2024苏科版八年级数学上册《一次函数的概念》教学设计

521一次函数的概念教学设计

^^教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节为新教材苏科版八年级数学上册第5章第2节”一次函数的概念”，围绕一次函数及正比例函

数的定义和特征展开，让学生在真实情境中初步体会一次函数的应用价值，掌握一次函数y=kx十匕

（kHO）及其特殊形式y=的概念与结构.结合典型实际问题，如加油计价、行驶路程与油量关系、

出租车费用等，让学生深刻理解“自变量一次”“*0”“匕任意”三要素.

2.内容解析

通过加油情境，引导学生辨别常量与变量，进而建立函数关系式；比较y=7.49%与Q=40亡+6

等表达式，把握一次函数需满足“自变量呈一次形式、kHO”的要点；再从典例及巩固题中辨析哪些函

数是一次函数，哪些是正比例函数，引出“正比例函数是一次函数的特例”；最后结合生活实例强化对

k、b的几何和实际意义的理解，巩固从实际问题到国数模型的转化思路.

教学目标与解析

1.教学目标

（1）能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数

表达式的共性特征，形成•次函数概念，体会•次函数的意义.

（2）认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对

应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数.

（3）能举出一次函数（包括正比例函数）的实例，初步体会其中展b的实际意义.

2.目标解析

（1）通过设置实际场景，引导学生由现象到表达式，再到一般规律，帮助学生形成一次函数概念，发

展抽象能力.

（2）借助正比例函数的直观实例，让学生清楚其变量变化呈线性对应，进一步类比、拓展到一般一次

函数，加深对特例与•般的认知.

（3）结合生活常用的定价模式、交通费用等实例，突出〃表示单位变化率、b代表起始值或初始费用,

让学生更好地联结数学与日常.

3.重点难点

重点：一次函数概念的形成及正比例函数与一次函数的关系.

难点：灵活运用一次函数模型解决实际问题，对人力的现实意义作出恰当解释.

学情分析

学生己具备i元一次方程、多项式及函数基础，对“变量随自变量变化而变化”的概念已熟悉，能

理解自变量与函数值的对应关系.但由于抽象思维尚在发展，对y=依+力与非一次函数的区分可能模

糊，特别是如何有效地从实际问题中提炼V"与‘4''更具挑战，需要通过丰富实例和有针对性的引导来

突破.

教学过程设冲

新课存入

创设情景，引入新课

师：同学们，请看下面情景：某人给汽车加油时，加油枪的流量是每分钟40升，加油前油箱中己有6

升汽油.加油时的花费金额与加油量之间有什么关系？加油时间与油箱中的油量乂有什么关系？

；（提枪加油

元

油型升

1HS

U选择支付））

学生观察、讨论：

•常量：汽油单价、加油枪流量、加油前油箱中的油量、油箱总容量.

•变量：加油时间t、加油油量X、油箱中油量Q、花费金额y.

•关系：

o花费金额y与加油量%满足函数关系y=7.49x；

o油箱中油量Q与加油时间t满足函数关系Q=40t+6.

师：这是一个现实中的函数问题.仔细观察，这些函数表达式结构相似、有系数也有常数顶，让我们一

起走进“一次函数的概念”新课的学习.

【设计意图】通过典型生活情境（加油计价），让学生感受函数在生活中的应用，激发学习兴趣，并

自然引出一次函数和正比例函数的探究方向.

新知探究

探究点1感知一次函数与正比例函数的概念

•问题引入

师：在卜.面情境中，我们得到了两个函数表达式：

y=7.49%和Q=40t+6.

它们有什么相同点？有什么不同点？能将它们进行分类吗？观察各自的自变量、次数、常数项等特征.

・学生活动

1.小组讨论：y=7.49欠只有一个常数系数7.49,Q=40t+6多了一个“+6”的常数项.

2.归纳：二者均可用Zx+b”形式表示，但y=7.49x的常数项b=0,是正比例函数；Q=40t+

6则是一次函数但不是正比例函数.

•教师总结

一般地，形如y=Ax+6A,力为常数，际0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.

特别地，当力=0时，y=h(A为常数，写0)叫作x的正比例函数.

注意：

(1)一次函数有三个特征：①际0;②自变量x的次数是1;③常数力可以是任意实数

(2)正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.

•典例讲解

例1下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？

(l)y=—8x；(2)y=g；(3)y=5K+6；(4)y=1—x；

(5)y=-：；(6)y=2+2(x-l)；(J)y=ax+h\(8)y=—.

解：(1)(4)(5)(6)(8)是一次函数,(1)(5)(6)是正比例函数.

【设计意图】通过现实生活中的具体函数表达式，让学生初步区分”正比例函数”和“一次函数'之间的

关系，并建立“kr+6”的结构表征，为抽象概念铺垫.

