人教版八年级数学下册《勾股定理》专项测试卷及答案

第第页人教版八年级数学下册《勾股定理》专项测试卷及答案题型一用勾股定理解三角形1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知．建立适当的平面直角坐标系，把的各个顶点的坐标写出来，并求出的面积．2．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形请推导勾股定理．(2)如图2，在中垂足为H求的长．题型二勾股树（数）问题3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）有一个边长为1的正方形以它的一条边为斜边向外作一个直角三角形再分别以直角三角形的两条直角边为边向外各作一个正方形称为第一次“生长”如果继续“生长”下去它将变得“枝繁叶茂”请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数若则称为“完美勾股数”为的“伴侣勾股数”．如则13是“完美勾股数”512是13的“伴侣勾股数”．(1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．题型三以直角三角形三边为边长的图形面积5．如图分别以各边为直径作半圆图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当时则阴影部分的面积为．6．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图1分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形面积分别为如图2分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆面积分别为．其中则（）A．86 B．64 C．54 D．48题型四勾股定理与网格问题7.如图是由边长为1的小正方形构成的网格每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图保留连线的痕迹画图过程用虚线表示画图结果用实线表示按步骤完成下列问题：(1)如图1作的高线(2)直接写出的值___________(3)如图2在（1）的条件下在边上取一点P使的值最小．8．如图在的正方形网格中每个小格的顶点叫做格点以格点为顶点按下列要求画图．(1)在图1中画一条线段使线段的端点在格点上(2)在图2中画一个斜边长为的等腰直角三角形其中三角形的顶点在格点上并求的面积．题型五勾股定理与折叠问题9．（2024·河南商丘·模拟预测）如图在中点为上一个动点连接将沿折叠得到点的对应点为连接若当为直角三角形时线段的长为．10．如图小红用一张长方形纸片进行折纸已知该纸片宽为长为．当小红折叠时定点落在边上的点处（折痕为）．(1)求的长(2)求的长.题型六利用勾股定理求两条线段的平方和（差）11．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：(1)如图在中若则有证明：∵∴（依据：①）∴（依据：②）(2)某同学顺势提出一个问题：既然即知．若把（1）中的条件替换为还能推出吗？基于此社团成员小军小民进行了探索研究发现确实能推出并分别提供了不同的证明方法．小军小民证明：分别延长至两点使得……证明：∵∴与均为直角三角形根据勾股定理得……请你填写（1）中的推理依据并选择（2）中小军或小民的证明方法把过程补充完整．12．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形现有如图所示的“垂美”四边形对角线交于点若则．题型七利用勾股定理证明线段平方关系13．在中若如图1则有若为锐角三角形时小明猜想：理由如下：如图2过点A作于点D设．在中在中．当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的．(1)请你猜想如图3当为钝角三角形时与的大小关系．(2)证明你猜想的结论是否正确．14．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【问题提出】如图1在中为边上一点（不与点重合）以为直角边在右侧做等腰直角连接．（1）的度数为______（2）线段之间有怎样的数量关系写出并说明理由【类比探究】如图2若点在边的延长线上其他条件不变（3）试探究线段之间满足的数量关系并说明理由．题型八勾股定理的证明方法15．我国是最早了解勾股定理的国家之一据《周髀算经》记载勾股定理的证明是在商代由商高发现的故又称之为“商高定理”三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释又给出了另外一个证明古代印度希腊阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C． D．16．（24-25八年级下·河北沧州·月考）勾股定理是几何学中的明珠充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜如图1是著名的赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置其三边长分别为abc（）AB=DE=aAC=AE=bBC=AD=c显然．(1)请用abc分别表示出四边形的面积（提示：）梯形的面积再探究这三个图形面积之间的关系证明勾股定理．(2)如图3网格中小正方形边长为1①点P为已给网格中格点上的点求的最大值为______．②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点可得则边上的高的长度为______．如图4在中是边上的高求的长．题型九以弦图为背景的计算题17．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为3且满足则大正方形面积为（）A．8 B．9 C．10 D．1118．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等朱方与青方是两个正方形探究学习中标上字母绘成图所示若记朱方对应正方形的边长为青方对应正方形的边长为已知则图中的阴影部分面积为（）A． B． C． D．题型十用勾股定理构造图形解决问题19．看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向点O滚动机器人立即从点B出发沿直线匀速前进截小球在点C处截住了小球如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等那么机器人行走的路程是多少？20．一辆装满货物的卡车高宽要开进上边是半圆下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为长方形的另一条边长为．(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由．(2)为了适应车流量的增加要将桥洞改为双行道．如果要使宽为高为的卡车能安全通过那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？题型十一勾股定理与无理数21．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一是用代数思想解决几何问题的重要工具也是数形结合的纽带．(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图1在数轴上找出表示3的点A过点A作直线在l上取点B使以原点O为圆心OB为半径作弧则点C表示的数为_______．(2)应用场景2：解决实际问题．如图2秋千静止时将它往前推至点C处时水平距离它的绳索始终拉直求绳索的长．22．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图数轴上点AB表示的数分别是和1垂足为B以点A为圆心长为半径在右边作弧交数轴于点甲说：点D表示的数为乙说：点D表示的数在1和2之间．