2024人教版八年级上册数学期末强化训练试卷3套（含答案）

人教版（2024）八年级上册数学期末强化训练试卷1

考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（

A勘c.D.

2.如果9+〃火+8=（.丫-4）（戈_2）,则〃?的值为（）

A.6B.8C.—8D.-6

3.已知〃?*=2,〃?,=5,则〃产+y值为（）

A.9B.20C.45D.m

4.如图，AC=AD,BC=BD,则有()

A.A8垂直平分C。B.CO垂直平分A8

C.A8与CO互相垂直平分D.CO平分/AC8

5.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂A8与操蚱台8c的夹角N48C=120。，支撑

臂8。为48C的平分线.物体被吊起后，机械臂A8的位置不变，支撑臂绕点8旋转一定

的角度并缩短，此时NC加＞=2乙4瓦＞,N8OC增大了10。，则NDCE的变化情况为（）

A.增大10。B.减小10°C.增大30。D.减小30。

6.如图，在VA8C中，ZAC8=9(T.VA8C绕点A项时例•旋转nr得至IJ

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△AOE(NC44<〃?o<180。).CE与AB交于点尸，设NABC=〃。，当〃?、〃满足（）条

件时，V3W是等腰三角形.

A.m=InB.n=2〃！

C.m+〃=180°或m=2nD.n=2m或tn+n=\80°

7.如图，ZA6c=ZAO3=90。，◎4二08,若BC=2,A8=4,则点。到AC的距离是（）

遇

A,近B.逑D.

65*4

8.如图，在RL^ABC与Rt^OCB中,已知NA=NO=90。，添加一个条件，不能使得

A〃C0RtQCB的是］)

B.AC=DB

C.ZABC=NDCBD.CD=BD

9.如图，在四边形44co中，AB=AD,NB4D=140。，AB_LCB于点8,ADLCD于点D,

E、尸分别是C8、CO上的点，且/石4/=70。，则下列结论正确的有（）

®DC=BC；②AADF包ABE；③EF=BE+DF；④AE平分NFEB；

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c

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在△ABC中，P、。分别是AC、AC上的点，作PRLA8,PS±AC,垂足分别为

R、5,若AQ=PQ,PR=PS,则下列四个结论：①以平分NBAC；®AS=AR；©QP//AR；

④△BRPQCSP,其中结论正确的序号为（）

A.①②③B.①©©C.②③④D.①②③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解：

①②③④

⑵分式分化简的结果是——

13.已知：根+2〃+3=0,则2叫22"的值为.

14.如图，点M是4B的中点，点P在MB上.分别以4P,PB为边,作正方形APC。和正

方形PBEF,连接加。和ME.设A尸=a,8尸=4且〃+b=10,必=20,则图中阴影部分的

面积为_________

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15.如图，在AA8C中，乙403=90"点。在8c边上，。。=5,6=2,点E是边4c所

在直线上的一动点，连接OE,将OE绕点。顺时针方向旋转60,得到。尸，连接M,则所

的最小值为.

三、解答题（本大题共8个小题，第16、17、18题每小题7分，第19、20、21题每小题

9分，第22小题13分，第23小题14分，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤）

16.分解因式及解方程

⑴分解因式：2/一8

⑵解方程：一、I-*2=、

x+33-xx-9

17.已知，如图，ABLCD,ED1CD,垂足分别为4,D,且£C=C4,ED=CB.求证：

18.在平面直角坐标系xO），中，VABC三个顶点的坐标分别是4（l,2）I（3,0）,C（6,3）.

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⑵在(1)问条件下，求△A4G的面积.

19.阅读材料：对于非零实数〃，仇若关于X的分式"心")的值为零,则解得打=4,

E又因为—=也士之=x+丝―,所以关于x的方程广的=

XXXX

a+b的解为xi=a,X2=b.

