2024-2025学年河南省郑州市巩义市九年级（上）期末数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市巩义市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（3分）方程，=2025x的解是（）

A.x=0B.x=2025

C.=0»<2=2025D.无实数根

2.（3分）第14屈国际数学教育大会（简称/OWE-14）于2021年7月在上海举办，会徽的主题图案（图

1）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，其右下方的“卦”（图2）是用中国古代的

计数符号写出的八进制数字3745.则图2中的四个八卦符号，既是轴对称图形又是中心克•称图形的有

（）个.

弓备罂=—=—=—==—

图1融

A.1B.2C.3D.4

3.（3分）将抛物线j，=f-2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）

A.y=（x+1）2+2B.y=（x+1）2+1

C.y=（x-1）2+iD.y=（x-E2+2

4.（3分）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区

域。中”记作事件W,估计事件沙的概率P（%）的值为（）

3469

5.（3分）如图，为。。的直径，CD为。。的弦，/BCD=35：则乙48。度数为（）度.

第1页（共26页）

D

c

A.45B.50C.55D.60

6.（3分）已知点M（w,y）N（X2,"）在反比例函数y二上的图象上，若RVOVJQ，则有（）

X

A.”<0<歹1B.y\<0<y2C.y\<y2<0D.0<yi<”

7.（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件

圆弧上任取两点4B,连接力8,作力8的垂直平分线8交48于点。，交定于点C,测出力8=30c〃?,

CD=5cm,则圆形工件的半径为（)

A.20cmB.25cmC.30cmD.35cm

8.（3分）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行

一场比赛，该联赛共进行了153场比赛.若共有x支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（）

A.x（x-1）=153B.x（x+1）=153

C.yx（x-l）=153D.-i-x（x+l）=153

9.（3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形0力8是等腰三角形，OA=AB,三角形0/18与三角形。才夕

是位似图形，其中对应点彳和H坐标分别是（1,2）,（7,-4）,则位似中心坐标是（）

C(♦.0)D.(*,0)

10.（3分）如图平面直角坐标系中，A（0,7）、B（V3，0）,。为线段上一个动点.以C8为边作

直角三角形8C。，N8CO=90°且NC8O=60°,连接力。，当/。有最小值时，点。的坐标为（）

第2页（共26页）

A.（0,3）B.（1,3+返）C.（V3，4）D.（4V3，7）

3

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）二次函数），=口/+&「6（aKO）的对称轴是直线x=-2,则a的值为；

12.（3分）已知关于x的一元二次方程f-4x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为.

13.（3分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的8个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发

现摸到黑球的频率约为0.6,估计袋中黑球有个.

14.（3分）如图，是半圆O的直径，力4=4,将半圆。绕点力逆时针旋转45°,点8的对应点为4',

则阴影部分的面积为.

15.（3分）如图，正三角形4AC和40f•的边长分别是3、7,点F是AC中点，将正三角形4AC绕点力

旋转，在旋转过程中，△力E厂的面积S的取值范围是.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.解方程:

（1）x2-8.r+5=0；

（2）?-5x+6=0.

17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系x。），，格点（网格线的

交点）A,B,C,O的坐标分别为（8,3）,（4,7）,（-2,7）,（2,3）.

第3页（共26页）

(1)以点。为旋转中心，将△/^C旋转180°得到△/1由1C|,画出△力出Ci并写出点由，Bl,。的

坐标；

(2)直接写出以4C,Ai，。为顶点的四边形的面积；

(3)若△48C外接圆的圆心为点E,请直接写出点石的坐标.

18.如图所示，李老师设计的一个电路图，有S1，52,S3,&四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接

电线组成.所有电子元件都能止常工作，电路连通，灯泡正常发光.请解答下列数学问题.

(1)下列说法正确的有(多选).

人闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件；

B.闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件；C.闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件；

D.闭合四个开关灯泡发光是必然事件；

(2)当随机闭合Si,S2,S3,S4中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的

19.列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对

应关系.下表是函数y=-2叶力与卜=工部分自变量与函数值的对应关系：

3x

X-1a6

2

y=-al

33

第4页(共26页)

__________________-1

X

（1）求。、方的值，并补全表格；

（2）结合表格，当y=-2x+〃的图象在的图象上方时，直接写出x的取值范围.

