2026高考数学复习必刷小题13　空间几何体的表面积与体积

必刷小题13空间几何体的表面积与体积

一、单项选择题

1.已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为36π，则该圆柱的体积为（）

A.16πB.27π

C.36πD.54π

，，

解析：D设圆柱底面半径为R，高为h，则解得∴圆柱的体积为V

，，

ℎ=2��=3

＝2＝故选

πRh54π.D.2π�ℎ=36πℎ=6

2.已知点A，B，C是球O的小圆O1上的三点，若AB＝BC＝CA＝3，OO1＝4，则球O

的表面积为（）

3

A.64πB.100π

C.144πD.200π

解析：B因为AB＝BC＝CA＝3，所以△ABC是正三角形，O1是其外接圆圆心，所以

△ABC的外接圆半径r＝O1A＝×3×3＝3，球O的半径R＝＋＝＋＝5，

232222

所以球O的表面积为4πR2＝4π×3252＝1003π.故选B.��1�43

3.拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森公式V＝h（S1＋4S0＋S2）

1

求体积，其中h是高，S1是上底面面积，S2是下底面面积，S0是中截面（到6上、下底面距离

相等的截面）面积.如图所示，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，EF

＝1，且直线EF到底面ABCD的距离为2，则该五面体的体积为（）

A.

78

C.3DB..3

10

解析：D由题意得h＝2，S1＝0，S2＝32×2＝4，分别取BF，CF，DE，AE的中点G，H，

K，J，顺次连接，得到截面GHKJ为中截面，且为长方形，边长为GJ＝KH＝＝，KJ

1+23

＝HG＝1，所以S0＝×1＝，所以V＝h（S1＋4S0＋S2）＝×2×（0＋4×＋42）＝2.故选

3311310

D.226623

4.已知半径为5的球O被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截

面为上下底的圆台的侧面积为（）

A.7π

B.352π

1/7

2

C.7π或35π

（＋）或（＋）

D.72252π3525π

解析：①当两截面圆在球心的同侧时，如图，设为大截面圆的直径，为小截面圆

C22ABCD

的直径，梯形ABDC为圆台的轴截面，由题意知，OA＝OD＝5，AO1＝4，CO2＝3，OO1＝

－＝－＝3，OO2＝－＝－＝4，则圆台的高为O1O2＝1，AC

22222222

����154����253

＝（－）＋＝，设圆台的侧面积为S，上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，

2

2

所以r14＝33，r2＝41，l＝2，所以圆台的侧面积为S＝π（r1＋r2）l＝π（4＋3）×＝7π.

222

②当两截面圆在球心的异侧时，如图，设AB为大截面圆的直径，CD为小截面圆的直径，

梯形ABDC为圆台的轴截面，由题意知，OA＝OC＝5，AO1＝4，CO2＝3，OO1＝－

22

����1

＝－＝3，OO2＝－＝－＝4，则圆台的高为O1O2＝7，AC＝

222222

54����253

（－）＋＝5，设圆台的侧面积为S，上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，

2

2

所以4r1＝33，r2＝74，l＝25，所以圆台的侧面积为S＝π（r1＋r2）l＝π（4＋3）×5＝35π，

故选

C.222

5.如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面.若两个圆锥的体积之和为球的体积的，

3

则这两个圆锥的高之差的绝对值为（）8

A.

�2�

C.2D.�R.3

4�

解析3：D设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h（h＜R），体积为V1，

下面圆锥的高为H（H＞R），体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r.由球

和圆锥的对称性可知h＋H＝2R，｜OO1｜＝H－R.

2/7

22323

∵V1＋V2＝V，∴πrh＋πrH＝×πR，∴r（h＋H）＝R.∵h＋H＝2R，∴r＝R.∵OO1

3113433

2222

垂直于圆锥8的底面3，∴OO31垂直于8底3面的半径，由勾股定2理可知R＝r＋｜OO1｜2，∴R

＝r2＋（H－R）2，∴H＝R，∴h＝R，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R，故选D.

31

6.如图，在三棱柱ABC-A12B1C1中，A2A1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧

面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为（）

A.4＋4B.4＋4

＋

C.122D.843

解析：连接（图略）因为⊥底面，则⊥，又⊥，∩＝，

AA1B.AA12ABCAA1BCABBCAA1ABA

所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC

＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋

×＝＋

2244.2222

7.若正三棱台2上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为

33

（）6

A.a2B.a2

1

C.a2D.2a2

93

解2析：C如图，设O1，O分别为上2、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过

D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a，

133133

323326

∴DE＝OD－O1D1＝a.在Rt△DED1中，D1E＝a，则D1D＝＋＝

22

333333

6266�6�

＋＝a.∴S侧＝3×（a＋2a）a＝a.

3233219

36�36�22

8.底面是等边三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AA1＝AB＝2，O，O1分

别为底面ABC与底面A1B1C1的中心，P是OO1上一动点，记VP-ABC＝V1，＝V2，当

111

V1·V2取得最大值时，＝（）��-���

��

A.1�1�B.

