2024-2025学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024・2025学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.（3分）如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形是（）

A.圆柱B.球C.半球D.圆锥

2.(3分)下列运算结果正确的是(

A.-2a=aB.-mir+2n-in=mtr

C.-2Cab-a)=-2ab-2aD.x+2y=3xy

3.（3分）中国是瓷器的故乡.如图是南宋青白瓷斗笠碗，以青白瓷为主题而设计，官窑制品.从上面观

4.（3分）宇宙浩瀚无垠，它的宏伟与玄奇超乎人类想象.为更方便地计量太阳系中各天体间的距离，国

际天文学联合会在1976年颁布了被称为“天文单位”（简写为4U.）的日地距离，并于2012年将其

长度确定为149597870700米，可近似看作I.5X10U米.八大行星中，离太阳最远的海王星到太阳的平

均距离为3（）天文单位，即。米，则〃的值可近似为（）

A.30X1011B.4.5X1012C.3X1012D.5X109

5.（3分）下列等式变形正确的是（）

A.若3x=2x-1,WO3x+2x=-1

B.若2x=5,则Y=—

5

第1页（共25页）

C.若2x=3-（x-1）,则2x=3-x+l

D.若l±l_x=l，则x+l-3x=l

3

6.（3分）如图，数轴上的点48表示的数分别是a,h.如果HVO,那么下列结论中正确的是（）

AB

II»

ab

A.a+h>0B.a-b>0C.a+\>hD.b>a-1

7.（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几

何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余

9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（）

A.3x-2=2x+9B.3(%-2)=2x+9

8.（3分）某校举办校园微型模拟定向越野赛，参赛者要依靠标有若干检查点和方向线的地图并借助指北

针，自己选择行进路线，依次寻找各个检查点，用最短时间完成比赛者为优胜.小明和小华用同款手机

自带的指北软件参赛，指北软件屏幕里有一条黑色的竖线，这条线所指的方向是参赛者当前的行进方

向.图1和图2分别是小明和小华在比赛中某时刻指北软件的屏幕截图，根据屏幕截图数据，下列说法

正确的是（）

A.小明当时的行进方向是东偏北300方向

B.小华当时的行进方向是南偏西240°

C.小明当时的行进方向是东北方向，小华当时的行进方向是西南方向

D.小明当时的行进方向与小华当时的行进方向所成角可能是150。

9.13分）当x取不同值时对应的多项式4mx+3n的值如表所示，贝］关于x的方程4mx+3n+2=0的解是（）

第2页（共25页）

10.（3分）如图，力，B,C,。是平面内的四个点，产为该平面内一点，给出下面三个结论:

①若PA=PB,则尸为线段48的中点；

②若「C-a+l,PD-2a,CD-3a,则点。在直线外；

③若点。到点4B,C,。的距离的和最小，则满足条件的点尸有且只有一个.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A•9D

A.①③B.③C.①②D.②③

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）《荀子•劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利.大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直,

刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利.如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点儿从依此

弹出线段再加工，其依据为.

B

12.（3分）请你写出一个关于x的二次三项式：.

13.（3分）如图，O是直线48上一点，ZJOC=35018*,则/8OC=

14.（3分）关于x的一元一次方程x+2〃=5的解为3,则a的值为.

15.（3分）已知N/O8在正方形网格中的位置如图所示.设N4O8的余角为仇则N4O86.（填

或“=”)

第3页（共25页）

16.(3分)甲、乙两人在48两条生产线上加工产品.在力生产线，甲第一天能加工10件］产品，每

多连续加工一天，加工的件数(最少2件)比前一天少2件，乙第一天能加工8件力产品，每多连续

加工一天，加工的件数(最少2件)比前一天少1件；在B生产线，甲每天加工7件8产品，乙每天

加工8件〃产品.在一天内，甲和乙只能选择在力，8中的一条产品线工作(甲和乙的选择不能相同),

且在一条产品线连续工作少于3天时不可改变产品线.

①甲在/产品线连续工作5天能加工力产品件；

②一件/产品、一件8产品组成一套产品，则20天最多能加工套产品.