则下列判断正确的是（）A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对题型十二求梯子滑落高度（勾股定理的应用）23．（25-26八年级下·全国·期末）一架方梯长如图斜靠在一面墙上梯子底端点离墙．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？24．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活学会学习学会做人”的办学理念将本校的办学理念做成宣传牌放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌处底端落在地板处然后移动梯子使顶端落在宣传牌的处而底端向外移到了0.5米到处（米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）．题型十三求旗杆高度（勾股定理的应用）25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究并绘制了如下记录表格请根据表格信息解答下列问题．课题在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度模型抽象测绘数据①测得水平距离的长为15米②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米说明点在同一平面内(1)求线段的长(2)若想要风筝沿方向再上升12米则在长度不变的前提下小明同学应该再放出多少米线？26．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天赵彬在公园里游玩如图2他发现秋千静止时踏板离地的垂直高度将它往前推送（水平距离）时秋千的踏板离地的垂直高度秋千的绳索始终拉得很直(1)求绳索的长度．(2)如图3秋千荡到时踏板离地面的高度．题型十四求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图有两棵树一棵高米（米）另一棵高米（米）两树相距米（米）．(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了多少米？(2)如图台风过后高米的树在点处折断大树顶部落在点处则树折断处距离地面多少米？28．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图一只小鸟旋停在空中点点到地面的高度米点到地面点（两点处于同一水平面）的距离米．(1)求出的长度(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上）此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同求小鸟下降的距离．题型十五求大树折断前的高度（勾股定理的应用）29．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图一根木杆在离地面的B处折断木杆顶端C落在离木杆底端处(1)如图1求木杆折断之前的高度(2)如图2若此木杆在D处折断木杆顶端C落在离木杆底端处求的长．30．如图一根直立的旗杆高因刮大风旗杆从点处折断顶部着地且离旗杆底部的距离为．(1)求旗杆在距地面多高处折断(2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方的点处有一明显裂痕若下次大风将旗杆从点处吹断在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？题型十六解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）31．（24-25八年级下·重庆·期中）如图一个长方体形状的饮料盒的底面长为宽为高为在它的一角处开一个插吸管的小孔将一根吸管最大限度插入盒中露在外面的长度为则此吸管的总长度为．32．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈葭生其中央出水一尺．引葭赴岸适与岸齐问水深葭长各几何．大意是：如图水池底面的宽丈芦苇生长在的中点O处高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引尖端达到岸边时恰好与水面平齐即求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽芦苇高出水面的部分则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．题型十七解决航海问题（勾股定理的应用）33．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行在A处测得灯塔P在北偏东方向上继续航行1小时到达B处此时测得灯塔在北偏东方向上．(1)求的度数(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁问轮船继续向正东方向航行是否安全？34．（23-24八年级下·全国·期末）如图在离水面高度为的岸上有人用绳子拉船靠岸开始时拉紧的绳子的长为此人把绳子收紧后船移动到点D的位置(即绳子的长为9米)问船向岸边移动了多少米?(结果保留根号)题型十八求河宽（勾股定理的应用）35．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为ab斜边长为c则．(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答(2)如图2在一条东西走向河流的一侧有一村庄C河边原有两个取水点AB其中由于某种原因由C到A的路现在已经不通该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（AHB在一条直线上）并新修一条路且．测得千米千米求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）问中若时设求x的值．36．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河但由于水流的影响实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米则河的宽度是（）A．8米 B．12米 C．16米 D．24米题型十九求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）37．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图某会展中心在会展期间准备将高长宽的楼道铺上地毯已知地毯每平方米元请你帮助计算一下铺完这个楼道至少需要元钱．38．如图在一个长AB为18m宽AD为7m的长方形草坪ABCD上放着一根长方体的木块已知木块的较长边与AD平行横截是边长为2米的正方形一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是米．题型二十判断汽车是否超速（勾股定理的应用）39．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图所示点装有一车速检测仪它到公路边的距离米小汽车行驶过检测仪监控区域到达点时开始计时离开点时停止计时已知米．(1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域共用时几秒？(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒该车是否超速？请说明理由．40．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处过了8秒小汽车到达处此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．(1)求的长(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：）题型二十一判断是否受台风影响（沟股定理的应用）41．