2024-2025学年河南省郑州市巩义市八年级（上）期末数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市巩义市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（3分）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国

古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（）

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.（2/力）3=8々6力3B.（。3）3=小

C.a3-i-a3=aD.a3*a2=a6

3.（3分）已知三角形三边长分别为2,9,x,若x为整数，则这样的三角形个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（3分）化简.2*-1的二甲息（)

X2-4x+2

工

A.B.x+2C.-1-D.x-2

x-2x+2

5.（3分）关于x的多项式9?+av+l是完全平方式，则实数a的值是（）

A.3B.±3C.±6D.6

6.（3分）如图①是Rt△43C,画Rt△力'B'C,使得内△/'C'gRt△力8c.如图②是小颖的

画图过程，已知NMB'N=9G°,则判定RlZX/'B'CgRt△4BC的依据是（）

A.SASB.ASAC.SSSD.HL

第1页（共24页）

7.（3分）将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点儿B,C,。四点在同一条直线上，E

8.（3分）如图是两把完全相同的反方形直尺，一把直尺压住射线且与射线04交于点C,另一把直

尺压住射线04且与第一把直尺交于点P,作射线OP，已知/尸08=40°,则N4CP的度数是（）

9.（3分）中老铁路项目的建设是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，

且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是

汽车的2倍.设汽车的速度为x千米/时，可列方程为（）

A422-148.422）匚422+148422,匚

A.---------F-；-=4.5BR.---------——=4.5

x2xx2x

c422422+148=45D_422-148及§二422

2xxx'2x

10.（3分）如图，在锐角三角形.48C中力8=5,△/8C的面积15,BD平分4ABC,若M、N分别是8。、

8c上的动点，则CA/+MN的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

第2页（共24页）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

21

U.（3分）使分式匚上有意义的x的取值范围是.

1-x

12.（3分）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统，已知某北斗卫

星绕地球运动的速度是7.9X10W,当卫星绕地球运行2X103s时，所走过的路程为

制.（结果用科学记数法表示）

13.（3分）若•个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是边形.

14.（3分）如图，将长方形纸片43。沿E尸折叠，折叠后点/落在，处，点A恰好与点。重合，已知

ZDFC=60°,CF=3,/£的长为.

15.（3分）如图，在△/B。中，4。为边上的中线，过点B作BEL力D,交力。的延长线于点E,过点

s

C作W_L力。于点八在D4延长线上取一点G,连接GC,使NG=NBAD,则公熙.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.⑴计算：|-2|+（-1）-（K-2025）°+（-2）3.

（2）把下列各式分解因式：

①3a2+6ab+3h2；

②x2（m-n）+（〃-〃?）.

17.如图，这是一道例题的部分解答过程，其中M,N是两个关于x,y的二项式.

【例题】化简：y（M）+2xGV）.

第3页（共24页）

解：原式=2A广炉+4~-29

注意：运算顺序从左到右,

逐个去掉括号。

请仔细观察上面的例题及解答过程，完成卜.列问题:

(1)多项式M为,多项式N为,例撅的计算结果为

(2)计算：(M)(N)+(M)2.

18.如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题：

(1)求被手遮住部分的代数式;

(2)这个等式左边代数式的值可能是零吗？如果有可能，请求出x的值：如果不可能，请说明理由.

力一92x+li+3

X--------->-----=-----

炉一6x+9i+3x—3

19.如图三角形48C,。为8c的延长线上一点.

(1)用尺规作图的方法在4c右边作N/CE,使乙4CK=NB；

(2)在(1)的条件下，若/4=55°,CE恰好平分N4C。，求N/C8的度数.

CO是高，若NA=/DCB.

(1)试判断△AAC的形状，并说明理由；

(2)如图2,若4E是△ABC的角平分线，AE、CO相交于点尸.求证：NCFE=/CEF.

21.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相

应任务.

第4页(共24页)

小巩：如图1,（1）分别以点.4,4为圆心，大于工研的长为半径作弧，两弧交于点P;

2

（2）分别作/为8,/尸历1的平分线NO,BC,交于点E；（3）作直线尸直线尸E即

为线段的垂直平分线.

简述作图理由：

由作图可知，以=08.，点P在线段48的垂直平分线上，ZPAB=ZPBA.

'：AD,6C分别是NR18,NPA4的平分线，：.Z1DAB=ZCBA.

・・・/石=8£・••点E在线段的垂直平分线上.

・•・直线PE是线段AB的垂直平分线.

小义：我认为小巩的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2.