1

C.D.3

23

解3析：A∵三棱柱ABC-A1B1C1为2直三棱柱，且棱长均为2，∴S△ABC＝△＝

�1�1�1

×2×2×sin60°＝，且OO1＝2，∴V1＋V2＝S△ABC·OP＋△·O�1P＝S△ABC·（OP＋

1111

111

2333����3

3/7

O1P）＝S△ABC·OO1＝，由2·≤V1＋V2＝，得V1·V2≤，当且仅当V1＝V2即点P

123231

12

为OO1的3中点时等号成3立，即点�P为�OO1的中点时3V1·V2取得最3大值，此时＝1.故选A.

��

二、多项选择题�1�

9.某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（）

A.圆锥的体积为16π

B.圆锥的侧面展开图的圆心角为

4π

C.圆锥的侧面积为10π5

D.过圆锥两条母线的截面面积最大值为

25

解析：AD某圆锥的底面半径为r＝4，2母线长为l＝5，如图所示，对于A，圆锥的高为h

＝－＝3，圆锥的体积为V＝π×42×3＝16π，选项A正确；对于B，圆锥的侧面展开

221

3

图扇5形的4圆心角为θ＝＝，选项B错误；对于C，圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π，

2π×48π

＋－

选项错误；对于，圆5锥的5轴截面是等腰三角形，顶角的余弦值为＝＜，

CDcosα2220

558

2

所以顶角为钝角，所以过圆锥两条母线的截面面积最大值为Smax＝×5×sin＝2×5×，5选项D

1π25

正确.故选A、D.222

10.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于

地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（）

A.没有水的部分始终呈棱柱形

B.水面EFGH所在四边形的面积为定值

C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行

D.当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值

解析：AD根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个

四边形的公共边都互相平行），结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF

的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面

ABCD，A1C1平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，

不平行于水面所在平面，故错误；当容器倾斜如题图③所示时，因为水的体积是不

A1C1⊄C

变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不

变，即AE·AH为定值，故D正确.

4/7

11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，

开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙

漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全

部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3

2

的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好3堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的

是（）

A.沙漏中的细沙体积为cm3

1024π

3

B.沙漏的体积是128πcm81

C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm

D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π≈3.14）

解析：ACDA.根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半

径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝×4＝cm，所以体积V＝

28

·πr2·＝··＝（cm3）；B.沙漏的体积V＝2××π××3h＝23××π×42×8＝π

12ℎ164π161024π1ℎ21256

333393813233

（cm）；C.设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，＝×π×h1，

1024π1ℎ2

33

所以＝h1，所以h1≈2.4cm；D.因为细沙的体积为cm，沙漏每81秒钟3漏下20.02cm

1024π16π1024π

81381

的沙，所以一个沙时为1024π＝×50≈1985（秒）.故选A、C、D.

811024×3.14

12.在正四棱台ABCD-A10B.012C1D1中8，1A1B1＝2AB＝4，AA1＝2，则（）

A.该棱台的高为

该棱台的表面积为＋

B.21612

该棱台的体积为

C.283

D.该棱台外接球的体积2为π

4010

3－

解析：AD由题意可知AC＝2，A1C1＝4，所以正四棱台的高h＝－（）

2

24222

22－22

＝，A正确；正四棱台的侧面为等腰梯形，故斜高h'＝－（）＝，所以正四

2

242

棱台2的侧面积为4××（2＋4）×＝12，上、下底面的2面积分别2为4，136，即正四棱

1

台的表面积S＝4＋126＋12＝20＋132，B3错误；正四棱台的体积V＝（4＋＋16）

1

×＝，C错误；设该棱3台外接球的3球心为O，半径为R，点O到上3底面的4距×离16为x，

282

2＝3（）＋，

所以2解得＝，所以该棱台外接球的体积为×（）

22Rπ

�＝（2）＋�（－），4

22

210310

3＝�π，D2正确2，故选A2、D�.

4010

35/7

三、填空题

13.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折

起，使∠BDC＝90°.若BD＝1，则三棱锥D-ABC的表面积为.

答案：

3+3

解析：由2题意，折起前AD是BC边上的高，当△ABD折起后，可得AD⊥DC，AD⊥BD，

因为DB＝DA＝DC＝1，DB⊥DC，所以AB＝BC＝CA＝，从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝

×1×1＝，S△ABC＝××sin60°＝，所以三棱锥D-A2BC的表面积S＝×3＋＝.

1113133+3

214.在如图所2示的斜截2圆柱2中，2已知圆柱底2面的直径为40cm，母线长最短50c2m，最长280c2m，

则斜截圆柱的体积为.

答案：26000πcm3

解析：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则所求几何体的体积是新圆柱体积的一半，所求

体积为×π×202×（50＋80）＝26000πcm3.

1

15.如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，在三角形内挖去一个半圆（圆

心在边上，半圆与，分别相切于点，，交于点），则图中阴影部分

OBCACABCM3BCN

绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为.

答案：π

53

解析：