BPM，∴=λ，

2ΔPBM2PB⋅PMsin∠BPM

∴sin∠APM=sin∠BPM，∴∠APM=∠BPM，∴PM平分∠APB．由等角的余角相等可得

∠BPN=∠DPN，∴PN平分∠APB的外角．

【结论6】过点B作圆C不与QR重合的弦EF，则AB平分∠EAF．

FAEAEBEASΔABEEB

证明：如图③，连结ME，MF，由已知==λ，∴=．∵=(λ>0且

FBEBFBFASΔABFFB

11AB⋅AEsin∠BAE

λ≠1)，又S=AB⋅AEsin∠BAE，S=AB⋅AFsin∠BAF，∴

ΔABE2ΔABF2AB⋅AFsin∠BAF

EBAE

==，∴sin∠BAE=sin∠BAF，∴∠BAE=∠BAF，∴AB平分∠EAF．

FBAF

∴sin∠BAE=sin∠BAF，∴∠BAE=∠BAF，∴AB平分∠EAF．

【典例训练】

一、单选题

1.(24-25高三上·浙江金华·阶段练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发

现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以

他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点P,Q分别是抛物线C:x2=8y和E:x2+y2-

12y+32=0上的动点，若抛物线C的焦点为F，则2PQ+QF的最小值为()

A.6B.46C.43D.5

2

2.(24-25高三上·福建福州·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离

之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，

PA1

A-2,0、B4,0，点P满足=．设点P的轨迹为C，则下列说法错误的是()

PB2

2

A.轨迹C的方程为x+4+y2=16B.△ABP面积最大值为12

y3

C.若Px,y，则的最大值为D.在C上存在点M，使得MO=2MA

x-43

3.(24-25高三上·湖南株洲·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动

PB

点P，若=λ(λ>0且λ≠1)，则点P的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波

PA

罗尼斯圆(简称“阿氏圆”).在平面直角坐标系中，已知O0,0，N0,-1，直线l1：kx-y+k+2=

21

0，直线l：x+ky+2k+1=0，若M为l，l的交点，则MO+MN的最小值为()

21233

102+233-1

A.B.C.D.10

333

二、多选题

4.(24-25高三上·山东烟台·期末)阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两

个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点P到

点O0,0与点A2,0的距离之比为2，则()

A.点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=8

24

B.点P到直线3x-4y+12=0距离的最小值为

5

C.点P到圆x2+y2=1上的点的最大距离为5+22

D.若到直线kx-y-2k=0的距离为2的点P至少有3个，则-1≤k≤1

5.(24-25高三上·江苏连云港·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年至前190年)与欧

几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ≠1)

的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐

|PA|

标系xOy中，A(2,4),B(2,1).点P满足=2，设点P的轨迹为曲线E，下列结论正确的是

|PB|

()

A.曲线E的方程为(x-2)2+y2=4

33

B.过点C(-2,0)的直线l与曲线E有公共点，则直线l的斜率范围是-,

33

32

C.曲线E上的点到直线x+y+1=0的最小距离为-1

2

3

D.过点D(-1,-4)作曲线E的一条切线，切点为F，则DF等于21

三、填空题

6.(24-25高三上·福建厦门·期中)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面

内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名

字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A-2,0，B4,0，点P满足

PA1

=，则点P的轨迹方程为．

PB2

7.(23-24高三上·海南海口·期中)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出

了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内

到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平

面内有两点A-1,0和B2,1，且该平面内的点P满足PA=2PB，若点P的轨迹关于直线mx

+ny-2=0m>0,n>0对称，则m与n之间的关系式为.

8.(24-25高三上·江苏泰州·阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,B的距离之

比为常数λλ>0,λ≠1的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方

体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=12，点E在棱AB上，BE=2AE，动点P满足BP=

3PE，若点P在平面ABCD内运动，则点P对应的轨迹的面积是；F为C1D1的中点，则三棱

锥P-B1CF体积的最小值为.