丫2+22

(1)理解应用：方程-----=3+彳的解为：Xi=_,X2=_；

x3

3

(2)知识迁移：若关于x的方程工+—=5的解为X/=小用=6,求的值；

x

4

(3)拓展提升：若关于汇的方程二，=A-x的解为内=什1,以=产十2,求4-4人2产的值.

x-I

20.如图，V48C中，CA=CB,ZACB=90°,ZA=45°,AD=CD,/AC8的角平分线

CG交BD于点G,作NF7M=/BDC,

(I)求证：△A/T匕△CGQ

⑵如图连接CT7交B。于E.求证：BDLFC

⑶若8G=10,DE=3,求△/DC的面积.

21.若a2是aABC的两边且辰3|+(64尸=0

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(1)试求小人的值，并求第三边C的取值范围.

(2)若AABC是等腰三角形，试求此三角形的周氏.

(3)若另一等腰三角形DEF,其中一个内角为x。，另一个内角为(2x-20)。，试求此三角形

的各内角度数.

22.如图1是一个长为4b,宽为。的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，

然后用四块小长方形拼成如图2的正方形.

⑴由图2可以直接写出(〃+32,g—92,而之间的一个等量关系是________.

(2)根据(1)中的结论，解决下列问题：3x+4j=10,孙=2,求标-4)，的值;

(3)两个正方形A8CO,AEFG如图3摆放，边长分别为3若/+丁=58,BE=4,求

图中阴影部分面积和.

23.(I)【图形初探】如图I,在等边V48C中，点M是AC中点，连接8W,将射线W以

点”为旋转中心逆时针旋转30。，得到射线点，，在射线上且满足连

接依，则N尸M8=;

(2)【模型探究】在等边VA3c中，点M是AC中点，点N是4c上一点，连接MV,将射

线M4以点"为旋转中心逆时针旋转。，得到射线用。，点P在射线上1=1满足PM=MN,

NMNC=6＞(30。＜。＜60。)，连接/必，PN.补全图形，求NPMN度数；

(3)【拓展延伸】在(2)中，将条件“点N是8c上一点，4％\心=。(30°＜。＜60。)”改为“点

N是射线C8上一点，/“的=。(0。＜6＜60。)”，补全图形，探究总和尸N的数量关系.

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答案详解

题号12345678910

答案ADBACCBDCA

1.A

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,

这样的图形叫做釉对称图形，这条直线叫做对称轴.

【详解】A.是轴对称图形，故A符合题意；

B.不是轴对称图形，故B不符合题意；

C.不是轴对称图形，故C不符合题意；

D.不是轴对称图形，故D不符合题意.

故选：A.

2.D

【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，先计算(1-4)(1-2)="2-6工+8,再比较即可得

到结论.

【详解】*.*x2+/?ir+8=(x-4)(x-2)=x2-6x+8,

m=-6.

故选D.

3.B

【分析】根据辕的乘方与积的乘方，同底数基的乘法法则，进行计算即可解答.

【详解】解：=2,"=5,

：.nrx^=nrxmy

=(mx)2my

=22X5

=4x5

=20,

故选：B.

4.A

【分析】由AC=AO,BC=BD,可得点A在CO的垂直平分线上，点B在。。的垂直平分

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线上，即可得A3垂直平分CO.

【详解】\AC=AD,BC=BD,

•••点人在CO的垂直平分线上，点B在。。的垂直平分线上，

.：48垂直平分。。.

故选：A.

5.C

【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设N5/)C=x,

根据题意可得NC8O=NABO=g/ABC=60。，则/。比=60。+工，物体被吊起后，可得

/CBD=2ZABD=80。,/8QC增大了10。，由//X?E=NCAO+N8/X;即可解答.

【详解】解：起吊物体前，设N8DC=x,

vZABC=120°,支撑臂B。为/ABC的平分线，

/CBD=ZABD=-/ABC=60°,

2

ZDCE=NCBD+/BDC=60。+x：

物体被吊起后，

,机械臂A8的位置不变，ZCBD=2ZABD,NC8O+/4BO=120。，

ZCBD=2Z4BD=80°,

•••N8DC增大了10°,

・•.ZBDC=x+10°,

NDCE=/C80+4DC=80°+K+10°=90°+X,

A(90°+X)-(60°4-X)=30°,

•••/QCE的变化情况为增大30。.

