2024-2025学年山东省青岛市胶州市八年级（上）期中数学试卷+答案解析

2024-2025学年山东省青岛市胶州市八年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（）

A.1,1,2B.3,4,5C.5,11,16D.8,14,17

2.如图，v七在数轴上对应的点是（）

।।A।BJDg।j।।।I,

-5-4-3-2-I0I2345

A.点/B.点4C.点CD.点。

3.如图是某加油站加油机上的数据晶示牌，在此次加油过程中的变量是（）

|221・25|金额

A.金额

|25|油量

B.油量

|8.85|单周

C.单价

D.金额和油量

4.若式子卜，勺+1）口、，攵的运算结果是无理数，那么“口”中的运算符号不可以是（）

A.+B.-C.xD.4-

5.下列等式正确的是（）

A.=±3B.（—4尸=9C.雷=-5D.=I

6.如图是某雷达探测器在一次探测中发现的五个目标，若图中目标490°

的位置记为1二川斛），则点。的位置记为（）

A.（3.225）

B.（3.210）

180°

C.（（ur.2i

D.12210）

2704

7.已知一次函数！是常数且“#山中，x与y的部分对应值如表:

X一210123

y32.521.510.5

则关于x的方程”」•・，，2的解是（）

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A..B.r=0C..r=1D..r=2

,♦〃|“八）.〃/小在同一平面直角坐标系中的图象可能为（）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分,

9.vD的相反数是—

10.在平面直角坐标系中，点“Is*：，.h在y轴上，则m的值为

11.若一次函数射一52的图象经过点.112.«）,.仙，贝!。力.（填或“V”

12.若正数〃满足卜石尸-I,则。的值是.

13.将直线u3向上平移3个单位长度后经过点ILI）,则左的值是—

14.如图是一个无盖的长方体形盒子，长48为9cm,宽BC为3cm，高CO为

5°加，点M在棱力4上，并且.|.T/=3c川.一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的

点M爬到盒顶的点D,则蚂蚁要爬行的最短路程是m.

15.在如图所示的直角坐标系中，四边形力88各个顶点的坐标分别是.11.2）,8（35,。、.%。2-2）,

则这个四边形的面积是.

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16.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给由了“赵爽弦图”.将图①中的两个赵爽弦图

中的八个直角三角形和两个正方形按图②方式摆放，围成正方形记直角三角形较短的直角边为

较长的直角边为从斜边为c,空隙处正方形力BCQ,正方形EFG〃的面积分别为、，士1$•,、「，则下

列四个结论:①与=R&=品②若c=加，则Si=*；③。G=2.4F;④/”+/=

其中正确的结论有______.（只填写序号即可）

MEN

图①图②

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题16分）

计算：

11、i、-、、；

1211：\32112-\31;

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18.(本小题6分)

数学之美无处不在，利用某些有美联的直角三角形，我们可以画出如图所示的毕达哥拉斯螺旋线.

观察图形和式子，解答下列问题：

()A\=1,

4

21

oH-(vI-2,s,=2-

咚

()A\-(<2)-4-1-3,S：

西

OA\■1■4.S3■

II)0An=_____,5,=(用含〃的代数式表示)：

1力若在这组三角形中有一个三角形的面积是v5，则它是第_____个三角形;

131求：5;--S；+•••4.£的侑.

19J本小题8分I

如图，每个小正方形网格的边长均为1.己知力，8两村庄的坐标分别是I1.2),2.2i.

小根据题意，画出相应的平面直角坐标系；

(21若村庄庆。关于歹轴对称，则村庄C的坐标是；

I：”一辆汽车在y轴上行驶，当行驶到点P时.，汽车到48两村庄的距离和最短，请在图中画出点P,并

求出此时汽车到48两村庄的距离和.

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20.（本小题8分）

勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一.如图，有一架秋千，当它静止

在,4。的位置时，踏板离地的垂直高度为将秋千力。往前推送2〃?，到达片8的位置，此时，秋千的

踏板离地的垂直高度为I；，，，，秋千的绳索始终保持拉直的状态.

