2024苏科版九年级数学上册期末全册复习（8大考点20类题型）

期末全册复习专题（8大考点20类题型）

目录

一•基础篇...........................................................................2

【考点一】概念与定义判断............................................................2

【★题型1］一元二次方程（定义、一般形式、系数识别）..............................2

【★题型2］圆的基本概念（圆心、半径、弦与弧、圆周角与圆心角）...................3

【★题型3】数据统计概念（平均数、中位数、众数、方差的定义）.....................5

【★题型4］概率概念（等可能性、随机事件、概率的取值范围）.......................7

【考点二】基础运算与求解............................................................9

【★题型5］一元二次方程解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）.........9

【★题型6］圆的计算（弧长，扇形面积、圆锥侧面积与全面积）.......................12

【★题型7］统计量计算（利用平均数、中位数、众数、方差进行判断）................15

【★题型8］一元二次方程根的判别式.................................................18

【考点四】核心性质应用.............................................................21

【★题型9］圆的性质（垂径定理求弦长、圆周角定理求角度）.........................21

二综合篇............................................................................27

【考点五】章内综合..................................................................27

【★★题型10】用树状图或列表法求概率.............................................27

【★★题型11】一元二次方程综合（根的定义+代数式化简求值）.....................30

【★★题型12】圆的综合（垂径定理+圆周角定理+弧长计算）......................32

【★★题型13】圆的综合（切线性质与判定+圆周角定理+弧长与面积运算）............38

【考点六】跨章综合..................................................................44

【★★题型14】一元二次方程+圆（用方程求圆的半径或弦长）......................44

【★★题型15】概率+统计（用频率估计概率的统计应用）...........................47

【考点七】实际应用..................................................................52

【★★题型15】一元二次方程应用（增长率、利润、儿何面积）.......................52

【★★题型16】圆的应用（拱桥、滚轮行程、扇形统计图）............................55

【★★题型17】统计应用（用平均数、众数、中位数、方差做决策）...........................................55

【★★题型18】概率应用（几何概率、游戏公平性判断、抽奖概率计算）..............60

三培优篇............................................................................64

【考点八】压轴题....................................................................64

【★★★题型19】一元二次方程与几何综合...........................................64

【★★★题型20]圆的动态探究......................................................73

【题型】带表示基础题，带表示综合题，带“★★★”表示压轴题

一.基础篇

【考点一】概念与定义判断

【★题型1]一元二次方程（定义、一般形式、系数识别）

1.（25-26九年级上•辽宁葫声岛•月考）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

,2

A.ax2+bx+c=0B.x2+3=2xC.x2-3x=y2+2D.x1--=0

x

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义即形如以2+云+。=0（。/0）的整式方程叫做一元二次方程判断.

本题考杳了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关健.

解：A.m+c=0,不一定是一元二次方程，不符合题意；

B./+3=2X,是一元二次方程，符合题意；

C.X2-3X=/+2,有两个未知数，不符合题意；

2

D.X2—=0,分母有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；

x

故选:B.

2.（25-26九年级上•安徽黄山•期中）如果，〃是一元二次方程》2一2.・1=0的一个根，那么多项式

-2m2+4〃?+2025的值等于（）

A.-2027B.-2023C.2023D.2027

【答案】C

【分析】本题考查的是求解代数式的值，•元二次方程的解的含义，由，〃是方程的根，可得加=2,〃+1,

代入多项式化简即可.

解：团〃?是方程x2-2x-I=0的根，

0nr—2m—i=0,

0nr=2m+1,

0-21H2+4m+2025=-2（2ni+1）+4m+2025=-4ni-2+4m+2025=2023.

团一2//+46+2025的值为2023.

故选：C

3.（25-26九年级上•北京•期中）已知关于工的方程（m-l）Y-2x+5=0是一元二次方程，则，〃的取

值范围是—•

【答案】m^\

【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为仆2+云+C=0（其中。工0）.

根据二次项系数不为零的条件求解即可.

解:团关于X的方程（〃一l）V-2x+5=o是一元二次方程，

0二次项系数〃2-1工0,

解得：，〃工1.

故答案为：〃，工1.