3x

20.如图，四边形是矩形，AB=4,BC=3,以边力4为直径作。。，点七在边CO上，连接BE交

OO于点R连接力/并延长交8C于点G.

（1）求证：盟二生

CE3

（2）若/BEC=65°,求际的长.（结果保留n）

21.元旦节日期间，某儿童游乐场每天运营成本为1000元，该游乐场每天售出的门票数量r（单位：张）

与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（15WxW40,且x是整数），部分数据如下表所示：

门票售价X（元/张）2025

售出门票数量y（张）156136

（1）请求出y与工之间的函数关系式；

（2）设该游乐场每天的利润［利润=门票收入-运营成本）为卬（单位：元），求卬与x之间的函数关

系式；

（3）该游乐场将门票售价x定为多少时.,每天获利最大？最大利润是多少？

GD的夹角为90°；

将正方形4EFG绕点4旋转，如图2,连接BE,QG.我们利用旋转的性质，通过证明△ZSEg△力。G,

第5页（共26页）

仍然可以得到8E=OG,8E与G。的夹角为90°.

【变式思考】

如图3,将正方形力EFG绕点力旋转，连接CEDG.

(1)用等式表示线段C/与OG之间的数量关系为,直线W与。G的夹角

为;

(2)按照图3的旋转位置，证明(1)所得出的结论；

【拓展运用】

(3)在图2的基础上，若4B=2,AE=\,连接CG,在正方形力EFG绕点X旋转一周的过程中，请直

接写出CG的最小值是.

23,如图，一次函数y=x+〃?的图象与二次函数y=-/+加+。的图象交于点力(-2,0)和点8(3,〃)，

点P(xi,yi),Q(X2,yi)是此二次函数的图象上的两个动点，且满足X2=XI+3.

yjk

(图1)(图2)

(1)求此一次函数和二次函数的表达式；

(2)如图1,若点。在直线,48的上方，过点。作0cLM轴于点C,交4B于点。,连接8C,DP,

PQ.求证：也吗|勺值为定值；

SABCD

(3)如图2,若点P在x轴的上方移动，点M为线段的中点，求点历纵坐标的取值范围.

第6页(共26页)

2024-2025学年河南省郑州市巩义市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CBCDCABCAC

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（3分）方程/=2025x的解是（）

A.x=0B.x=2025

C.xi=0,A-2=2025D.无实数根

【分析】利用因式分解法即可求得方程的解.

【解答】解：X2=2025X

提取公因式x得x（x-2025）=0

/..ri=0^X2=2025.

故选：C.

【点评】利用因式分解法解一元二次方程式是解题的关键.

2.（3分）第14届国际数学教育大会（简称/CM£・14）于2021年7月在上海举办，会徽的主题图案（图

1）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，其右下方的“卦”（图2）是用中国古代的

计数符号写出的八进制数字3745.则图2中的四个八卦符号，既是轴对称图形又是中心上称图形的有

（）个.

图1融

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转

180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的

第7页（共26页）

对称中心，进行逐一判断即可.

【解答】解：第二个和第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，

第一个和第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形：

综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个，所以只有选项3正确，符合题意.

故选:B.

【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是相关定义的熟练掌握.

3.(3分)将抛物线y=/-2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为()

A.y=(x+1)2+2B.y=(x+I)2+1

C.尸(x-1)2+1D.产(x-E2+2

【分析】根据上加卜.减先得到解析式，再化为顶点式即可得到答案；

【解答】解：*：y=^-2X=JC-2X+\-1=(x-1)2-1,

・•・抛物线.尸小一不向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为：j,=(x-1)27+2,即卜=(x-1)

2+1,

故选：C.

【点评】本题考查函数的图象与几何变换.二次函数的三种形式，熟知“上加下减，左加右减”的法则

是解题的关键.

4.(3分)在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区

域C中”记作事件",估计事件W的概率P(IV)的值为()

【分析】分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：由图可知区域。的面积为22xn=4n,

最大的圆的面积为(2+2+2)2XTT=36TT,

・•・“豆子落在。中”的概率p(w)二赛*二/

败选：D.

第8页(共26页)

【点评】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键.

5.（3分）如图，48为的直径，为。。的弦，ZBCD=35°,则N48Q度数为（）度.

C

A.45B.50C.55D.60

【分析】连接力。，由同弧所对的圆周角相等可得N8CQ=NA4O,再由直径所对的圆周角为直角可得

/ADB=90°,利用三角形内角和180°即可得到答案.