四、解答题

9.(24-25高三上·河南洛阳·阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点

距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角

QM

坐标系中，N(1,0),M(4,0)，动点Q满足=2，设动点Q的轨迹为曲线C．

QN

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)若直线x-y+1=0与曲线C交于A,B两点，求AB；

(3)若曲线C与x轴的交点为E,F，直线l:x=my-1与曲线C交于G,H两点，直线EG与直线FH交

于点D，证明：点D在定直线上．

4

题型二蒙日圆

【解题规律·提分快招】

一、蒙日圆

1.蒙日圆的定义

在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半

轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．

x2y2

证明：设椭圆的方程为+=1a>b>0，则椭圆两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是

a2b2

蒙日圆：x2+y2=a2+b2．①当题设中的两条互相垂直的切线PA，PB斜率均存在且不为0时，可设

Px0,y0(x0≠±a且y0≠±b)，过P的椭圆的切线方程为y-y0=kx-x0k≠0，由

y-y0=kx-x0,

222222222

2y2得ak+bx-2kakx-yx+akx-y-ab=0，

x+=1,0000

a2b2

2222222

由其判别式值为0，得x0-ak-2x0y0k+y0-b=0x0-a≠0，

y2-b2

∵k，k是这个关于k的一元二次方程的两个根，∴k⋅k=0，

PAPBPAPB22

x0-a

22

y0-b

由已知PA⊥PB，∴k⋅k=-1，∴=-1，∴x2+y2=a2+b2，∴点P的坐标满足方程

PAPB2200

x0-a

x2+y2=a2+b2．

②当题设中的两条互相垂直的切线PA，PB有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标为±a,b或

a,±b，此时点P也在圆x2+y2=a2+b2上．

x2y2

综上所述：椭圆+=1a>b>0两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2

a2b2

=a2+b2．

2.蒙日圆的几何性质

x2y2

【结论1】过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆+=1a>b>0的两条切线PA，PB，则PA

a2b2

⊥PB．

x2y2

2+2=1

证明：设P点坐标x0,y0，由ab，得

y-y0=kx-x0

222222222

ak+bx-2kakx0-y0x+akx0-y0-ab=0，由其判别式的值为0，

5

2222222

得x0-ak-2x0y0k+y0-b=0x0-a≠0，

y2-b2

∵k，k是这个关于k的一元二次方程的两个根，∴k⋅k=0，x2+y2=a2+b2，k⋅

PAPBPAPB2200PA

x0-a

y2-b2

k=0=-1，PA⊥PB．

PB22

x0-a

x2y2

【结论2】设P为蒙日圆O：x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆+=1的两条切线，交椭圆于

a2b2

b2

点A，B，O为原点，则OP，AB的斜率乘积为定值k⋅k=-．

OPABa2

x2y2

【结论3】设P为蒙日圆O：x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆+=1的两条切线，切点分别

a2b2

b2

为A，B，O为原点，则OA，PA的斜率乘积为定值k⋅k=-，且OB，PB的斜率乘积为定值

OAPAa2

b2

k⋅k=-(垂径定理的推广)．

OBPBa2

x2y2

【结论4】过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆+=1a>b>0的两条切线，O为原点，则

a2b2

PO平分椭圆的切点弦AB．

y0x0xy0y

证明：P点坐标x,y，直线OP斜率k=，由切点弦公式得到AB方程+=1，k=

00OP22AB

x0ab

22

bx0b

-，k⋅k=-，由点差法可知，OP平分AB，如图M是中点．

2OPAB2

ay0a

x2y2

【结论5】设P为蒙日圆O:x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆+=1a>b>0的两条切

a2b2

b2

线，交蒙日圆O于两点C，D，则OP，CD的斜率乘积为定值k⋅k=-．

OPCDa2

x2y2

【结论6】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆+=1a>b>0的两条切线，

a2b2

b4

切点分别为A，B，O为原点，则OA，OB的斜率乘积为定值：k⋅k=-．

OPCDa4

x2y2

【结论7】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆+=1a>b>0的两条切线，

a2b2

aba2b2

切点分别为A,B,O为原点，则S的最大值为，S的最小值为．

ΔAOB2ΔAOBa2+b2

6

x2y2

【结论8】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆+=1a>b>0的两条切线，

a2b2

a4b4

切点分别为A,B，则S的最大值为,S的最小值为．

ΔAPBa2+b2ΔAPBa2+b2

【典例训练】

一、单选题

10.(24-25高三上·山西太原·阶段练习)画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必

在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙

x2y21

日圆.若椭圆C:+=1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为()

