2023-2024学年河南省郑州市高新区九年级（上）期末数学试卷

2023・2024学年河南省郑州市高新区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）-工的相反数是（）

3

A.-工B.工C.3D.-3

3377

2.（3分）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中

被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是（）

3.（3分）2024年1月，河南省农业农村厅发布信息，我省小麦越冬期苗情好于常年，全省一类苗平均亩

群体73.34万，数据“73.34万”用科学记数法表示为（）

A.73.34X1034B.73.34X105C.7.334X104D.7.334X105

4.（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意

图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中ED//AB,经使用发现，当NOC8=I4（）。时,

台灯光线最佳.则此时NEDC的度数为（）

A.130°B.120"C.110°D.10()'

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.3a~+4（r=7a4B.

C.（a2）3=〃,D.（-3ab）2=6a2b1

6.（3分）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A.测量两条对角线是否相等

B.度量两个角是否是90°

C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

D.测量两组对边是否分别相等

7.（3分）关于x的一元二次方程，+x-"f=o的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

8.（3分）科技承载梦想，创新始于少年，某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发

现在某段航行过程中轮船模型的牵引力/（N）是其速度了（〃?・$［）的反比例函数，其图象如图所示，

下列说法不正确的是（）

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

—

O

A.该船航行过程中，尸随,的增大而减小

B.尸>10N时，V>2W5-1

C.该段航行过程中，函数表达式为卜=型

v

D.时，F=2.5N

9.（3分）如图，二次函数1y=,/+历:+（?（〃N0）的图象与x轴分别交于人、B两点,与），轴交于点C,点

B的坐标为（-1,0）,下列结论中正确的是（)

a-P+C<0C.a+b+c>0D.4a+2b+c=0

10，（3分）如图①，在菱形A5CQ中，垂直于A4的直线£尸（直线E”与菱形A5CQ的两边分别交于£、

F两点,且点E在点〃的上方）沿方向从点八出发到点8停止运动，设直线E尸平移距离为x,△

4E尸的面积为y,若y与x之闰的函数图象如图②所示，则加+〃的值为（）

C.7D.6

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）若代数式」一有意义，则实数x的取值范围是__________.

4-x

12.（3分）如图，若一次函数），=依+5的图象经过A、B两点.则方程区+6=0的解为

13.（3分）郑州是华夏文明的重要发祥地，是非遗文化传承的魅力名城，某校举行超化吹歌、小相狮舞、

少林功夫、荣阳笑伞四个专题活动，小智、小慧两位同学各自参加其中一个活动，每位同学参加各个活

动的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个活动的概率为

14.（3分）如图，在等边△A8C中，48=8,点尸在AC上且4尸=1,分别以点8和点。为圆心，以大于

工BC的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N,作直线MN交BC于点E,连接EF,则EF

2

15.（3分）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=4,A8=5,点。是斜边A8上的动点且不与点A和

点占重合，连接CD,点8'与点"关于直线C。对称,连接B'Lh当垂直于RtZ\A4CHj直角边时,

BD的长为__________

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（10分）（1）计算：（/）-1一病-（冗一/^）0；

2

（2）化简：（卜，）+一学+年

2

x+3X-9

17.（9分）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，八/的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未

有的创新与变革.为了解甲、乙两款A/软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各

随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：

。.信息处理速度（满分10分）

人数

口甲得分情况口乙得分情况

T-甲得分情况-♦-乙得分情况

10...........................................................................

1234567891011121314151617181920使用者编号

c.信息处理速度和信息识别准确度得分统计表

项目信息处理速度得分信息识别准确度得分

统计量平均数中位数众数平均数方差

AI软件

甲7.37b5.6S甲2

乙7.65a74.9SJ

根据以上信息，解答下列问题：

（1）表格中4=,b=,S甲2S乙2（填“＞，，“=，，或"V”）；

（2）若某市共有20.4万人使用甲款4软件，请你估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人

数；

（3）综合上表中的统计量，你认为哪款4软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）.

18.（9分）如图，一次函数），=/1与反比例函数y=K（x>0）的图象在第一象限的交点4横坐标为1，

X

直线LLr轴于点N（〃，0）,且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点8和点C,且点8在点C上

方.

（1）求反比例函数的表达式：

（2）若四边形OQ6C是平行四边形，求。的值.

19.（9分）河南新密伏羲山小马高原风景秀丽，成为新晋河南打卡景区，景区为旅游旺季的到来做物资准

备，需要购买A、8两种型号R勺帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和8种型号帐篷4顶，则需520。元；

若购买A种型号帐篷3顶和3种型号帐篷1顶，则需2800元.