三、解答题(本题共52分，第17・18题，每小题6分，第19-22题，每小题6分，第23题5分，第24

题6分，第25题6分，第26题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.(6分)计算：

(I)3X(-2)-(-8)+|-2|；

⑶3X(-2)3+(-12)

4

18.(6分)解下列方程：

(1)3x-3=x+l；

(2)

32

19.(4分)先化简,再求值,2(a2b甘ab?)-3(a?b-l)-2ab其中h=3.

20.(4分)如图，已知平面上三个点4B,C,请按要求完成下列问题：

(1)画射线48；

(2)画直线ZC；

(3)连接8C,并在线段8c的延长线上取一点。，使80=28G

(4)在的内部画射线C£,使N/iCE>NDCE.

B

・

AC

••

21.(4分)2024年11月3日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分

信息.

。.比赛共吸引了30000名选手参赛,比赛路线全长42.195公里；

b.组委会在沿途共设置8个补给站，自5公里起，每隔5公里设置一个；

c.组委会在起点、终点、5府?处、32.5M?处、34如?处均设立固定医疗站.赛事沿途自5公里起，至

32.5公里，每隔2.5公里设置固定医疗站；自34公里，每隔1公里设置固定医疗站.

第4页(共25页)

根据以上信息，回答下列问题:

（1）补全如下补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）;

公里点5km75km10A-w12.5痴15km17.5财20k〃22.5km25km27.5km30km32.5km35km37.5km40km

补给站JJJJJ

（2）下列说法中，所有合理说法的序号是.

①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置19个；

②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为40公里；

③自4公里起至33公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数量的两倍.

22.（4分）点C在直线48上，BC」AC.

2

（I）如图，若点。在线段力力上，且力〃=9,求线段力。的长；

（2）若M是线段力8的中点，MC=3,直接写出线段44的长.

।।

AB

23.（5分）长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康.周六早上小健和小乐相约去奥森跑步.小

健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时刻手表显示信息分别如图1和图2所示.

小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远1.2公里，所以小乐决定骑自行车前往，小

乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的3倍，最终小乐与小健在同•时刻到达奥森.求小健步行的

平均速度和平均步长.

佟h图2

24.（6分）如果关于x的一元一次方程的解x="是整数，则称该方程为“整/'方程；如果不是整数，则

称为“分/'方程.例如方程2x・1=3是“整2”方程，方程3x+3=2是“分■工”方程.

3

按此定义解答下列问题：

（1）方程3x-2=-6-5工是方程；

（2）已知“为整数，试判断关于x的方程k（x+5）=3x-2是否可能是“整3”方程，并说明理由；

第5页（共25页）

(3)若关于x的方程〃?x+〃=px+g是“分一-—”方程，则关于x的方程nx-lm=qx-L是

202533

方程.

25.(6分)对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a,b,与|“・b|两数中至少有一个

在这组数中，则称这组有理数是“好数组”.

(1)2,3,5“好数组”，1,2,3,5“好数组”；(填“是”或“不是”)

(2)若2,4,8,八是“好数组”，求山人的所有可能值；

(3)若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”.

26.(7分)设NXOC=a,ZCOfi=P(0°<a<180°,0°<p<180°),OD,OE分别是N/1OC,/COB

的角平分线，记/QOE=6.如果a,8互补，或者0,8互补，则称N4OCNCO8是一对“分补角”.

(1)如图1,//。8=120°,在内，ZAOC=50°.分别作NIOC,NCO8的角平分线

OD,OE.则NQOE=°,ZAOC,ZCOB一对“分补角”(填“是”或“不

是")；

(2)若乙40c=120°,NCO4=B(0°<p<90°),且N49C,NCO8是一对“分补角”，求0的值；

(3)如图2,ZAOB=\50°.若4OC和NCO8是一对“分补角”，直接写出N4OC的所有可能值.

图1图2

第6页(共25页)

2024・2025学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.（3分）如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形是（)

B.球C.半球D.圆锥

【分析】由平面图形的折叠及圆锥的展开图特点作答.

【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个立体图形是圆锥.

故选：D.

【点评】本题考查了几何体的展开图，熟悉圆锥的展开图特点，是解答此题的关键.