故选：C.

6.C

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质.根据旋转性质得出AC=AE,

AD=AB,NDAB=ZE4C=m°,根据等腰三角形的性质得出Z4EC=NACE=g(180。-〃?。),

ZADB=ZABD=180°-m°),再分三种情况进行讨论：当4/=6时，当时，

当8C=b时，分别求出结果即可.

【详解】解：连接BO,

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:将NABC绕点A顺时针旋转m0得到VAOE,

AAC=AE,AD=AB,ZDAB=ZEAC=m0,

：./AEC=NACE=g(180。-m。)=90。一gm°,

ZADB=ZABD=1(180°-m°)=90°--w°,

22

当8尸=C尸时，

贝l|NA8C=N8B=〃。，

•/ZACB=ZACE+/BCF,

Ano4-90°--/no=90°,

2

/.in=2〃；

当4"=4c时，

则ZBCF=NBFC=1(180°-/7°)=90°,

*：ZACB=ZACE+/BCF,

・•・90°--/i°+90°--m°=90°,

22

/M+n=180；

当3C=b时，点尸在阴的延长线上，不符合题意；

综上分析可知，当，〃=2〃或〃7+〃=180。时，V8C尸是等腰三角形.

故选：C.

7.B

【分析】过点。作O/UAC,垂足为尸，过点。作。G_LC5,交C8的延长线于点G,在

□△A8C中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用等腰直角三角形的性质可得

/DBA=NDAB=45。,AD=BD=2M，然后在RtZXOBG中，利用锐角三角函数的定义求

出OG的长，最后根据AWC的面积="4。的面积+“Q4的面积-4犯。的面积进行计算

即可解答.

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【详解】

解：过点。作OE工47,垂足为尸，过点。作。GJLCB,交C8的延长线于点G,

vZABC=90°,BC=2,AB=4,

AC=NW+6c2=>/42+22=2后，

vZADB=90°,DA=DB,

AB4l

:.^DBA=ADAB=45°fA。=8。=&=&=2j2,

ZA5C=90°,

ZABG=180°—ZABC=90。,

ZDBG=90°-/DBA=45°,

在中，DB=2五,

DG=DB-sin45°=2V2—=2,

2

:.^ADC的面积=AABC的面积+AADB的面积fDBC的面积,

.\-ACDF=-ABBC+-ADDB--BCDG

2222

.\ix2>/5-DF=-x4x2+-x2>/2x2x/2--x2x2,

2222

6。/=4+4-2,

还，

5

•••点。到AC的距离是竽，

故选：B.

8.D

【分析】本题考查了直角三角形全等的判定.根据直角三角形的判定方法对各选项进行判断.

【详解】解：VZA=ZD=90°,BC=CB,

・♦・A.当添加A6=C”时，可根据'、HL”判定山△A8方；

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B.当添加AC=040寸，可根据“HL”判定RsA〃（XRt/）CE；

C.当添加乙48C=NQCB时，可根据“A4S”判定RuABC^Rt„DCB.

D.当添加C。=3。时，无法判定

故选：D.

9.C

【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质（HL和SAS）等知识点,

添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

连接AC,由然_LC8、ADA.CO可得Z4BC=zS4DC=90°,进而可证得△ABC4小。。（血）,

于是可得。，故结论①正确；根据已知条件不能推出△4。9名“13£,故结论②错误；

延长所到G,使BG=。尸，连接AG,利用SAS可证得4ADF咨AABG,于是可得AF=AG,

ZDFA=ZBGA,ZDAF=ZBAG,根据角的和差关系可得/石4/=/出6=70。，进而可证

得才是可得EF=EG=BE+BG=BE+DF,故结论③止确，“J得

ZAEF=ZAEG,即4七平分Ni,故结论④正确；综上所述，即可得出答案.