4.（25-26九年级上•广东江门•期中）一元二次方程4f+21=3（工-5）化成一般形式是:一

次项系数是.

【答案】4/7+15=0-I

【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式.

先将方程右边的括号展开，然后移项使方程右边为0,合并同类项化为一般形式，再根据一般形式

识别一次项系数.

解：4.r+2x=3（x-5）

4x2+2X=3A-15.

4X2+2X-3X+15=0,

4X2-X+15=0.

可知一次项系数为-1.

故答案为：4x2-x+15=0»-1.

【★题型2］圆的基本概念（圆心、半径、弦与弧、圆周角与圆心角）

1.（25-26九年级上•广东汕头•月考）下列说法正确的是（）

A.直径是弦，弦是直径B.无论过圆内哪一点，只能作一条直径

C.相等的弦所对的弧相等D.在同圆中直径的长度是半径的2倍

【答案】D

【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧和半径的关系.根据圆的定义和性质逐一判断

选项的正确性即可.

解：A.直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故该选项错误，不符合题意；

B.过圆内一点，若该点是圆心，可作无数条直径；若该点不是圆心，只能作一条直径（连接该点与

圆心并延长），故该选项错误，不符合题意；

C.相等的弦所对的弧不一定相等，因为弧有优弧和劣弧之分，只有在同圆或等圆中且对应同类型弧

时才相等，故该选项错误，不符合题意；

D.在同圆中，直径的长度是半径的2倍，故该选项正确，符合题意；.

故选：D.

2.（25-26九年级上•浙江绍兴•期中）下列语句中，正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条

直线都是圆的对称轴.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；根据圆的性质，判断

每个语句的正确性，考虑同圆或等圆的条件以及弦是否为直径，然后问题可求解.

解：团①相等的圆心角所对的孤相等，必须在同圆或等圆中才成立，故①错误；

团②等弧对等弦，故②正确；

团③平分弦的直径垂直于弦，当弦为直径时不一定垂直，故③错误；

团④经过圆心的直线是圆的对称轴，故④正确；

0正确的有②④，共2个；

故选B.

3.（23-24九年级下•全国•课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周用，由此

即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键.

解：由图可得：N1和N3符合圆周角的定义，N2顶点不在圆周上，N4的一边和圆不想交，

故图中的圆周角有N1和N3,共2个，

故选：B.

4.（24-25九年级上•北京顺义•期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的

木质车辆.对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具.生活中，车轮通常的形状是圆形.

古代车轮现代车轮

下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是（填写所有正确选

项的序号）.

①圆是轴对称图形；

②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；

③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；

④圆中垂直于弦的直径平分弦.

【答案】②③

【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点0的距离等于定长，的点的集合解答

即可.

解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平

行于这条直线的一条直线上，

团能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③.

故答案为：②③.

【★题型31数据统计概念（平均数、中位数、众数、方差的定义）

1.（25-26九年级上•河北石家庄•期中）如图，下列四个温度计显示度数的平均数为（）

A.-亢B.0℃C.-L2SCD.1.25℃

【答案】D

【分析】本题考查的是平均数的计算，根据四个温度计显示度数分别是-IOC,0℃,5℃,10℃,直接计

算平均数即可.

解：由图知，四个温度计显示度数分别是・1。℃,0℃,5cl0℃,

团四个温度计显示度数的平均数为:？（-100+5+10）=1.25℃,

故选：D.

2.（25-26八年级上•全国•单元测试）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数

A.25岁和23岁B.24岁和24岁C.24岁和23岁D.24岁和23.5岁

【答案】D

【分析】本题考查众数与中位数的概念及统计图分析，利用众数（出现次数最多的数）和中位数（排

序后中间位置数）的定义求解，关键是准确统计人数并确定中位数位置，易错点是未排序或数错总

人数；解题思路为：从条形图得各年龄人数，找出现次数最多的数得众数，统计总人数确定中位数

位置得中位数.

解：从图中可知：21岁3人、22岁1人、23岁2人、24岁5人、25岁1人；

众数：24岁（出现次数最多）；

总人数：3+1+2+5+1=12,中位数是第6、7个数的平均数，排序后第6、7个数平均数为

/23笠+24=23.5岁，故中位数为23.5岁；

故选D.