台风是一种自然灾害它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候有极强的破坏力．如图有一台风中心沿东西方向由点向点移动已知点为一海港且点与直线上两点的距离分别为和又以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)海港受台风影响吗?为什么?(2)若台风的速度为台风影响该海港持续的时间有多长?42．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图公路和公路在点P处交汇且．点A处有一栋居民楼．假设一拖拉机在公路上沿方向行驶周围以内（包括）会受到噪声的影响．(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．(2)若受影响已知拖拉机的速度为则居民楼受到影响的时间有多长？题型二十一选址使到两地距离相等（沟股定理的应用）43．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图铁路上AB两点相距CD两点为两村庄于点A于点B已知现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得CD两村到E站的距离相等(1)E站应建在距A点多少千米处？(2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）．44．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）综合与实践（1）如图1铁路上两点（看作直线上的两点）相距千米为两个村庄（看作两个点）垂足分别为千米千米则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）（2）在（1）的条件下要在上建造一个供应站使得求的距离（3）借助上面的思考过程与几何模型求代数式（）的最小值为___________．题型二十三求最短路径（勾股定理的应用）45．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）运动展风采筑梦向未来为进一步贯彻“双减”政策落实“五育”并举学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台3个长方体颁奖台的长均为80cm宽均为60cm123号台的高度分别是40cm30cm20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处则蚂蚁爬行的最短距离为cm．（结果保留根号）46．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上老师提出如下问题：一个三级台阶它每一级的长宽高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图（1）若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图可得到长为宽为的长方形连接经过计算得到的长度为____________就是最短路程．【变式探究】（2）如图（3）已知圆柱底面的周长为圆柱高为在圆柱的侧面有一只蚂蚁从点爬到点再从点爬回点恰好爬行一圈则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________．【拓展应用】（3）如图（4）圆柱形玻璃杯的高为底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜此时一只蚂蚁正好在外壁离杯口且与蜂蜜相对的点处则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）题型二十四利用勾股定理的逆定理求解47．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图已知在中是上一点且则的面积为．48．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图在中于点D．(1)已知求证：(2)已知．①若求的长②若设则mnk的数量关系为__________．题型二十五勾股定理逆定理的实际应用49．（25-26八年级下·全国·周测）如图某小区的两个喷泉位于小路的同侧两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道供水点在小路上供水点到的距离的长为的长为．(1)求供水点到喷泉需要铺设的管道总长．(2)计算喷泉到小路的最短距离．50．（24-25八年级下·北京·期中）放风筝是一项娱乐性运动无论是与家人还是朋友一起放风筝都能增进彼此之间的关系．如图小刚同学站在A处风筝在C处先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为然后测得他与风筝的水平距离为最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为．(1)求风筝的垂直高度(2)如果小刚想风筝沿方向下降则他应该往回收线多少？题型二十六勾股定理逆定理的拓展问题51．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：abc为正整数若则称c为“完美勾股数”ab为c的“伴侣勾股数”．如则13是“完美勾股数”512是13的“伴侣勾股数”．(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）(2)已知的三边abc满足．求证：c是“完美勾股数”．(3)已知m且c为“完美勾股数”ab为c的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式求该多项式的另一个因式．52．先观察下列各组数然后回答问题：第一组：第二组：第三组：第四组：（1）根据各组数反映的规律用含的代数式表示第组的三个数（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长那么这个三角形是什么三角形？请说明理由（3）如图若为上列按已知方式排列顺序的某一组数且求的长．参考答案题型一用勾股定理解三角形1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图在中已知．建立适当的平面直角坐标系把的各个顶点的坐标写出来并求出的面积．【答案】12【分析】本题考查了等腰三角形的性质勾股定理平面直角坐标系的建立及三角形面积公式掌握利用等腰三角形的对称性建立坐标系结合勾股定理求高再用面积公式计算是解题的关键．先求出的长度再用勾股定理算出的高度从而得到各顶点坐标最后代入三角形面积公式计算面积．【详解】解：如图建立平面直角坐标系则．在中由勾股定理得∴点的坐标为点的坐标为点的坐标为．2．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠充满着魅力千百年来人们对勾股定理的证明颇感兴趣其中有著名的数学家也有数学爱好者．(1)如图1这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形请推导勾股定理．(2)如图2在中垂足为H求的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题主要考查勾股定理及梯形三角形面积公式的应用解题的关键是熟练掌握勾股定理（1）用两种方法表示出梯形的面积再根据它们相等整理即可证明结论（2）设分别在和中表示出列出方程求出x再利用勾股定理即可求出的值.【详解】（1）解：∵整理得：（2）解：设∵∴∴和都是直角三角形在中在中∴∵则解得即在中由勾股定理得.题型二勾股树（数）问题3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）有一个边长为1的正方形以它的一条边为斜边向外作一个直角三角形再分别以直角三角形的两条直角边为边向外各作一个正方形称为第一次“生长”如果继续“生长”下去它将变得“枝繁叶茂”请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．