（1）分别以点力，8为圆心，大于工研的长为半径作弧，两弧交于点P；

2

（2）分别在线段必，尸8上截取PC=P。；

（3）连接力£>,BC,交点为£；

（4）作直线P£直线即为线段力8的垂直平分线.

任务：

（1）小巩得出点P在线段46的垂直平分线上的依据是

（2）小义作图得到的直线PE是线段力4的垂直平分线吗？请判断并说明理由.

22.随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的

建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽

车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就

像卜.面所描述的情况一样.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相

关信息如表：

第5页（共24页）

单枪充电桩双怆充电桩

单枪充电桩双枪充电桩

花费：50000元花费:45000元

单价：X元/个单价：1.5x元/个

(1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单

价；

(2)在(1)的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已

知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了

10%,如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电柱的数量.

23.己知△4CQ中，AC=AD,ZCAD=a,ZPAC=30a,将点C关于直线力尸对称，得到点B,连接从1.

①依题意，在图1中补全图形；

②若a=80°,则N8OC的度数为；

③当a的度数发生变化时，请探究/8OC的人小是否改变.若不变，求出/5OC的度数；若改变，请

说明理由.

(2)如图2,以48为斜边作直角三角形力8E,使得N8=NXCQ,连接DE.若a=90°.求证:

CE.LED.

第6页(共24页)

2024-2025学年河南省郑州市巩义市八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DACACACCBD

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（3分）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国

古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案.

【解答】解：/、是轴对称图形，故此选项不合题意；

8、是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、不是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D,

【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两

部分能够重合，那么这个是轴对称图形.

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.（2。2力）3=8々6〃3B.（苏）3=小

C.a3-ra3=aD.a^a2=a6

【分析】直接利用积的乘方运算，’曷的乘方以及同底数新的乘除运算法则分别判断得出答案.

第7页（共24页）

【解答】解：A.（2/力）3=8小乂，故该选项正确，符合题意：

B.结果为故此选项不合题意；

C.结果是1,故此选项不合题意：

D,结果是故此选项不合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了积的乘方运算，幕的乘方以及同底数幕的乘除运算等知识，熟练掌握以上知识

点是关键.

3.（3分）已知三角形三边长分别为2,9,x,若x为整数，则这样的三角形个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据三角形的三边关系解答即可.

【解答】解：•・•三角形三边长分别为2,9,x且x为整数，

.\9-2<x<9+2,

••・x为8、9、10,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的三边关系,熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解题的

关键.

4.（3分）化简_空_-_1_的结果是（)

X2-4x+2

A•表B.x+2C.-1-D.x-2

x+2

【分析】先通分后化简，再判断即可.

【解答】解:2x_1

X2-4X+2

x-2

2

X-4(X-2)(X+2)

2x-(x-2)

(x+2)(x-2)

x+2

(x-2)(x+2)

1

7T

故选：A.

【点评】本题考存了分式的加减混合运算，做题的关键是要掌握分式的通分.

第8页（共24页）

5.（3分）关于x的多项式9f+arH是完全平方式，则实数。的值是（)

B.±3C.±6

【分析】根据完全平方公式进行分析计算.

【解答】解：,.,9X2+QX+1是完全平方式，

，q=±2X3X1=±6,

故选：C.

【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a±b）2=/±2"+62是解题关键.

6.（3分）如图①是Rt△48C,画Rt£^'B'C,使得RtA，B1C如图②是小颖的

画图过程，已知N=90°,则判定RtaHB'C@Rt△48。的依据是（）

MB'CM

第一步第二步

A.SASB.ASAC.SSSD.HL

【分析】根据小颖作图的过程即可作出判断.

【解答】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段4'B'=AB,第二步作图时，用圆规截

取的长度是线段4C=BC，则判定RtZ\HB'C出RtZUBC的依据是"S,则选项力符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理

是解题的关键.

7.（3分）将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点儿B,C,。四点在同一条直线上，E

为公共顶点，则/所G的度数为（）

A.40°B.35°C.30°D.25°

【分析】根据多边形内角和公式及正多边形性质求得N/18E和NQ"和NCEG的度数，从而

第9页（共24页）

求得NCBE,NBCE的度数,然后根据周角360。计算即可求得答案.

【解答】解：由题意可得/力8后=/8£/=（8-2）X18004-8=135°,ZDCE=ZCEG=（6-2）

X18004-6=120°,

AZCBE=180°-135°=45,，ZBCE=180°-120°=60°,

AZ^C=1800-Z.CBE-Z5CE=180°-45°-60°=75°,

.\ZF£G=360°-（135°+120°+75°）=30°.

故选：C.