2.（3分）下列运算结果正确的厚（）

A.3Q2-2a=aB.-mn2+2n2m=nui2

C.-2（ab-a）--lab-2cD.x+2y=3xy

【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项.

【解答】解:力、3『-24人，故4错误；

B、-〃，?2+2"2"=〃〃?2,故B正确；

C、-2（2-〃）=-2a2a2-2ab-2a,故。错误；

。、"2y六3中，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考杳了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则.

3.（3分）中国是瓷器的故乡.如图是南宋青白瓷斗笠碗，以青白瓷为主题而设计，官窑制品.从上面观

察这个图形，得到的平面图形是（）

第7页（共25页）

【分析】根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可.

【解答】解：这个青白瓷斗笠碗从上面看所看到的图形为:

故选：C.

【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的

关键.

4.（3分）宇宙浩瀚无垠，它的宏伟与玄奇超乎人类想象.为更方便地计量太阳系中各天体间的距离，国

际天文学联合会在1976年颁布了被称为“天文单位”（简写为4U.）的日地距离，并于2012年将其

长度确定为149597870700米，可近似看作1.5X10“米.八大行星中，离太阳最远的海王星到太阳的平

均距离为30天文单位，即a米，则a的值可近似为（）

A.30X1011B.4.5X1012C.3X1012D.5X109

【分析】科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中IWHIVIO,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成4时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃

是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解：a=30X1.5X10,1=4,5X1012,

故选:B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。义1中的形式，其中lW|a|V10,

〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

5.（3分）下列等式变形正确的是（）

第8页（共25页）

A.若3x=2x-1,则3x+2x=-1

B.若2x=5,则x=2

5

C.若2x=3-（x-1）,则2x=3-x+l

D.若l±l_x=l，则x+l-3x=l

3

【分析】利用等式的性质逐项判断即可.

【解答】解：若3x=ZLl,则3x-2»=-l,则力不符合题意；

若2x=5,则工=呈，则8不符合题意：

2

若2x=3-（x-1）,则2r=3-x+l,则C符合题意；

若也-x=l，则x+l・3x=3,则。不符合题意：

3

故选：C.

【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关健.

6.（3分）如图，数轴上的点48表示的数分别是a,b.如果必VO,那么下列结论中正确的是（）

AB

11»

ab

A.a+b>0B.a-b>0C.D.b>a-1

【分析】利用数轴知识解答.

【解答】解：由数轴图可知，a<O<b,

:・a+b的值是正是负不能确定.a-b<0,。+1与b的值大小不能确定，b>a-1,

・••只有选项。正确符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识.

7.（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几

何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余

9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（）

A.3x・2=2x+9B.3（x-2）=2"9

【分析】根据“每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘”

即可列出相应的方程.

【解答】解：由题意可得：3（x-2）=2x+9,

第9页（共25页）

故选：B.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解

题的关键.

8.（3分）某校举办校园微型模拟定向越野赛，参赛者要依靠标有若干检杳点和方向线的地图并借助指北

针，自己选择行进路线，依次寻找各个检查点，用最短时间完成比赛者为优胜.小明和小华用同款手机

自带的指北软件参赛，指北软件屏幕里有一条黑色的竖线，这条线所指的方向是参赛者当前的行进方

向.图1和图2分别是小明和小华在比赛中某时刻指北软件的屏幕截图，根据屏幕截图数据，下列说法

正确的是（）

A.小明当时的行进方向是东偏北30°方向

B.小华当时的行进方向是南偏西240。

C.小明当时的行进方向是东北方向，小华当时的行进方向是西南方向

D.小明当时的行进方向与小华当时的行进方向所成角可能是150°

【分析1分别根据方向角的定义判断即可.

【解答】解：/、小明当时的行进方向是北偏东30°方向，故不符合题意：

4、小华当时的行进方向是南偏西60°,故不符合题意；

C、小明当时的行进方向是东偏北30°方向，小华当时的行进方向是南偏西60。，故不符合题意；

。、小明当时的行进方向与小华当时的行进方向所成角可能是150°,故符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了方向角的定义，理解定义是关键.

