人教版八年级数学下册《勾股定理》专项测试卷附答案

第第页人教版八年级数学下册《勾股定理》专项测试卷附答案知识点梳理01:勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理.2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦.知识点梳理02:勾股定理的验证勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下（1）弦图证明内弦图外弦图 ∴ ∴（2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：∴知识点梳理03:勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形（1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边：（2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方；（3）比较二者是否相等；（4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形.知识点梳理04:勾股数1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方.3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数.4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等.题型1：用勾股定理解三角形【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）若中则（）A．12 B．14 C．15 D．16【答案】C【思路点拨】本题考查了勾股定理正确掌握相关性质内容是解题的关键．利用勾股定理直接计算的长度．【规范解答】解：∵∴∴∴（负值已舍去）故选：C．【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）在中若则的面积为．【答案】或【思路点拨】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式过点B作AC边上的高构造直角三角形是解决本题的关键．过点作在中先求出再在中求出最后求出的面积．【规范解答】解：①如图所示：当为钝角时过点作垂足为．在中．在中．．②如图所示：当为钝角时过点作交的延长线于点．在中．在中．．故答案为：或．题型2：已知两点坐标求两点距离【典例精讲】（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中点坐标为以点为圆心以的长为半径画弧交轴的负半轴于点则点的横坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】本题考查了勾股定理坐标与图形熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得再根据点所在的位置即可得．【规范解答】解：点坐标为以点为圆心以的长为半径画弧交轴的负半轴于点又点位于轴的负半轴点的横坐标为故选：D．【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中点到原点的距离是．【答案】【思路点拨】本题考查勾股定理．根据勾股定理求解即可．【规范解答】解：∵点到轴的距离为2到轴的距离为∴点到原点的距离是故答案为：．题型3：勾股树(数)问题【典例精讲】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中不是勾股数的是（）A．345 B．51213 C．72425 D．【答案】D【思路点拨】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数必须是正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方逐一判断即得．【规范解答】解：A是勾股数此选项不符合题意B是勾股数此选项不符合题意C是勾股数此选项符合题意D不是整数不是勾股数此选项不符合题意．故选：D．【变式训练】（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中是勾股数的一组是（）A．335 B．456 C．72425 D．23【答案】C【思路点拨】本题考查的是勾股数定义满足的三个正整数称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可．【规范解答】解：A35不是勾股数不符合题意B56不是勾股数不符合题意C2425是勾股数符合题意D3不全是正整数3不是勾股数不符合题意故选：C．题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图所示以的三边分别向外作正方形它们的面积分别是如果那么的形状是三角形．【答案】等腰直角【思路点拨】本题意在使抽象难懂的知识变得通俗易懂通过审题把题目中的条件进行转化是解题的关键．由已知得三个正方形的面积分别是三角形各边的平方由已知得其符合勾股定理从而得到其是一个等腰直角三角形．【规范解答】解：∵∴且是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【变式训练】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图以直角三角形的三边为边向外作正方形正方形A的面积为4另两个正方形的边长不可能是（）A．13 B．1 C． D．【答案】A【思路点拨】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据勾股定理得出正方形A的面积=两个小正方形的面积之和则可得出答案．