【答案】2022【分析】本题考查了勾股数规律问题找到规律是解题的关键．根据题意可得每“生长”一次面积和增加1据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和．【详解】解：如图由题意得：由勾股定理得：则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022．故答案为：2022．4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数若则称为“完美勾股数”为的“伴侣勾股数”．如则13是“完美勾股数”512是13的“伴侣勾股数”．(1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．【答案】(1)是(2)见解析【分析】本题考查了勾股数完全平方公式．（1）根据“完美勾股数”的定义判断即可（2）根据完全平方公式求出的值再根据“完美勾股数”的定义判断即可．【详解】（1）解：∵∴数是“完美勾股数”故答案为：是（2）证明：是“完美勾股数”题型三以直角三角形三边为边长的图形面积5．如图分别以各边为直径作半圆图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当时则阴影部分的面积为．【答案】6【分析】本题考查勾股定理求不规则图形的面积根据勾股定理求出的长根据阴影部分的面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形的面积再减去大半圆的面积进行求解即可．【详解】解：∵∴∴阴影部分的面积故答案为：6．6．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图1分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形面积分别为如图2分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆面积分别为．其中则（）A．86 B．64 C．54 D．48【答案】C【分析】本题考查了勾股定理等边三角形圆形面积的知识解题的关键是熟练掌握勾股定理等边三角形面积计算的性质从而完成求解．先算出再结合面积公式得即再根据勾股定理得故同理得再把分别代入进行计算即可作答．【详解】解：如图1所示：过点作∵是等边三角形∴则∴同理得依题意得∴即即∴如图2：∵∴则即∵上两式子相加得故选：C．题型四勾股定理与网格问题7.如图是由边长为1的小正方形构成的网格每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图保留连线的痕迹画图过程用虚线表示画图结果用实线表示按步骤完成下列问题：(1)如图1作的高线(2)直接写出的值___________(3)如图2在（1）的条件下在边上取一点P使的值最小．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）根据三角形的高的定义即可作的高线（2）根据等面积法求出的长再根据勾股定理求出的长即可得的值（3）根据两点之间线段最短使和能在一条直线上作的垂线再作的平行线交于点使得垂直平分连接交于点即可使的值最小．【详解】（1）解:如图1高线即为所求（2）∵∴∴∵∴∴．∴的值为（3）如图点P即为所求．【点睛】本题考查了作图应用与设计作图轴对称最短路线问题勾股定理等相关知识等解决本题的关键是根据题意准确画图．8．如图在的正方形网格中每个小格的顶点叫做格点以格点为顶点按下列要求画图．(1)在图1中画一条线段使线段的端点在格点上(2)在图2中画一个斜边长为的等腰直角三角形其中三角形的顶点在格点上并求的面积．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】本题考查了网格作图勾股定理等腰三角形的判定．（1）结合勾股定理作图即可（2）根据结合勾股定理作图即可根据等腰直角三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）如图1所示线段即为所求．（2）斜边长为的等腰直角三角形又如图2所示斜边长又如图2中等腰直角三角形即为所求．题型五勾股定理与折叠问题9．（2024·河南商丘·模拟预测）如图在中点为上一个动点连接将沿折叠得到点的对应点为连接若当为直角三角形时线段的长为．【答案】或【分析】本题主要考查了折叠的性质勾股定理等腰直角三角形的判定分当时当时两种情况画出对应的图形讨论求解即可掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图当时则由折益的性质可得∵∴∴如图当时由折叠的性质可得,∴∴三点共线由勾股定理得：∴设则由勾股定理得∴解得：∴综上可得：当为直角三角形时线段的长为或故答案为：或．10．如图小红用一张长方形纸片进行折纸已知该纸片宽为长为．当小红折叠时定点落在边上的点处（折痕为）．(1)求的长(2)求的长.【答案】(1)(2)【分析】本题考查了折叠的性质勾股定理的综合运用熟练掌握折叠的性质和长方形的性质根据勾股定理得出方程是解题关键．（1）先根据矩形的性质得到再根据折叠的性质得则可利用勾股定理计算出（2）计算出的长设则然后在中利用勾股定理得到关于的方程解方程求出即可．【详解】（1）解：四边形是长方形折叠由勾股定理得：（2）设则由勾股定理得：解得：所以的长为题型六利用勾股定理求两条线段的平方和（差）11．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：(1)如图在中若则有证明：∵∴（依据：①）∴（依据：②）(2)某同学顺势提出一个问题：既然即知．若把（1）中的条件替换为还能推出吗？基于此社团成员小军小民进行了探索研究发现确实能推出并分别提供了不同的证明方法．小军小民证明：分别延长至两点使得……证明：∵∴与均为直角三角形根据勾股定理得……请你填写（1）中的推理依据并选择（2）中小军或小民的证明方法把过程补充完整．【答案】(1)①垂直平分线的性质②等边对等角(2)见解析【分析】本题考查了垂直平分线的性质等腰三角形的性质勾股定理．（1）根据可以得到然后根据可以证明从而可以得到结论成立（2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点使得然后作出辅助线再根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可以证明结论成立根据小民的证明方法根据勾股定理得出根据平方差公式结合已知即可到结论成立．【详解】（1）证明：∵∴（依据：垂直平分线的性质）∴（依据：等边对等角）（2）解：小军的证明过程：分别延长至两点使得如图所示．小民的证明方法证明：∵∴与均为直角三角形根据勾股定理得∴∴∵①∴②①+②得即∴．12．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形现有如图所示的“垂美”四边形对角线交于点若则．【答案】73【分析】本题考查勾股定理的应用从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．在和中根据勾股定理得进一步得再根据然后根据等量代换即可解答．【详解】解：∵∴在和中根据勾股定理得：∴∵∴.故答案为：73．题型七利用勾股定理证明线段平方关系13．在中若如图1则有若为锐角三角形时小明猜想：理由如下：如图2过点A作于点D设．在中在中．当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的．(1)请你猜想如图3当为钝角三角形时与的大小关系．(2)证明你猜想的结论是否正确．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查勾股定理熟练掌握题干中给定的方法是解题的关键：（1）类比题干猜想即可（2）过点作交的延长线为点设得到再根据勾股定理得到进行证明即可．【详解】（1）解：猜想（2）证明：过点作交的延长线于点设则：在中在中∴∵∴∴故猜想正确．14．