2026高考数学复习微专题：69.截面问题研究

69.正（长）方体中的截面问题研究

一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.

1.三点中有两点共面

例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G

三点的截面．

思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的

棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样

利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.

解析：作法：①.由于E,F共面，在底面AC内，过E,F作直线EF，与DA于L，显然，

此时即在侧面内，又在欲求截面内，而该截面与侧面又交于点，根据公理1，

LA1DA1DG

截面与侧面交于.

A1DL

同理，过作直线与的延长线交于，此时即在侧面内，又在欲求截

E,FEFDCMMDC1

面内，根据公理1，截面与侧面交于.

DC1M

②在侧面内，连接交于.

A1DLGAA1K

③在侧面内，连接交于.

DC1GMCC1H

④连接KE,FH.则五边形EFHGKEFHGK即为所求的截面．

练习1.（三点两两共面）P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出

过P，Q，R三点的截面作法．

解析：作法：（1）连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F.

（2）连接EF交AB于T，交AD于S.

（3）连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面．

例2.（三点所在的棱两两异面）

如图，长方体中，分别为上三点，求过这三点的

ABCDA1B1C1D1P,Q,RA1D1,AB,CC1

截面.

分析：此题的难点在于P,Q,R三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通

过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让

上面三点P,Q,R中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.

解：如图，作交与，则确定一个平面，转化为例1的情形.

QE//BB1A1B1EQE,RC1

连接,交于点；连接交延长线于；连接交延

EC1,QRFPFC1D1,A1B1G,HHQAA1,BB1

长线于I,J；连接JR交BC于K.则KRGPIQK为所作截面.

二．截面的的画法小结

1.确定截面的主要依据有

（1）平面的四个公理及推论．

（2）直线和平面平行的判定和性质．

（3）两个平面平行的性质．

2.作截面的几种方法

（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截

面实际就是找交线的过程。

（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。

（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以

通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。

三．正方体中的基本截面类型

三．习题演练

习题1.如图，在棱长为12的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F分别为棱AB，CC1的

中点，若过点D1，E，F的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为一个多边形，求该

多边形的周长.

解析：如图，延长DC，与D1F的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA

的延长线交于点M，连接D1M，交AA1于点N．连接NE，FH，因为正方体ABCDA1B1C1D1的

棱长为12，所以22．因为∥，所以△∽△，

D1FD1C1C1F65D1C1CGD1C1FGCF

DCCFBHBE1

所以1111，所以CG12，同理可得△BEH∽△CGH，所以，

CGCFCHCG2

21

所以CHBC8，BHBC4，

33

所以FHCF2CH210，EHBH2BE2213．易知△BEH≌△AEM，所以

AMAN

AMBH4，又，解得AN3，所以NEAN2AE235，

MDDD1

22，

D1NA1D1A1N15

则该多边形的周长为.

D1FFHHEENND12595213

习题2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，E为棱BC的中点，

F为棱A1D1的四等分点（靠近点D1），过点A,E,F作该正方体的截面，则该截面的周长是

___________.

解析：如图，取C1D1的中点H，取CC1上靠近点C1的三等分点G，连接AE,EG,GH,HF,FA，

易证AE//HF,AF//EG，则五边形AEGHF为所求截面.

84

因为AB4，所以BECECHDH2,AF3,DF1,CG，CG

1111313

10213

则AE25,EG，GH,HF5,AF5,故该截面的周长是

33

95252139525213

AEEGGHHFAF.故答案为：

33

AP

1

习题3．一块正方体形木料如图所示，棱长为3，点P在线段A1C1上，且31，过

PC1

点P将木料锯开，使得截面过BC，则（）

A．PCBD

B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台

C．截面的面积为23

3π

D．以A为球心，AB为半径的球面与截面的交线长为

2

解析：对于A，ACC1A1是正方体ABCDA1B1C1D1的对角面，则四边形ACC1A1为矩形，

AC//A1C1，由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，得CC1BD，而ACBD，

ACCC1C,AC,CC1平面ACC1A1，则BD平面ACC1A1，又PC平面ACC1A1，因此

PCBD，A正确；

对于B，过点P作直线平行于B1C1交A1B1,C1D1分别于N,M，连接BN,CM，显然

MN//B1C1//BC，则四边形BCMN为过点P及直线BC的正方体的截面，截得的两个几何体

分别是三棱柱和四棱柱，B错误；

CMPC1

1122

对于C，由选项B得，则C1M1，CM(3)12，因此截面矩形

C1D1A1C13

BCMN面积SBCCM23，C正确；

对于D，过A作AOBN于O，由BC平面ABB1A1，AO平面ABB1A1，得AOBC，

而BNBCB,BN,BC平面BCMN，则AO平面BCMN，因此O为以A为球心，AB为

半径的球面被平面BCMN所截小圆圆心，球面与截面的交线为以O为圆心，BO为半径的

133π

半圆弧，显然BAOB1BN30，BOAB，因此交线长为，D正确.

222

故选：ACD

习题4．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则平面A1EC截该正

方体所得截面面积为__________；平面A1EC与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为

_________

解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

平面A1D1DA//平面B1C1CB，平面A1EC平面A1D1DAA1E，

平面A1EC平面B1C1CBCF，A1E//CF，同理可证A1F//CE，四边形A1ECF是平行四边

形，BC//A1D1，BCFD1A1E，又BCA1D12，CBFA1D1E90，