【规范解答】解：根据题意知：正方形A的面积=两个小正方形的面积之和A则另两个正方形的边长不可能是13故本选项符合题意B则另两个正方形的边长可能是1故本选项不符合题意C则另两个正方形的边长可能是故本选项不符合题意D则另两个正方形的边长可能是故本选项不符合题意故选：A．题型5：勾股定理与网格问题【典例精讲】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点点是格点请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示画图结果用实线表示．）(1)在图1中作出所有长为5的线段且点是格点(2)在图2中先作一条线段使再作一条线段且为格点(3)在图3中作一条线段使．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【思路点拨】本题考查网格作图-应用与设计作图涉及勾股定理等知识点熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．（1）由网格特点或勾股定理取格点即可得解（2）由网格特点和勾股定理取格点可得到（3）由网格特点和勾股定理取格点可得到再取与格线的交点得到．【规范解答】（1）解：如图1格点和线段或点和线段即为所求作（2）解：如图2格点和点线段和线段即为所求作（3）解：如图3线段即为所求作．【变式训练】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）图1图2是两张形状大小完全相同的方格纸方格纸中的每个小正方形的边长都为1每个小正方形的顶点叫做格点．请在图1图2中画出符合要求的图形．(1)在图1中画一条线段使．（要求：线段的端点必须与方格纸中的格点重合）(2)在图2中以为底边画一个等腰三角形使．【答案】(1)见解析(2)见解析【思路点拨】本题主要考查勾股定理与网格问题格点图中画等腰三角形（1）利用网格再结合勾股定理画图即可（2）结合等腰三角形的判定和性质画图即可．【规范解答】（1）解：如图线段即为所求（2）解：如图等腰三角形和等腰三角形均满足题意∴．题型6：勾股定理与折叠问题【典例精讲】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图三角形纸片中沿和将纸片折叠使点B和点C都落在边上的点P处则的长是．【答案】/【思路点拨】本题考查了折叠的性质勾股定理掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．根据题意可得可得继而设则然后根据勾股定理即可求解．【规范解答】解：∵沿过点的直线将纸片折叠使点落在边上的点处∴∵折叠纸片使点与点重合∴∵∴∴∴在中设则∴解得：即故答案为：.【变式训练】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图在中将沿翻折与重合若．则的长为．【答案】【思路点拨】本题主要考查了图形的折叠问题勾股定理．由折叠的性质得：然后在中利用勾股定理解答即可．【规范解答】解：∵将沿翻折与重合∴∵∴∵∠C=90°∴∴解得：故答案为：．题型7：利用勾股定理证明线段平方关系【典例精讲】（24-25九年级下·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点那么（）A． B． C． D．不确定【答案】B【思路点拨】本题主要考查的是勾股定理的应用解法并不复杂难点在于将问题考虑全面．此题分两种情况讨论：①当在线段上②当在的延长线上利用勾股定理来探讨找到符合要求的点．【规范解答】解：为线段上时①当为中点时如图则有即②当点不为中点时如图过点作的垂线设则同理两式相加得即点在的延长线上时如图过点作垂直于的延长线于点过点作垂直于的延长线于点为等腰直角三角形为等腰直角三角形在中在中两式相加得即综上可知：．故选：B．【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图它是由四个全等的直角三角形拼成每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b斜边长为c．(1)如图1请你用它验证勾股定理．(2)如图2四边形中于点O请直接写出．【答案】(1)见解析(2)【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明熟练掌握勾股定理是解题的关键.（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理（2）根据均为直角三角形根据勾股定理得出即可求出的值.【规范解答】（1）解：另一方面即（2）解：由题意可得均为直角三角形由勾股定理可得①②③④可得可得即：解得（负值舍去）故答案为：．题型8：勾股定理的证明方法【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中不能用面积证明勾股定理的是（） B． C． D．【答案】D【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的证明大正方形的边长为则大正方形面积等于大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积则据此可判断A小正方形的边长为则小正方形的面积等于小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积则据此可判断B中间等腰直角三角形的面积为中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积则据此可判断CD选项中的图形不能证明勾股定理．【规范解答】解：A大正方形的边长为则大正方形面积等于大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积则大正方形的面积等于∴∴∴故A能证明勾股定理不符合题意B小正方形的边长为则小正方形的面积等于小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积则小正方形的面积等于∴∴∴故B能证明勾股定理不符合题意C中间等腰直角三角形的面积为中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积则中间等腰直角三角形的面积为∴∴∴故C能证明勾股定理不符合题意D选项中的图形不能证明勾股定理符合题意故选：D．