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【问题提出】如图1在中为边上一点（不与点重合）以为直角边在右侧做等腰直角连接．（1）的度数为______（2）线段之间有怎样的数量关系写出并说明理由【类比探究】如图2若点在边的延长线上其他条件不变（3）试探究线段之间满足的数量关系并说明理由．【答案】（1）（2）理由见解析（3）理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质勾股定理：（1）证明得到利用角的和差关系进行求解即可（2）根据全等三角形的性质结合线段的和差关系即可得出结论（3）证明求出为直角三角形利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵∴∵是等腰直角三角形∴∴∴∴∴（2）理由如下：由（1）知：∴∵∴（3）理由如下：∵∴∴∴∴在中由勾股定理得：∴．题型八勾股定理的证明方法15．我国是最早了解勾股定理的国家之一据《周髀算经》记载勾股定理的证明是在商代由商高发现的故又称之为“商高定理”三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释又给出了另外一个证明古代印度希腊阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的证明方法掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积即可解答．【详解】解：A大正方形的面积为也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和则其面积为∴故选项A能证明勾股定理B大正方形的面积为也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和则其面积为∴故选项B不能证明勾股定理C大正方形的面积为也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和则其面积为∴即故选项C能证明勾股定理D梯形的面积为也可以看作3个直角三角形的面积之和则其面积为∴即故选项D能证明勾股定理．故选：B．16．（24-25八年级下·河北沧州·月考）勾股定理是几何学中的明珠充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜如图1是著名的赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置其三边长分别为abc（）AB=DE=aAC=AE=bBC=AD=c显然．(1)请用abc分别表示出四边形的面积（提示：）梯形的面积再探究这三个图形面积之间的关系证明勾股定理．(2)如图3网格中小正方形边长为1①点P为已给网格中格点上的点求的最大值为______．②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点可得则边上的高的长度为______．(3)如图4在中是边上的高求的长．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了证明勾股定理勾股定理的应用二次根式的化简根据勾股定理列方程求解是解本题的关键．（1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论（2）①利用勾股定理求解即可②根据三角形的面积的两种算法列等式即可求出答案（3）分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出列出方程求解即可．【详解】（1）证明：如图设与交于点G化简得（2）解：①点P与格点图左上角或左下角的点的距离最大的最大值．故答案为：．②设边上的高为h边上的高为．故答案为：．（3）解：设在中∵AB=4是边上的高在中∵AC=5解得．题型九以弦图为背景的计算题17．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为3且满足则大正方形面积为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】本题考查勾股定理的证明由题意可知中间小正方形的边长为根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．【详解】解：由题意可知中间小正方形的边长为∴即∵∴得∴大正方形的面积为：故选：B．18．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等朱方与青方是两个正方形探究学习中标上字母绘成图所示若记朱方对应正方形的边长为青方对应正方形的边长为已知则图中的阴影部分面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的证明解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意所求阴影部分面积为再根据所给条件求面积即可．【详解】解：如图阴影部分面积朱方对应正方形的边长为青方对应正方形的边长为青出与青入的三角形全等阴影部分面积故选：B．题型十用勾股定理构造图形解决问题19．看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向点O滚动机器人立即从点B出发沿直线匀速前进截小球在点C处截住了小球如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等那么机器人行走的路程是多少？【答案】机器人行走的路程是．【分析】本题考查了勾股定理解题的关键是抓住“机器人与小球同时出发速度相等”这两个条件得到从而将已知量和未知量集中到中就可利用勾股定理建立方程来求解．由题意可知若设则这样在中利用勾股定理就可建立一个关于“”的方程解方程即可求得结果．【详解】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等运动时间相等即设则∵∴由勾股定理可知又∵∴解方程得出．答：机器人行走的路程是．20．一辆装满货物的卡车高宽要开进上边是半圆下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为长方形的另一条边长为．(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由．(2)为了适应车流量的增加要将桥洞改为双行道．如果要使宽为高为的卡车能安全通过那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？【答案】(1)能安全通过理由见解析(2)【分析】本题考查了勾股定理的应用解题的关键是根据题目做出辅助线利用勾股定理进行求解.（1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离与卡车高度比较来判断能否通过.（2）根据给定卡车的尺寸利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径进而得到桥洞的宽度.【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下：如图①为卡车的宽度．过点分别作的垂线交半圆于两点连接过点作于点E则所以．因为所以在中由勾股定理得所以所以．因为所以这辆卡车能安全通过桥洞．（2）解：如图②为卡车的宽度为道路的中点．过点E作于点F交半圆于点B连接过点作交的延长线于点G．根据题意可知所以．在中根据勾股定理得所以．故此桥洞的宽至少应增加到．题型十一勾股定理与无理数21．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一是用代数思想解决几何问题的重要工具也是数形结合的纽带．(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图1在数轴上找出表示3的点A过点A作直线在l上取点B使以原点O为圆心OB为半径作弧则点C表示的数为_______．(2)应用场景2：解决实际问题．