3.（25-26八年级上•黑龙江齐齐哈尔•月考）已知一组数据：2、4、5、6、8,这组数据的平均

数是，方差是.

【答案】54

【分析】本题考查了求平均数和方差.先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方

差公式计算方差即可.

解：这组数据为2、4、5、6、8,共5个数据,

2+4+54-6+825=

故平均数工=---------------------=—=5

方差/=l^(2-5)2+(4-5)24-(5-5)2+(6-5)2+(8-5)2]=1[9+14-0+l+9)=y=4.

故答案为：5,4.

4.（25-26八年级上•山东烟台•期中）实验中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中健康知识

考试成绩、课外体育活动情况、体育技能考试成绩按的比例确定最终体育成绩，小明本学期这

三项成绩（百分制）依次为95、90、94,则小明这学期的体育成绩为.

【答案】93

【分析】本题考查加权平均数的计算，根据比例2:3:5,将辞项成绩乘以相应权重后求和.

解：健康知识考试成绩、课外体育活动情况、体育技能考试成绩的比例为2:3:5,

因此权重分别为言2=0.2、k3=03、^5=0.5,

小明的成绩依次为95、90、94,

故体育成绩为95x0.2+90x0.3+94x0.5=19+27+47=93

故答案为93.

【★题型4］概率概念（等可能性、随机事件、概率的取值范围）

3.（24-25九年级上•广东清远•期中）下列说法错误的是（）

A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为上

36

B.不可能事件发生的概率为0

C.买一张彩票会中奖是随机事件

D.连续掷一枚质地均匀的硬币，若5次都是正面朝上，则第6次是正面朝上

【答案】D

【分析】本撅考杳了概率是反映事件发牛机会的大小的概念，解题的关锲是堂握概率只是表示发牛

的机会的大小，机会大不一定发生，机会小也有可能发生.

必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是:1.

不可能发生的事件就是•定不会发生的事件，因而概率为0.

不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率＞0并且＜1.

解：A.同时抛两枚普通止方体骰子，点数都是4的概率，第一个出现4的机会是;，第二个出现4

O

的机会也是!，因而点数都是4的概率为1,故选项止确，不符合题意；

B.不可能事件发生机会为0,正确，不符合题意；

C.买一张彩票会中奖是随机事件，正确，不符合题意；

D.连续掷一枚质地均匀的硬币，若5次都是正面朝上，则第6次不一定是正面朝上，故选项错误，

符合题意.

故选：D.

7.（25-26九年级上•浙江杭州•月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，

若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于焉则密码的位数至少需要____位.

【答案】四/4

【分析】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率,

再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键.

解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为5；

取两位数时一次就拨对密码的概率为上;

100

取三位数时一次就拨对密码的概率为焉；

取四位数时一次就拨对密码的概率为焉;；

10000

所以密码的位数至少需要四位，

故答案为：四.

8.（20-21八年级下•江苏常州•期中）在30名男生和12名女生的班级，随机抽签确定一名学生代表,

则—做代表的可能性较大（填写“男生”或“女生〃）.

【答案】男生

【分析】依题意，分别求出男生作代表和女生做代表的概率，比较之即可求得答案.

解：选男生做代表的概率为：前1=5，

选女生作代表的概率为：不12三=：2，

JU'JL4/

52

77

・•.男生做代表的可能性较大.

故答案为：男生.

【点拨】本题考查了概率的应用，掌握概率的简单”算是解题的关键.

9.(2020•福建泉州•二模)一个盒子中有白球m个，红球5个，黑球n个(每个球除了颜色外都相

同).如果从中任取个球，取得是红球的概率和不是红球的概率相同，那么m+n=.

【答案】5

【分析】取得红球的概率与不是红球的概率相同，球的总数目是相同的，那么红球数与不是红球的

球数相等.

解：取得是红球的概率与不是红球的概率相同，即红球数目与不是红球的数目相同，

而己知白球m个，红球5个，黑球n个，必有m+n=5.

故答案为：5.

【点拨】本题考查了概率的公式，用到的知识点为：在总数相同的情况卜，概率相同的部分的具体

数目相等.