【解答】解：连接/。，

•：NBCD=35°,BD=BD，

；・NBAD=35°,

•・・彳8为。。的直径，

:・NADB=90°,

:・NBAANABD=90°,

:・NABD=90°-^BAD=W-35°=55°.

C

【点评】本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，掌握根据题意作辅助线是解题关键.

6.（3分）已知点M（xi，V），N5,卢）在反比例函数y二上的图象上，若；q<0<X2,则有（）

X

A./VOVyiB.y\<0<y2C.yi〈”VOD.0<yi〈”

【分析】根据反比例函数所在的象限即可判断.

【解答】解：由条件可知反比例函数的图象在二，四象限，

*.*X1<O<X2，

，”VOVyi,

故选：A.

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟冻掌握该知识点是关键.

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7.（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件

圆弧上任取两点力，B,连接力B,作相的垂直平分线CO交相于点力，交同于点C,测出力8=30c〃?,

CD=5cm,则圆形工件的半径为（)

C.30c/〃D.35cm

【分析】连接设圆的半径为人在RtZ\OjQ中，利用勾股定理进行求解即可.

【解答】解：由题意，圆心。在CO所在直线上，连接04，设圆的半径为〃，则：OA=OC=rcm,OD

由勾股定理，得：户=152+（r-5）2,

整理得250-10r=0,

.*.r=25c7»：

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键.

8.（3分）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行

一场比赛，该联赛共进行了153场比赛.若共有x支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（）

A.x（X-i）=153B.x（x+1）=153

C.yx（x-l）=153D.yX（x+l）=153

【分析】根据场数列式求解即可得到答案.

【解答】解：根据场数列式求解即可得:

yx（x-l）=153»

败选：C.

第10页（共26页）

【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是关键.

9.(3分)如图，在平面直角坐标系中，三角形。力8是等腰三角形，OA=AB,三角形048与三角形。

是位似图形，其中对应点力和,坐标分别是(1,2),(7,-4),则位似中心坐标是()

A.(3,0)B.(4,0)C./Q)D.g,0)

【分析】先确定位似中心为点尸，然后用待定系数法求出直线的解析式为：歹=-x+3,再求出直

线与x轴的交点坐标，即可得出答案.

【解答】解：设AT与x轴交于点P,

•・•力与，是对应点，B匕力为对应点，

：.AAr与BB'的交点?为位以中心,

♦：B与B'都在x轴上，

・•・点尸在x轴上，

设直线44'的解析式为：y=kx+b(片W0),

•・•点4和4'坐标分别是(1,2),(7,-4),

.Jk+b=2

*(7k+b=-4，

解得：(k=T,

lb=3

工直线44'的解析式为：y=-x+3,

把y=0代入得：・x+3=0,

解得：x=3,

・•・位似中心的坐标是(3,()),

【点评】本题主要考查了位似变换，待定系数法求一次函数的解析式；，坐标与图形性质，熟知以上知识

第11页(共26页)

是解题的关键.

10.（3分）如图平面直角坐标系中，A（0,7）、B（畲，0）,C为线段04上一个动点.以C8为边作

直角三角形8CQ,NBCD=90°且NC&）=60°,连接4。，当力。有最小值时，点。的坐标为（）

（1,3+—）C.（V3，4）D.（473，7）

3

【分析】过点。作Q£_Ly轴于点£,设。。=阳，证明得出ECW§0B=3,

ED=V30C=>/3in«勾股定理求得力。?，根据二次函数的性质得出〃?=i时，取得最小值，进而求得

。点的坐标，即可求解.

【解答】解：平面直角坐标系中，A（0,7）、B（«，0）,N8c0=90°且NaO=60°,如图，过

点。作。EJ_y轴于点

/.ZDEC=ZCOB=ZDC^=90°，

，NEDC=900-ZECD=ZOBC,

:./XEDCSAOCB,

.OB=OC=BC1_V3

**EC-ED-CD-tanZCBD-3'

设OC=m,

,/B（V3，0）,

:.OBH§，

AEC=V30B=3»ED=V30C=V3m.