11求秋千力。的长度：

白如果将秋千力。往前推送1•〃〃，求此时踏板离地的垂直高度为多少？

21.（本小题8分）

如图，直线/是一次函数=b的图象，回答下面问题：

（1）当了=5时，0=；

（2）当x时，1/>1；

（31直线/与两坐标轴所围成的三用形的面积为；

II）写出〃?的一个值，使x从0开始逐渐增大时，函数“二〃”（m的值比函数1/上“，的值先到达2

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y

0

22.i：木小题8分I

如图，在平面直角坐标系中，长方形力8。。的顶点C,B,。的坐标分别是ML。1,（丘山.点/从点

力出发，沿48方向在线段48上匀速运动，速度为每秒1个单位长度：同时，点N从点。出发，沿。。方

向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度•设运动时间为，川（“，•⑴h请直接写出4点的坐标；

⑵当A/、“C时,求/的值；

若以点4。，M,N为顶点的四边形的面积是16,求点历的坐标.

y拳

BM<-A

11v1I

___cNID.

O―►x

23.（本小题8分）

【激活经验】

小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现：

1.1111111

1x222x3233x13I

在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请

将探究过程补充完整：

特例1：Jl==+[・l+占+

特例2：/+，+1…为Y；

特例3：（填写一个符合上述运算特征的式子）.

【发现规律】

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f+f=______.W>2.且〃为整数）

/（n1-M

【应用规律】

小A~irL_irr\r

（1）\/1+15+丞+11+云-歹,・・・，11+痂+旃

-1如果yi+干+/+yi+1+不+•••+ji+踵二刁+7的小数部分是CM,那么整数部分为

24.本小题10分）

某公共汽车线路收支差额“万元II票价总收入减去运营成本I与乘客数量/万人，之间的关系如图所示.根

据图象问答下列问题：

11该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元；

2点4的实际意义是什么？

I，I求y与工之间的关系式：

"I目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案:

方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为万元；

方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为I”）元/人.

如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额6万元J与乘客数量/I万人1之间的函数关系均发生了变

化.

①分别写出方案1和方案2的收支差额，/万元I与乘客数量，।万人।之间的函数关系式/,

②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、1+1=2,此组数据不能构成直角三角形，不符合题意；

4、下+「=下，组数据能构成比角三角形，符合题意；

Cs5--组数据不能构成直角三角形，不符合题意；

力、组数据不能构成直角三角形，不符合题意，

故选：H.

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

木题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a,b,C满足小-廿小，那么这个三角形就是直

角三角形是解题的关键.

2.［答案】C

【解析】解：:\|“、："\9»

・•・2<v5<3，

-3<-v'5<2，

•/2.5J6.25，

一一离2比较近，

由数轴可知，只有C的取值符合题意，

故选:C.

根据题意，先求出2・v5h再根据只有C的取值范围在2和3之间，即可得出结果.

本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着油量的变化而变化,

所以其中的变量是金额和油量.

故选：D.

随着加油数量的增多，金额也增加，油量是自变量，金额是因变量.据此解答.

本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型.

4.【答案】B

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【解析】解:4、3+1）+—=2」+1,是无理数,不符合题意;

8、lv受♦1）一二1,是有理数，符合题意：

。、1、&♦"X4=2+、欠，是无理数，不符合题意；

D.|V2+1）2.v-2一，是无理数，不符合题意；

故选：H.

将符号代入式子分别计算，再根据无理数的定义进行判断即可.

本题考查了无理数的定义，二次根式的混合运算，熟记无理数的定义，二次根式的运算法则是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：A、v勺=3,故该项不正确，不符合题意；

B.|-x3lJ3,故该项不正确，不符合题意；

C、_V25二一5,故该项正确，符合题意；

D、=故该项不正确，不符合题意；

故选：（\

根据二次根式的性质和立方根的性质进行解题即可.

本题考查二次根式的性质与化简、立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：若记图中目标8的位置记为），则点。的位置为।工史3I.

故选：

根据度数表示横坐标，圆圈数表示纵坐标，可得答案.

此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意得出横纵坐标的意义是解题关键.

7.【答案】B

【解析】解：根据图表可得：当JII时，”-2,

因而方程,b-2的解是，•I.

故选：

根据图表即可得出此方程的解.

本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键.

8.【答案】A

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【解析】解：/、由仍UJ•f，知：〃•U，/»1b所以。』的•“过二、四象限，交y轴正半轴，符合

如份••〃的图象，故此选项正确;

B、由加〃丁•心知：〃电力>所以见明+〃过一、三象限，交y轴正半轴，不符合如I”…

的图象，故此选项错误；

C、由W♦b知：〃A(h所以少人•〃过二、四象限，交y轴正半轴，不符合力”〃

的图象，故此选项错误；

D、由功知：〃lh所以此一外•“过一、三象限，交y轴正半轴，不符合如f'f-a

的图象，故此选项错误；

故选:A

根据一次函数的性质可依次作判断.

此题主要考查了一次函数的图象性质，关键要掌握它的性质才能灵活解题.

9.【答案】瓜

【解析】解：—\D的相反数是、2

故答案为:V2.

根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得—v々的相反数，再

与每个选项比较得出答案.

本题考查了相反数.解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上号；一

个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，()的相反数是

10.【答案】-3

【解析】解：•「点P(m+3W在y轴上,

/.m4-3=0,

解得tn3.