如图2秋千静止时将它往前推至点C处时水平距离它的绳索始终拉直求绳索的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数解决实际几何问题）解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系．（1）在中用勾股定理算长即为长得点表示的数．（2）设绳索长为用矩形性质得长度在中用勾股定理列方程求解．【详解】（1）在中由勾股定理得点表示的数是．故答案为．（2）设绳索的长为由题意得四边形为矩形在中由勾股定理得即解得绳索的长为．22．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图数轴上点AB表示的数分别是和1垂足为B以点A为圆心长为半径在右边作弧交数轴于点甲说：点D表示的数为乙说：点D表示的数在1和2之间．则下列判断正确的是（）A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对【答案】D【分析】本题主要考查了实数与数轴解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根据已知条件和勾股定理求出AC从而求出AD再设点D表示的数为x再根据两点间的距离公式列出关于x的方程解方程求出x再估算x的值从而进行判断即可．【详解】解：由题意可知：由勾股定理得：设点D表示的数为x∴或甲的说法错误乙的说法正确故选：D．题型十二求梯子滑落高度（勾股定理的应用）23．（25-26八年级下·全国·期末）一架方梯长如图斜靠在一面墙上梯子底端点离墙．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)这个梯子的顶端距地面(2)梯子的底端在水平方向滑动了【分析】本题考查了勾股定理的实际应用熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）利用勾股定理列式运算即可（2）求出的长再利用勾股定理运算求解即可．【详解】（1）解：根据题意得在中∴这个梯子的顶端距地面（2）根据题意得∴在中所以即梯子的底端在水平方向滑动了．24．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活学会学习学会做人”的办学理念将本校的办学理念做成宣传牌放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌处底端落在地板处然后移动梯子使顶端落在宣传牌的处而底端向外移到了0.5米到处（米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）．【答案】米【分析】此题主要考查了勾股定理的应用正确应用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出的长即可解决问题．【详解】解：由题意可得：米米米在中由勾股定理得：（米）∴（米）在中由勾股定理得：∴米答：宣传牌（）的高度为米．题型十三求旗杆高度（勾股定理的应用）25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究并绘制了如下记录表格请根据表格信息解答下列问题．课题在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度模型抽象测绘数据①测得水平距离的长为15米②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米说明点在同一平面内(1)求线段的长(2)若想要风筝沿方向再上升12米则在长度不变的前提下小明同学应该再放出多少米线？【答案】(1)(2)小明同学应该再放出8米线【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用熟知勾股定理是解题的关键．（1）过点作于点利用勾股定理可求出的长进而求出的长即可得到答案（2）设风筝沿方向再上升12米后到达点处连接利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：如图过点作于点在中由勾股定理得∴或（舍去）∵∴．（2）解：如图设风筝沿方向再上升12米后到达点处连接则在中由勾股定理得∴或（舍去）．答：小明同学应该再放出8米线．26．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天赵彬在公园里游玩如图2他发现秋千静止时踏板离地的垂直高度将它往前推送（水平距离）时秋千的踏板离地的垂直高度秋千的绳索始终拉得很直(1)求绳索的长度．(2)如图3秋千荡到时踏板离地面的高度．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用含30度角的直角三角形的性质熟知勾股定理是解题的关键．（1）设绳索的长度为则由勾股定理得解方程即可得到答案（2）由含30度角的直角三角形的性质得到则由勾股定理可得再由线段的和差关系求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：设绳索的长度为则在中由勾股定理得∴解得答：绳索的长度为（2）解：在中∴∴∴答：秋千荡到时踏板离地面的高度为．题型十四求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图有两棵树一棵高米（米）另一棵高米（米）两树相距米（米）．(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了多少米？(2)如图台风过后高米的树在点处折断大树顶部落在点处则树折断处距离地面多少米？【答案】(1)米(2)米【分析】本题考查了勾股定理的应用熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．（1）根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行飞行的路程最短运用勾股定理可将两点之间的距离求出（2）由勾股定理求出的长即可求解．【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米）两树相距米（米）根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）答：至少飞了米（2）解：由勾股定理得：解得：答：树折断处距离地面米．28．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图一只小鸟旋停在空中点点到地面的高度米点到地面点（两点处于同一水平面）的距离米．(1)求出的长度(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上）此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同求小鸟下降的距离．【答案】(1)米(2)小鸟下降的距离为米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用熟练的掌握勾股定理是解题的关键．（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答（2）在中根据勾股定理即可解答．【详解】（1）由题意知∵米米．在中米（2）设到达D点（D点在线段上）此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同则在中解得小鸟下降的距离为米．题型十五求大树折断前的高度（勾股定理的应用）29．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图一根木杆在离地面的B处折断木杆顶端C落在离木杆底端处(1)如图1求木杆折断之前的高度(2)如图2若此木杆在D处折断木杆顶端C落在离木杆底端处求的长．【答案】(1)木杆折断之前的高度是(2)的长是【分析】本题考查了勾股定理熟记勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系即可求出的长（2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解．