（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格：

（2）若该景区需要购买A、8两种型号的帐篷共70顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买4种型号

帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的工，为使购买帐篷的总费用最低，应购买人种型号帐篷和13

3

种型号帐篷各多少顶？

20.（9分）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景.如图，风

力发电机舱在点O处，三片扇叶两两所成的角为120°,某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪

进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点C处安放测角仪（测角仪高度AC=1米），当扇叶。恰好

与塔杆重合时，测得扇叶匕的末端点8的仰角为54.5°,经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26

米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高.请你判断

该发电机机舱的高度是否合适.（参考数据sin54.5°Q0.8Lcos54.5°a0.58,tan54.51l.40,如〜1.73）

21.（9分）如图，△AAC的外接圆是以48为直径的O。，过点A作的切线，与4C的延长线交于点

。，在8。上截取EC=C。，连接人七并延长交。。于点尸，连接C/7.

（1）求证：CF=CA；

（2）若AC=2,tanB=—»求BE的长.

2

22.（10分）如图1,某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2,以圆形水池中

心。为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的

坐标为（0,1）.

（1）当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即08=3时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内

水柱的函数表达式；

（2）若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面

后造成的进溅），请通过计算说明.

图I图2

23.（10分）综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转.

【动手操作】

如图1,四边形A4CO是一张矩形纸片，A4=8,AD=5.先将矩形4BCO对折，使4C与A。重合，

折痕为MM沿MN剪开得到两个矩形.矩形AMND保持不动，将矩形M8CN绕点”逆时针旋转，点

N的对应点为N',MC所在直线与DN所在直线交于点G.

【探究发现】

（1）连接MG,•・・NN=NN=90°,MN=MN,MG=MG,根据（填选项），证得△MMG

丝△MNG,:・NG=NG；

A.SAS

B.HL

C.AAS

D.ASA

（2）数学老师让学生动手操作后提出问题：

①“勤奋”组发现，如图2,当点N落在A。边上时，8c边恰好经过点N,提出问题：求两个矩形重

叠部分四边形MNGN的面积；请你直接写出四边形MMGN的面积；

②“好学”组提出问题：如图3,当N落在例。上时，连接。C,NN,发现NN〃OC,请你尝试证明

NN,//DC；

【引申探究】

（3）当点M落在矩形4MM）中NAMN的平分线所在直线上时，请直接写出线段GN的长.

图1图2图3

AD

备用图

2023・2024学年河南省郑州市高新区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共1。小题）

题号12345678910

答案BCDABCABCA

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）-工的相反数是（）

3

A.-工B.工C.3D.-3

3377

【分析】根据相反数的定义直接得到-工的相反数是工.

33

【解答】解：-工的相反数是工.

33

故选：B.

【点评】本题考查了相反数.解题的关键是明确相反数的意义：。的相反数为

2.（3分）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中

被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是（）

（图①）

（图②）

【分析】根据从I:面看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：图②“堑堵”从上面看，是一个矩形，

故选：C.

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

3.（3分）2024年1月，河南省农业农村厅发布信息，我省小爰越冬期苗情好于常年，全省一类苗平均亩

群体73.34万,数据“73.34万”用科学记数法表示为（）

A.73.34X104B.73.34X105C.7.334X104D.7.334X105

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为其中1W|〃|V1（）,〃为整数，且〃比原来

的整数位数少1,据此判断即可.

【解答】解：73.3477=733400=7.334X105.

故选：D.

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为aX10〃，其中1WMIV10,确定。与

〃的值是解题的关键.

4.（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意

图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中ED//AB,经使用发现，当NOCB=140°时，

台灯光线最佳.则此时NEDC的度数为（）

D.100°

【分析】过。作CK//AB,得到CK//ED,由BCLAB,推出BCLCK,由垂直的定义得到/BCK=90°,

求出NQCK=NOC8・NBCK=50°,由平行线的性质推出NEQC+NOCK=180°,即可求出NEOC

=130°.

【解答】解：过C作CK〃A6,

*：ED//AB.

，CK//ED,

'JBCLAB,

・・・N8CK=90°,

VZDCB=140°,

ZDCK=ZDCB-N8CK=500,

'：CK//DEy

：.ZEDC+ZDCK=\S00,

AZEDC=130°.

故选：A.

ED

AB

【点评】本题考查平行线的性质，关键是过。作CK〃A&得至IJCK〃ED,由平行线的性质来解决问题.