【考点二】基础运算与求解

【★题型5】一元二次方程解法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法)

12.(25-26九年级上•新疆昌吉•月考)解下列方程：

(1)x2-6x=0；(2)2)+x-2=0；

(3)(X-1)2-16=0；(4)X2-7X-18=0.

【答案】(1)A-=0,x2=6；(2)=2,x2=-1；(3)=5,x2=-3；(4)x,=9,=-2

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解

题的关键.

(1)利用因式分解法求解；

(2)利用因式分解法求解；

(3)利用直接开平方法求解；

(4)利用因式分解法求解.

解：(1)解：x2—6x=0

x(x-6)=0

,1=0或工-6=()

团Xi=0.%2=6；

(2)解：2)+x-2=0

(X-2)(X4-1)=0

JV—2=0或x+l=(),

0％=2,x2=-1；

(3)解：(X-1)2-16=0

(1)2=16

x-\=4或工一I=-4

闻％=5.x2=-3

(4)解：X2-7X-I8=O

(x-9)(x+2)=0

x-9=0或x+2=0

0％=9,占=-2.

13.(25-26九年级上•湖南衡阳•期中)解方程

(1)4X2-3X-1=0(2)(X-1)2-2X(1-X)=0

【答案】(1)耳=1,=—■-；(2)$=1,x=—

42'3

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键.

(1)利用公式法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可.

解：(1)解：a=4,b=—3-c=-1,

[?1A=(-3)2-4X4X(-1)=25>0,

BA.=-(-3)±V25=3±5>

2x48

.I

(3%=1,x-,=---；

4

(2)解：原方程化为(4-1)2+2x(x7)=。

0(x-l)(x-1+2x)=O

(31=0或31=()

,1

0X1=1,x2=-.

14.(25-26八年级上•上海•期中)解方程:

(1)3(r-1)2=r2-l

【答案】(1)当=1,£=2；(2)x=-3

【分析】本题考查了一元二次方程与分式方程的解法，解题的关键是整式方程通过展开化筒后因式

分解求解，分式方程需去分母转整式方程并检验增根.

(1)将方程展开化简为一元二次方程，因式分解求解；

(2)分式方程去分母转整式方程，化简求解后检验增根，即可解答.

解：(1)解：3(X-1)2=X2-1

3(x-l)2-(.r-l)=O

3(X2-2X+1)-(X2-1)=0

3x2-6.V+3-X2+1=0

2X2-6X+4=0

X2-3X+2?=

(x-l)(x-2)=0

解得玉=1，工2=2;

x(x+2)-(x-2)=8

x2+2x—x+2=8

x2+x-6=0

(x+3)(x-2)=0

N=-3或/=2

检验：当x=2时，x-2=0,(舍去).

团方程的解为x=-3.

15.(25-26九年级上•江苏常州•期中)解下列方程：

2

(1)3X2-^=0(2)-3x+4.V+1=0

(3)9.?-(X-I)2=0(4)x(x-3)=10

【答案】(1)X=-：；(2)x=2+币,.=~:13)%=-：,巧=；；(4)=5,f=-2

3J33-4

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

(1)先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以3,再把方程两边同时开平方即可得到答案;

(2)利用公式法解方程即可；

<3)把方程左边利用平方差公式分解因式，再解方程即可得到答案；

(4)先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，最后解方程即可得到答案.

解：(1)解：03X2--=(),

3

r，1

回3厂=",

3

解得耳=!"?=《：

<2)解：一3f+4x+l=0

0<7=-3>b=4,c=1,

22

[?]A=/?-4<7c=4-4x(-3)xl=28>0,

向—b±d护—4ac-4±5/28

团x=------------=--------，

2a-6

&ZJ4H2+币2-"

解得内=3，",3；

(3)解：09X2-(X-1)2=O,

0[3x+(.r-l)J[3x-(A--l)]=O,

必+1=0或4.1=(),

解得X=-3，*2=；；

(4)解：回力-3)=1(),

0X2-3X-1O=O,

0(x+2)(x-5)=O,

团3+2=0或x-5=0,

解得a=53=-2.

