北京燕山教育集团2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京燕山教育集团2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.直线y=3x−1的倾斜角为(

)A.π6 B.π3 C.π22.双曲线x23−A.33 B.63 C.3.已知椭圆x2a2+y2A.32 B.233 4.已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7,−5)，点P(x,−1,3)在平面ABC内，则x的值为(

)A.−4 B.1 C.10 D.115.在x−1x26A.−15 B.15 C.−30 D.306.在正三棱锥A−BCD中，二面角A−BC−D的平面角为30∘，则AC与平面BCD所成角的正切值为A.3 B.32 C.7.从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位奇数的个数为(

)A.36 B.24 C.18 D.128.已知点F是双曲线C：x2−y2=1的一个焦点，直线l：y=kx，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.设A、B为圆x2+y2=1上的两动点，且∠AOB=120°，P为直线l：3x−4y−15=0上一动点，则A.3 B.4 C.5 D.610.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1A.平面CMN截正方体ABCD—A1B1C1D所得的截面图形是五边形

B.直线B1D1到平面CMN的距离是21717二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.已知直线ax+3y+2=0与直线x+(a−1)y−1=0垂直，则a=

．12.已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x13.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部(最细处)的直径为______cm．14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为3，过焦点F的直线与抛物线交于A､B两点，且AF=3FB，则点A到y轴的距离为15.已知点A1,2在曲线E：2mx2+my2=1上，斜率为2的直线l与曲线E交于B(1)曲线E有两个焦点，其坐标分别为(−2,0)(2)将曲线E上所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)(3)△ABC面积的最大值为2(4)线段BC长度的最大值为3．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.从4名男生和3名女生中各选2人，

(1)共有多少种不同的选法？

(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？

(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？(用数字作答)17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1(1)求点A1到平面AD(2)求直线CD与平面ADC118.已知直线l1：2x−y+2=0与直线l2：x−ay−2=0(Ⅰ)若l1//l(Ⅱ)求证：直线l2与圆x(Ⅲ)若直线l2与圆心为C的圆(x−a)2+(y−1)2=4相交于A，19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−2,0)，B(2,0)，离心率为22．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设点P(2,2)，直线PA与椭圆E20.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=22，E，F分别为PB，PD的中点.设平面AEF∩平面ABCD=m(1)求证：BD//m；(2)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值；(3)若平面AEF与棱PC交于点M，求PMPC的值．21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为12，点P为椭圆右顶点、F为椭圆右焦点．过椭圆右焦点作斜率不为0的直线l交椭圆于两点M和N，直线(1)求椭圆标准方程；(2)请判断以AB为直径的圆是否过x轴上两定点？若过请求出这两定点坐标，若不过说明理由．

参考答案1.B

2.C

3.D

4.D

5.B

6.D

7.B

8.A

9.C

10.D

11.3412.1；−2

13.814.9215.(2)(3)

16.解：(1)根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，

男生有C42种选法，女生有C32种选法，

故选法有C42C32=18种；

(2)根据题意，分3种情况讨论：

男生甲被选中，女生乙没有被选中，有C31C22=3种，

男生甲没有被选中，女生乙被选中，有C32C21=6种，

男生甲和女生乙被选中，有C31C21=6种，

则共有3+6+6=1517.解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0,0,0)，A1(0,0,4)

B(2,0,0)，C1(0,2,4)，D(1,1,0)，A1C1=(0,2,0)，AD=(1,1,0)，AC1=(0,2,4)，

设平面AC1D的法向量n=(x,y,z)，则n⋅AD=x+y=0n⋅AC=2y+4z=0，

取x=2，则y=−2，z=1，则n=(2,−2,1)，

∴点A1到平面ADC18.解：(Ⅰ)∵l1//l2，直线l1：2x−y+2=0与直线l2：x−ay−2=0，a∈R，

∴2×(−a)−(−1)×1=0，解得a=12，

验证知，a=12，l1//l2，故a的值是12；

(Ⅱ)l2：x−ay−2=0，a∈R，过点(2,0)，

将点(2,0)代入圆的方程得，22+0=4，即点(2,0)在圆x2+y2=4上，

故直线l2与圆x2+y2=419.解：(1)椭圆过点A(−2,0)，B(2,0)，故a=2，离心率e=ca=22，故c=2，

则b=22−(2)2=2，所以椭圆E的方程为x24+y22=1．

(2)由A(−2,0)、P(2,2)，可得直线AP的方程为y=2−02−(−2)(x+2)，即y=12x+1，

联立y=20.解：(1)在▵PBD中，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF//BD又因为EF⊂平面AEF，BD⊄平面AEF，所以BD//平面AEF，又因为BD⊂平面ABCD，平面AEF∩平面ABCD=m，所以BD//m．(2)设AC∩BD=O，连接PO，因为P−ABCD为正四棱锥，所以O为正方形ABCD的中心，所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：由题意可知，A2,0,0，B0,2,0，C−2,0,0，D0,−2,0，P0,0,2故PC=−2,0,−2，AE=设平面AEF的法向量为m=则，即，令x=1，则m=因为PO⊥平面ABCD，所以PO为平面ABCD的法向量，PO=设平面AEF与平面ABCD夹角为φ，则cosφ=所以平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为2(3)由题意得，平面AEF与平面AEMF共面，连接AM，设PMPC=λ，(0<λ<1)，所以因为AP=−2,0,2，所以平面AEMF的法向量为m=由AM⊂平面AEMF，可知m⋅即−2−2λ+22−2λ=0，解得即PMPC

21.解：(1)由已知可得，2c=2，则c=1．又e=ca=12所以，椭圆的标准方程为x2(2)以AB为直径的圆过x轴上两定点，两定点坐标为C−12由(1)可得，椭圆右顶点P2,0，右焦点F当直线l斜率不存在时，l方程为x=1，可推得M1,32易知A,B分别与M,N重合，则A1,32此时圆心为1,0，半径为AB2=3与x轴交于两点，分别为C−12当直线l斜率存在时，设l方程为x=my+1m≠0，Mx