【变式训练】（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案则方案正确的是．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【思路点拨】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证理解题意结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果．【规范解答】解：甲出的结果为：不符合题意乙得出的结果为：即符合题意故答案为：乙．题型9：以弦图为背景的计算题【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图观察图形可以验证的式子为（）A． B．C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查了勾股定理的几何背景根据大正方形的面积大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积列出式子变形即可得出答案．【规范解答】解：由图可得：大正方形的面积大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积∴∴故选：B．【变式训练】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．72【答案】A【思路点拨】先求出大正方形与小正方形的面积差此差值为4个直角三角形的面积和再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算熟练掌握大正方形小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键．【规范解答】解：4个直角三角形的面积和为∴一个直角三角形的面积为．故选：A．题型10：用勾股定理构造图形解决问题【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千当它静止时踏板离地的垂直高度将它往前推送（水平距离）时秋千的踏板离地的垂直高度秋千的绳索始终拉得很直求绳索的长度．【答案】5米【思路点拨】本题主要考查勾股定理根据题意四边形是矩形设则在中代入计算即可求解．【规范解答】解：由题意可知∴∴四边形是矩形∴∵∴设则在中∴解得答：绳索的长度米．【变式训练】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯点离地面任何东西只要移至该灯及内范围灯就自动发光．已知小军身高若他走到处灯刚好发光则他离墙的水平距离是（）A． B． C． D．2m【答案】B【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用根据题意作出图形正确构造直角三角形根据勾股定理计算即可．【规范解答】解：当人走到点的位置头顶与点距离是时灯刚好自动发光作于则在中答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光．故选：B．题型11：勾股定理与无理数【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期末）如图数轴上的点A表示的数是1点表示的数是5于点且以点A为圆心长为半径画弧交数轴正半轴于点则点表示的数是（）A．6.5 B．6 C． D．5.8【答案】B【思路点拨】本题主要考查了根据勾股定理求无理数解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理可以得到可以得到即可写出点D所表示的数．【规范解答】解：由图可得∵∴点D所表示的数为故选：B．【变式训练】（2025·江苏扬州·三模）如图所示实数可以用数轴上的点来表示点A表示的数为点B表示的数为b则．【答案】/【思路点拨】本题考查的是实数与数轴勾股定理的应用如图先计算可得再进一步求解即可．【规范解答】解：如图∵∴∵点A表示的数为点B表示的数为b∴故答案为：．题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上此时梯子底端离屋底1米则梯子顶端与地面的距离是（）A．米 B．米 C．2米 D．米【答案】D【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键．根据梯子墙地面正好构成直角三角形再由勾股定理即可顶端距离地面的高度．【规范解答】解：根据题意得顶端距离地面的高度故选：D.【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图梯子靠在墙上梯子的底端A到墙根O的距离为梯子的顶端B到地面的距离为现将梯子的底端A向外移到C使梯子的底端C到墙根O距离为同时梯子顶端B下降至D那么m．【答案】【思路点拨】本题主要考查了勾股定理解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形．利用勾股定理先求出再求出最后利用线段的和差进行求解即可．【规范解答】解：根据题意得由勾股定理得∴故答案为：．题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·河南郑州·期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下旗杆顶部落在离旗杆12m处旗杆折断之前的高度是（）m．A．12 B．13 C．17 D．18【答案】D【思路点拨】本题考查的是勾股定理的正确应用解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长利用勾股定理求出即可解决问题．【规范解答】解：旗杆折断后落地点与旗杆底部的距离为旗杆离地面折断且旗杆与地面是垂直的所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理所以旗杆折断之前高度为．