【点评】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，三角形内角和定理，结合已知条件求得N

ABE,NQCE的度数是解题的关键.

8.（3分）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线08,且与射线0/1交于点C,另一把直

尺压住射线OA,且与第一把直尺交于点P,作射线OP,已知NPO4=40°,则4cp的度数是（）

【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知。尸平分N/O8,又NPO8=40°,进而可得NXO8的

度数.再由长方形直尺可得CP〃O8,利用平行线的性质可求解.

【解答】解：由题意，得。夕平分/408,

:.NAOB=2NPOB=2义40°=80°,

由长方形直尺可知：CP〃。&

工/力。Q=N/O8=80°,

故选：C.

【点评】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两

边距离相等的点在这角的平分线匕

9.（3分）中老铁路项目的建设是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，

且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是

第10页（共24页）

汽车的2倍.设汽车的速度为x千米/时，可列方程为（）

A422-148,422,匚422+148422,匚

A.―=4.5BR.----------------——=4.5

x2xx2x

c422422+148=45D422-1485=422

2xxx'2x

【分析】设公路上汽车的速度为x千米/时，则该铁路上动车的平均速度是24千米/时，根据铁路出行较

驾车出行用时缩短了约4.5小时，列出分式方程即可.

【解答】解•：设公路上汽车的速度为x千米/时，则该铁路上动车的平均速度是2工千米/时，

由题意得：422+148-磔=45

x2x

故选：B.

【点评】本题考杳了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

10.（3分）如图，在锐角三角形.48C中力8=5,△/4C的面积15,BD平分N/BC,若M、N分别是B。、

4c上的动点，则CM+MN的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】过。作于点E,交于点时,，过点作N_L2C于N',则CE即为CM+MN

的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值.

【解答】解：过C作CE上4B于点E,交BD于点、M',过点,W作〃'N'_16c于N',如图：

〈BD平分N4BC,M'EL4B于点、E,M'N'_L〃C于N',

・•・"N'=M'E,

:,CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+M/V最小值，此时M与重合，N与N'重合,

•・•三角形力8C的面积为15,AB=5,

.•.Xx5*CE=15,

2

第11页（共24页）

:,CE=6.

即CM+MV的最小值为6.

故选：D.

【点评】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CW+MN最小值.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

21

II.（3分）使分式-^~11有意义的丫的取值范围是g.

1-x

21

【分析】根据分式三二有意义，得出l・xWO,即可作答.

1-x

【解答】解：由题意得，I-x#0,

解得xKI.

故答案为：xWl.

【点评】本题考查了分式有意义的条件，热知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.

12.（3分）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统，已知某北斗卫

星绕地球运动的速度是7.9X10W,当卫星绕地球运行2XI。3s时，所走过的路程为L58X1（）7〃J（结

果用科学记数法表示）

【分析】把一个大于10的数记成〃X1O〃的形式，其中。是整数数位只有一位的数，〃是正整数，这种

记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案.

【解答】解：7.9X103X2X103=1.58X107（加），

故答案为：L58Xl（）7.

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

13.（3分）若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是十边形.

【分析】根据任意凸多边形的外角和都为360。，内角和都为（〃-2）X180。（其中〃为边数），再结

合题意列出等式，求出〃即可.

【解答】解：设这个多边形是〃边形，则依题意得：

（〃-2）X1800=4X360°,

整理得，180°〃=1800°,

解得〃=10,

故这个多边形是十边形.

故答案为：十.

【点评】本题考查多边形的内角与外角，关键是多边形内角和定理的熟练掌握.

第12页（共24页）

14.（3分）如图，将长方形纸片.48CO沿折叠，折叠后点4落在处，点8恰好与点。重合，已知

NDFC=60°,CF=3,彳£的长为3

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得CD=3YQ，在RI△力'中，根据勾股定

理，即可求解.

【解答】解：设XE=x,

VZDFC=60°,CF=3,

:.BF=DF=2CF=6,

在RtAOCF中，CD=VDF2-FC2=V3FC=3V3,

•・•将长方形纸片ABCD沿所折叠，

：.ArE=AE=x,AD=BC=BF+FC=6+3=9,A，D=AB=3点，

DE=AD-AE=9-x,

在Rt△4'EO中，ED2=A'E2+A'。2,

A（9-X）2=X2+（3V3）2>

解得：x=3,

AJE=3,

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了折直问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据性质得出相应量

的值是解题的关键.

15.（3分）如图，在△/AC中，4。为4C边上的中线，过点B作BE工4D,交力。的延长线于点E,过点

C作CF_L力。于点凡在。力延长线上取一点G,连接GC,使NG=NB/D,则9"理邑=_L_.