a2a2-13

A.x2+y2=19B.x2+y2=17C.x2+y2=15D.x2+y2=14

11.(24-25高三上·湖北·期中)19世纪法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日，创立了画法几何学，推动了空间

几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与

x2y2

椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.若圆(x

a2b2

22

22xy

-4)+(y-n)=16与椭圆+=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则n的值为()

63

A.±3B.±33C.±34D.±6

12.(2024·广东·二模)法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点

y2

轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设M为椭圆C:x2+=1的一个外

12

切长方形(M的四条边所在直线均与椭圆C相切)，若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则M的

面积为()

112114

A.133B.26C.D.

55

13.(24-25高三上·天津滨海新·期中)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之

父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称

x2y23

为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ:+=1a>0,b>0的蒙日圆为C:x2+y2=a2，过C上的动点

a2b22

M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列说法中，正确的个数

为()

2

①椭圆Γ的离心率为

2

6-2

②M到Γ的左焦点的距离的最小值为a

2

3

③△MPQ面积的最大值为a2

2

7

1

④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k，k，则kk=-

12122

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

x2y2

14.(24-25高三上·江西·期中)已知椭圆C:+=1a>b>0，我们把圆x2+y2=a2+b2称为C的

a2b2

蒙日圆，O为原点，点P在C上，延长OP与C的蒙日圆交于点Q，则()

A.PQ的最大值为a2+b2-b

6

B.若P为OQ的中点，则C的离心率的最大值为

3

C.过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切

D.若点2,1在C上，则C的蒙日圆面积最小为9π

15.(23-24高三上·广东广州·期中)画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切

的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．

x2

已知椭圆C:+y2=1，F，F分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为2x+y-4=0，M为椭圆

312

C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是

()

A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=4

B.记点A到直线l的距离为d，则d-AF2的最小值为0

C.一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为43

3

D.△AOB的面积的最大值为

2

三、填空题

16.(24-25高三上·广西柳州·阶段练习)在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，

它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日

x2

圆.过双曲线W:-y2=1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A,B两点，若

3

∠PAB=30°，则△PAB的周长为.

17.(24-25高三上·江西上饶·阶段练习)加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时

发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为

x2y2

“蒙日圆”.已知椭圆C:+=1a2>6，若直线l:4x-3y+30=0上存在点P，过P可作C的两

a26

条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.

8

18.(23-24高三上·广东江门·期中)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任

意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法

x2

国数学家加斯帕尔·蒙日(1746-1818)最先发现.若椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F、F，P

412

|PM|⋅|PN|

为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与椭圆C的蒙日圆相交于M，N，则2=

|PF1|⋅|PF2|

.

四、解答题

19.(24-25高三上·重庆渝中·阶段练习)法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的

任意两条互相垂直的切线的交点G的轨迹是以椭圆的中心为圆心，a2+b2(a为椭圆的长半轴长，b

x2

为椭圆的短半轴长)为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：+y2=1，F，F分别为椭圆

312

C的左、右焦点，椭圆C的蒙日圆为圆E.

(1)求圆E的方程；

(2)已知点A是椭圆C上的任意一点，点O为坐标原点，直线OA与圆E相交于S、T两点，求证：

AS⋅AT=AF1⋅AF2；

(3)过点B1,0作互相垂直的直线l1、l2，其中l1交圆E于P、Q两点，l2交椭圆C于M、N两点，求四

边形PMQN面积的取值范围.

