2026高考数学复习微专题：95.圆锥曲线的光学性质

95.圆锥曲线的光学性质与应用

一．基本原理

1.抛物线的光学性质：

如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物

线对称轴平行(或重合)的光线；如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，P

M⊥上切线l交对称轴于点M，则焦点F是QM的中点.

2.椭圆的光学性质：𝑷⊥

如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4

所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l交直线,于点Q,则PQ平分

由角平分线性质定理，𝑷⊥��₁�₂∠�₁��₂,

|���||���|

|���|=|���|.

3.双曲线的光学性质：

如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交

于另一个焦点；如图6所示，双曲线在点P处的切线l与直线相交于点Q，则PQ平

分.由角平分线性质定理，�₁�₂

|���||���|

∠�₁��₂,|���|=|���|

二．典例分析

例1．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，

阿波罗尼奥斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光

学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于

抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛

物线的焦点.设抛物线C：y2x，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A5,2，被抛物线

反射后，又射到抛物线C上的Q点，则Q点的坐标为（）

11111111

A．,B．,C．,D．,

4284164648

解析：设从点A5,2沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点P，易知

1

y2，将x,y代入抛物线方程得x4，即P4,2，设焦点为F，则F,0，设

PPPP4

20yQ0

22

QyQ,yQ，由P，F，Q三点共线，有11，化简得8yQ15yQ20，

4y2

4Q4

111

解得yQ或yQ2(舍)，即Q,.故选：D

8648

例2．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的

对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知

抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M2,1射出，经过拋物线上的点A

反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为（）

257

A．13B．29C．813D．829

42

1

解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x=1，由点A(x,1)在抛物线上，则x，

114

103

y(x1)3x1y

直线AF方程为：1，即x1y，由4，消去x得y23y40，

142

4y4x

1

解得y1或y4，由y4，得x4，于是A(,1),B(4,4)，

12224

2517

|AB||AF||BF|x1x1，而|AM|2,|BM|(42)2(41)229，

12444

所以ABM的周长为829.故选：D

例3．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有

《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最

高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，

光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个

x2y2

焦点.已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e5，

a2b2

从F2发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射

光线垂直，则sinF2F1E（）

55425

A．B．C．D．

6555

c

解析：设EFm，EFn，F1F22c，由题意知mn2a，FEEP，5，

122a

所以m2n22mm4a2，c5a，m2n24c2，所以mn2c22a28a2，

EF

2222a5

又mn2a，所以n2an8a0，解得n2a，所以sinF2F1E.

F1F225a5

故选：B.

例4．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线

x2y2

过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆E:1(ab0)的左､右焦点分别为F1,F2，

a2b2

过点F2的直线与E交于点A，B，过点A作E的切线l，点B关于l的对称点为M，若

S

8aBF12MF1F2

AB，，则（）

S

5MF13AF1F2

注：S表示面积.

57

A．2B．C．3D．

22

解析：如图，由椭圆的光学性质可得M,A,F1三点共线.设BF2x，

则BF12ax,MF1AF1MAAF1AF2BF22ax.

BF12ax28a6a4a

故，解得x2a又AB，所以AF,AF，所以

5.21

MF12ax3555

12a

SMF

MF1F215

3.

SAF4a

AF1F21

5

故选：C.

例5．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称

轴的方向射出去.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.

241

己知抛物线C:yx,O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P,1射入，经过C上

16

的点Ax1,y1反射后，再经C上另一点Bx2,y2反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列

结论正确的是（）

1

A．yy

122

25

B．AB

16

C．PB平分ABQ

1

D．延长AO交直线x于点C.则C,B,Q三点共线

4

1

1y1(x1)

解析：y1代入y2x得x1，所以A(1,1)，又F(,0)，直线AF方程为1，

41

4

1

x

4x3y10x11611

即4x3y10，由，解得或，所以B(,)，

y2xy11164

y

4

11

即y1,y，yy，A错；

124124

1125

AB(1)2(1)2，B正确；

16416

111

112

14414

k4，k4，即tanABQ，tanPBQ，又2，即

PB411AB11

213321()23

1616162

tan2PBQtanABQ，且ABQ,PBQ都是锐角，所以ABQ2PBQ，C正确；

11111

准线l的方程是x，直线AO方程为yx，由x代入得y，即C(,)，

44444

所以C在直线BQ上，D正确.故选：BCD.