【详解】解：如图，连接AC,

AB_LCB,AD上CD,

ZABC=ZADC=90°,

在RtAABC^HRt^ADC中,

AB=AD

AC=AC"

/.DC=BC,

故结论①正确；

根据已知条件不能推出AADFAABE,

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故结论②错误；

如图，延长到G,使8G=。/，连接AG,

C

AD1CD,

:.ZADF=ZABG=90°t

在△AOF和dAG中,

AD=AB

<4ADF=NABG,

DF=BG

.△AOFg“4G(SAS),

/.AF=AGf/DFA=NBGA,ZDAF=ZBAG,

•.•NE4/=70°,N3A£)=140。，

ZDAF+ZEAB=/BAD—Z.EAF=140°-70°=70°,

/.NE4G=ZE4B+ZBAG=/EAB+ADAF=70°,

/.ZE4F=ZE4G=70°,

在△以尸和AEAG中，

AF=AG

<ZEAF=NEAG,

AE=AE

.\AE4F^A£4G(SAS),

EF=EG=BE+BG=BE+DF,故结论③正确；

ZAEF=ZAEG,即4E平分4溺，故结论④正确;

综上所述，正确的结论有①③④，共3个，

故选：C.

10.A

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【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形

性质推出NQ4P=NQ以，推出NQ以=N4AP,根据平行线判定推出QP〃■即可；没有条

件证明△BRPWAQSP.

【详解】试题分析：

解：-：PRLAB,PSLAC,PR=PS,

・•・点产在NA的平分线上，ZARP=ZASP=90°t

:・NSAP=/RAP,

在RsARP和RSASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,

*：AP=AP,PR=PS,

：,AR=AS,・••②正确：

,：AQ=QP,

・・・NQAP=NQM

*：ZQAP=^BAP,

：,ZQPA=ZBAP,

：.QP//AR,・••③正确：

没有条件可证明

△BRP^/^QSP,，④错误；

连接RS,

•:PR二PS,

•・・PR_LA&PS工AC,

・••点P在NBAC的角平分线上,

・•・以平分NR4C,・••①正确.

故答案为①②③.

故选A.

11./+3x+2=(“+l)(x+2).

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【分析】由图可知拼成的大长方形面积为f+x+2x+2=f+3%+2,再进行因式分解即可.

[详解J由图得大长方形的面积为A-2+X+2.1+2=/+31+2,

故x2+3x+2=(x+l)(x+2).

【分析】本题考查了分式的约分，先将分子分母因式分解，然后再约分即可求得结果，掌握

因式分解是解题的关键.

x2+x_A(x-H)X

【详解】解:

x2-l-(x+l)(x-l)-x^T

故答案为：一三.

x-l

13.1/0.125

O

【分析】本题考查了同底数品乘法，负整数.累，掌握同底数累乘法的运算法则是解题关键，

根据同底数哥乘法法则可得2"22"=2"-2”,把〃?+2〃+3=0代入求值即可.

【详解】解：由"?+2〃+3=0,

得〃?+2〃=-3>

•2M2?”-2州+2"_2_3_[

**一-8

,故答案为：—.

O

14.35

【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握几何图形之间的数量关系对完全平

方公式做出几何解释是关您先算出S+与2=102=]%,根据阴影部分面积=正方形A8PC

的面积+正方形班FP的面积-AADM的面积-的面积进行求解即可.

【详解】解：8=10,而=20

:.(4+4=102=100,

・・・。2+/=(。+。)2-2他=100-2x20=60

VAP^a,BP=b,

AB=AP+BP=a+b,

•••点M是/W的中点，

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AM=BM=^AB=^(a+b),

，阴影部分面积二正方形同"PC的面积+正方形皮孑P的面积-AA£>M的面积-△阳/的面

积

a2+b2-■--x.—a(a+b]-—x—b(a+b)=a2+b2--t7x10--Z?xl0

22',22、744

=a2+b2«xl0--Z?xlO

44

=CT+h2-^(a+b)

=60--xl0

2

二35

・••图中阴影部分的面积为35.

故答案为：35

【分析】当E与点C重合时，点厂与等边三角形COG的点G重合，当点尸开始运动时，

△£CD^A/'GD,故点尸在线段G厂上运动，根据垂线段最短原理，当B1UGF时，BF有最

小值，根据直角三角形的性质计算即可.