故选：D．【变式训练】（24-25八年级下·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出（如图1）将绳子拉紧使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为求旗杆的高度．【答案】旗轩的高度为【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用解题的关键是熟练掌握勾股定理在一个直角三角形中两条直角边分别为ab斜边为c那么．设旗杆的高度为则长为根据勾股定理得出然后解方程即可．【规范解答】解：设旗杆的高度为则长为在中∴解得．答：旗轩的高度为．题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图庭院中有两棵树喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上两棵树相距则喜鹊至少要飞．【答案】13【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用根据勾股定理进行计算即可求解．【规范解答】解：如图根据题意得：∴．即喜鹊至少要飞．故答案为：13.【变式训练】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图有两棵树一棵高10米另一棵高2米两树相距15米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢则它至少要飞行（）米．A．17 B．15 C．10 D．8【答案】A【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用解题的关键是将现实问题建立数学模型运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行所行的路程最短运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【规范解答】解：两棵树的高度差为（米间距为15米根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米．故选：A．题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图一根竹子在离地面4尺处折断折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处竹子折断之前的高度是（）A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺【答案】D【思路点拨】本题可将竹子折断的部分与地面构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长度再加上未折断部分离地面的高度从而得到竹子折断前的高度．本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）是解题的关键．【规范解答】解：设竹子折断处离地面尺的部分为直角边顶端落地点离竹子底端尺为另一直角边折断部分为斜边．根据勾股定理则竹子折断之前的高度为（尺）故选：D．【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击马路边竖有一根高为8m的电线杆被大风从离地面的B处吹断裂倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由．【答案】会理由见解析【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较解题的关键是正确求出的长度．先根据线段的和差求出的长度再由勾股定理求出的长度与5进行大小比较即可．【规范解答】解：根据题意m则∴又∵∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上．题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）如图将一根长为的吸管置于底面直径为高为的圆柱形水杯中设吸管露在杯子外的长为则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查了圆柱的性质勾股定理的实际应用解题关键是掌握勾股定理．根据图形分析出最长最短时的位置分别求出的长从而可得出的取值范围．【规范解答】解：当吸管与圆柱母线平行时最长此时()当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时最短∴解得：或（舍去）∴的取值范围是故选：B．【变式训练】（23-24八年级下·河北邯郸·月考）如图一个圆柱体笔筒的内部底面直径是一支铅笔长为当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用据图先求出得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在之间即可得出结论．【规范解答】解：根据题意可得图形：在中∴则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间观察选项只有选项A符合题意．故选：A．题型17：解决航海问题(勾股定理的应用)【典例精讲】（2023·河北保定·二模）如图一艘快艇从地出发向正北方向航行5海里后到达地然后右转继续航行到达地若地在地北偏东方向上则（）A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用含30度角的直角三角形的性质等角对等边三角形内角和定理过点B作交于D则由题意得则可证明进而得到再求出进而得到据此求出的长即可得到答案．【规范解答】解：如图所示过点B作交于D则由题意得∴∴∴在中∴∴∴海里∴海里故选C．