9

题型通关

一、单选题

20.(24-25高三上·福建厦门·期中)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出

了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内

到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平

面内有两点A(-1,0)和B(2,1)，且该平面内的点P满足PA=2PB，若点P的轨迹关于直线mx

5

+ny-2=0对称，则m+n的值为

()

2

A.0B.1C.2D.3

21.(23-24高三上·河南南阳·期中)如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆

锥曲线时发现：椭圆(或双曲线)上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，

x2

也叫蒙日圆．双曲线C:-y2=1的蒙日圆的面积为()

4

A.3πB.4πC.5πD.6π

22.(2025高三·全国·专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂

直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰

Rt△PAB的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离

心率为()

2523

A.B.C.D.

5522

23.(24-25高三上·浙江杭州·期中)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，

他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该

x2y25

椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ:+=1a>b>0的蒙日圆为C:x2+y2=a2，过C上的动点M作Γ

a2b23

10

的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列结论错误的是()

3

A.椭圆Γ的离心率为

3

5

B.△MPQ面积的最大值为a2

3

153

C.M到Γ的左焦点的距离的最小值为-a

33

1

D.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k，k，则kk=-

12123

二、多选题

24.(24-25高三上·全国·单元测试)加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲

线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被

x2y2

称为“蒙日圆”(如图所示)．当椭圆方程为+=1(a>b>0)时，蒙日圆方程为x2+y2=a2+

a2b2

x2y2

b2．已知长方形G的四边均与椭圆M:+=1相切，则下列说法正确的是()

43

1

A.椭圆M的离心率为B.若G为正方形，则G的边长为25

2

C.椭圆M的蒙日圆方程为x2+y2=7D.长方形G的面积的最大值为14

25.(24-25高三上·福建福州·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262~前190)发现：平面内

到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称

|PA|

为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(-2,0)，动点P满足

|PB|

11

1

=，直线l:mx-y+m+1=0，则()

2

A.直线l过定点(-1,1)

B.动点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4

C.动点P到直线l的距离的最大值为10

D.若点D的坐标为(1,1)，则PD+2PA的最小值为10

26.(2024·江西宜春·三模)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：

在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a(非零常数)，动点M到A，B的距离之比为常数λ(λ>0，

且λ≠1)，则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知A-4,0,B2,0，点

M满足|MA|=2|MB|，则下列说法正确的是()

A.△AMB面积的最大值为12B.MA⋅MB的最大值为72

C.若Q8,8，则|MA|+2|MQ|的最小值为10D.当点M不在x轴上时，MO始终平分∠AMB

x2y2

27.(23-24高三下·广西·阶段练习)法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆+=

a2b2

1a>b>0的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以原点为圆心，a2+b2为半径的圆，这个

x2y2

圆称为蒙日圆．若矩形G的四边均与椭圆C:+=1相切，则下列说法中正确的是()

54

A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9

B.过直线l:x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N,当∠MPN为直角时，直

4

线OP的斜率为-

3

22

C.若圆x-4+y-m=4与椭圆C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m=±3

D.若G为正方形，则G的边长为32

28.(23-24高三下·重庆·阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口

曲线.如图，当平面垂直于圆锥的轴时，截口曲线是一个圆.当平面不垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭

曲线”，则是椭圆；若平面与圆锥的一条母线平行，得到抛物线(部分)；若平面平行于圆锥的轴，得到双

曲线(部分).已知以P为顶点的圆锥PO，底面半径为1，高为3，点A为底面圆周上一定点，圆锥侧

面上有一动点T满足TA=TP，则下列结论正确的是()

12

A.点T的轨迹为椭圆B.点T可能在以O为球心，1为半径的球外部

6

C.TP可能与TA垂直D.三棱锥P-ATO的体积最大值为

12

29.(24-25高三上·广西贵港·阶段练习)法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为

“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该

x2y2

椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆E:+=1a>b>0的蒙日圆为C:

a2b2

4

x2+y2=a2，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P,Q两点，直线PQ交椭圆E于A,

3

B两点，则下列结论正确的是()

6

A.椭圆E的离心率为

3

66

B.若点D1,在椭圆E上，且直线DA,DB的斜率之和为0，则直线AB的斜率为

36

2-2a

C.点M到椭圆E的左焦点的距离的最小值为