北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知直线l经过两点P−1,0，Q0,t，且直线l的倾斜角为60∘，则t=A.3 B.−3 C.2.设圆x2+y2+4x−2y−4=0的圆心为M，半径为A.M2,−1，r=9 B.M−2,1，r=9

C.M2,−1，r=3 D.3.如图，在▵ABC中，AB=4，BC=3，CA=6.则以A，B为焦点且经过点C的双曲线的离心率为(

)

A.94 B.2 C.43 4.已知{an}是等比数列，a1=12A.64 B.32 C.16 D.85.已知圆C：x−22+y+12=5，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“m=2”是“直线l的方程为A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2，AAA.−3 B.−1 C.0 D.17.某图书馆为丰富馆藏图书资源，制定如下购置计划：第一个月购置250册图书，自第二个月起，每月比上一个月多购置150册．若该图书馆希望新增图书总量超过5000册，则该计划至少需要实施的月数为(

)A.6 B.7 C.8 D.98.设a，b，c，d为空间向量且均为非零向量，已知a+b+c−d=a−b+2c−d=0，给出下列四个结论：①b与c共线；②aA.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④9.对于定义域为R的函数fx，若存在m∈R使得fx在区间−∞,m上单调递增，在区间m,+∞上单调递减，则称函数fx为R上的单峰函数．下列函数中为R上的单峰函数的是A.fx=x+2sinx B.fx=10.已知Ω1=0,2,0,3,1,2,1,4,2,2,2,3和Ω2=3,2,4,0,4,1A.当k=−2时，b的值可以为6

B.当b=0时，k的值可以为34

C.当k=45时，b的取值范围是0,25

D.当二、填空题：本大题共5小题，共30分。11.直线2x+y+10=0在x轴上的截距为

．12.设函数fx=2x2，当x由1变到1.1时，函数fx13.已知圆A:x−m2+y2=2，圆B:x2+y−m214.已知an为等差数列，a1=1，a4=7，将an设bn为该数阵第n行所有数之和，则b4=

，bn15.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，点B5,0，点A在抛物线C上且AB=BF，则AF=

；过点A作直线AB的垂线l，则直线l与抛物线16.已知无穷数列an的各项均为正数，记Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+a①a②a③∀n∈N∗，④∀n∈N∗，其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知函数fx=(1)求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx的单调区间．18.已知数列an是公比为qq>1的等比数列，其前n项和为Sn，且a1(1)求q的值；(2)若等差数列bn满足b1=a1，其前n项和为Tn，再从条件①、条件②、条件条件①：b5条件②：b3条件③：T3注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5(1)求证：AB⊥PD；(2)求平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值；(3)设点E是PD的中点，点F是棱PA上的点，且BF//平面PCD，判断直线BF与直线CE的位置关系，说明理由．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F1的直线l1与椭圆E交于点A,B，过点F2的直线l2与椭圆E交于点C,D，点A,D在x轴上方，若四边形ABCD是面积为221.设无穷数列an的前n项和为Sn，定义集合D=m∈N∗∣对任意正整数i>m,(1)若an=2n，分别判断1∈D，(2)若a1=1，an+1=S(3)已知无穷数列an的各项均为正整数，求证：或者存在一个单调递增的无穷正整数数列jn使得对任意正整数p<q有SjqSjp∈N参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.C

10.C

11.−5

12.4.2

13.1(答案不唯一)

14.64；n15.4 ；1

16.③④

17.(1)因为函数fx的定义域为0,+∞，且f′则f1=0，所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−0=−2x−1(2)因为函数fx的定义域为0,+∞，且f′令f′x>0，解得x>2；令f′x所以函数fx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,+∞

18.(1)由S3−2S所以a3−a1−解得q=2(q=−1舍去)；(2)若选①：因为b1=a所以等差数列bn的公差d=b5由(1)可知an所以an所以数列an3+b=(=1−若选②：由(1)可知an=3⋅2n−1，所以所以等差数列bn的公差d=b3所以an所以数列an3+b=(=1−若选③：由(1)可知S3=3+6+12=21，又所以T3=3b2=21所以bn=3+4(n−1)=4n−1，所以所以数列an3+b=(=1−

19.(1)如图，取AD的中点O，连接OC,OP．因为AC=CD=5，所以▵ACD是等腰三角形，所以又AB⊥AD，所以AB//OC．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以OC⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．(2)因为PA=PD，所以OP⊥AD，所以OC,OA,OP两两垂直，以O为原点，OC,OA,OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由PA⊥PD，PA=PD，AD=2得OP=1，又AC=CD=5，所以则P0,0,1,C2,0,0设平面PCD的法向量为n=则n⋅PC=0n⋅DP=0又平面ABCD的一个法向量为OP=所以平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值为n⋅(3)因为点E是PD的中点，所以E0,−因为点F是棱PA上的点，可设F0,a,1−a则BF=因为BF//平面PCD，所以n⋅即−1×1+a−1×−2所以BF=而CE=−2,−12,

20.(1)因为F1F2因为离心率为32，即e=c则b=a2(2)如图所示，连接AF因为四边形ABCD是平行四边形，所以△ABF2的面积是▱ABCD面积的一半，即设点Ax则S▵ABF2=S可知直线l1斜率为0时，不符合题意，所以设直线l1为联立方程组得my=x+3x24可知Δ=2所以y1则y1−y2=解得m2=0或m2=8，即m=0或所以直线l1方程为x=−3或x−2

21.(1)1∈D成立，2∈E不成立，理由如下：因为an=2n为等差数列，所以其前n项和则S1因为对任意正整数i>1，都有SiS1=i(i+1)所以SiS1因为S3S2(2)根据题意，可得数列an满足：a所以a2k=a2k+1=S2k−1故a4则当n=2k−1时，S2k+1故数列S2n−1是以1为首项，3为公比的等比数列，则当n=2k−1时，Sn当n=2k时，a2k则Sn由此可得Sn①当i=2x−1,m=2y−1(x,y∈N∗且Si=3②当i=2x,m=2y−1(x,y∈N∗且Si=2⋅3③当i=2x−1,m=2y(x,y∈N∗且Si=3④当i=2x,m=2y(x,y∈N∗且Si=2⋅3综上可知，对于任意奇数m，满足任意正整数i>m时，Si即所有奇数都属于D，都不属于E；对于任意偶数，存在正奇数i满足i>m时，Si即所有偶数都不属于D；存在正偶数i满足i>m时，Si即所有偶数都不属于E；故D=mm=2k−1,k∈N(3)①若集合E=m∈N∗对任意正整数i>m设E=j则j1,j可知jn单调递