江西省南昌市三校2026届高一下数学期末统考试题含解析

江西省南昌市三校2026届高一下数学期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角A满足，则的值为（）A． B． C． D．2．已知平面内，，，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．213．已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是（）A．若ac＞bc＞0，则a＞b B．若a＞b＞0，则ac＞bcC．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc24．若直线与圆相切，则（）A． B． C． D．或5．若，，表示三条不重合的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中，正确的个数是（）①若，，则②，，，则③若，，则④若，，则A．0 B．1 C．2 D．36．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（）A． B． C． D．7．已知，是两个变量，下列四个散点图中，，虽负相关趋势的是（）A． B．C． D．8．若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．9．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为()A． B． C． D．10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量，的夹角为，若，，则________.12．已知角的终边上一点P的坐标为，则____.13．若角的终边过点，则______.14．若，，则__________．15．已知一个铁球的体积为，则该铁球的表面积为________.16．在△中，三个内角、、的对边分别为、、，若，，，则________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求的单调增区间；（2）当时，求的最大值、最小值.18．如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到1°，参考数据：，）19．已知圆过点和，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）求直线：被圆截得的弦长.20．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组80.16第2组▆第3组200.40第4组▆0.08第5组2合计▆▆（1）求的值；（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.21．如图所示,函数的图象与轴交于点,且该函数的最小正周期为.(1)求和的值；(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当时，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

将等式两边平方，利用二倍角公式可得出的值．【详解】，在该等式两边平方得，即，解得，故选A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角正弦公式的应用，一般地，解三角函数有关问题时，遇到，常用平方法来求解，考查计算能力，属于中等题．2、A【解析】

令，，将，表示成，，即可将表示成，展开可得：，再利用基本不等式即可求得其最大值.【详解】令，，则又，所以当且仅当时，等号成立.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值，考查转化能力及计算能力，属于难题.3、C【解析】

本题可根据不等式的性质以及运用特殊值法进行代入排除即可得到正确结果．【详解】由题意，可知：对于A中，可设，很明显满足，但，所以选项A不正确；对于B中，因为不知道的正负情况，所以不能直接得出，所以选项B不正确；对于C中，因为，所以，所以，所以选项C正确；对于D中，若，则不能得到，所以选项D不正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了不等式性质的应用以及特殊值法的应用，着重考查了推理能力，属于基础题．4、D【解析】

本题首先可根据圆的方程确定圆心以及半径，然后根据直线与圆相切即可列出算式并通过计算得出结果。【详解】由题意可知，圆方程为，所以圆心坐标为，圆的半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，即解得或，故选D。【点睛】本题考查根据直线与圆相切求参数，考查根据圆的方程确定圆心与半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，考查推理能力，是简单题。5、B【解析】

①根据空间线线位置关系的定义判定；②根据面面平行的性质判定；③根据空间线线垂直的定义判定；④根据线面垂直的性质判定．【详解】解：①若，，与的位置关系不定，故错；②若，，，则或、异面，故错；③若，，则或、异面，故错；④若，，则，故正确．故选：．【点睛】本题考查了空间线面位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题．6、C【解析】

根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．【详解】①平面，,都是直角三角形；②是直角三角形；③是直角三角形；④由得平面，可知：也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是个，故选C．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．7、C【解析】由图可知C选项中的散点图描述了随着的增加而减小的变化趋势，故选C8、B【解析】

结合数量积公式可求得、、的值，代入向量夹角公式即可求解．【详解】设向量与的夹角为，因为的夹角为，且，，所以，，所以，又因为所以，故选B【点睛】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题．9、D【解析】

求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．10、B【解析】

由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】，，又，，由余弦定理可得，可得，所以，的面积为.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由，展开后进行计算，得到的值，从而得到答案.【详解】因为向量，的夹角为，若，，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查求向量的模长，向量的数量积运算，属于简单题.12、【解析】

由已知先求，再由三角函数的定义可得即可得解．【详解】解：由题意可得点到原点的距离，，由三角函数的定义可得，，，此时；故答案为．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13、-2【解析】

由正切函数定义计算.【详解】根据正切函数定义：.故答案为－2.【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.14、【解析】

由等比数列前n项公式求出已知等式左边的和，再求解．【详解】易知不合题意，∴，若，则，不合题意，∴，，∴，，又，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，解题时需分类讨论，首先对的情形进行说明，然后按是否为1分类．15、.【解析】

通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积.【详解】球的体积为球的半径球的表面积为：故答案为：【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力，属于基础题.16、【解析】

利用正弦定理求解角,再利用面积公式求解即可.【详解】由,因为,故,.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形的运用,根据题中所给的边角关系选择正弦定理与面积公式等.属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】

（1）首先利用三角函数恒等变换将化简为，再求其单调增区间即可.（2）根据，求出，再求的最值即可.【详解】（1），.的单调增区间为.（2）因为，所以.所以.当时，，当时，.【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换的应用，同时考查三角函数的单调区间和最值，熟练掌握三角函数的公式为解题的关键，属于中档题.18、乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援.【解析】

根据题意，求得，利用余弦定理求得的长，在中利用正弦定理求得，根据题目所给参考数据求得乙船行驶方向.【详解】解：由已知，则，在中，由余弦定理，得，∴海里.在中，由正弦定理，有，解得，则，故乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援.【点睛】本小题主要考查解三角形在实际生活中的应用，考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）设出圆心坐标和圆的标准方程，将点带入求出结果即可；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离和圆的半径解直角三角形求得弦长.【详解】解：（Ⅰ）由题意可设圆心坐标为，则圆的标准方程为，∴解得故圆的标准方程为.（Ⅱ）圆心到直线的距离，∴直线被圆截得的弦长为.【点睛】本题考查了圆的方程，以及直线与圆相交求弦长的知识，属于基础题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布表可得内的频数为,∴∴内的频率为∴∵内的频率为0.04∴（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.所以.∴所抽取2人中至少一人来