9J3分）当x取不同值时对应的多项式4加丫+3〃的值如表所示，贝］关于x的方程4妨+3〃+2=0的解是（）

x-2-10123

第10页（共25页）

4mx+3n141062-2-6

A.14B.10C.2D.6

【分析】由表格可知，当x=0B寸，4〃次+3〃=6,则可得〃=2,当x=l时，4/〃x+3〃=2,把〃=2代入

求出机=-1,最后把，〃=-1,〃=2代入4mx+3〃+2=0,得出关于x的一元一次方程，解方程求解即

可.

【解答】解：由表格可知，当x=0时，4nix+3n=6,

A3/2=6,

解得：〃=2.

当x=1时，4mx+3n=2,

A4w+3X2=2,

解得：ni=-1,

把加=-1,H=2代入4mx+3〃+2=0,得-4x+3X2+2=0,

即-4x+6+2=0,

移项、合并同类项，得-4x=-8,

将系数化为I,得x=2.

故选：C.

【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键.

10.（3分）如图，A,B,C,。是平面内的四个点，P为该平面内点，给出下面三个结论：

①若PA=PB,则尸为线段48的中点；

②若PC=〃+1,PD=2a,CD=3a,则点尸在直线CO外；

③若点尸到点4B，C,。的距离的和最小，则满足条件的点尸有且只有一个.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A•9D

A.①③B.③C.①②D.②③

【分析】①根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即可判断；

②分情况讨论，即可判断：

③两点之间，线段最短，即可判断.

第11页（共25页）

【解答】解：①若PA=PB,则。在线段力6的垂直平分线上，故①错误:

②第一种情况：VPD+PC=2a+a+1=3^+1,CQ=3a,

:.PD+POCD,

，点尸在直线C。外：

第二种情况：若点P在直线CD上且在点。的右侧,

贝ijPC=PD+CD,

则”+1=2。+3〃，

解得：«=—.

4

故②错误；

③根据两点之间，线段最短，

A•、

、■/D

、、、p，/

.✓、、

✓、

C・''''、

・B

如图，满足条件的点夕见上图，且只有这一个,

故③正确.

故选8.

【点评】本题主要考查两点间的距离，理解两点之间，线段最短是解题的关键.

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）《荀子•劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利.大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直,

刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利.如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点力，依此

弹出线段再加工，其依据为两点确定一条直线.

B

【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线进行解答.

【解答】解：木匠师傅欲做一工件，于木板.上确定两点4,8,依此弹出线段再加工，其依据为两点确

定一条直线.

故答案为：两点确定一条直线.

【点评】本题主要考查的是直线的性质：两点确定一条直线，掌握直线的性质是解题的关键.

12.（3分）请你写出一个关于x的二次三项式：N+x+1.

第12页（共25页）

【分析】根据二次三项式的概念解答即可.

【解答】解：只要多项式的次数为2,是三项式即可，例如：,，+什1（答案不唯一，如

【点评】本题是开放型题目，答案不唯一，解答此题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项

的次数.

13.（3分）如图，。是直线48上一点，N4OC=35°18',则/8OC=144.7°.

【分析】根据题意列式计算即可.

【解答】解:Z5OC=180°-35°18,=144°42'=144.7°,

故答案为：1447

【点评】本题考查度分秒的换算，角的概念，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键.

14.（3分）关于x的一元一次方程x+2a=5的解为3,则。的值为J.

【分析】将x=3代入方程x+2a=5,得到关于。的一元一次方程并求解即可.

【解答】解：将x=3代入方程x+2a=5,

得3+2a=5,

解得。=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键.

15.（3分）己知N/1O4在正方形网格中的位置如图所示.设N4O4的余角为。，则408>0.（填

“V”或“=”）

【分析】取格点C、连接/C、DC、OC、OD,由网格特征可知：AO=OD=CD=AC,ZAOD=

90°,四边形ODC力是正方形，得NAOC=NCOD=45°,由N4OB=N4OC+NCOB=45°+N

COB,ZBOD=ZCOD-ZCOB=45°-ZCOB,可得N4OB>8.