SAA；C2

第13页（共24页）

G

E

【分析】根据△6E。丝△(?尸。得。尸=6E,FD=ED,结介NG=N6/1。得到z^G广得至UG厂

=4E,从而得到G/=M,即可得到答案.

【解答】解：BELAD,CFUD于点F,

：・4BED=/CFD=90°,

在A/IB。中，力。为8c边上的中线，

:・BD=CD,

在△以汨与△C/。中，

rZBED=ZCFD

<ZBDE=ZCDF*

BD=CD

:.ABED在ACFD(AAS),

:,CF=BE,FD=ED,

在△GFC与△4E8中，

2GFC=NBEA

<ZG=ZBAE，

CF=BE

:•△GFCWeAEB(AAS),

：.GF=AE,

:,GA=FE,

又,：FD=ED,

：・GA=2DE,

dABDE:°△版「2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

第14页（共24页）

16.⑴计算：|-21+(/)-(兀-2025)°+(-2尸.

(2)把下列各式分解因式：

①3『十6。什3户；

②x2(m-n)+(〃-〃?).

【分析】3)根据负整数指数累，以及零指数昂，有理数的乘方进行计算即可求解；

<2)①先提取公因数3,再根据完全平方公式进行二次分解；

②先把〃l〃看成一个整体，提取公因数〃L〃，然后用平方差公式进行二次分解即可.

【解答】解：⑴原式=2+25-1-8=18；

(2)①原式=3(cr+lab+b1)=3(。+方)2；

②原式=W(m-n)-(〃？-〃)

=(〃？-〃)(x2-1)

—(〃？-〃)(x+1)(x-1).

【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数累、零指数哥的运算及因式分解，熟知以上知识是解题的

关键.

17.如图，这是一道例题的部分解答过程，其中N是两个关于x,歹的二项式.

【例题】化简:y(M)+2x(AO.

解：原式=的t/+4/-

=p+4/.

注意：运算顺序从左到右,

逐个去掉括京1

请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：

(1)多项式M为2x+p,多项式N为2x-y,例题的计算结果为产+底；

(2)计算：(M)(N)+(")2.

【分析】(1)根据题意得到：y(A/)=2Ey+f,2x(N)=4jr-2xy,即可得到多项式力，多项式4,再

最后化简，即可解答；

(2)根据平方差公式、完全平方公式计算，即可解答.

【解答】解：原式=2xy+f+4y-2x>，=y2+4x2,

故答案为：丁+4系

(1)根据题意，得：y(M)=2xy+y2,两边同除以y得：M=2x+y,

第15页(共24页)

同理，得：2x(N)=4.d-2抄，两边同除以2r得：N=2x-y,

例题的计算结果为：Ixy+y^+Ax2-2xy=y2+4x2；

故答案为：2x+y,2x-y,y2+4x2；

(2)(M)kN)+(M)2

=(2x+y),(2x-y)+(2x+y)2

=4x2-)^+4x2+4xy+)^

=S^+4xy.

【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用相关运算法则和乘法公式是解题的关键.

18.如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题：

(1)求被手遮住部分的代数式；

(2)这个等式左边代数式的值可能是零吗？如果有可能，请求出x的值：如果不可能，请说明理由.

(2)令方程的右边为零，求出x的值，若x的值使得左边各代数式有意义，则说明这个等式左边代数

式的值可能是零，否则，则说明不可能是零.

2

【解答】解：(1)2£±3X2X11.^X9

2：

x-3x+3X-6X+9

_x+3x2x+lx(x-3)2

x-3x+3(x+3)(x-3)

—2x+l

x+3'

••・被手遮住部分的代数式是如L.

x+3

(2)这个等式左边代数式的值不可能是零.理由如下：

•・.等式的右边为三坦，

x-3

若等式的左边为零，则上曳=0,

x-3

，x+3=0且x-3W0,

••・x=-3,

当x=-3时等式左边没有意义，

••・这个等式左边代数式的值不可能是零.

第16页(共24页)

【点评】本题考查代数式求值、列代数式，掌握代数式有意义的条件是解题的关键.

19.如图三角形48C,。为8C的延长线上一点.

（1）用尺规作图的方法在4C右边作N4CE,使N4CE=NB；

（2）在（1）的条件下，若N4=55°,CE恰好平分N/CD求N/1C8的度数.

【分析】（1）利用基本作图，作N/CE=N8；

（2）先利用角平分线的定义得到力，则/8=14CQ,再根据三角形外角性质得到N

22

ACD=55C+工N4CD,然后求出N/CO,最后利用邻补角的定义计算出N/1C8的度数.