【★题型61圆的计算(弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积)

4.(25-26九年级上•浙江温州•期中)如图，四边形/WCO内接于CQA8=8C，连接3。，若

ZBDC=54°,。的半径为5.则AC的长为()

A

A.2兀B.3nC.4兀D.6n

【答案】C

【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长.连接QAOC,根据圆周角定

理可得NAQC=NAO8+N8DC=108。，再根据圆内接四边形的性质可得

ZABC=180°-ZADC=72°,从而得到NAOC=2Z/WC=144。，然后弧长公式计算即可.

解：连接。AOC,

A-

0ZBZX7=54°,AB=BC，

0ZA£)B=ZBZX?=54°,

0z64Z>C=Z/\DBI-Z5£)C=108%

团四边形ABC。内接于O,

0Z/\BC+ZAZX：=18O°,

0ZABC=180°-ZADC=72°,

团NAOC=2NA4C=2x72。=144。，

0。的半径为5,

团4。的长为IQC=4乃.

1oU

故选：c

10.(25-26九年级匚湖北荆门•期中)已知圆锥的底面半径为5cm,母线长为12cm,则这个圆锥

的侧面积是一.

【答案】60乃〈:

【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥的侧面积公式S何二）”是解题的关键.

直接运用圆锥的侧面积公式求解即可.

解：团圆锥的底面半径为5cm,母线长为12cm,

国这个圆锥的侧面积是S14二万”二4乂5X12=60衣11?.

故答案为60.rc/zr.

11.（23-24九年级下•河南商丘•阶段练习）如图，在3x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,A,

B,。三个点均在格点上，连接48,AC并作AC，AC过点反则图中阴影部分的面积为.（结

果保留兀）

【分析】

本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，弓形面积的计算，先证明

AB=BC,ZABC=90°,再证明S阴影=S弓形BC，再利用割补法求解阴影部分的面积即可.

解：如图，连接8C,

由勾股定理可得：AB=422+12=4^=BC,AC=V32+I2=Vio»

^AB2+BC2=AC\

团ZABC=90。，

回AC为直径，

故答案为：.

84

16.（24-25九年级上•陕西渭南•期中）如图，四边形A4CD的面积为66，扇形43。的半径为4,

圆心角N7皿。为60。，求图中阴影部分的面积.（结果保留收号和兀）

【答案】］

【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：也二求出扇形A3。

360

的面枳，然后根据阴影部分的面积=四边形八88的面积-扇形A3。的面积求解即可.

解：团扇形A3。的半径为4,圆心角23AO为60。，

团扇形ABD的面积为"上土=»乃，

3603

又四边形ABCD的面积为68，

用阴影部分的面积为

【★题型7］统计量计算（利用平均数、中位数、众数、方差进行判断）

1.（25-26八年级上•全国•单元测试）二中为了招聘一批优秀教师，对入选的三名候选人进行技能与

专业知识两项考核，最终李老师、于老师、王老师三人的考核成绩统计如下：如果视教学技能与专

业知识水平同等重要，那么候选人将被录取；如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并

且赋予它们6和4的权重，则将被录取.

百分制

候选人

教学技能考核成绩专业知识考核成绩

李老师8592

于老师9185

土老师8090

【答案】李老师于老师

【分析】此题考查平均数和加权平均数的计算.当两项考核同等重要时，计算算术平均数；当赋予

不同权重时，计算加权平均数，再比较大小以决定录取.

解：当视教学技能与专业知识水平同等重要时，计算各候选人的算术平均数:

李老师："=88.5

2

于老师：2手=88

王老师：殁理=85

比较得88.5>88>85,故李老师将被录取.

当视教学技能水平比专业知识水平重要，并赋予它们6和4的权重时，计算各候选人的加权平均数:

85x6+92x4510+368878。

李老师:-----------=--------=---=X7.X

101010

91x6+85x4546+3408860。/

于老师：=——=88.6

1()101()

80x6+90x4_480+360840〃

王老师：——Ox.H4-

101010

比较得88.6>87.8>84,故于老师将被录取.

二、解答题

2.（2025•江苏•中考真题）为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评

委的评分情况如下（单位：分）.

表1评委评分数据

评委评委评分

小红7878777879

小丽7768888878

表2评委评分数据分析

选手平均数中位数众数

小红7.5b7

小丽a8C

根据以上信息,问答下列问题:

（1）表2中a-,b=,；

（2）你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由.