【解答】解：如图，取格点C、D,连接4。、DC、OC、OD,

第13页（共25页）

由网格特征可知：AO=OD=CD=AC,^AOD=90°,四边形OQC4是正方形，

/.ZAOC=^COD=45°,N4OB+NBOD=90°,

•・•N/O8的余角为。，

/.ZBOD=e,

VZAOB=ZAOC+ZCOB=45°+ZCOB,

NBOD=NCOD-NCOB=45°-/COB,

：.ZAOB>G.

故答案为：>.

【点评】本题考杳角的大小比较，掌握正方形的特点是解题的关键.

16.（3分）甲、乙两人在48两条生产线上加工产品.在4生产线，甲第一天能加工10件力产品，每

多连续加工一天，加工的件数（最少2件）比前一天少2件，乙第一天能加工8件1产品，每多连续

加工一天，加工的件数（最少2件）比前一天少1件；在〃生产线，甲每天加工7件4产品，乙每天

加工8件4产品.在一天内，甲和乙只能选择在48中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同）,

且在一条产品线连续工作少于3天时不可改变产品线.

①甲在/产品线连续工作5天能加工月产品30件；

②一件/产品、一件8产品纽成一套产品，则20天最多能加工⑸套产品.

【分析】（1）由题意列出算式计算即可；

（2）根据题意知甲在小生产线连续工作3天最多能加工4零件24（件），甲在4生产线连续工作3天

最多能加工4零件21（件），乙在力生产线连续工作3天最多能加工力零件21（件），乙在4生产线连

续工作3天最多能加工，零件24个，故每3天甲、乙轮流生产可使小〃零件的数居相同，最后两天

甲生产力零件18件，乙生产B零件16件，再列式计算即可.

【解答】解：（1）由题意可得：甲在力生产线连续工作5天最多能加工力零件为：10+（10-2）+（10

-2X2）+（10-2X3）+（10-2X4）=30（件），

故答案为：30：

（2）•・•一个力零件、一个4零件组成一套产品，

・••20天48两种零件何时生产出数量最多，

第14页（共25页）

•・•甲在4生产线连续工作3天最多能加工彳零件10+（10-2）+（10-2X2）=24（件），甲在8生产

线连续工作3天最多能加工4零件3X7=21（件），

乙在月生产线连续工作3天最多能加工力零件8+7+6=21（件），乙在5生产线连续工作3天最多能加

工B零件8X3=24个，

・••每3天甲、乙轮流生产可使48零件的数量相同，最后两天甲生产力零件18件，乙生产8零件16

件，

工20天最多能加工24+21+24+21+24+21+16=151（套）产品,

故答案为：151.

【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式解答.

三、解答题（本题共52分，第17-18题，每小题6分，第19-22题，每小题6分，第23题5分，第24

题6分，第25题6分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（6分）计算:

（1）3X（-2）-（-8）+|-2|；

⑵3X（-2尸+（-12）

4

【分析】（1）先算绝对值，再算乘法，最后算减法即可；

（2）先算乘方，再算乘除，最后算加法即可.

【解答】解：（1）原式=-6+8+2

=4：

（2）原式=3X（-8）+（-12）xA

3

=-24-16

=-40.

【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

18.（6分）解下列方程：

（1）3x-3=x+1；

【分析】（1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；

（2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可.

【解答】解：（1）3x-3=x+l,

移项、合并问类项，得2x=4,

第15页（共25页）

将系数化为1,得x=2：

去分母，得2(x+1)=3-6x,

去括号，得2x+2=3-6x,

移项、合并同类项，得8x=I,

将系数化为1,得乂=工.

8

【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键.

19.(4分)先化简,再求值,2(a^b+~ab2)-3(a2b-l)_2ab2_l,其中b=3.

【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可.

【解答】解：原式=2a2b+aZ>2-3a2b+3-lab1-1

=-crb-。庐+2：

当a=」，力=3时，

3

原式=-(-X)2X3-(-X)X32+2

33

=-工+3+2

3

=11

【点评】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

2().(4分)如图，已知平面上三个点力，B,C,请按要求完成下列问题：

(1)画射线力8；

(2)画直线4C；

(3)连接8C,并在线段8c的延长线上取一点。，使8O=28C；

(4)在//CO的内部画射线CE,使/力CE>NQCE.