例6．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光

x2y2

线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E:1的左、右焦点分别

46

为F1,F2，从F2发出的两条光线经过E的右支上的A,B两点反射后，分别经过点C和D，其

中AF2,BF2共线，则（）

66

A．若直线AB的斜率k存在，则k的取值范围为,,

22

B．当点C的坐标为210,10时，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为6

．当2时，△的面积为

CABADABBF1F212

．当2时，10

DABADABcosF1F2A

10

6

解析：如图所示，过点F2分别作E的两条渐近线的平行线l1,l2，则l1,l2的斜率分别为和

2

6

，

2

66

对于A中，由图可知，当点A,B均在E的右支时，k或k，所以A正确；

22

对于B中，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为F2AACF1A2aAC

22

F1C2a(21010)(100)46，所以B正确；

2

对于C中，由ABADAB，得ABADAB0，即ABBD0，所以ABBD，

设BFn，则BFn2an4，因为ABD，所以n2(n4)2(2c)240，整理

122

2△

得n4n120，解得n6或n2（舍去），所以BF16，BF22，所以BF1F2的

1

面积SBFBF6，所以C错误；

212

BF2210

对于D项，在直角F1BF2中，cosF1F2B，所以

F1F221010

10

cosFFAcosFFB，所以D正确．故选：ABD．

121210

例7．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的

另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C

的中心在坐标原点，焦点为F1c,0，F2c,0c0，由F1发出的光经椭圆两次反射后回

到F1经过的路程为8c．利用椭圆的光学性质解决以下问题：

椭圆C的离心率为_________；点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线

22

为l，F2在l上的射影H在圆xy8上，则椭圆C的方程为_________.

解析：设椭圆C的长轴长为2a(a0)，因为由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的

1

路程为8c，所以2a2a4a8c，得a2c，所以椭圆C的离心率为e，

2

如图，延长F2H,F1P交于点F0，在PF2F0中，PHF0F2，由反射角等于入射角，可得

F2PHF0PH，所以F2PF0P，且H为F0F2的中点，在F1F0F2中，

11122

OHF1F0(PF1PF0)(PF1PF2)，因为F2在l上的射影H在圆xy8上，

222

所以OH22，所以PF1PF2422a，所以a22,c2，所以

x2y21x2y2

b2a2c2826，所以椭圆的方程为=1.故答案为：，=1

86286

例8．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射

（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方

x2y2

程为1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P1,y0，过点P

43

且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点M，则F1M:F2M__________.

2

1y03

解析：因为直线l与椭圆C相切于点P1,y0，所以1，解得y0，由椭圆C的

432

x2y22

方程为，所以F1,0235由椭圆的定义可知：

11,PF12,

4322

5

3F1MPF125

PF22aPF1，由椭圆的光学性质得到直线l平分F1PF2，可得.

2F2MPF233

2

故答案为：5:3.

例9．双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向

x2y2

延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线C:1a，b0，如图从C的一个焦点F射

a2b2

出的光线，经过P，Q两点反射后，分别经过点M和N.若

12

PMPQPMPQ，cosPQN，则C的离心率为__________.

13

解析：由双曲线的光学性质可知MP,QN的反向延长线交于双曲线的左焦点F1,如图所示：

2222

由|PMPQ||PMPQ|，两边平方可得PM2PMPQPQPM2PMPQPQ,

12

所以PMPQ0，所以PMPQ，所以F1PF90，又cosPQN，所以

13

12

cosPQF，设|FQ|13t，|PQ|12t,则|PF|5t，设|FQ|m，则|FP|12tm，

11311

根据双曲线定义，可得|PF1||PF||QF1||QF|2a，所以5t(12tm)13tm2a，解

2222

得m10t，所以|PF|2t,2a3t,在RtF1PF中，|F1F||PF||PF1|29t,所以

c2929

|F1F|29t,所以C的离心率为e.故答案为：.

a33

x2y2

例10．已知椭圆C：1ab0上、下顶点分别为A,B，且短轴长为23，T为

a2b2

3

椭圆上（除A,B外）任意一点，直线TA,TB的斜率之积为，F，F分别为左、右焦点．

412

（1）求椭圆C的方程．

（2）“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接

收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以

上面的椭圆C为代表，证明：由焦点F1发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光

线必经过另一焦点F2．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）

解析：（1）由题意知，直线TA,TB的斜率存在且不为0，设Tx,y，直线TA,TB的斜率分别

3

y3y33

为k1，k2，由题意知A0,3，B0,3，由k1k2得，整理得

4xx4

x2y2x2y2

1x0，故椭圆C的方程为1．

4343