【答案】（1）7.5；7；8：（2）小丽的成绩较好，理由见分析

【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数，熟知平均数，中位数和众数的定义是解题的关键.

（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可;

（2）两人平均成绩相同，而小丽的中位数和众数大，据此可得结论.

7+7+6+8+8+8+8+8+8+7

解：（1）解：由题意得，a=7.5：

10

把小红的10位评委的评分按照从低到高排列为：7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,

团小红的10位评委的评分的中位数为子=7分，即8=7；

田小丽的10位评委的评分中，评分为8分的人数最多,

团小丽的10位评委的评分的众数为8,即c=8；

（2）解：小丽的成绩较好，理由如下：

从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来看，小丽的中位数和众数均大于小红的中

位数和众数，故小丽的成绩较好.

3.（2025・广东潮州•模拟预测）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经

典文化传承大赛〃的初赛，比赛设定满分为io分，参赛学生的得分均为整数.以卜.是甲、乙两组（每

组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：

甲组：6,7,9,10,6,5,6,6,9,6.

乙组：10,7,6,9,6,7,7,6,7,5.

根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表:

组别平均数中位数众数方差

甲组7a62.6

乙组b7C2

（1）在以上成绩统计表中，"=,b=

（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平.”根据上面的统计

表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因.

（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小处参加决赛，应选哪个组？并说明理由.

【答案】（1）6,7,7；（2）小明可能是甲组的学生，解释原因见分析；（3）选乙组参加决赛，

理由见分析

【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策.

（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；

（2）根据中位数的意义即可得出答案；

（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案.

解：（1）解：团甲组数据重新排列为：5,6,6,6,6,6,7,9,9,10.

团中间两个数的平均数是半=6,则中位数。=6；

团乙组数据重新排列为：5,6,6,6,7,7,7,7,9,10.

0/7=-LX（5+6+6+6+7+7+7+7+9+1O）=7,

团乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，

团众数c=7.

故答案为：6,7,7

（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：

团甲组的中位数是6分，而小明得了7分，

田小明在小组中属中游略偏上.

（3）选乙组参加决赛.理由如下：

回甲、乙两组学生平均数相同，

而S甲2=2.6>S：=2,

（3乙组的成绩比较稳定，

故选乙组参加决赛.

【★题型8】一元二次方程根的判别式

1.（25-26九年级上•广东潮州•期中）己知关于x的方程认+2〃L7=（）.

（1）若该方程的一个根为L求〃?的值和该方程的另一个根；

（2）求证：不论〃?取何值时，该方程都有两个不等实数根.

【答案】（1）6=2,另一根为一3；（2）见分析

【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解

法.

（1）将x=l代入方程求出，〃的值，再求解方程即可得到另一个根即可；

（2）证明一元二次方程的根的判别式恒为正即可.

解:（1）解：将x=l代入方程得1+〃?+2加一7=0,

解得；m=2i

此方程为f+2x-3=0，

因式分解为（A1）（X+3）=0,

0x-l=O,x+3=0,

解得：K=l,勺=-3,

国方程的另一个根为x=—3；

（2）解：X2+nix+2ni-7=0»

0A=m2-4（2/w-7）=/n2-86+16+12=（〃1-4）~+12>0,

团不论，〃取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

2.（25-26九年级上•广西南宁•期中）已知关于x的一元二次方程V+x+〃1=0.

（1）当，〃=1时，求方程的实数根；

（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数机的取值范围.

【答案】（1）%=（）,七=一1；（2）m<-

4

【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；

（1）把，”=1代入方程中，解方程即可；

（2）根据题意得到。0,对5-4机>0计算求解即可.

解：（1）解：当〃7=1时，x2+X=0

x（x+l）=0

x=0蛆+1=0

/.X,=0,x2=-I.

（2）解：•・•方程有两个不相等的实数根，

入>0,

即124x1x（"?1）>0,

5-4〃〉（），

5

/.m<—.

4

3.（25-26九年级上•江苏扬州•期中）己知关于x的一元二次方程X2-仕-1卜-攵=（）（攵为常数）.