B

・

AC

••

【分析】根据直线，射线，线段的定义画出图形即可.

【解答】解：(1)如图，射线力8即为所求

(2)如图，直线力C即为所求；

(3)如图，点。即为所求；

第16页(共25页)

B

A

【点评】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义，解题的关键是理解直线，射线，线段的

定义.

21.（4分）2024年11月3日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分

信息.

a.比赛共吸引730000名选手参赛，比赛路线全长42.195公里；

b.组委会在沿途共设置8个补绐站，白5公里起，每隔5公里设置一个；

c.组委会在起点、终点、5包?处、32.5右〃处、34包?处均设立固定医疗站.赛事沿途自5公里起，至

32.5公里，每隔2.5公里设置固定医疗站；自34公里，每隔1公里设置固定医疗站.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）补全如下补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）；

公里点5km7.5km\0km12.5面15km\7.5km20km22.5km25km27.5km30km32.5km35km37.5km40km

补给站VVJJJJ

（2）下列说法中，所有合理说法的序号是⑵③.

①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置19个：

②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为40公里；

③自4公里起至33公里的路线中，固定医疗站的数最是补给站数最的两倍.

【分析】（1）根据补给站的设定求解：

（2）根据补给站和医疗站的设定，计算求解.

【解答】解：（1）在15公里处，25公里处划对勾；

（2）除起点和终点外的固定医疗站的各数为：（32.5・5）+2.5+1+（42-34）+1+1=211个）;

同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为40公里；

「自4公里起至33公里的路线中，固定医疗站的数量为12个，补给站数量为6个，

:.自4公里起至33公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数最的两倍，

第17页（共25页）

故答案为：②③.

【点评】本题考出来有理数的混合运算，理解题意是解题的关键.

22.（4分）点C在直线48上，BC」AC.

2

（1）如图，若点。在线段46上，且力4=9,求线段力。的长；

（2）若例是线段48的中点，MC=3,直接写出线段48的长.

।।

AB

【分析】（1）根据线段中点的定义进行计算即可；

（2）根据图形中线段之间的关系以及线段中点的定义进行计算即可.

【解答】解：（1）如图1,点。在线段48上，

•.•〃C=Lc,BPAC=2BC,

2

:・AB=9=3BC,

解得8c=3,

AC=2BC=6；

（2）如图2-1,・.・8C=LC,即4C=28C,

2

：,AB=AC+BC=3BC,

•・•点M是线段44的中点，

2

•・・"C=3,即AM-8c=3,

・・・L8-X18=3,

23

解得/2=18：

如图2-2,・・・8C=LC,

2

:.AB=BC,

•・•点M是线段的中点，

2

•・・A/C=3,即8W+8C=3,

：.LAB+AB=3,

2

解得力4=2：

第18页（共25页）

综上所述,48=2或48=18.

-------------1---------------------------•---------L

ACB

图1

4MCB

图2—1

M

-----1-----•-----1---------1-

4------BC

图2-2

【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形线段之间的和差关系是正确解答的关键.

23.（5分）长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康.周六早上小健和小乐相约去奥森跑步.小

健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时刻手表显示信息分别如图1和图2所示.

小乐出发比小健晚了3分钟，且家离奥森比小健家离奥森远1.2公里，所以小乐决定骑自行车前往，小

乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的3倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森.求小健步行的

平均速度和平均步长.

图2

【分析】设小健家离奥森x公里，则小乐家离奥森（x+1.2）公里，根据小乐骑行的平均速度是小健步

行的平均速度的3倍，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题.

【解答】解：设小健家离奥森x公里，则小乐家离奥森（x+1.2）公里，（45-30）分钟=15分钟=L、

4

时，（45-30-5）分钟=10分钟=Lj、时，

6

由题意得：红产=}X3,

~67

解得：x=1.2,

工小健步行的平均速度为1.2:工=4.8（公里/小时），

4

第19页（共25页）

V1.2公里=1200米，

・•・平均步长为1200+(2043-543)=12004-1500=0.8(米).