'：AE=AO-EC-OC=7-3-m=4-m,

在力中，由勾股定理得：AD2=ED1+AE2=3m2+（7-3-w）2=4w2-8w+16,

第12页（共26页）

♦m二二2-口时,力。2取得最小值，即力。有最小值，

2X4

ED=\/3,EO=EC+CO=1+3=4,

・・・D（收4）,

故选：C.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理，切线的性

质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）二次函数y="2+8x-6（aKO）的对称轴是直线x=-2,则〃的值为2：

【分析】根据对称轴的计算公式圻£-计算即可得到答案.

【解答】解：根据对称轴的计算公式x=-L可知：抛物线对称轴为卡一旦=-a=-2，

2a2a2a

解得：a=2,

故答案为：2.

【点评】此题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式并代入计算是解题的关键.

12.（3分）己知关于无的一元二次方程f-4.丫-4=0有两个相等的实数根，则k的值为-4.

【分析】利用判别式的意义得到4=（-4）2-4^=0,然后解关于上的方程即可.

【解答】解：根据题意得△=（-4）2-4X（7）=0,

解得k=-4,

所以k的值为-4.

故答案为：-4.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程以2+瓜+《=0（awo）的根与A=b2-4“c有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当AV0时，方程

无实数根.

13,（3分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的8个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发

现摸到黑球的频率约为0.6,估计袋中黑球有12个.

【分析】由题意可知摸到黑球的概率为0.6,进而根据概率计算公式列分式方程求解即可.

【解答】解：•・•通过多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率约为0.6,

，摸到黑球的概率为0.6,

设袋中黑球有x个，

第13页（共26页）

由题意得：-A-=Q6，

x+8•

解得：x=12,

经检验，x=12是原分式方程的解，

即估计袋中黑球有12个，

故答案为：12.

【点评】本题主要考查了用频率估计概率，分式方程的应用，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概

率是解题关键.

14.（3分）如图，力4是半圆。的直径，力8=4,将半圆。绕点力逆时针旋转45°,点月的对应点为夕，

则阴影部分的面积为2+TT.

A0B

【分析】记力夕与半圆。交干点C,连接OC,图中阴影部分的面积扇形08C，根据三角形面

积公式算出再根据圆周角定理和扇形面积公式算出S扇形08G即可解题.

【解答】解：记力夕与半圆。交于点C,连接0C,

A0B

由条件可知两个半圆面积相等，NQ4C=45°,则NAOC=90°,

••S用影=S4O月C+S启形O8C，

•・Z8=4,

：.OA=OC=2,

・^△0广初・0七'2义2=2一扇形烟=暇产川

•'•S阴影=2+n,

故答案为：2+TI.

【点评】本题考查了求不规则图形的面积及旋转的性质，熟冻掌握相关性质定理并灵活运用是关键.

15.（3分）如图，正三角形48C和力QE的边长分别是3、7,点尸是4C中点，将正三角形48。绕点力

第14页（共26页）

【分析】连接力月先利用等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出力/长，可确定点产

的轨迹为以点力为圆心，半径长为延寸勺圆，过点/作4GJ_OE于点G,利用直线到圆上一点的距离

2

可知，当力、尸、G依次共线时，/G最小，此时点尸为如图的点尸；当尸、力、G依次共线时，FG最

大，此时点尸为如图的点尸'，再计算最大值和最小值即可.

【解答】解：如图，连接

是等边三角形，点△是4c中点，

•­AFVBC,ZCAF=yZBAC=30"»

•*-CF=yAC=y*AF=^CF=^^

乙乙乙

・・・点/的轨迹为以点4为圆心，半径长为3叵的圆，

2

过点4作4G_LZ）E于点G,

由直线到圆上一点的距离可知，

当力、F、G依次共线时，/G最小，此时点尸为如图的点尸：

当尸、力、G依次共线时，户G最大，此时点尸为如图的点尸'；

•••△力。石是等边三角形，AG-DE,

••­ZEAG=yZDAE=30"，

第15页（共26页）

•#-GE=yAE=iAGSGE卫弟，

・•?G=AG-AFy式祟-晔"=26，

乙乙

F"G=AG+AF"牛=5g,

乙乙

・•・点F到DE的距离h的取值范围2V3<h<5V3»

•・•4DEF的面积S=yDE・h=9h，

乙乙

【点评】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，二次根式，圆的定义，直线和

圆的位置关系，熟练掌握利用定点定长确定轨迹圆是解题的关键.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)

16.解方程：

(1)x2-8.r+5=0；

(2)x2-5A+6=0.