（1）求证：无论〃取何值，方程总有实数根；

（2）若〃？、〃为该方程的两个实数根，且满足〃叶〃=〃"-2,求A的值.

【答案】(1)证明见分析；(2)k=

2

【分析1本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，正确掌握相关性质

内容是解题的关键.

(1)整理△=[-便-l)]2-4xlx(-4)=(4+1)&0,即可证明无论攵取何值，方程总有实数根：

(2)理解题意，得出/〃+〃=£一1,，再结合小+〃=一2,进行列式计算，即可作答.

解：(1)解：(3关丁*的元二次方程/一仕一1)工一#二0

0A=[-(A:-l)]2-4xlx(-A:)

=(k-\)2+4k

=k2-2k+\+4k

=公+2%+1

=(k+l)2之0；

团无论k取何值，方程总有实数根；

(2)解：取〃、〃为该方程/一(&-1)A&=0的两个实数根，

_(1)

0rn+n=-----=左一1,nm=-k,

1

0777+/?=77777-2，

^k-\=-k-2,

解得及=-；.

4.(25-26九年级上•湖北武汉•期中)已知关于x的一元二次方程Y+*.+,〃=0.

(1)若该方程有一个根为x=2,求方程的另一个根；

(2)若该方程有两个相等的实数根，求，"的值.

【答案】(1)另一个根是-3；(2)m=\

【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判

别式及根与系数的关系是解题的关键：

(1)根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解；

(2)根据一元二次方程根的判别式可进行求解.

解：(1)解：设方程的另一个根为巧，则由一元二次方程根与系数的关系可得：

2+司=-1,

团X]=-3,

印方程的另一个根是-3：

(2)解：•.•该方程有两个相等的实数根，

△=力？-4ac=1-4m=0，

1

，，〃=­.

4

【考点四】核心性腐应用

【★题型9］圆的性质(垂径定理求弦长、圆周角定理求角度)

1.(25-26九年级上•浙江•课后作业)如图，在(。中，弦BC与半径Q4垂直于点。，连接AB、AC.点

E为AC的中点，连接。石.

(1)若AB=6,求OE的长；

(2)若NBAC=100°,求NCQE的度数.

【分析】⑴根据垂径定理得到加=弁。，则AC=A8=6,然后根据直角三角形斜边上的中线性

质得到。石的长：

2.利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出NC=40。，然后利用M=EC得到

ZCD£=ZC=40°.

解:(1)解：EBC10A,

团外8=用。，ZA/X7=90°,

0AC=AB=6,

0点E为AC的中点，

^DE=-AC=3；

2

(2)解：^AC=AB,

0Z£MC=1OO°,

团/。=；（180。-100。）=40。，

0点E为AC的中点，

0ED=EC,

0ZCDE=ZC=40°.

【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了直

角三角形斜边上的中线性质.

2.（2025九年级上•浙江•专题练习）如图，C。是回。的直径，AC,AB,8。是团O的弦，AB//CD.

（1）求证：AC=BD；

（2）如果弦AA的长为8,人8与CD间的距离是3,求CO的长.

【答案】（1）见分析；（2）10

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线.

（1）过点。作OFJ_A5,延长0”交团。于点七，根据题意可得：CE=DE，AE=8E推出

即可证明；

（2）根据垂径定理可得A尸=4,再根据勾股定理求出04=5,即可求解.

解：（1）证明：如图，作垂足为点尸，延长。尸交团。于点E,

ZCO是团。的直径，AB//CD,

团CE=DE'AE二BE，

团AC=B。，

04C=肛

(2)解：则E4=48A=4,

2

^AB//CD,A"与。。间的距离是3,即。尸=3,

^OA=slFAi+FO1=716+9=5-

BOC=0D=0A=5，

^\CD=OC+OD=\0.

3.（2024•宁夏•中考真题）如图，在VA3c中，点。是边4c的中点，以A8为直径的。O经过点。,

点P是边AC上一点（不与点4c重合）.请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作

法.

（1）过点A作一条直线，将VA8C分成面积相等的两部分;

（2）在边AB上找一点P，使得8P'=".

【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握中线的性质，垂直平分线的性质，全等三宵形的判

定和性质是解题的关键.