答：小健步行的平均速度为4.8公里/小时，平均步长为().8米.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

24.(6分)如果关于x的一元一次方程的解x=a是整数，则称该方程为“整/'方程；如果不是整数，则

称为“分方程.例如方程2.1=3是“整2”方程，方程3/3=2是“分-工”方程.

3

按此定义解答下列问题：

(1)方程3x-2=-6-5工是分」方程;

2-

(2)已知女为整数，试判断关于x的方程k(仆5)=3x-2是否可能是“整3”方程，并说明理由;

若关于的方程〃〃(〃?#〃)是“分藕■”方程，则关于的方程

(3)xa+=px+qxnx_ym=qx—是

整-675方程.

【分析】(1)移项，合并同类项，系数化为1,解出方程，就可以判断出方程是“整或“分方

程;

(2)因为k(x+5)=3x-2,求出若x是“整3”方程，即求出k二工，与〃

k-3k-38

为整数矛盾，方程上(x+5)=3工・2不可能是“整3”方程：

(3)方程〃?x+〃=px+g是“分二方程，将一代入方程得:_111

202520252025mn-2025P

解得11rp=2025,所以nx~^Tn=qx-Jp，化简为(p-m)=(q-n)x，x=4*X匹逗，求出x=-675.

q-n3333q-n

【解答】解：(1)3x-2=-6-5x,

3x+5x=-4,

8x=-4,

1

x=---；

2

方程3x-2=-6-5x是分-工方程.

2

故答案为：-L.

2

(2)不可能.

k(x+5)=3x-2,

kx+5k=3x-2,

(Jt-3)x=-2-5k,

第20页(共25页)

Xv—-—2-5k,

k-3

若k(x+5)=3x-2是“整3”方程,

则

k-3

・2・5攵=3八9,

8淡=7,

k=F

%为整数矛盾,

方程G（x+5）=3x・2不可能是“整3”方程.

（3）因为方程机x+〃=px+q是"分一--"方程,

2025

将x=」一代入方程得:

2025

11

2025小二越P+q'

]

(m-p)=q-n»

2025

"二2025，

q-n

因为nx-^-m=qx--p»

所以看(p-m)-(q-n)x»

o

1、,p-m

x=-X工—»

3q-n

x=[x(-2025)，

o

x=-675.

所以关于x的方程nx《m=qx-/p整-675方程.

故答案为：整-675.

【点评】本题考查了•元•次方程，解决本题的关键是按照接当成的步骤和方法解答.

25.（6分）对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数。，b,。+力与4两数中至少有一个

在这组数中，则称这组有理数是“好数组”.

（1）2,3,5是“好数组”，1,2,3,5不是“好数组”；（填“是”或“不是”）

（2）若2,4,8,x是“好数组”，求出x的所有可能值；

第21页（共25页）

（3）若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”.

【分析】（1）根据“好数组”的定义判断即可；

（2）根据“好数组”的定义去一一分析即可得解；

（3）根据“好数组”的定义，由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成小2a,3小4”，5a

（q是正有理数），即可求解.

【解答】解：（1）在2,3,5中，

对于2,3,2+3=5,5在这组数中，

对于2,5,|5-2|=3,3在这组数中，

对于3,5,|5-3|=2,2在这组数中，

•••2,3,5这组有理数是“好数组”，

在1,2,3,5中，

对于1,5,1+5=6,|5-1|=4,6和4都不在这组数中,

工.1,2,3,5不是“好数组”，

故答案为：是，不是:

（2）・・・2,4,8,x是“好数组”，

A2+8或|2-8|,即10或6至少一个在这个数组中,

.*.x=1（）或x=6,

当x=10时，对于4,10,4+10或|4-10|均不在这个数组中，与已知矛盾:

当x=6时,|2-4|,|2-6|,|2-8|,|4-8|,|4-6|,|8-6|均在这个数组中，

・・・2,4,8,6是“好数组”，

・・・x的值为6；

（3）由（2）的解析过程，大胆猜想：由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成。，2”，3〃,

4〃,5〃（。是正有理数），

如果5口=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为：405、810、1215、162（）、2025；

如果4a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为506.25、1012.5、1518.75、2025、2531.25；

如果布=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为675、1350、2025、2700、3375：

如果2a=2025,这五个正有理数