2024-2025学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下列事件为必然事件的是（）

A.在平面上画一个三角形，其内角和是360°

B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

C.不在同•条直线上的三个点确定个圆

D.购买1张彩票，中奖

2.（2分）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（）

A.y=『+2B.-2C.y=（x-2）2D.y=（x+2）2

3.（2分）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行、奥运会图标在视觉设计

上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素.卜列四个图标

中是中心对称图形的是（）

4.（2分）用配方法解方程》2-8丫-4=0,变形后结果正确的是（）

A.（X・4）2=20B.（x-4）2=16C.（x-4）2=12D.（x-4）2=4

5.（2分）如图，PA,尸片与。。分别相切于点儿B,尸4=2,NP=60°,则49=（）

6.（2分）若关于x的一元二次方程『+2r+〃?=（）有两个不相等的实数根，则〃?的值可能是（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接

而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点。，定所在圆的圆心。恰好是△48。的重

心.若ABRG，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（）

第1页（共32页）

C.3TTD.4n

8.（2分）二次函数》=冰2+6+，"wo）图象上部分点的坐标满足如表:

X•••-3-20135•••

y•••70-8-9-57•••

下面有四个结论：

①抛物线的开口向」.：

②抛物线的对称轴为直线x=2；

③当-2VxV4时，j，VO；

@x=-1是关于X的一元二次方程4x2+bx+c+5=0（4工0）的一个根.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每题2分，共16分）

9.（2分）在平面直角坐标系中，点（3,5）关于原点对称的点的坐标是

10.（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,-1）的抛物线的解析式

II.（2分）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据:

重复试验次数1050100500100020005000

钉尖朝上次数515362004038012001

估计任意抛掷一枚图钉、钉尖朝上的概率约为［结果精确到0.1）.

12.（2分）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居

民人均可支配收入分别为3.5万元和3.9万元.设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均

增长率为x,依题意可列方程为.

13.（2分）如图，以点。为中心的量角器与直角三角板48C按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角

板的斜边48重合，如果点。在量角器上对应的刻度为110°,连接CD那么N8CZ）=

第2页（共32页）

D

14.（2分）如图，在圆内接四边形力8CQ中，对角线8D_L4）,ZC=135°,AD=2,则彳8

C

15.（2分）如图，在△X8C中，Z5JC=100°,将△力8c统点力逆时针旋转a,得到△HOE,/E=

60°.若点&C,。恰好在同一条直线上，则。=

E

16.（2分）古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”

两种方式表示数字，如图所示.

123456789

纵式IIIIIIIlliIIIIITTTT

横式一====_L-_-L--_-L-_=L

据《孙子算经》记载，算等记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万

相当.即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此

类推.例如,算筹表示的四位数是6613.

（1）用3根算筹表示的两位数可以是（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为（））；

（2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为

（算筹不剩余且个位不为0）.

第3页（共32页）

三、解答题（共68分，第17・22题每题5分，第23・26题每题6分，第27・28题每题7分）解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤。

17.（5分）解方程：X2-4X=5.

18.（5分）如图，圆形拱门的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果。是中弦力"的中点，连接

并延长交。。于点C,并且44=1〃?，CD=2.5m,求。。的半径.

19.（5分）已知：。。为△48C的外接圆；D是BC：边上的一点，连接40.

求作：ZBEC,使得点E在线段4。上，且NBEC=2NBAC.

作法：

①连接08,分别作线段08,8C的垂直平分线小/2,两直线交于点P；

②以点P为圆心，P4长为半径作圆，交线段力。于点E；

③连接砥，CE.

N8EC就是所求作的角.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接OC

•・•点/，B,。在上，

,NBAC=1/BOC<____________________）（填推理的依据），

2

♦:点B,0,E,C在OQ上，

AZZ?Z?C=Z.

第4页（共32页）

20.（5分）已知二次函数y=f-6x+8.

（1）求该二次函数图象的顶点坐标：

（2）当0WxW4时，y的取值范围是.

21.（5分）如图，在平面直角坐标系xQy中，点力，B,C的坐标分别为（-2,1）,（1,2）,（2,1）,将4

力8c绕点P逆时针方向旋转得到△/1'B'C',点力的对应点彳'的坐标为（-2,-1）,点8的对应

点）的坐标为（-3,2）.