5.(3分)下列运算正确的是()

A.3a2+4a2=la4B.4a2-i-a=4a

C.(a2)3=a5D.(.・3ab)2=6a2lr

【分析】利用合并同类项、单项式除以单项式、幕的乘方、积的乘方法则，逐个计算得结论.

【解答】解：A.3a2+4/=7〃2#7〃4,故选项A运算错误;

B.4cr-ra=4a,故选项B运算正确；

C.(j)3="6#〃5,故选项c计算错误；

D.(-3ab)2=9/信¥6/户，故选项。计算错误.

故选:B.

【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键.

6.(3分)要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是()

A.测量两条对角线是否相等

B.度量两个角是否是90°

C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

D.测量两组对边是否分别相等

【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：小测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不

符合题意；

氏度量两个角是否是90°,不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项8不符合题意：

C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项。符合题意；

。、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为

平行四边形”是解题的关键.

7.（3分）关于x的一元二次方程/+工-川=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可.

【解答】解:VA=12-4X1X（-m2）=l+4m2>0,

工方程有两个不等实根.

故选:A.

【点评】本题考查的是根的判别式，热知一元二次方程—+灰+。=0（“W0）的根与八=廿-4"的关

系是解答此题的关键.

8.（3分）科技承载梦想，创新始于少年，某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发

现在某段航行过程中轮船模型的牵引力/（N）是其速度丫的反比例函数，其图象如图所示，

下列说法不正确的是（）

A.该船航行过程中，”随u的增人而减小

B.尸>ION时，v>2m*s

C.该段航行过程中，函数表达式为卜=型

v

D.时，F=25N

【分析】根据图象和反比例函数的性质，逐项判断各项的正误即可.

【解答】解：4、根据图象可知，八V是定值，尸随U的增大而减小，选项正确，不符合题意;

B、当尸＞1ON时，V＜2/7r.y-',选项错误，符合题意；

C、根据图表信息，函数表达式为尸=陪，选项正确，不符合题意；

D、当V=8〃LS1时，F=2。=25N,选项正确，不符合题意.

8

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键.

9.（3分）如图，二次函数），=公2+区+。（。工0）的图象与x轴分别交于A、3两点，与y轴交于点。，点

)

a+b+c>0D.4a+2Z?+c=O

【分析】根据所给函数图象可得出出b,。的正负，再结合勉物线的对称性和增减性即可解决问题.

【解答】解：由函数图象可知，

〃V0,b＞（）,c＞（）,

所以acVO.

故4选项错误.

因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0）,

所以a-b+c=O.

故8选项错误.

因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,且对称轴为直线工=1,

所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0）.

因为抛物线的开口向下，

所以当X=1时，其函数值大于零,

即a+b+c>0.

故。选项正确.

由上述过程可知，

当x=2时，其函数值大于零，

即4a+2b+c>0.

故。选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.

10.（3分）如图①，在菱形A8CQ中，垂直于A3的直线£尸（直线E”与菱形A8CQ的两边分别交于七、

F两点,且点E在点〃的上方）沿方向从点八出发到点8停止运动，设直线E尸平移距离为x,△

4E尸的面积为y,若y与x之闰的函数图象如图②所示，则加+〃的值为（）

图①娥）

A.9B.8C.7D.6

【分析】图②中有点（2,啦）,结合图①，表示点E移动到点D时，AF=2,SMEF=4近,那么

。。与A6之间的距离为：啦*2=4近.直线石户继续向右平移，结合图②，让6&X2+4企即

2

可得到〃?的值，让12&><2：4加即可得到〃的值，计算川+〃即可.

【解答】解：•・•点（2,4近）在两段函数上，

/.点E移动到点D时，AF=2,5MEF=4A/2.

s®

.・,-4立X2:4圾

2

®D

<S/MEF=6破，

/.AF=W=6V2X24-4V2=3.

同理可得：〃=12点义2・4亚=6,

，/〃+〃=3+6=9.

故选：A.

【点评】本题考查动点问题的函数图象.根据图象获取关键点的信息是解决本题的关键.用到的知识点

为：三角形的高=2X面积4■底边；三角形的底边=2X面积4■高.

二、填空题（每小题3分，共15分）

II.（3分）若代数式N一有意义，则实数x的取值范围是#4.

4-x

【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可.

【解答】解：•・•代数式2有意义，

4-x

・・・4-/0,

解得xN4.

故答案为：xW4.