【分析】(1)用求根公式解方程即可：

(2)用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)x2-8x4-5=0,

Va=I,b=-8,c=5,

:・A=扶-4ac=(-8)2-4X1X5=44,

._-b±Vb2-4ac_8±V44_8±27H

••♦二.一・'.一二---------=----------,

2a2X12

=;

，xi=4+VHx24-V-li

(2)Vx2-5A-+6=0,

J(x-2)(x-3)=0,

A.r-2=0或x-3=0,

解得xi=2,X2=3.

【点评】本题主要考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键.

17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系工。户格点(网格线的

第16页(共26页)

交点)A,B,C,。的坐标分别为(8,3),(4,7),(-2,7),(2,3).

(1)以点。为旋转中心，将△48C旋转180°得到△/]用。，画出△小81cl并写出点小，Bi,。的

坐标；

(2)直接写出以4C,Ai，。为顶点的四边形的面积；

(3)若△/AC外接圆的圆心为点E,请直接写出点石的坐标.

【分析1(1)按照画旋转图形的方法画出△小小。并写出点小，Bi，G的坐标即可;

(2)利用三角形的面积公式求出以4C,Ai，。为顶点的四边形的面积即可：

(3)在图中找到边力8与边BC的垂直平分线的交点，然后写出其坐标即可.

【解答】解：(1)如图，△44。即为所求作，

由图可得：点小的坐标为由(-4,3),点41的坐标为(0,-1),点。的坐标为(6,-1)；

(2)S四边形ACAC=2X,X[8-(-4)1X4=12X4=48：

(3)由图可得：△ABC外接圆圆心点石的坐标为：E(1,0).

【点评】本题主要考查了画旋转图形，写出直角坐标系中点的坐标，三角形的面积公式，线段垂直平分

线的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质及画旋转图形的方法是解题的关键.

18,如图所示，李老师设计的一个电路图，有51，52,S3,&四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接

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电线组成.所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光.请解答下列数学问题.

（1）下列说法正确的有如（多选）.

A.闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件；

从闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件；C.闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件；

D.闭合四个开关灯泡发光是必然事件；

（2）当随机闭合S,S2,S3,S4中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的

【分析】（1）根据题意以及事件的分类即可求解.

（2）列表法得出共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种，进而根据概率公式，即可

求解.

【解答】解：（1）闭合其中的一个开关灯泡发光是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；

氏闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件，故该选项正确，符合题意；

C.闭合其中的三个开关灯泡发光是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；

n闭合四个开关灯泡发光是必然事件，故该选项正确，符合题意：

故选：BD；

（2）根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：

5|52S3S4

S](Si，52)(Si,S3)(5i，54)

S2(S2,S|)(S2,S3)6,S4)

S3(S3,SO6,52)(S3，54)

S4(S*Si)(S4,S2)(S4，S3)

由表格可知共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种,

:・P（能使灯泡发光）=&-=2.

123

【点评】本题主要考杳了事件的分类，画出树状图或列表法来求一个事件的概率是解题的关键.

19.列表法、解析式法、图象法是二种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对

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应关系.下表是函数y=-2计力与部分自变量与函数值的对应关系:

3x

X.1a6

2

y=-2rl■人a17

33

k.2

yv—=4-1

X2

（1）求人人的值，并补全表格;

（2）结合表格，当的图象在勺图象上方时，直接写出》的取值范围.

3x

【分析】（1）根据表格信息建立方程组求解。、方的值，再求解表格中其它的值，再补全表格即可;

（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案.

=4x（4）+b

【解答】解：（1）依题意把点（-三，a），（a.代入直线解析式得:

2312八

T一铲+b

a=4

解得:

b=31

，一次函数为y=/~X+3

3

•・•把（6,-1）代入得％=・6,

・••反比例函数为：y=A

当x='M,y=--~=4,当彳=4时,y二—-6=--3-，

2

2

补全表格如下:

X_346

2

y=4x+341-1

03

643-1

y=­~2

（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为：（-3,4）,（6,-1），

2

.•.X的取值范围为：<或0<JT<6.

x2

【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围，熟练掌握该知

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识点是关键.

20.如图，四边形是矩形，48=4,BC=3,以边48为直径作。。，点后在边CO上，连接交

。。于点凡连接力尸并延长交4c于点G.