【详解】当E与点。重合时，点尸与等边三角形COG的点G重合，

,/DE绕点、D顺时针方向旋转60,得到DF,

是等边三角形，

AZGDC=ZFDE=60°,ED=FD,

：.ZGDC-ZGDE=ZFDE-ZGDE,

：.4EDC=4FDG,

•••△OE/是等边三角形，

:・CD;GD,

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：.〉ECD@〉FGD,

:.EC=GF,NECD=NFGD=90。,

，点尸在线段Gr上运动，根据垂线段最短原理，当8凡LG尸时，B尸有最小值，如图，当

旋转到BF〃Z)G时,BELGF,垂足为F,过点。作。垂足为从

*/ZFGZ>90°,

・•・四边形FG。”是矩形，

AZGDH=90°,GD=FH=2f

丁ZGDC=60°,

，NBDH=30。,

•:BD=BC-CD=5-2=3,

13

22

37

：.BF=FH+BH=2+-=~,

22

故答案为：y.

16.(l)2(a+2)(a-2)

(2)无解

【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，熟练掌握平方差公式分解因式和分式方程的解

法是解题的关键.

(1)先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；

(2)先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验即可.

【详解】⑴解.：原式=2(/-4)=2(〃+2)(々-2)：

(2)解：方程两边同乘以(x+3)(x—3)得：x—3+2(x+3)=12

A-3+2A+6=12

3工=9

x=3

检验：x=3时，(x+3)(x_3)=0

・・・x=3是原方程的增根，原分式方程无解.

17.见解析

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【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、

AAS和HL)是解题的关键.根据HL即可证明结论成立.

【详解】证明：VABVCD,ED1CD,

，ZD=ZABC=90°.

在M△瓦)C和心中

(EC=CA

\ED=CB

・•・RAEDC乌RjCBA(HL).

18.(1)画图见解答；(T2)

(2)6

【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对

称的性质是解答本题的关健.

(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案.

(2)利用割补法求三角形的面枳即可.

【详解】(1)解：如图，△A8G即为所求.

由图可得，点A的坐标为(-1，2).

故答案为：(-L2)；

111959

(2)解：△ABC的面积为3乂(2+3)乂5-3又2、2-5*3乂3="^■-2——=6.

乙乙乙乙乙

19.(1)3,—；

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⑵19；

⑶12.

2

【分析】(1)根据题意可得43或广：；

(2)由题意可得〃+方=5,必=3,再由完全平方公式可得。2+炉=(小协)2&619；

4

(3)方程变形为x-1+--=k-i则方程的解为x-1=t或A-1=A1,则有K—+1)=4,r+A1=M,

x-if

整理得上什於+2,户W=4,再将所求代数式化为22_4&+2代1(户H)+4己4=4(A/)-4=12.

a卜

【详解】(1)解：［"二二。+人的解为x/=。，X2=b,

X

A—=x+-=3+三的解为43或x=^,

xx33

2

故答案为：3,—；

3

(2)解:Vx+-=5,

x

a+b=5,ab=3,

/.a2+b2=Ca+b)2-2«Z>=25-6=19；

44

(3)解：---可化为x-l+---------=k-l,

x-\x-\

4

■:方程---;=k-x的解为xi=t+1,X2=/2+2,

x-1

则有或x-l=F+l,

：,l(Al)=4,什产+l=hl,

:.k=t+P+2,f?+/=4,

R-4A+2F

=k(M)+2P

=(什»+2)(什产-2)+2r‘

=/(P+f)+4r"

=4/+4?-4

=4(Ar)-4

=4x4-4

=12.

20.(1)证明见解析:

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⑵证明见解析；

(3)15.

【分析】(1)由N4CB=90。，/ACB的角平分线CG交8。于点G,乙4=45。，得

/DCG=ZBCG=45°=Z4,从而利用ASA即可证明ZVIFD^ACGD；

(2)先证明A/=CG,从而证明ziAb且ACBG,得4B=NC3G,进而证明

NCBG+/BCE=90°,即可得证；

(3)由△AW0△C4G,得C/=AG=10,从而利用三角形的面积公式即可得解.