【点评】本题考宣分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关犍.

12.（3分）如图，若一次函数），="+》的图象经过A、8两点.则方程依+人=0的解为N=-2

【分析】直接利用图象得出答案.

【解答】解：如图所示：不等式H+b=O的解为：x=-2.

故答案为：x=-2.

【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键.

13.（3分）郑州是华夏文明的重要发祥地，是非遗文化传承的魅力名城，某校举行超化吹歌、小相狮舞、

少林功大、荣阳笑伞四个专题活动，小智、小慧两位同学各自参加其中一个活动，每位同学参加各个活

动的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个活动的概率为1.

一4一

【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这两位同学恰好参加同一个活动的结果数，再利用概率

公式可得出答案.

【解答】解：将超化吹歌、小相狮舞、少林功夫、荣阳笑伞川个专题活动分别记为A,B,C,D,

画树状图如下：

开始

共有16种等可能的结果，其中这两位同学恰好参加同一个活动的结果有4种，

・•・这两位同学恰好参加同一个活动的概率为且=工.

164

故答案为：1.

4

【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

14.（3分）如图，在等边△A8C中，A8=8,点/在AC上且4广=1,分别以点8和点。为圆心，以大于

工BC的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N,作直线MN交BC于点E,连接EF,则£：F=_V37_.

2

【分析】过点尸作/G_LBC于点G,由作图痕迹可知，直线MN为线段8c的垂直平分线.则可得8E

=CE.根据等边三角形的性质以及锐角三角函数的定义可求出CG,尸G的长，进而可得EG的长，再

利用勾股定理可得答案.

【解答】解：过点F作FG_L8C于点G,

由作图痕迹可知，直线MN为线段4C的垂直平分线，

/.RE=CE.

•••△ABC为等边三角形，AB=8,

：,BC=AC=AB=S,ZC=60°,

：・BE=CE=4.

VAF=1,

ACF=7,

.•・CG=CP・cos60°=7X—="»〃G=C/・sin6U°=/X2/1.=

2222

：,EG=CE-CG=4-工=工

22___________

在RtZXEFG中，由勾股定理得，^=A/FG2+EG2=J(^^-)2+(—)2=V37.

V22

故答案为：V37.

【点评】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握

线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、勾股定理是解答本题的关健.

15.（3分）如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC=4,A8=5,点。是斜边A8上的动点且不与点A和

点8重合，连接CD,点8与点8关于直线CO对称，连接B7）,当8D垂直于RtZ\ABC的直角边时，

BD的长为1或3.

【分析】分两种情形分别证明AC=4。，BC=B。即可解决问题.

【解答】解：VZC=90°,AC=4,A8=5,

=22

ABCVAB-AC=^52-42=3

①如图1中，当8'O_L8C时，设8'D交BC于E,可得CD平分NAOE,

/.ZADC=ZCDE,

，：AC〃B'E,

：.ZACD=ZCDE=ZADC,

・"O=AC=4,

：,BD=AB-AD=5-4=\.

②当。B'_LAC于E时，同法可证BC=BO=3,

综上所述，满足条件的BD的值为1或3.

故答案为：1或3.

【点评】本题考查直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关

键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

-1

16.(10分)(1)计算:(y)-V64-(冗-V2)°；

2

（2）化简：（卜，）+x学+年

2

x+3X-9

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

【解答】解：（1）g）T-洞-（兀日^）。

=3-4-1

=-2；

2

(2)(卜，)尸+4x+4

2

x+3X-9

x+3-1.(x+3)(”3)

x+3(x+2)2

x+2,(x+3)(x-3)

x+3（x+2）2

=x-3

百

【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数零，负整数指数累，准确熟练地进行计算是

解题的关键.

17.（9分）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，A1的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未

有的创新与变革.为了解甲、乙两款4软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各

随机抽取2（）名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：

公信息处理速度（满分10分）

人数

口甲得分情况口乙得分情况

T-甲得分情况-♦-乙得分情况

10...........................................................................

1234567891011121314151617181920使用者编号

c.信息处理速度和信息识别准确度得分统计表

项目信息处理速度得分信息识别准确度得分

统计量平均数中位数众数平均数方差

AI软件

甲7.37b5.6S甲2

乙7.65a74.9SJ

根据以上信息，解答下列问题：

（1）表格中7.5,h=9,S甲2vs乙2（填“＞，，”=，，或，，＜"）；

（2）若某市共有20.4万人使用甲款AI软件，请你估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人

数；

（3）综合上表中的统计量，你认为哪款4/软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）.