【详解】（1）解：在中根据勾股定理：答：木杆折断之前的高度是．（2）解：设的长为则在中根据勾股定理：解得：．的长是．30．如图一根直立的旗杆高因刮大风旗杆从点处折断顶部着地且离旗杆底部的距离为．(1)求旗杆在距地面多高处折断(2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方的点处有一明显裂痕若下次大风将旗杆从点处吹断在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？【答案】(1)旗杆距地面处折断(2)在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．（1）设长为则长再利用勾股定理建立方程即可（2）先画出图形再求解再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）解：由题意知．因为设长为则长则解得．故旗杆距地面处折断（2）解：如图：因为点P距地面所以所以则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险．题型十六解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）31．（24-25八年级下·重庆·期中）如图一个长方体形状的饮料盒的底面长为宽为高为在它的一角处开一个插吸管的小孔将一根吸管最大限度插入盒中露在外面的长度为则此吸管的总长度为．【答案】16【分析】本题考查了勾股定理的应用熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析）连接不妨设利用勾股定理可得由此即可得．【详解】解：如图连接不妨设由题意得：∴在中∴在中∵将一根吸管最大限度插入盒中露在外面的长度为∴此吸管的总长度为故答案为：16．32．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈葭生其中央出水一尺．引葭赴岸适与岸齐问水深葭长各几何．大意是：如图水池底面的宽丈芦苇生长在的中点O处高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引尖端达到岸边时恰好与水面平齐即求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽芦苇高出水面的部分则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．【答案】(1)12尺(2)见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用（1）设水池深度为x尺则得芦苇高度为尺在中利用勾股定理建立方程即可求解（2）由水池深度则得芦苇高度为由题意有：由勾股定理即可得证．【详解】（1）解：设水池深度为x尺则芦苇高度为尺由题意有：尺为中点且丈尺(尺)在中由勾股定理得：即解得：即尺答：水池的深度为12尺（2）证明：水池深度则芦苇高度为由题意有：为中点且在中由勾股定理得：即整理得：表明刘徽解法是正确的．题型十七解决航海问题（勾股定理的应用）33．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行在A处测得灯塔P在北偏东方向上继续航行1小时到达B处此时测得灯塔在北偏东方向上．(1)求的度数(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁问轮船继续向正东方向航行是否安全？【答案】(1)(2)轮船继续向正东方向航行是安全的【分析】本题考查了平行线的判定和性质等角对等边30度角的性质勾股定理的应用．（1）作于H可知根据平行线的性质得到即可求出的度数（2）根据等角对等边得到海里根据30度角的性质结合勾股定理计算即可．【详解】（1）解：作于H则∴∴（2）∵一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行在A处测得灯塔P在北偏东方向上继续航行1小时到达B处∴海里∵∴海里∵∴海里∴∴轮船继续向正东方向航行是安全的．34．（23-24八年级下·全国·期末）如图在离水面高度为的岸上有人用绳子拉船靠岸开始时拉紧的绳子的长为此人把绳子收紧后船移动到点D的位置(即绳子的长为9米)问船向岸边移动了多少米?(结果保留根号)【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用解题的关键是掌握勾股定理．在中利用勾股定理计算出长再根据题意可得长然后再次利用勾股定理计算出长再利用可得长．【详解】解：在中：∵∴∵∴∴答：船向岸边移动了米．题型十八求河宽（勾股定理的应用）35．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为ab斜边长为c则．(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答(2)如图2在一条东西走向河流的一侧有一村庄C河边原有两个取水点AB其中由于某种原因由C到A的路现在已经不通该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（AHB在一条直线上）并新修一条路且．测得千米千米求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）问中若时设求x的值．【答案】(1)见解析(2)新路比原路少0.5千米(3)【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出也可利用三个直角三角形面积求出两次求出的面积相等列出关系式化简即可得证（2）设千米则千米根据勾股定理列方程解方程即可得到结果（3）在和中由勾股定理得求出列出方程求解即可得到结果．【详解】（1）解：∴梯形的面积为或即（2）解：设千米则千米在中即解得：即（千米）答：新路比原路少千米（3）解：由题得在中在中即解得：．36．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河但由于水流的影响实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米则河的宽度是（）A．8米 B．12米 C．16米 D．24米【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用根据题意可知为直角三角形根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．【详解】解：根据题意可知米设则中由勾股定理得即解得．∴该河的宽度为24米．故选：D．题型十九求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）37．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图某会展中心在会展期间准备将高长宽的楼道铺上地毯已知地毯每平方米元请你帮助计算一下铺完这个楼道至少需要元钱．【答案】【分析】此题考查勾股定理的应用熟练掌握勾股定理是解题的关键地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和即与的和在直角中根据勾股定理即可求得的长地毯的长与宽的积就是面积.【详解】解：由题意得：由勾股定理可得：则地毯总长为则地毯的总面积为所以铺完这个楼道至少需要（元）故答案为：38．如图在一个长AB为18m宽AD为7m的长方形草坪ABCD上放着一根长方体的木块已知木块的较长边与AD平行横截是边长为2米的正方形一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是米．【答案】【分析】解答此题要将木块表面展开再构建直角三角形然后根据两点之间线段最短再利用勾股定理进行解答．【详解】解：如图由题意可知将木块展开展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽∴长为18+2×2=22米宽为7米．