（1）点尸的坐标是；（填写正确的选项）

A.（-1,0）

B.（0,1）

C.（1,-I）

（2）画出旋转后的△力'B'C',并写出C'的坐标是

（3）线段84的延长线与线段B'交于点直接写出N8M/1'的度数.

22.（5分）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作,

是中国传统文化的重要组成部分.下面是正面印有“四书”字样的书签力，&C,。，书签除正面的字

样外，其余完全相同.将这4张书签背面向上，洗匀放好.

（1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是；

（2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率.

23.（6分）已知关于》的一元一次方程。十加-2=0（aWO）.

第5页（共32页）

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根：

（2）若方程的一个根是2,求代数式6a2+36的值.

24.（6分）如图1,某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边18,AC,8。和抛物线的一段

（点E为抛物线的顶点）构成.以的中点O为原点，分别以直线N4和抛物线的对称轴为x轴和y

轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.其中，48=12米，力。=8。=3米，OE=7米.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米.若

行车道的总宽度"N为8米，且。为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度.（车道分界线的

宽度忽略不计）

图1处

25.（6分）如图，在RtA48C中，乙4C4=90°,以力。边为直径作交于点。，连接。O并延长

交8c的延长线于点E,点尸为BC的中点，连接。P.

（1）求证：PO是。。的切线；

26.（6分）在平面直角坐标系X/中，点（2,〃）在抛物线y=F・（〃?+3）x+3〃?上，设抛物线的对称轴

为直线x=t.

（1）当〃=3加时，求f的值；

（2）点力（-3为），B（r+1,V2）在抛物线上，若“〃<0,比较刈，儿的大小，并说明理由.

27.（7分）如图，在等边△/出C中，。为上一点，连接CD,£为线段CO上一点（CE>DE）,将线

段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,连接AF.

（1）求证：BE=AF；

（2）点G为8c延长线上一点，连接/G交C/于点若M为力G的中点，用等式表示线段CE,

第6页（共32页）

MR之间的数量关系，并证明.

28.（7分）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,对于。0的弦力8和不在直线上的点C,给

出如下定义：若/ACB=a,且点C关于弦的中点〃的对称点在。。上或其内部，则称点。为弦

48的“a关联点”.

(1)己知点A(-£,4~)，B(l,0)-

①在点C(-1,-1),c(2,0),5(0,百)中，点是弦48的关联点，其中a

1乙O

②若直线），=・«叶力上存在力8的“60°关联点”，则人的取值范围是

（2）若点C是48的“60°关联点”，且OC=d§,直接写出弦48的最大值和最小值.

备用图

第7页（共32页）

2024・2025学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（每题2分，共16分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下列事件为必然事件的是（）

A.在平面上画一个三角形，其内角和是360。

B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

C.不在同一条直线上的三个点确定一个圆

D.购买1张彩票，中奖

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【解答】解：A.在平面上画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，不符合题意：

4、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；

C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆是必然事件，符合题意；

。、购买1张彩票，中奖是随机事件，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生

的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下,

可能发生也可能不发生的事件.

2.（2分）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（）

A.y=x2+2B.y=x2-2C.y=（x-2）2D.y=（x+2）2

【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,再利用点平移的规律得到点（0,0）变换后所得

对应点的坐标为（0,-2）,然后利用顶点式写出平移后的抛物线.

【解答】解：抛物线的顶点坐标为（0,0）,把点（0.0）下平移2个单位长度所得对应点的坐

标为（0,-2）,所以平移后的抛物线为夕=--2.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移

第8页（共32页）

后的抛物线解析式通常可利用两种方法：•是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法

求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式;.

3.(2分)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月II日在法国巴黎举行、奥运会图标在视觉设计

上主要融入三个方面的内容一对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素.下列四个图标

中是中心对称图形的是()

【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°,与自身完全重合，进行判断即

可.

【解答】解：选项/、C、。的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重

合，所以不是中心对称图形，

选项4的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对•称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点

旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

4.(2分)用配方法解方程F-8X-4=0,变形后结果正确的是()

A.(x-4)2=20B.(x-4)2=16C.(x-4)2=12D.(x-4)2=4

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上42,然后把方程左边写成完全平方的形式即可.

【解答】解：X2-8X-4=0,

x2-8x=4,

x2-8X+42=4+42,

(x-4)2=20.

故选：A.

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的

关键.