【变式训练】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港然后再沿北偏西方向航行至港则A两港之间的距离为（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】本题考查勾股定理的应用—方位角问题直角三角形的判定与性质先根据方位角判断三角形的形状然后利用勾股定理计算是解此题的关键．【规范解答】解：如图由题意得：在中∴AC两港之间的距离为．故选：A．题型18：求河宽(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河由于流水的影响实际上岸地点偏离了想到达的点米．他在水中游了米则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）．【答案】米【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用因为游泳爱好者想横渡一条河所以可知在中利用勾股定理可以求出米．【规范解答】解：游泳爱好者想横渡一条河在中米米米．故答案为：米．【变式训练】（24-25八年级下·广西来宾·期末）（1）等边三角形的边长为2求它的中线长并求出其面积（2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离在A的同岸选取点C测得如图所示求AB之间的距离．【答案】（1）中线（2）．【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质等腰三角形的判定勾股定理的实际应用熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）由等边三角形的性质得到再由勾股定理求解高最后由三角形面积公式即可求解（2）先证明为等腰直角三角形再由勾股定理即可求解．【规范解答】解：（1）如图为等边的中线∴∴由勾股定理得:∴（2）∵∴∴∴在中由勾股定理得：．题型19：判断是否受台风影响(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响某台风的风力影响半径为即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图线段是台风中心从市移动到市的路线是大型农场且．若之间相距之间相距．判断农场是否会受到台风的影响请说明理由．【答案】农场会受到台风的影响理由见解析【思路点拨】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用熟练掌握勾股定理求线段长度利用面积法求点到直线的距离是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度再通过三角形面积公式求出到的距离最后比较与台风影响半径的大小判断农场是否受影响．【规范解答】解：农场是否会受到台风的影响理由如下：过点作于．在中由勾股定理得解得农场会受到台风的影响．【变式训练】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图某沿海开放城市接到台风警报在该市正南方向的处有一台风中心沿方向以的速度向移动已知城市到的距离．(1)台风中心经过多长时间从点移到点？(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？【答案】(1)(2)游人在小时内撤离才可脱离危险【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用解题的关键是熟练掌握勾股定理在一个直角三角形中两条直角边分别为ab斜边为c那么．（1）首先根据勾股定理计算的长再根据时间路程速度进行计算即可（2）根据在范围内都要受到影响先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离再根据时间路程速度计算然后求出时间段即可．【规范解答】（1）解：在中根据勾股定理得：则台风中心经过从移动到点（2）解：如图距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响人们要在台风中心到达点之前撤离游人在内撤离才可脱离危险．题型20：求最短路径(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为底面周长为在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿的点处则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】本题考查了轴对称勾股定理圆柱的展开图两点之间线段最短熟练掌握轴对称勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开作点关于的对称点过点作的交的延长线于点连接交于点根据两点之间线段最短可知最短路径为最后利用勾股定理解答即可．【规范解答】解：将圆柱侧面展开作点关于的对称点过点作交的延长线于点连接交于点如图所示：蚂蚁吃到饭粒的路径为此时路径最短透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为底面周长为在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿的点处．蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是．故选：C．【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄石·月考）如图圆柱形玻璃杯高为底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（杯壁厚度不计）【答案】【思路点拨】本题考查勾股定理几何体的展开图解题的关键是：该圆柱的侧面展开作A关于的对称点可得即为最短距离在直角中和的长度满足勾股定理据此求解．【规范解答】解：如图将该圆柱的侧面展开作A关于的对称点则连接则即为最短距离在直角中由勾股定理得：故答案为：．