⑴求证：险=生

CE3

（2）若NBEC=65°,求际的长.（结果保留TT）

BGC

【分析】（1）证△胡即可；

（2）根据题意求出Z4Ob=180°-/ABF-=W即可求解.

【解答】（I）证明：••18是OO的直径，

AZAFB=90°,

：.ZBAF'=ZABF=90°,

VZJ5G=90°,

AZGBF+ZABF=90°,

JZBAF=ZGBF.

・：/ABG=/BCE=90°,

:ABAGsNJBE.

.BG_AB_4

CEBC3

（2）解：连接。户,如图所示.

AD

C0£

BGC

■:/BEC=65",

:・/FBG=9Q0-Z5FC=25°,

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VZABC=90a,

AZABF=90a-ZFBG=65a.

•：OF=OB,

:,NABF=/OFB=65°.

••・N〃O"=1800-NABF-NOFB=50°.

••・市的长为：5242丝=S兀.

1809

【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、弧长的求解等知识点，熟记

相关几何结论是解题关键.

21.元旦节日期间，某儿童游乐场每天运营成本为1000元，该游乐场每天售出的门票数量y（单位：张）

与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（15WxW40,且x是整数），部分数据如下表所示：

门票售价X（元/张）2025

售出门票数量y（张）156136

<1）请求出y与x之间的函数关系式；

（2）设该游乐场每天的利润［利润=门票收入-运营成本）为“，（单位：元），求卬与x之间的函数关

系式；

（3）该游乐场将门票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？

【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式；

（2）根据“利润=门票收入-运营成本”即可得出二次函数解析式：

（3）先将（2）中解析式化成顶点式，然后求二次函数的最值即可.

【解答】解：（1）设y与x之诃的函数关系式是y=&+/）,

由表格可得,｛器歌解得k=-4

b=236，

即y与x之间的函数关系式是y=-4x+236（15WxW40,且x是整数）；

（2）由题意可得，x（-4什236）-1000--4.r2+236x-1000,

即w与x之间的函数关系式是w=-4^+236.r-1000（154W40）；

2

2

（3）由（2）知：w=-4x+236x-1000=-4（x-y-）+2481，

•・・15WxW40,且x是整数，

・••当x=29或30时，w取得最大值，此时w=2480,

答：该影院将门票售价x定为29元或30元时，每天获利最大，最大利润是2480元.

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【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），二次函

数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出二次函数解

析式是解题的关键.

GQ的夹角为90°；

将正方形4ErG绕点力旋转,如图2,连接即，QG.我们利用旋转的性质，通过证明△/WEgZUOG,

仍然可以得到BE与GD的夹角为90。.

【变式思考】

如图3,将正方形力EFG绕点/旋转，连接C兄DG.

（1）用等式表示线段C/与QG之间的数量关系为_CF=V^DG_，直线b与ZX7的夹角为

450：

（2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论：

【拓展运用】

（3）在图2的基础上，若AB=2,AE=\,连接CG,在正方形力力7G绕点力旋转一周的过程中，请直

接写出CG的最小值是.

【分析】（1）连接力凡4C,延长。凡OG交于点M,证明△£4Cs/\G4。，即可得到线段CE与。G

之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线3与。G的夹角：

（2）连接力RAC,延长。凡0G交于点也，证明△R1CSZ\G/1。，即可得到线段与0G之间的数

量美系；再利用相似二角形的性质，进行角度的转换可得直线3与。。的夹角；

（3）根据当力，G,。三点共线，且点G在线段力。上时，CG最小，即可解答.

【解答】（1）解：正方形4AC。和正方形AE/G按如图3所示位置放置，连接力兄AC,延长C凡DG

交于点M，

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BiC

(图3)

:AADC,4/G/为等腰直角三角形，

AAC=V2AD,AF=V2AG,/C4O=N"G=45°,

・•・NCAD-ZCAG=ZFAG-ZCAG,

:・NFAC=NGAD,

:.XFACs丛GA。、

NFCA=NGDA,

ACF_=AF_=

GDAG

・•・CFSDG，

・•・ZFCA+ZACD+ZCDE=ZGDA+ZACD+ZCD\f=^ACD+ZADC=\35°,

/.ZCMZ)=180°-(/FCA+NACD+NCDE)=45°,

・•・直线B与。G的夹角为45°,

故答案为：CF=72DG;45°：

(2)