于是最短路径为：（米）．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题两点之间线段最短的性质勾股定理的应用有一定的难度要注意培养空间想象能力．题型二十判断汽车是否超速（勾股定理的应用）39．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图所示点装有一车速检测仪它到公路边的距离米小汽车行驶过检测仪监控区域到达点时开始计时离开点时停止计时已知米．(1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域共用时几秒？(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒该车是否超速？请说明理由．【答案】(1)共用时4秒(2)该车超速理由见详解【分析】本题考查勾股定理的应用掌握勾股定理是解题的关键．（1）勾股定理求出的长利用时间等于路程除以速度进行求解即可（2）利用速度等于路程除以时间求出车速进行判断即可【详解】（1）解：依题意可得∴为直角三角形∵米米∴米∴答∶共用时4秒（2）解：超速理由如下∶∵∴该车超速．40．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处过了8秒小汽车到达处此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．(1)求的长(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：）【答案】(1)米(2)超速了理由见解析【分析】本题主要考查勾股定理熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理求出的长即可（2）求出小汽车的速度然后再判断是否超速即可．【详解】（1）解：在中答：的长为米（2）解：小汽车的速度为：故小汽车超速了．题型二十一判断是否受台风影响（沟股定理的应用）41．台风是一种自然灾害它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候有极强的破坏力．如图有一台风中心沿东西方向由点向点移动已知点为一海港且点与直线上两点的距离分别为和又以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)海港受台风影响吗?为什么?(2)若台风的速度为台风影响该海港持续的时间有多长?【答案】(1)海港受台风影响理由见解析(2)台风影响该海港持续的时间为【分析】（1）过点作于点此时线段为点到线段的距离通过三角形面积相等可求出线段的长若则海港受台风影响若则海港不受台风影响（2）通过勾股定理可求出线段的长从而求出线段的长利用路程除以速度即可求出时间本题主要考查了勾股定理及其逆定理过点作于点构建直角三角形是解题的关键．【详解】（1）解：海港受台风影响．理由：如图过点作于点∵∴∴是直角三角形．∴即解得．∵∴海港受台风影响．（2）设台风到达点时开始影响该海港到达点时解除影响该海港∴．∵于点∴∴．∵台风的速度为∴．∴台风影响该海港持续的时间为．42．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图公路和公路在点P处交汇且．点A处有一栋居民楼．假设一拖拉机在公路上沿方向行驶周围以内（包括）会受到噪声的影响．(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．(2)若受影响已知拖拉机的速度为则居民楼受到影响的时间有多长？【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响理由见解析(2)【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质勾股定理三线合一熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键：（1）作根据含30度角的直角三角形的性质求出的长进行判断即可（2）以为圆心为半径画弧交于点三线合一结合勾股定理求出的长再除以速度求出时间即可．【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响理由如下：作则：∵∴∵∴该居民楼会受到噪声的影响（2）以为圆心为半径画弧交于点则：∵∴∴∵∴答：居民楼受到影响的时间有．题型二十一选址使到两地距离相等（沟股定理的应用）43．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图铁路上AB两点相距CD两点为两村庄于点A于点B已知现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得CD两村到E站的距离相等(1)E站应建在距A点多少千米处？(2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）．【答案】(1)E站应建在距A点5千米处(2)【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用全等三角形的性质与判定熟知勾股定理是解题的关键．（1）设则根据勾股定理和可得方程解方程即可得到答案（2）根据（1）可得证明得到则可证明由勾股定理得则由勾股定理得．【详解】（1）解：设则在中由勾股定理得在中由勾股定理得∵CD两村到E站的距离相等∴即∴∴解得∴答：E站应建在距A点5千米处（2）解：由（1）可得∴∵∴∴∴∵∴∴在中由勾股定理得∴在中由勾股定理得答：两个村庄之间的直线距离为．44．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）综合与实践（1）如图1铁路上两点（看作直线上的两点）相距千米为两个村庄（看作两个点）垂足分别为千米千米则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）（2）在（1）的条件下要在上建造一个供应站使得求的距离（3）借助上面的思考过程与几何模型求代数式（）的最小值为___________．【答案】（1）（2）千米（3）20【分析】本题考查了勾股定理的应用熟记勾股定理是解题的关键．（1）连接过点作于点由题意根据勾股定理求出的长即可（2）在中在中得出方程求解即可（3）先作出点关于的对称点连接过点作交延长线于点则的长就是代数式的最小值再结合勾股定理求出的长即可．【详解】（1）解：如图连接过点作于点四边形是矩形千米千米千米千米两个村庄的距离为千米故答案为：（2）解：由题意可知点在的垂直平分线上如图连接作的垂直平分线交于点则点即为所求设千米则千米在中根据勾股定理可得：在中根据勾股定理可得：解得：即：千米（3）解：如图先作出点关于的对称点连接过点作交延长线于点设则就是代数式的最小值代数式的几何意义是线段上一点到点的距离之和而它的最小值就是点的对称点和点的连线与线段的交点就是它取最小值时的点由轴对称的性质可得：四边形是矩形从而构造出了以为一条直角边和的和为另一条直角边的直角三角形斜边就是代数式的最小值代数式的最小值为：．故答案为:20题型二十三求最短路径（勾股定理的应用）45．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）运动展风采筑梦向未来为进一步贯彻“双减”政策落实“五育”并举学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台3个长方体颁奖台的长均为80cm宽均为60cm123号台的高度分别是40cm30cm20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处则蚂蚁爬行的最短距离为cm．（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查了平面展开图最短问题勾股定理等知识解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题．根据题意将立体图形展开再根据勾股定理解答即可．【详解】解：由题意知展开图如下：∵∴蚂蚁爬