2

【解答】解：（1）如图，N/CE为所作；

2

•.*/ACE=/B,

/4CO,

2

N4CO=N4+N8,

即N4CO=550+1/4CO,

2

/.ZJCD=110°,

AZJC5=180°-ZJCD=180a-110°=70°.

【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键.也考查了三角形内角和.

20.已知：如图1,在。中，CQ是高，若NA=NDCB.

第17页（共24页）

c

（1）试判断△49C的形状，并说明理由：

（2）如图2,若4E是△/8C的角平分线，AE.C。相交于点尸.求证：NCFE=NCEF.

【分析】（1）根据题意可以求得/OCB+N/CO的度数，从而可以解答本题；

（2）根据题意和（1）中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立.

【解答】（1）解：。是直角三角形，理由如下：

•・•在△4?。中，。是高，NA=NDCB,

.•・NCLM=90°，

AZJ+ZJCD=90°,

；・NDCB+N4CD=90°,

AZJC5=90°,

•••△48C是直角三角形；

（2）证明：・・・/E是角平分线，

JZDAF=/BAE,

•・•/尸。力=90°,ZACE=W,

：,ZDAF+ZAFD=9（）Q,ZCAE+ZCEA=90°,

NAFD=NCEA,

•・•/AFD=NCFE,

：.ZCFE=ZCEA,

即NCFE=NCEF.

【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结

合的思想解答.

21.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相

应任务.

小巩：如图1,（1）分别以点.4,4为圆心，大于工研的长为半径作弧，两弧交于点P；

2

第18页（共24页）

（2）分别作NA48,NPA4的平分线力。，BC,交于点£；（3）作直线PE.直线PE即

为线段力8的垂直平分线.

简述作图理由：

由作图可知，以=尸从.••点P在线段的垂直平分线上，NPAB=NPBA.

*：AD,8c分别是NP84的平分线，：,ZDAB=ZCBA.

••・/E=BE..••点七在线段的垂直平分线上.

・•・直线PE是线段AB的垂直平分线.

小义：我认为小巩的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2.

（1）分别以点力，8为圆心，大于工研的长为半径作弧，两弧交于点P；

2

（2）分别在线段以，PB上截取PC=PD；

（3）连接4。，BC,交点为£：

（4）作直线产区直线依即为线段力“的垂直平分线.

任务：

（1）小巩得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂

直平分线上.

（2）小义作图得到的直线产£■是线段48的垂直平分线吗？请判断并说明理由.

【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求解•；

（2）由“S4S”可证△/尸。丝△4PC,可得由等腰三角形的判定可证可得

结论.

【解答】解：（1）・；PA=PB,

，点?在48的垂直平分线上，4PAB=/PBA,

第19页（共24页）

根据作图可知ZE，8E分别平分NR/8,NPBA,

:./EAB=/EBA,

:,AE=BE,

・••点七在jB的垂直平分线上.

・•・？£是线段48的垂直平分线，

故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上：

(2)直线PE是线段48的垂直平分线，理由如下：

由作图可知：PA=PB,PC=PD,

在△4PO和△8PC中，

PA=PB

­ZAPD=ZBPC»

PC=PD

:.△APVy^RBPC(SAS),

：・ZPAD=/PBC,

'：PA=PB,

・•・点夕在线段48的垂直平分线上，/PAB=NPBA,

，ZPAB-ZPAD=ZPBA-NPBC,

即ND/1B=NCB4,

：.AE=BE,

・•・点E在线段AB的垂直平分线上，

・・・PE是线段的垂直平分线.

【点评】该题考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质

和判定.

22.随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的

建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电机，来满足小区内新能源汽

车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就

像下面所描述的情况一样.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相

关信息如表：

第20页(共24页)

弟枪充电桩双枪充电桩

单枪充电桩双枪充电桩

花费：50000元花费:45000元

单价：X元/个单价：1.5x元/个

（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单

价；

（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已

知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低r

10%,如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量.

【分析】（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量匕双枪充电桩的数量多20个列出分式方程，

解方程，即可求解：

（2）先计算总花费为［llOOa+1350（20-a）］元，根据此次加购小区预备支出不超过25000元，列出不

等式，解不等式，求最小整数解，即可求解.

【解答】解：（1）根据题意可得晒叫-螫弛=20,

x1.5x

解得x=1000,

经检验，％=1000是原方程的解，且符合题意，

1.5x=1.5X1000=1500（元/个）,

所以单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个，

答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价