故答案为：-3.

直接利用y轴上点的坐标特点1横坐标为零，即可得出答案.

此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特征是解题关键.

11.【答案】<

【解析】解:・・・(♦-3>“，y随工的增大而增大，且-2<3,

(I<b,

故答案为：<.

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根据一次函数性质比较即可.

本题考查了一次函数图象上点是坐标的特征，掌握函数图象经过的点必能满足解析式是解题的关键.

12.【答案】4

【解析】解:"L

fiI，

故答案为：1.

根据二次根式的性质计算即可.

本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质：|-〃是解题的关键.

13.【答案】-2

【解析】解：•.■直线解析式为：yAv>3,

♦.向上平移3个单位后新的函数解析式为y卜/，：，•3又一6,

即向上平移3个单位后新的解析式为“人」•g

.•将直线1/八•3向上平移3个单位长度后经过点11.II,

,,.4・*+6，

.」•=一2,

故答案为：-

根据直线V八-3向上平移3个单位可知新的解析式为卜，•6，再根据新函数解析式经过点IL八即

可解答.

本题考查了平面直角坐标系与平移，掌握平移的规律是解题的关键.

14.【答案】10

【解析】解：如图1，

,

..

■

.

.

MD■/怦一3+&’.小■V106(cm)>

如图2,

第11页，共21页

c

AMB

图2

DM；+3尸1仙一，

•//106>10,

蚂蚁要爬行的最短路程是2,，，.，

故答案为：11)

分为两种情况展开，根据勾股定理求出线段DM的长度，再进行比较即可.

本题考查/平面展开•最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短

路线.

15.【答案】31

四边形力BCD的面积=矩形MNG”的面积〜1/1V的面积"的面积.「/)〃的面积上IDC；的

面积

=56——x5x3——x3x5~~x6x2——x2x-l

2222

=56-15-6-1

■3l.

故答案为：31

第12页，共21页

利用分割法求解把四边形面积转亿为矩形面积减去周围四个三角形面积即可•

本题考查三角形的面积，解题的美键是学会利用分割法求四边形面积・

16.【答案】®@®

【解析】解：记直角三角形较短的直角边为。，较长的直角边为〃，斜边为C,则小正方形的边长是力〃，

•.正方形力4CO的面积、产，正方形EFGH的面积、.M，

故①不符合题意；

•/c2a，

：.>inZ//\l/"I

c2

/.Z//.WE30，

•.ZA///h90,

：.MH《〃£，

b-\3H»

/.b23<r»

5|-3S»,

故②符合题意；

,/AF-b-«,

AG!(iAFa\b-a)24ib,

DC=.W；-4G=b-(2o-6)=2(6-</1,

IK；2”，

故③符合题意；

.・.$+%==

，.正方形MNPQ的边长是2c,

:正方形MVP0的面积-2--I，,

「十小十*'2M.>、'日二Q“v八/»

故④符合题意：

,正确的是①0)③④，

故答案为：②③©.

设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是。，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是力〃，

由正方形面积公式，勾股定理，即可解决问题.

第13页，共21页

本题考查勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是4,较长直角边

是从斜边是C，用。，b,。表示出有关的量，从而可以解决问题.

17.【答案】解：111/运一4

=3V2-2v2

-瓜

⑵（通+2）（2-次）

=1-3

=1；

=-1-2

痣-3;

(4)v无一端+v砺

=2\3-2内+4v/3

=Iv^.

【解析】门1先把各根式化为最简二次根式，再算减法即可；

2利用平方差公式进行计算即可；

印根据二次根式混合运算的法则进行计算即可；

U先把各根式化为最简二次根式，再算加减即可.

本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.

18.【答案】、:20

【解析】解：1,

*1

OA\-(vTr+1-2，s2-

咚

，可+1-3,S2

g

OAi■(^/3)2+1-

第14页，共21页

==、竽，

故答案为：2/3，理：

*设它是第〃个三角形，

由II，可得

2

.•ri2。，

答：它是第20个三角形，

故答案为：20；

(…考，

.,局弋

S；+S；+5：+.••+S：

■：(1+2+3+4+.・.♦〃)

1n(n4-1)

=-x--------

42

-加+1)

8

：1।根据题意找出规律，然后根据规律进行解答即可:

:，根据II，的结论列出方程，解方程求解即可;

E由可得、::，再此规律列出算式，最后根据有理数的加法法则进行简便计算即可.

4

本题主要考查了勾股定理、数字的变化规律、二次根式的性质等知识点，解题关键是根据题意找出规律.

19.【答案】(-2,-2)

【解析】解：；h建立平面直角坐标系如图所示.