（1）根据三角形中线平分三角形面积作图即可：

（2）根据直径或半圆所对圆心角为直角，可得AOJ.8C,结合8。=。。可得是线段BC的垂直

平分线，如图所示，连接切＞交AO于点E,连接CE并延长交48于点儿可证ABP^ACP'（ASA）,

可得=由此即可求解.

解：（1）解：回点。是边3c的中点，

^BD=CD,

团根据三角形中线平分三角形圆积，作图如下,

(2)解：回以/W为直径的《。经过点。，

团ZAO8=90。，即AOJ_8C,

又同BD=CD,

团A。是线段8c的垂直平分线，

团4B=4C,

^ZABC=ZACB,AO平分NBAC，即NR4O=N。。，

如图所示，连接8P交A。「点E,连接CE并延长交A8「点尸'，

0EB=EC,

E/EBC=/ECB,

团ZABC-ZEBC=ZACB-ZECB,即ZABP=ZACP',

在二A4P和中，

NABP=ZACP'

<AB=AC,

/BAP=NCAP'

团,人4名ACP(ASA),

^AP=APf,

^AB-AP,=AC-AP,

^BIy=CP.

4.(2025•河南•三模)如图，三角形ABC内接于CO,A8=AC,连接80并延长交。于点Q,

连结A。，AD,CD.

(1)求证：ZABC=ZADB；

(2)猜想04与CO的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)见分析•：(2)OA//CD,理由见分析

【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键.

(1)根据等腰三角形的性质得到NABC=NACB,根据圆周角定理得到NACB=NADB,证明

ZABC=^ADB,

（2）根据垂径定理得到NBAO=NC4O,根据圆周角定理得到ZABO=ZACD，得至ljZCAO=ZACD,

根据平行线的判定证明即可.

解：（1）证明：^.AB=AC,

0ZA5C=ZACe,

由圆周角定理得：ZACB=ZADB,

^ZABC=ZADB；

（2）解：OA//CD,理由如下：

0AB=AC,即NB=AC

0AO1BC,

团N84O=NC4O,

团04=08,

0ZABO=ZBAO,

回44。=/。。，

由圆周角定理得：ZAB0=ZACD,

团/C40=ZAC。，

团。A〃CD.

5.（25-26九年级上•北京密云•期中）已知A、B、C、5是OO上的点,BD为。0直径,过点。作B。

的垂线交8C延长线于点E.

（1）求证：NE=NA：

（2）SAC//DE,当=4c=12时，求。半径的长.

【答案】（1）见分析；（2）亍

4

【分析1本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理，

对广（1）,连接C。，根据直径所对的圆周角是直角得ND8C+N80c=90。，

再根据同角的余角相等得N%）C=ZE,然后根据同弧所对的圆周角相等得NAOC=NA,即可得出

答案；

对于（2）,连接0A,先说明BOJ_AC,再根据垂径定理得AH=6,然后根据勾股定理求出=8,

最后根据勾股定理得出方程，求出解即可.

回8。为。直径

团4c0=90。，

团/。4。+/加心=90。,

团8OJLOE，

0ZBDE=9O°,

0ZDBC+Z£=9O°,

0ZBDC=ZE,

0ZBDC=ZA,

0ZE=ZA；

(2)解：连接Q4,

A

⑦/BHC=/BDE=90。,

圆8力_LAC,

回A力为10直径，AC=12,

0A//=6，

在中，AA=10,

团8”=8，

设C。的半径为x,OH=^-x,

^OH2+AH-=O^,

0(8-x)2+6J=x~,

解得尸工，

4

0C。的半径为f.

4

二综合篇

【考点五】章内综合

【★★题型10］用树状图或列表法求概率

1.（2025•江苏•中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”"好〃"淮”"安"四个字，

卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀.

（1）从盒子中随机抽取1张七片，恰好抽到"淮”的概率是二

（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为"美"、

1张为“好”的概率.

【答案】（1）（2），，见分析

46

【分析】本题考杳利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键.

（1）直接利用概率公式即可解题；

（2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可.

解：（1）解：:盒子里装有四张卡片，

「•从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽至『‘淮"的概率是:’

故答案为：

（2）解：画树状图如下：

开始

美好淮安

△△△△

好淮安美淮安好美安