题型21：判断三边能否构成直角三角形【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位：）的长度分别为12345从其中选出三根将它们首尾相接摆成三角形其中能摆成直角三角形的是（）A．123 B．234 C．345 D．135【答案】C【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．先根据三角形不等式判断各组线段能否组成三角形再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形.【规范解答】解：A∵不满足两边之和大于第三边∴不能组成三角形．B∵∴能组成三角形但∵∴不是直角三角形．C∵∴能组成三角形且∵∴是直角三角形．D∵∴不能组成三角形．故选：C．【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在图1图2所示的方格中每个小方格的边长都为1．(1)在图1中分别画出长度为与的线段要求线段的端点在格点上．(2)在图2中画出一个三条边长分别为5的三角形使它们的顶点都在格点上．(3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断不需要说明理由）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)这个三角形是直角三角形【思路点拨】（1）根据勾股定理可得长为4宽为1的长方形的对角线长为长为3宽为2的长方形的对角线长为选择合适的矩形连接对角线即可（2）根据勾股定理可得长为4宽为3的矩形的对角线长为5长为2宽为1的矩形的对角线长为长为4宽为2的矩形的对角线长为依次连接对角线即可（3）观察三角形三边边长的关系由勾股定理的逆定理可证这个三角形是直角三角形本题主要考查了勾股定理及其逆定理熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键．【规范解答】（1）解：如图连接长为4宽为1的长方形的对角线为线段长为3宽为2的长方形的对角线长为线段（2）如图依次连接长为4宽为3的矩形的对角线长为2宽为1的矩形的对角线长和长为4宽为2的矩形的对角线（3）∵∴这个三角形是直角三角形．题型22：在网格中判断直角三角形【典例精讲】（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图直角坐标系中的网格由单位正方形构成中点坐标为点坐为点坐标为．(1)求的长(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【思路点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用.（1）根据平面直角坐标系和勾股定理即可得解（2）首先根据勾股定理逆定理判定是直角三角形即可得证.【规范解答】（1）根据勾股定理得（2）根据勾股定理得到∴∴是直角三角形∴.【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）图①图②图③均是的正方形网格每个小正方形的边长均为1每个小正方形的顶点称为格点点ABCD均在格点上只用无刻度的直尺分别按下列要求作图．(1)在图①中画一格点E使得(2)在图②中的上找一点H使得．【答案】(1)见解析(2)见解析【思路点拨】（1）构造等腰直角三角形的底角解答即可（2）根据题意得取格点F连接交于点H根据作图得解答即可．本题考查了等腰直角三角形的判定和性质平行线的判定和性质三角形全等的判定和性质垂直的判定熟练掌握判定和性质是解题的关键．【规范解答】（1）解：构造等腰直角三角形的底角如图所示则则点E即为所求．（2）解：根据题意得取格点F连接交于点H根据作图得得到,故故点H即为所求．题型23：利用勾股定理的逆定理求解【典例精讲】（2023八年级下·全国·专题练习）如图四边形中,．(1)连接求的长．(2)求四边形的面积．【答案】(1)5(2)四边形ABCD的面积为36【思路点拨】本题考查了勾股定理勾股定理的逆定理及四边形面积的计算解题的关键是连接将四边形分割为两个直角三角形分别求解．（1）在中用勾股定理求的长（2）利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边形面积．【规范解答】（1）解：∵∴由勾股定理得∴．（2）解：∵∴∴是直角三角形．∴四边形的面积．答：四边形的面积为．【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·月考）2025年是“全运年”第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行健身运动的热潮也席卷全国更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑他们跑步的路线如图所示已知从A点到D点有两条路线分别是和．已知点C在点B的正东方120m处点D在点C的正北方50m处．(1)试判断与的位置关系并说明理由(2)如果小亮沿着的路线跑爸爸沿着的路线跑请你通过计算比较谁跑的路线更短．【答案】(1)理由见详解(2)小亮跑的路线更短【思路点拨】本题考查了勾股定理勾股定理的逆定理熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据题意可得进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形即可求解（2）在中由勾股定理求得的长度求和的长度比较即可求解．【规范解答】（1）解：理由：由题意可知点C在点B的正东方处即∵∴是直角三角形∴．（2）解：由题意知在中由勾股定理得：∴而∵∴∴小亮跑的路线更短．题型24：勾股定理逆定理的实际应用【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知某开发区有一块四边形的空地如图所示现计划在空地上种植草皮经测量．(1)若每平方米草皮需要200元问要多少投入？(2)若从点B修一条小路到边求小路的最短长度．【答案】(1)7200元(2)【思路点拨】本题主要运用勾股定理及其逆定理求解解决问题的关键在于熟练掌握勾股定理解直角三角形勾股定理的逆定理判定直角三角形．