5.(2分)如图，PA,P4与。O分别相切于点4B,PA=2,ZP=60°,则44=()

第9页(共32页)

A

A.V3B.2C.2V3D.3

【分析】先判断出21=尸从进而判断出42出是等边三角形，即可得出结论.

【解答】解：•・•4，尸3与。。分别相切于点力，B,

:,PA=PB,

VZJP5=60°,

・•・△48是等边三角形，

：.AB=AP=2.

故选:B.

【点评】本题主要考查了切线长定理，判断出△218是等边三角形是解题的关键.

6.（2分）若关于x的一元二次方程，+2什〃?=0有两个不相等的实数根，则加的值可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得A=4-4〃?>0,解出〃?的取值范围即可进行

判断.

【解答】解：根据题意，得A=4・4〃?>0,

解得加V1,

•・•（）<1,

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键.

7.（2分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接

而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点。，同所在圆的圆心。恰好是△440的重

第10页（共32页）

心.若ABK”，则花窗的周长(图中实线部分的长度)为()

A.ITB.21rC.3TTD.4n

【分析】根据正六边形的性质，三角形重心的性质以及直角三角形的边角关系求出同所本应的圆心角

的度数及半径，由弧长公式求出弧同的长，再计算同长的6倍即可.

【解答】解：如图，过点。作于点"，则AM=BM二工AB=^S，

乙2

二六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，

・・・NA0B=^-=60°，

6

•；OA=OB,

・•・△408是正三角形，

;同所在圆的圆心C恰好是△相()的重心，

・••点C为正三角形力08重心，也是内心，

•,-ZCAB=ZCBA^-X60°=30°，N4CB=2N4OB=l20°,

VZCAM=30°,

2

V3

MAM21

•,Ac=^k药j

2

第11页(共32页)

，赢勺长为磔3:2加

1803

，花窗的周长为2冗x6=4^-

3

故选：D.

【点评】本题考查正多边形和员I，掌握正六边形的性质，三角形的重心的性质以及直角三角形的边角关

系是解答本题的关键.

8.（2分）二次函数（aWO）图象上部分点的坐标满足如表:

•••-3-20135•••

•••70-8-9-57•••

下面有四个结论：

①抛物线的开口向上；

②抛物线的对称轴为直线x=2；

③当-2Vx<4时、j，VO；

@x=-1是关于x的一元二次方程〃/+以+6+5=0（4卉0）的一个根.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由于抛物线经过点（-3,7）,（5,7）,根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=

1,从而可对②讲行判断:利用表中对应信得到抛物线的顶点为（1,-9）,所以可对①送行判断:利

用抛物线的对称性得到抛物线经过点（-2,（））和（4,0）,加上抛物线开口向上，所以当-2VxV4

时，yVO,于是可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线经过点（3,-5）和（-I,-5）,

则关于x的一元二次方程加+瓜+。=-5（g0）的两个根为3或7,从而可对④进行判断.

【解答】解：•・•抛物线经过点（-3,7）,（5,7）,

・••抛物线的对称轴为直线x=l,所以②错误；

...抛物线的顶点为（1,-9）,即x=l时，），有最小值-9,

・•・抛物线开口向上，所以①正确；

•••抛物线经过点（-2,0）,

，抛物线经过点（4,0）,

•••当-24V4时，》<0,所以③正确；

•・•抛物线经过点（3,-5）,

•二抛物线经过点（・1，-5）,

第12页（共32页）

，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-5（oHO）的两个根为3或-1,

/.X=-1是关于X的一元二次方程外+厂5=0（qWO）的一个根，所以④正确.

故选：C.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（〃，b,。是常数，aWO）与x

轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐

标特征.

二、填空题（每题2分，共16分）

9.（2分）在平面直角坐标系中，点（3,5）关于原点对称的点的坐标是（-3,・5）.

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案.

【解答】解：在平面直角坐标系中，点（3,5）关于原点对称的点的坐标是（-3,-5）.

故答案为：（-3,-5）.

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.

10.（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（（），-1）的抛物线的解析式＞，=『-1（答案不唯

一）.

【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0,然后写出即可.

【解答】解：抛物线的解析式为7=，-1.

故答案为：1（答案不唯一）.

【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要

大于0.

11.2（分）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试脸，多次试验后获得如下数据:

重复试验次数1050100500100020005000

钉尖朝上次数515362004038012001

估计任意抛掷一枚图钉、钉尖朝上的概率约为Qd（结果精确到0.1）.