探究点2正比例函数与一次函数表达式的书写以及变量间的规律

•问题引入

师：根据刚才的讲解，我们一起来做一下这道试题.(教师给出例题)

例2写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式，并指出其中的一次函数、正比例函数.

(1)正方形花圃的周长Cm随边长xm的变化而变化.

解：(l)C=4x,C是X的正比例函数.

(2)正方形花圃的面积Sm2随边长xm的变化而变化.

解：（2）S=.d,S不是工的一次函数.

（3）如图，A,B两站相距200km.若火车从8站出发以320km/h的速度匀速驶向C站，火车与A站

的距离ykm随行驶时间th的变化而变化.

解：（3）y=200+320r,y是f的一次函数.

（4）如图，搭I条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小鱼”就要增加6根火柴棒.所需火柴棒的根数

S随着所搭“小鱼”条数〃的变化而变化.

解：（4）5=8+6（〃-1）,口「S=6〃+2,S是〃的一次函数.

・讨论交流

1.在章头活动中，量筒水面的高度（h）是量筒中玻璃球总体积（V）的一次函数吗？

i解：设量筒底l面半径为Rl!

量筒水面的高度S）是量筒中玻璃球总体积（%的一次函数.

2.请举出一些生活中正比例函数、一次函数的实际例子.尝试说明其中“V”方’的实际意义.

正比例函数关系：苹果的单价为5元/kg,总价y（元）和重量Mkg）的关系为〉，=5》.

%”的实际意义是每斤苹果的价格，即苹果的单价.

一次函数关系：出租车起步价是10元，之后每千米收费2元，总费用N元）和行驶距离x（km）之间的关

系为），=2x+10.，%”的实际意义是每千米增加的费用，的实际意义是当行驶路程为0时（刚上车）的

费用，即需要支付的初始的费用.

巩固练4

1.卜.列说法正确的是(C)

A.y=2x是正比例函数，但不是一次函数

B.丁=”不是一次函数

C.是一次函数

D.y=10(x+3)是正比例函数

2.已知函数)，=伏+1求+攵-1,当左羊一1时,它是关于x的一次函数：当仁1时,它是关于

x的正比例函数.

3.当〃?=_2_时，函数)，=(〃?+2)为力-3-］是关于x的一次函数.

4.若y=(nr—1)JT+(1—ni)x是y关于x的正比例函数，则m的值为-1.

5.水池中有水465m3,每小时排水15m③，排水/h时，水池中亦有水冲？.写出)，关于/的函数表达

式.

解：y=465—15九

6.长方形草坪的长为15m,宽为10m.将草坪的长减少xm,宽保持不变.

(1)写出长方形草坪的面积.Vo?关于xm的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

⑵y是x的一次函数吗？如果是，写出比力的值.

解:(1)y=10(15—x),即y=-10x+150(0VxV15).

(2)y是x的一次函数,k=-l0,6=150.

思维提升

例3(2023•山西)一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm,每挂重

1kg的物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)

之间的函数表达式为y=0.5x+12.

1.下列各组变量的关系中，成正比例关系的是(C)

A.圆的面积S随半径，•的变化而变化

B.用10m长的绳子围成一个长方形，其中一边长y(m)随它邻边*m)的变化而变化

C.铁的密度为7.8g/cuJ,铁块的质量，〃(g)随它的体积的变化而变化

D.汽车油箱中有汽油50L,行驶过程中油箱中的油量Q(L)随行驶路程s(km)的变化而变化

2.某学校要建一块长方形菜地供学生劳动实践，菜地的一边靠墙(墙足够长)，另外三边用木栏围成，

木栏总长40m.如图，设长方形一边的长为xm,与之相邻的另一边的长为)，m,当x在一定范围内变

化时，1y随x的变化而变化，则y与x之间满足一次函数关系（填“正比例函数关系''或"一次函数

关系“）.

/（//〃///〃/〃〈/

xm

ym

3.已知人是，的一次函数，小明发现下表中有一个〃的值是错误的:

t•••1235•••

h•••2.42.83.44•••

请排除后利用正确的数据确定当人=8时，t=15

4.（2023•上海）某加油站推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油

卡加油，油价降低0.3元/升.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.

（1）他实际花了_900—元购买这张加油卡；

（2）优惠后的油价为），元/升，原价为x元/升，求），关于x的函数表达式；

（3）若原价为7.3元/升，则优惠后的油价比原价便宜多少？

解：（2）根据题意，Wy=0.9（A—0.3）=0.9A—0.27,

所以），关于x的函数表达式为y=0.9x-0.27.

（3）当x=7.3时,y=0.9x7.3-0.27=6.3,

所以优惠后的油价比原价便宜7.3—6.3=1（元"I）

课堂小结

一一次函数的概念

一次函数的概念——正比例函数中两个变量之间的对应规律

一次函数中的实际意义

板H设计

1.一