(2)•.村庄8,。关于y轴对称，

.・.村庄。的坐标是I2.21.

故答案为：I2.21.

131如图，连接4C交y轴于点P,连接BP,

第15页，共21页

此时，.1+PH-P('IC,为最小值，

则点P即为所求.

由勾股定理得，-\(>--r?、13»

此时汽车到48两村庄的距离和为2、13.

门,1根据点力，8的坐标建立平面直角坐标系即可.

2关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案.

131连接4C交y轴于点P,则点P即为所求.利用勾股定理求出力C的长，即可得出答案.

本版考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理是解答本

题的关键.

20.【答案】解：⑴由题意知8F_L7m,BC-2m,DE-

•,.1/Eh,13C1At：,

，四边形4CEb是矩形，

：.CLUI17，

J.CD=CE-PE=1.7-0.7=\m

Z.ICB=90，

设秋千的长度为xm,则/lb.11-AOCDUlini,

在跳」.中，由勾股定理得JBd.18,即uJ,

解得了:,

即秋千力。的长度是，〃；

:21设=.("〃时,则「E-vni,

DE0.7m,

.\('D=CE-DE=(“0.7)m,

5

由11।可知，Al)-AH—.」”，

ICAl)(I)--II7.13.2*”，

在出““.中，BC1.5m,

由勾股定理得.M』-U7;,则2.5-\

第16页，共21页

解得(/=12,

即此时踏板离地的垂直高度为I2，〃,

【解析】“)由题中条件，得到四边形8C"是矩形，从而得到乙=设秋千的长度为工小则

AB-AD-jm，\(AD•(D1/1卜“，由勾股定理列方程求解即可得到答案;

2设/"「小时，则(N〃加，利用I、的绳长求出目一2-!/」〃，利用勾股定理列田方程求出y

值即可.

本题考杳勾股定理的应用等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键.

21.【答案】-6V：4

【解析】解：U把I，21,仲.11代入y，，一3

解得:{：：/，

••直线/的解析式为射-2,，I,

当」—3时，V-'-•1"»*

故答案为：6;

12Ift?2r.I】得，.r

.•.当/<:时，y、1,

故答案为：，,；

|：“在!’JrI中，令u丁I),贝！JL,I0,

解得了2，

，直线/与两坐标轴所围成的三角形的面积为：•2・II,

故答案为：4；

Ui2J-I=2,解得1r二3;

IU.I2,解得./-,

m

函数u〃/〃i•。的值比函数v3”的值先到达2,

.一<3,

m

',1in0>

第17页，共21页

2

・••m

•J

利用待定系数法确定解析式，把，5代入即可得到)，的值；

2根据题意得到2/II,解不等式即可；

求得与x轴的交点的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；

；h确定“2时的x的值，根据题意得到2-3,解不等式即可求得.

m

本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法

是解题的关键.

22.【答案】解：⑴由题意得：川6.5；

12)•・•四边形”8是矩形,

AB//CD,

当V、〃「时，四边形8cMW是平行四边形，

BMC.V,

==，

I2;

Ml分两种情况：

①当()、/•；<时，点N在边CO上，四边形力。MW是梯形，

，点力，D,",N为顶点的四边形的面积I.2/16,

9

*»

②/：f<(耐，点N在8的延长线1二，

.・.点力，D,M,N为顶点的四边形的面积-：・1,•”~46—16,

第18页，共21页

综上，点M的坐标为.h或l；.ii.

【脩析】11直接根据点〃和。的坐标可得结论：

口先得BY6-2f,(\23证明四边形8CNM是平行四边形，则田/：(、,列方程可解答；

以1分两种情况：①当()，/•3时，②当3,/6时，根据梯形的面积公式列方程可解答.

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解

题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题.

23.【答案】+/1+*1+占Y皿需5

【解析】解:【激活经验】由二次根式的运算规律可得，

L~1.1,11

山"+干="厂干

【发现规律】由二次根式的运算规律可得,

证明：左边=

ln2(n-I)2(n-I)2

\ir(n-I)2r»2(n—I)2n!(n—I)2

/rJ-2”、+3/二2〃+I

=V/…)’

“―2/+2”？+-2”+I

I—I)1

In4—2n3(n-1)+(n—I)1

f亦(,|二1尸

=/【-—s-评

―V

na-(w1)

n(n-1)

n(n-1)4-n—(n-1)

n(n—1)

第19页，共21页

=1+-^—右边:

n-1n

故答案为：1

【应用规律】（岫+身!+14+>…+

,1111,1

=1+———+1+・・―++I+.....

122320232024

・1+1+・・・+I+（1-T—）

2024

21>2r

,Mrrt

故答案为