【分析】观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用率估计概率

即可求解.

【解答】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为5・10=0.5,15+50=0.3,364-100=0.36,2004-500=

0.4,403+1000=0.43,801+2000=0.4005,2001+5000=0.4002,

可知图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在04左右，

所以估计任意抛掷一枚图钉、钉尖朝上的概率约为0.4.

第13页（共32页）

故答案为：0.4.

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可

解决问题.

12.（2分）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居

民人均可支配收入分别为3.5万元和3.9万元.设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均

增长率为x,依题意可列方程为3.5（1+x）2=3.9.

【分析】利用2023年全国居民人均可支配收入=2021年全国居民人均可支配收入X（1+2021年至2023

年全国居民人均可支配收入的年平均增长率）2,即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：根据题意得：3.5（1+x）2=3.9.

故答案为:3.5（1+x）2=3.9.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

13.（2分）如图，以点。为中心的量角器与直角三角板/8C按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角

板的斜边重合，如果点。在量角器上对应的刻度为110°,连接CQ.那么N8CQ=55°.

【分析】连接OD，则/8。。=110°,根据“直径所对的圆周角等于90°”可知。点在OO上，根据

圆周角定理求解即可.

【解答】解：连接O。，

第14页（共32页）

c

VZACB=90°,

・・・c点在OO上，

・・・N8CO=工N8OO=55°.

2

故答案为：55°.

【点评】本题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

14.（2分）如图，在园内接四边形48CQ中，对角线8O_L4。，NC=135°,AD=2,则48=2点

【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出N4=45°,进而利用等腰直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：•・•圆内接四边形力4。。，ZC=135°,

・•・//=180°-135°=45°,

•:BD工AD,

・•・△48。是等腰直角三角形，

故答案为：2A/2.

【点评】此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的对角互补得出N1=45°解答.

15.（2分）如图，在△/出C中，N84C=10（）°,将^力^。绕点力逆时针旋转a,得到△幺OE,NE=

60°.若点B,C,。恰好在同一条直线上，则。=14（）°.

第15页（共32页）

E

BCD

【分析】先确定/8力。为旋转角，再根据旋转的性质得出N/C8=NE=60°,AB=AD,推出N/1Q8=

/8=20°,即可得出结果.

【解答】解：•・•将△48C绕点力逆时针旋转a,得到NE=60°,

AZJCT=ZE=60<>,AB=AD,

又TN历1C=1OO°,

/.ZJ5C=180°-100°-603=20°,

又，：AB=AD,

/.ZADB=ZB=20°,

••・/AW=180°-2X20°=140°,

即旋转角a=14（T,

故答案为：14（）.

【点评】本题考杳了旋转的性质，正确确定旋转角是解题的关键.

16.（2分）古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”

两种方式表示数字，如图所示.

「3456789声交L

纵式IIIIIIIlliIIIIITTTT个与切上

横式一一三三手、式公

据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万

相当.即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此

类推.例如，算筹-LT-I”表示的四位数是6613.

（1）用3根算筹袤示的两位数可以是21（答案不唯」）（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为

0）；

（2）在用4根算等表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为S.（算筹

-8-

不剩余且个位不为0）.

【分析】（I）由题意，三根算筹可以是I与2的组合，也可以是6与1的组合，由此即可任写一个即可；

（2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13,31,22,62,26,71,17共7个数，其中大于60

第16页（共32页）

的数有4个，则可求得概率.

【解答】解：（1）三根算筹可以是1与2的组合，即12或21；

也可以是6与I的组合，即16或61；

4个数中任写一个，

故答案为：21（答案不唯一）：

（2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13,31,22,26,62,66,71,17共8个数，其中大于

60的数有3个，则抽取一个数大于60的概率为冬，

8

故答案为：3.

8

【点评】本题考查了求概率，求出所有可能的结果数及事件发生时可能的结果数，利用概率公式即可求

解.

三、解答题（共68分，第17・22题每题5分，第23・26题每题6分，第27・28题每题7分）解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤。

17.（5分）解方程：X2-4X=5.

【分析】先将原方程化为一般式，然后运用二次三项式的因式分解法进行求解.

【解答】解：：/-41=5

A.r2-4x-5=0

:.（x-5）（x+1）=0

-5=0,x+\=0

•,•原方程的解为：X]=5,X2=~I>

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关犍

18.（5分）如图，圆形拱门的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果。是中弦48的中点，连接

并延长交。。于点C，并且48=所，CD=2.5m,求。0的半径.