【详解】(1)证明：•••NACBn%。，的角平分线CG交BO于点G,ZA=45°,

・•・ZDCG=ZBCG=45°=ZA,

在△4口)和△CGO中，

ZFDA=/GDC

AD=CD,

ZA=ZDCG

・•・AAFD^ACGZ?(ASA)；

(2)证明：/\AFD^ACGD,

/.AF=CG,

在A4b和^CBG中，

AF=CG

NA=NBCG,

CA=CB

：.AACF对CBG,

，ZACF=Z.CBG,

*/ZACF+/BCE=ZACB=90°,

・•・NC5G+N3CE=90°,

/.NBEC=90。,

/.BD工FC；

(3)解：•・•△人B名△CBG,8G=10,

：.CF=BG=\0,

VBDA.FC,DE=3,

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SZ，ArF//yXC..=2-CFDE=-?X10X3=15.

21.（1）l<c<7；（2）10或11；（3）三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68

度、68度或20度、20度、140度.

【分析】（1）利用非负数的性质可求得〃、〃的值，根据三角形三边关系可求得。的范围；

（2）分腰长为3或4两种情况进行计算；

（3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x,

可得出三个角的度数.

【详解】解：（1）Via-3|+®4）2=0,

二.4=3,b=4,

b-a<c<b+a,

\1<c<7；

（2）当腰长为3时，

此时三角形的三边为3、3、4,满足三角形三边关系，周长为10；

当腰长为4时，

此时三角形的三边长为4、4、3,满足三角形三边关系，周长为11；

综上可知等腰三角形的周长为10或11；

（3）当底角为内、顶角为（2420）?时，则根据三角形内角和为180。可得

x+x+2x-20=180,

解得x=50,

此时三个内角分别为50。、50。、80。；

当顶角为X。、底角为（2420）?时，则根据三角形内角和为180。可得

x+2.x-20+2A-20=180,

解得X=44,

此时三个内角分别为44。、68。、68°；

当底角为产、（2*20）?时，则等腰三角形性质可得

x=2x-20,

解得20,

此时三个内角分别为20。、20。、140。；

综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140

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度.

22.⑴（〃+/?『一（〃一人『二4"

⑵±2

（3）20

【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，熟

练掌握完全平方公式是解题的关键.

（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；

（2）利用（1）中关系式得到（3X-4»=（3X+4），）2-4&D，，然后代入数值计算即可；

（3）先求出入=），=4,DG=BE=x-y=4,进而根据已知条件得到2町=42,则

"+），『=100,进一步得到再利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，

然后整体代入即可.

【详解】⑴解：图2中4个小长方形的面积之和等于大正方形面积减去中间小正方形的面

积，BP（«+/?）'=4ab,

（6/+/?）2-（fz-/?）2=4ab,

故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab；

（2）解：V（3.r+4y）2-（3x-4y）2=4-3x-4y=48A3',

，（3x-4»=（3x+4y『_48^f,

V3x+4j=10,xy=2,

A（3.r-4y）2=102-48x2=100-96=4,

3x-4y=zt2；

（3）解：•・•正方形A6C£>,AE尸G如图3摆放，边长分别为x,丁，BE=4,

/.x->'=4,DG=BE=：c-y=4,

/.（x-y）2=16,

x2-2xy+y2=16

Vx2+y2=58,

*.2xy=42,

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：,x2+2xy+y2=58+42=100,

.*.(x+y)2=IOO,

Vx>0,y>0,

x+y=10,

23.(1)60°；(2)作图见解析，60°；(3)PB=PN

【分析】(1)根据等边三角形的性质，得出NAMB=90"根据题意N/WO=30。，即可求

解；

(2)根据三角形的外角的性质以及等边三角形的性质，即可求解；

(3)连接8W,当N在8c上时，如图所示，以08为边在左侧作等边△尸"，连接

证明">PM^APA/(SAS),进而证明△D/?M^MN“(SAS),得出川〉—NM,然后根据等边

三角形的性质，即可得出结论.