【分析】（I）根据中位数、众数与方差的定义即可求解;

（2）用样本估计总体即可；

（3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可.

【解答】解：（1）共20个数据，乙组数据第10个，第11个数据分别为7、8,

所以中位数。=工盘=7.5,

2

甲组数据中9出现的次数最多，

故〃=9,

由信息识别准确度的折线图可知，5甲2Vs乙2.

故答案为：7.5,9,<；

（2）204000X-^-=51000（人），

20

估计对本款软件信息识别准确度打分超过（7分）的人数为51000人；

（3）甲款4/软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下：

;信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差，

，甲更稳定，

・•・甲款4软件使用效果更好.

【点评】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.，也考

查了平均数、中位数.关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析.

18.（9分）如图，一次函数y=/+l与反比例函数y=X（x>0）的图象在第一象限的交点A横坐标为1,

x

直线LLx轴于点N（小0）,且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B和点C,且点B在点C上

方.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若四边形ODBC是平行四边形，求。的值.

/01x

I

【分析】（1）先求出A点坐标，再求反比例函数解析式即可；

（2）先确定84+1）,2）,分别求出BC=〃+1-2,07）=1,再由平行四边形的性质得到

方程4+1-2=1,求出。的值即可.

a

【解答】解：（1）•・•点A横坐标为1,且在一次函数y=x+l上，

・・・4（1,2）,

将点4代入），=工，可得％=2,

x

・♦・反比例函数的解析式为产2；

（2）由题可知8（a,a+1）,C（a,2）,

a

•・•点8在点C上方，

：.BC=a+\-2,

a

当x=0时，y=1,

：.D（0,1）,

JOD=\,

•・•四边形0。8c是平行四边形，

AOD=BC,即a+1-2=1,

a

解得。=±&，

•・•反比例函数中X>0,

*.a=y[2.

【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是

解题的关键.

19.（9分）河南新密伏羲山小马高原风景秀丽，成为新晋河南打卡景区，景区为旅游旺季的到来做物资准

备，需要购买A、8两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；

若购买A种型号帐篷3顶和8种型号帐篷1顶，则需2800元.

<1）求每顶A种型弓帐篷和每顶〃种型号帐篷的价格；

（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共70顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A种型号

帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的1,为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B

3

种型号帐篷各多少顶？

【分析】（1）设每顶4种型号帐篷〃，元，每顶B种型号帐篷〃元，根据若购买A种型号帐篷2顶和8

种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：

2m+4n=5200f即可解得答案；

3m+n=2800

(2)设购买4种型号帐篷x顶，总费用为卬元，由购买A和型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数

量的工，可得xW5,而卬=600工+1000(20-x)=-400x+20000,根据一次函数性质可得答案.

3

【解答】解：(1)设每顶A种型号帐篷加元，每顶8种型号帐篷〃元,

f2m+4n=5200

根据题意得:

13m+n=2800

(m=600

解得:

ln=1000

・•・每顶4种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元;

(2)设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买8种型号帐篷(70-x)顶,

•••购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的工，

3

••.启工(70-%),

3

解得xW17.5,

根据题意得：w=600x+1000(70-x)=-400x+70000,

•・•・400<0,

••・卬随x的增大而减小,

.••当x=17时，w取最小值,最小值为-400X17+70000=63200(元),

「.707=70-17=53,

答：购买A种型号帐篷17顶，购买8种型号帐篷53顶.

【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系

式.

20.(9分)黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景.如图，风

力发电机舱在点。处，三片扇叶两两所成的角为120°,某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪

进行了实地测显，他们在距离塔杆65米的点C处安放测角仪(测角仪高度AC=1米)，当扇叶a恰好

与塔杆重合时，测得扇叶力的末端点B的仰角为54.5°,经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26

米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高.请你判断

该发电机机舱的高度是否合适.(参考数据sin54.5°-0.81,cos54.5°-0.58,ian54.5F.40：V3^1.73)

【分析】过点A作A£_L。。，垂足为£,过点4作出」4石，垂足为凡过点。作。G_L4F,垂足为G,

根据题意可得：DE=AC=\米，4E=C3=65米，OG=EF,OE=GF,NBOD=120°,N/)OG=9()°，

从而可得NBOG=30°,然后在RSOG中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BG=13米，

OG=I3五米，从而可得七产=OG=13爪米，进而可得(65-13百)米，再在Rt△48/中，利

用锐角三角函数的定义求出8F的长，从而求出G尸的长，最后利用线段的和差关系求出OD的长，即

可解答.