ADB

【分析】连接。4,由垂径定理得4D=LB=（）.5制,设。0的半径为/加，则O4=OC=/7〃,

2

第17页（共32页）

OD=（2.5-r）m,在Rt4CMO中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：连接（》,如图所示：

・・•。为4?中点,AB=lm,

:・CD1AB,AD=^-4B=0.5m,

2

设OO的半径为rm,则OA=OC=rm,

VCD=2.5w,

：,OD=（2.5-r）m,

在中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2,

即/=（2.5-r）2+0.52,

解得：r—1.3,

即OO的半径为1.3〃?.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关

键.

19.（5分）已知：。0为△力8c的外接圆；。是BC：边上的一点，连接4。.

求作：ZBEC,使得点E在线段力。上，且N8EC=2N84C

作法：

①连接08,分别作线段O&8C的垂直平分线小I?，两直线交于点P;

②以点夕为圆心，04长为半径作圆，交线段力。于点E；

③连接“E,CE.

N3EC就是所求作的角.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接0C

•・•点4,B,。在上，

第18页（共32页）

，NBAC」NBOC（同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半）（填推理的依

2

据）,

丁点8,O,E,。在O尸上,

AZBEC=ZBOC.

【分析】（1）根据要求作出图形;

（2）证明NBAol/BOG可得结论.

2

【解答】（1）解：图形如图所示:

（2）证明：连接。C.

•・•点4,B,C在O。上,

•,-ZBAC=-ZBOC（同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半）,

2

•:点B,0,E,C在O尸上，

ZBEC=ZBOC.

:・NBEC=2/BAC.

故答案为：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，BOC.

【点评】本题考套作图■复杂作图，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心与外接圆,

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

第19页（共32页）

20.（5分）已知二次函数y=f-6x+8.

（1）求该二次函数图象的顶点坐标：

（2）当0WxW4时，y的取值范围是-0W。.

【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；

（2）根据二次函数开口方向及顶点坐标求解.

【解答】解：（1）-6]+8=（x-3）2-1,

，抛物线顶点坐标为（3,-1）；

（2）将x=0代入y=/-6,什8得：y=8,

将x=4代入y=--6x+8得：y=0,

•••抛物线顶点坐标为（3,-I）,

，当0WxW4时，-lWyW8,

故答案为：-lWyW8.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程

及不等式的关系.

21.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点儿B,。的坐标分别为（・2,1）,（1,2）,（2,1）,将4

力8c绕点Q逆时针方向旋转得到△4'B'C,点力的对应点的坐标为（-2,-1）,点4的灼应

点夕的坐标为（-3,2）.

（1）点夕的坐标是A:（填写正确的选项）

A.（-1,0）

B.（0,1）

C.（1,-1）

（2）画出旋转后的△小夕C,并写出C'的坐标是（・2,3）；

（3）线段比1的延长线与线段4B'交于点例，直接写出N8M4'的度数.

第20页（共32页）

【分析】（1）分别作线段89与线段44的垂直平分线相交于点P,则点P即为旋转点，从而得出正确

选项；

（2）根据旋转的性质作图即可，再写出点。的坐标；

（3）由作图可知，△49。是由△NBC绕点尸逆时针旋转90°得到的，从而得出结果.

【解答】解：（1）如图所示，点尸（-1,0）,

（2）如图所示，B'C'即为所求，0（-2,3）,

故答案为：（-2,3）：

（3）由作图可知，△*夕。是由△48C绕点P逆时针旋转90°得到的，

・・・A”_L4W,

:・NBMA，=90°.

【点评】本题考查了作图-旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键.

22.（5分）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，

是中国传统文化的重要组成部分.下面是正面印有“四书”字样的书签儿&C,D,书签除正面的字

样外，其余完全相同.将这4张书签背面向上，洗匀放好.

（I）从中随机抽取I张，抽到“中庸”书签的概率是;

4

（2）从中随机抽取2张；川列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率.

第21页（共32页）

【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“中庸”书签的结果有1种，利用概率公式

可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果数，再利

用概率公式可得出答案.

【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“中庸”书签的结果有1种，

・•・从中随机抽取I张，抽到“中庸”书签的概率是工.

4

故答案为：1.