【详解】解：(1)・・・VA8C为等边三角形，点M是AC中点，

/.BM1AC,

/.ZAM13=90°,

•••ZAMO=30°,

/.4PMB=90°-30°=60°,

故答案为：60°.

(2)如图2,即为补全图形后的图形，

,/VAAC为等边三角形,

'：ZAMN=/C+/MNC,/MNC=8,

，ZAMN=600+0,

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又：ZAMO=e,

NPMV=600+0-e=60。；

(3)解：PB=PN,理由如下，

如图所示，连接8W,当N在8C上时，如图所示，以心为边在左侧作等边连接

BM,DN,

丁点〃是AC中点，V46c为等边三角形，

工BM上AC,NMBO=30。

•••△PMN是等边三角形，

/.ZNPM=ZBP£>=60°

/.4DPN=NBPM

VDP=BP,NP=MP

:・&DPN%BPM(SAS)

/.DN=BM,ZPMB=ZPND=90°-<7,

ZMNC=仇4PNM=60°

ZBND=180。-/DNP-4PNM-4MNC=180。-(90。-6)-60°-6=30。

/.NDNB=/MBN=30。,

在,ADBNHMNB中,

BN=NB

«NDNB=NMBN=3U。

DM=BM

・•・△/MN%MVA(SAS)

/.BD=NM

XV/DB./NM都是等边三角形，

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PB=PN）

同理可得ADBN%MNB（SAS）则DB=NM

JPN=PB.

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人教版（2024）八年级上册数学期末强化训练试卷2

考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.在以下四个标志中，是轴对称图形的是（©）后

2.若三角形的三边长分别是4、7、a,则。的取值可能是（）

A.1B.2C.3I）.4

3.下列运算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.a3-a4=a]2C.（«3）4=a12D.（ab）2=ah2

2Y

4.把分式中的X、y都扩大〃，倍（加#0）,则分式的值（）

x-y

A.扩大〃?倍B.缩小加倍C.不变D.不能确定

5.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.x2+2x+l=x(x+2)+1B.a(2a-4/?)=2a2-^ah

C.+1=1D.x-2.x)'=x(x-2y)

6.如图，在△4BC中，AB=AC,4=30°,点。是/IB的中点；过点。作OEJ.48交BC于

点E,DE=2,则CE的长度为()

A.7B.8C.9I).10

7.如图，在4ABC和aDEF中，已有条件AB=DE,还需要添加两个条件才能使△ABC@Z\DEF,

不能添加的一组条件是（）.

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AD

C.NA=ND,NB=NED.BC=EF,AC=DF

8.如图，在函中，点5尸分别是边回上两点，皮垂直平分/切，用垂直平分力C,连接

AEyAF,若/力仁115°,则N口夕的大小为（）

A.45uB.50°C.60uD.65"

9.小明和小强为端午节做粽子，小强比小明每小时少做2个，已知小明做100个粽子的时间

与小强做90个所用的时间相等，小明、小强每小时各做粽子多少个？假设小明每小时做x个,

则可列方程得（）

10090°10090八10090n10090

A.--=--B.--=—C.—=--D.--=—

x-2x+2x-2xxx-2x+2x

10.如图，把VA8C纸片沿DE折叠，当点A落在四边形48£内部时，NA与N1-N2

之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（；

A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2

C.34=2N1+N2I）.3ZA=2（Z1+Z2）

二、填空题（本题共6小即，共18分）

11.若分式‘5-"L的值为零,则x的值为______.

x+5

12.多项式2m2+5mn的公因式是.

13.若丁+（m—l）x+36是完全平方式，则实数用的值为

14.如图，9.是△/1戊的中线，点〃是伙.‘边上一点，*20）,监、力〃交于点片若△力以’

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的面积为24,则五脏-&AEF等于_____.

15.如图，等腰三角形ABC的面积为24,底边8C=6,腰AC的垂直平分线所分别交边AC.

AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点,连接CM、DM.在点M

的运动过程中，VCOW的周长存在最小值为.

16.如图，在直角VABC中，ZABC=90°,以4c为边作AAC。，满足AC=AD,点E

为BC上一点、,连接AE，DE，ZCAD=2ZBAE.有下列结论：①NAC8=NAD石;

②AC_LOE；③DE-BE=BE+CE；④若C力〃44,则AE_LAE>.其中正确结论

的序号是

三、解答题（本题共9小超，共72分）

17.计算：

(1)〃(〃?-3〃)+3〃2(2)(/〃—〃)(/〃+〃)—

18.分解因式:

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⑴3--6町，+3y2：（2）〃2（〃-3）+2（3-々）.

以先化简：分.力）,再从32、3中选择一个合适的数作为a的值代入求值.

20.如图，己知：Z1=Z2，/3=/4,延长A3至反求证：△ABO0Z\A3C；

21.如图,在平面直角坐标系中,VA8C的三个顶点的坐标分别为A（2,2）,83,0）,C（5,4）

（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.

（1）请在下图中画出与VABC关于y轴对称的；

⑵求VA8C的面机

（3）在才轴上是否存在点A使得S“8c，若存在，请直接写出点〃的坐标，若不存

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在，请说明理由.

22J，〃两地相距60上〃.甲骑自行车从力地出发2小时后，乙骑摩托车从月地出发追赶甲.已

知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同时到达〃地，求甲、乙的速度.

23.如图，在VA3c中，ZC=90°,4。平分263,交C3于点〃过点〃作小工AB

于点£

(1)求证：AC=AE；

(2)若〃是A3的中点，8=4,求80的长.

24.亮亮这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴

对称图形.类比这一特性，亮亮发现像a+〃，3c活，取•等代数式，如果任意交换两个字

母的位置，式子的值不变，于是他把这样的式子命名为等交换对称式.

他还发现像cJ+从，(a—1)(。—1)等等交换对称式都可以用〃力，〃表示.例如：

222

a+b=(a+b)-2ab；(«-l)(Z?-l)=^-(«+/?)+1.于是，亮亮把〃力和〃+/;称为

基本等交换对称式.

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请根据以上材料解决下列问题:

。，代数式①/+/，②a—b,③2,④冷+”+乙1中.属于等交换对称式是

（填序号）;

（2）已知（工+。）（工+匕）=犬+〃a+〃

①若6=2,〃=一1,求（。一/?『的值;

②若〃=一4,求一^+口■的最小值.

25.在综合实践课上，李老师以“含30。的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展

数学活动.已知，在等腰纸片中，CA=CB=5,乙4c8=120。，将一块含30。角的足

够大的直角三角尺PM?V（NM=90。，NM/W=30。）按如图所示放置，顶点?在线段胡上

滑动（点。不与A,A重合），三角尺的青角动PM始终经过点C,并与C8的夹角NPCB=a,

斜边PN交AC于点O.

30°08

（1）当N8PC=100。时，。=_。；

（2）当AP等于何值时，MP的ABCP?请说明理由；

（3）在点P的滑动过程中，存在△尸CD是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角。的大小；若

不存在，请说明理由.

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【参考答案】

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.在以下四个标志中，是轴对称图形的是（）

5

【答案】A

2.若三角形的三边长分别是4、7、a,则。的取值可能是（

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

3.下列运算正确的是（）

A.a2a1=a4B.a4=a12C.(/)"=，产D.(ab)2=ab2

【答案】C

4.把分式2上Y一中的x、，都扩大〃，倍（，〃/0）,则分式的值（）

x-y

A.扩大，〃倍B.缩小，〃倍C.不变D.不能确定

【答案】C

5.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.x2+2x+l=x(x+2)+1B.a(2a-4/?)=2a2-4(ib

C."I?+I=+I).JC-2xy=x[x-2y)

【答案】D

6.如图，在。中，AB=AC,4=30°,点。是4B的中点；过点。作OE_L718交BC于

点E,DE=2,则CE的长度为（）