【解答】解：该发电机机舱的高度合适，

理由：如图：过点A作4E_L。。，垂足为E,过点3作用UAE,垂足为R过点。作OGJ_8F,垂足

为G,

由题意得：OE=AC=1米，AE=CQ=65米，OG=EF,OE=GF,ZBOD=\20°,NOOG=90°,

J4BOG=ZBOD-NOOG=30°，

在RtZXAOG中，04=26米，

：.BG=^0B=\3（米），OG=aBG=13炳（米），

2

・・・七/=。6=137§米，

：,AF=AE-EF=（65-13乃）米，

在R1△人8/中，NBAF=54.5’，

・・・8/=4尸・lan54.5°&(65-13«)X1.4=(91-18.2五)米,

：,OE=GF=BF-BG=（78-18.2近）米,

：.0D=0E+DE=19-18.273^47.514（米），

当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高，

，该发电机机舱的高度合适.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

21.（9分）如图，aABC的外接圆是以A8为直径的。。，过点A作。。的切线，与8c的延长线交于点

D,在3。上截取EC=C£>,连接AK并延长交。。于点凡连接CF.

（1）求证：CF=CA；

（2）若AC=2,tanB=",求8E的长.

2

【分析】（1）由4B是。。的直径，NAC8=90°,则4c垂直平分QE,所以AE=A。，由等腰三角形

的“三线合一”得NCAF=NC4。，由切线的性质证明/84£）=90°,则N8=NC4D=90°-ABAC,

所以N8=NCA尸=/凡则CF=CA；

（2）由@=tan/CAD=tanB=9=L,且AC=2,求得CO=Lc=l,8c=2AC=4,则EC=CO

ACBC22

=1,所以BE=BC・EC=3.

【解答】（1）证明：・・・A3是0。的直径，

AZACB=90<>,

VEC=CD,

工AC垂直平分DE,

：.AE=AD,

：.ZCAF=ZCAD,

:A。与。。相切于点A,

：.AD±OAf

・・・N8AO=90°,

/.ZB=ZC4D=90°-ABAC,

/.ZB=ZC4F,

'：NB=/F,

：.ZCAF=ZF,

JCF=CA.

（2）解：VZACD=ZACB=90°,4B=/CAD,AC=2,

/.^2.=tanZCAD=（anB=—=—,

ACBC2

：,CD=1AC=\,BC=2AC=4,

2

：,EC=CD=\,

：,BE=BC-EC=4-1=3,

的长是3.

【点评】此题重点考查直径所对的圆周角等于90°、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线

合一”、切线的性质、圆周角定理、“等角对等边“、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明AC垂

直平分并且推导出NB=NC4尸是解题的关键.

22.（10分）如图1,某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2,以圆形水池中

心O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的

坐标为（0,1）.

（1）当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即。8=3时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内

水柱的函数表达式；

（2）若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面

后造成的进溅），请通过计算说明.

图I图2

【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（3,5）,点A（0,I）,设抛物线的解析式为（x-3）

2+5,待定系数法求出解析式即可；

（2）令y=0,解方程求出x的值与7比较即可.

【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（3,5）,点A（0,1）,

设抛物线的解析式为y=a（A--3）2+5,

将点A坐标代入，得9〃+5=1,

解得。=-匡，

9

・•・第一象限内水柱的函数表达式为y=-三（x-3）2+5；

9

（2）令）=（）,则-三（x-3）2+5=0,

9

解得内=3+苴叵，月=3-苴叵（舍去），

22

V3+-^5_<7,

2

・•・在（1）的条件下喷出的水柱是不会落在水池外.

【点评】此题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关

键.

23.（1（）分）综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转.

【动手操作】

如图1,四边形48C。是一张矩形纸片，AB=8,4）=5.先将矩形4BC。对折，使BC与A。重合，

折痕为MM沿MN剪开得到两个矩形.矩形AMNO保持不动，将矩形M8CN绕点M逆时针旋转，点

N的对应点为N',NC所在直线与DN所在直线交于点G.

【探究发现】

（1）连接MG,•・•/"=NN=90。，MZ=MN,MG=MG,根据8（填选项），证得△MMGg△MNG,

:.NG=NG；

A.SAS

B.HL

C.AAS

D.ASA

<2）数学老师让学生动手操作后提出问题：

①“勒奋”组发现，如图2,当点“落在4。边上时，4。边恰好经过点M提出问题：求