（1）连接在中根据勾股定理得到的长为5根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形根据四边形由和构成即可求解（2）在中根据三角形面积的两种不同表示方法列出等式即进而求出的长度．【规范解答】（1）解：连接在中在中而即∴是直角三角形∴．∴需花费（元）．（2）解：如图过点B作垂足为E∴在中即即．∴小路的最短长度为．【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图求该四边形土地的面积．【答案】该四边形土地的面积为【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理．根据勾股定理得到进而可得是直角三角形根据四边形的面积的面积的面积计算即可．【规范解答】解：连接在中由勾股定理得∴是直角三角形四边形的面积的面积的面积该四边形土地的面积为．1．（2024·江西九江·中考真题）如图所示已知那么五边形的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】连接延长交于点延长于点作于点证明得到三线合一得到进而得到平分证明进而得到推出为等边三角形利用分割法求出五边形的面积即可．【规范解答】解：连接延长交于点延长于点作于点∵∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴∵∴为等边三角形∴在中∴∴同理：设则：∴∴∴∴在中∴∴∴五边形的面积故选：B．2．（2024·湖北荆州·中考真题）如图在四边形中已知则四边形的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查了勾股定理与逆定理熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出的长再利用逆定理求出即可通过面积公式求解．【规范解答】解：∵∴∵∴∴∴∴故选：B．3．（2024·四川南充·中考真题）如图四边形中平分则的长为．【答案】【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质勾股定理等边三角形的判定和性质．先证明是等边三角形在中利用直角三角形的性质和勾股定理求得再在中利用勾股定理求解即可．【规范解答】解：∵平分∴∵∴∴∴是等边三角形∴在中∴∴在中故答案为：．4．（2024·广东揭阳·中考真题）如图在中的垂直平分线交于点交于点的垂直平分线交于点交于点连接．若则等于．【答案】【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质三角形的内角和定理等角对等边勾股定理．根据垂直平分线性质得到再根据三角形的内角和定理得出再根据角之间数量关系得出再根据等角对等边得出再根据垂直平分线的性质得出进而得出再根据勾股定理得出设则再根据垂直平分线的性质得出再根据三角形的内角和定理得出再根据勾股定理列方程求解即可得到答案．【规范解答】解：∵是的垂直平分线∴∴∴∴∴又∵是的垂直平分线∴∴在中设则又∵是的垂直平分线∴∴∵是的垂直平分线∴∴∴∴∴在中∵∴解得：．故答案为：．5．（2024·河南洛阳·中考真题）（1）在如图中画出边长为5的三角形（2）该三角形最长边上的高为________．【答案】（1）见解析（2）2【思路点拨】本题考查了网格作图熟练掌握勾股定理勾股定理的逆定理面积法求三角形的高是解题的关键．（1）写出根据勾股定理写出即得（2）根据勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形再根据直角三角形面积的两种表示办法求解．【规范解答】解：（1）如图即为所求作．（2）由图知该三角形最长边上的高为．理由：∵∴是直角三角形∴∴∴．故答案为：2．基础夯实1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图等边三角形的边长为4则它的高的长为（）A．2 B． C． D．4【答案】C【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质等边三角形三线合一定理及勾股定理．先根据等边三角形的性质得出再由得到是的中垂线即等边三角形的三线合一得出最后利用勾股定理得出的值．【规范解答】解：∵是等边三角形∴又∵∴是的中垂线∴在中由勾股定理得．故选：C．2．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”若正方形AB的面积分别是1610则正方形C的面积是（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】本题考查勾股定理的应用理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键．根据勾股定理的性质可得直角三角形边长之间的关系转换为面积之间的关系即可求出正方形的面积．【规范解答】解：假设正方形的边长分别为由勾股定理可得由于正方形的面积为正方形的面积为正方形的面积为故正方形C的面积为正方形AB的面积之和即为故选A3．（24-25八年级下·贵州·月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为较短直角边长为将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍得到图②所示的“数学风车”这个风车的外围（实线）周长是．【答案】76【思路点拨】本题主要考查了勾股定理根据题意得出根据勾股定理求出再求出这个风车的外围（实线）周长即可．【规范解答】解：根据题意得：∴∴根据勾股定理得：∴这个风车的外围（实线）周长是：．故答案为：76．4．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图在中以为圆心以的长为半径作弧交于点再分别以为圆心以大于的长为半径作弧两弧交于点作射线交于点若则．【答案】【思路点拨】本题考查作图——基本作图勾股定理解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决