4

（2）列表如下:

ABCD

A(4,B)(A,C)3,D)

B(8,A)(B,C)(5,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(0,A)(£),B)(D,C)

共有12种等可能的结果，其中抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果有：（4C）,（C,

力），共2种，

・•・抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为2=工.

126

【点评】本题考杳列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题

的关键.

23.（6分）已知关于x的一元二次方程"d+bx-2=0QW0）.

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是2,求代数式6『+3人的值.

【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

（2）将x=2代入方程，再结合整体思想即可解决问题.

【解答】（1）证明：因为一元二次方程为"3+乱”2=0,

所以ARZYX"X（-2）=卅+8。2.

又因为aWO,愣2（）,

所以A>0，

所以方程总有两个不相等的实数根.

第22页（共32页）

（2）解：将x=2代入方程得，

4a2+2b-2=0,

即2a2+b=\,

所以6a2+36=3（2/+6）=3.

【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键.

24.（6分）如图1,某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边48,AC,8。和抛物线的一段

（点E为抛物线的顶点）构成.以力8的中点。为原点，分别以直线48和抛物线的对称轴为x轴和y

轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.其中，49=12米，＜。=4。=3米，OE=7米.

（1）求该抛物线的解析式：

（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米.若

行车道的总宽度A/N为8米，旦。为MN的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度.（车道分界线的

宽度忽略不计）

图1处

【分析】（1）根据平面直角坐标系，用待定系数法求出函数解析式；

（2）设车的高度为〃，把（4,〃+1）代入解析式，求出力的值即可.

【解答】解：（1）由题意可知，4（-6,0）,4（6,0）,E（0,7）,C（-6,3）,D（6,3）,

为抛物线的顶点，

，设抛物线解析式为），=a，+7,

把点。坐标代入解析式得：36a+7=3,

解得a=--,

9

•••抛物线解析式为卜=-1好+7；

9

（2）由题意知，N（4,0）,

设车的高度为几则当x=4时，y=狂1,

:.-Lx16+7=0+1,

9

解得：毁.

9

第23页（共32页）

・•・通过隧道的车辆的限制高度为鹑米.

9

【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式，

25.（6分）如图，在RtZX/lACW，408=90°,以4C边为直径作交48于点。，连接并延长

交8c的延长线于点£,点。为8。的中点，连接QP.

（1）求证：。。是。。的切线；

（2）若OO的半径为3,Z5=30°，求尸N的K.

【分析】（1）连接C。，根据圆周角定理得到CO_14。，求得NCQB=90>,根据直角三角形的性质得

到尸8=PQ=PC=Zc,求得NB=NBDP,根据等腰三角形的性质得到/彳=/0。儿推出NPQE=

2

180°-NBDP-NAD（）=90°,根据切线的判定定理得到垢论；

（2）根据三角形的内角和定理得到NQCO=60°,由（1）知，PC=PD,得到△CO夕是等边三角形,

求得PO=C。，NBCD=NDPE=60。，根据全等三角形的性质得到根据勾股定理即可得到

结论.

【解答】（1）证明：连接CQ,

•・zc为直径，

：,CD.LAD,

:.NCDB=90",

•・•点P为4C的中点，

：,PB=PD=PC=^-BC,

2

；・/1)=/BDP,

*：OD=OA,

J/A=NODA,

VZACB=9Q°,

/.Z5+ZJ=90°,

：.ZBDP+ZADO=90°,

/.ZPD£=180°-NBDP-NADO=90',

第24页（共32页）

TOD是OO的半径，

是OO的切线；

（2）解：*：NBDC=90°，NB=30°,

.\ZPCD=60°，

由(1)知，PC=PD,

「•△CQP是等边三角形，

:・PD=CD,/BCD=/DPE=60°,

•：NBDC=NPDE=90",

:.△BDgMDP(ASA),

:・PE=BC,

VAC=6,

：,AB=2AC=\2,

=22

：•^CVAB-AC=6a'

:.PE=BC=6g.

DA

【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性

质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

26.（6分）在平面直角坐标系X。中，点（2,〃）在抛物线-（〃什3）x+3〃/上，设抛物线的对称轴

（1）当〃=3加时，求/的值；

（2）点力（一，"）,B（r+1,v2）在抛物线上，若"7〃＜0,比较为，力的大小，并说明理由.

【分析】（1）根据题意，得到〃?=-1,求得二次函数解析式，得到其对称轴为工=/=1；

（