人教版八年级数学下册《勾股定理及其应用》专项测试卷及答案

第第页人教版八年级数学下册《勾股定理及其应用》专项测试卷及答案知识点梳理01：勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2a2=c2-b2、b2=c2-a2、、.【知识拓展】12＜c2.【易错点拨】1.勾股定理是直角三角形的特殊性质所以其适用的前提是直角三角形.2.运用勾股定理时一定要分清直角边和斜边若没有明确哪条边是斜边则需要分类讨论写出所有可能的情况以避免漏解或者错解.知识点梳理02：勾股定理的证明通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后只要没有重叠、没有空隙面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.下面列举几种证明方法：1、“赵爽弦图”证明：在图1中大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2ab×4+（b﹣a）2化简得：a2+b2＝c2．2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2ab×4化简得：a2+b2＝c2．3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）ab×2c2化简得：a2+b2＝c2．知识点梳理03：勾股定理的应用利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明题在解决过程中往往利用勾股定理列方程（组）有时需要通过作辅助线来构造直角三角形化非直角三角形为直角三角形来解决.1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤1、从实际问题中抽象出几何图形2、确定所求线段所在的直角三角形3、找准直角边和斜边根据勾股定理建立等量关系4、求得结果.2、勾股定理应用的类型：（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题（4)作长为(n＞1且n为整数)的线段（5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题首先要建立直角三角形的模型然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.【易错点拨】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.知识点梳理04：利用勾股定理作长为的线段(n＞1且n为整数)实数与数轴上的点是一一对应的有理数在数轴较易找到它对应的点但要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难因此我们可以利用勾股定理作长为(n＞1且n为整数)的线段进而在数轴上画出表示(n＞1且n为整数)的点.在数轴上表示的步骤：①利用勾股定理求出长为的线段②点.题型1：用勾股定理解三角形【典例精讲】（2025·浙江衢州·模拟预测）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图四边形为正方形若的斜边则图中线段的长为（）A．6 B． C．8 D．【变式训练】（2025·江西·模拟预测）如图在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点连接当为直角三角形时P点的坐标是．题型2：已知两点坐标求两点距离【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中为坐标原点．已知点则线段的长为（）A．3 B．4 C．5 D．7【变式训练】（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中点到坐标原点O的距离为．题型3：勾股树(数)问题【典例精讲】（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中下列各组数中是“勾股数”的是（）A．6810 B．51211 C．789 D．235【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数知道其中的两个数分别是5和12则第三个数是．题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图字母B所代表的正方形的面积是（）A． B． C． D．【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图是一株美丽的勾股树其中所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11则最大正方形E的边长是．题型5：勾股定理与网格问题【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分一个扫地机器人沿图中所示的折线从则它所走的路程是（）A． B． C． D．【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图数轴上点所表示的数为1点是的正方形网格上的格点以点为圆心长为半径画圆交数轴于两点则点所表示的数为．（可以用含根号的式子表示）题型6：勾股定理与折叠问题【典例精讲】（24-25八年级下·青海海西·期中）如图有一块直角三角形纸片两直角边现将直角边沿直线折叠使它落在斜边上且与重合则等于（）A． B． C． D．【变式训练】（2025·广东汕头·一模）如图在三角形纸片中沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处再折叠纸片使点C与点D重合若第二次的折痕与的交点为E则的长是（）A． B． C． D．题型7：利用勾股定理证明线段平方关系【典例精讲】（24-25八年级下·青海玉树·期末）在中所对的边分别是且则下列等式正确的是（）A． B． C． D．【变式训练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图和都是等腰直角三角形的顶点是的斜边上的点连接．(1)求的度数(2)求证：(3)若请直接写出的值．题型8：勾股定理的证明方法【典例精讲】（24-25八年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10那么的长是（）A．5 B．6 C． D．【变式训练】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中不能用面积验证勾股定理的是（）．A． B．C． D．题型9：以弦图为背景的计算题【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形四边形与四边形均为正方形H是的中点．若的长为5则阴影部分的面积为．【变式训练】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图是我国古代弦图变形得到的数学风车是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成直角三角形的斜边直角边点在上则中间正方形的面积为．题型10：用勾股定理构造图形解决问题【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图一支铅笔放在圆柱体笔筒中笔筒的内部底面直径是内壁高．若这支铅笔长为设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x则x的取值范围是（）A．B．C． D．【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图圆柱的高为3米底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后挂在点A的正上方点B处彩带最短需要米．题型11：勾股定理与无理数【典例精讲】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（）A． B． C．4.4 D．4.5【变式训练】（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图则在数轴上点表示的实数是．题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图一架梯子的长度为15米斜靠在墙上梯子底部离墙底端为9米．(1)这个梯子顶端离地面有几米(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）【变式训练】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上木板底端点B到墙的距离木板长宽．（1）若木板的底端B向里滑行则木板的顶端A沿墙上滑m（2）在木板滑动的过程中木板的顶端D到O点的最大距离是m．题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图所示已知旗杆垂直地面小明想知道学校旗杆的高他发现旗杆顶端的绳子垂到地面比旗杆还多1米当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后发现下端刚好接触地面（米）请你求出旗杆的高度．【变式训练】（24-25七年级上·山东淄博·期中）小明买了一个年画风筝并进行了试放为了验证某些数学问题他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为根据手中余线长度计算出的长度为牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点ABCD在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度(2)在余线仅剩的情况下若想要风筝沿射线方向再上升请问能否成功？请说明理由．题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图有两棵树一棵高另一棵高两树相距一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢则小鸟至少飞行（）A． B． C． D．【变式训练】（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景提出了一个有趣的数学问题：有两棵树一棵高另一棵高两树相距一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶至少需要飞（）A． B． C． D．题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图在一棵树的高的处有两只猴子其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等试问这棵树高．【变式训练】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺末折抵地去本五尺问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺问折处高几尺？即：如图尺尺设为x尺则下列方程正确的是（）A． B．C． D．题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)【典例精讲】（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯测得内部底面半径为高为吸管放进杯里杯口外面至少要露出吸管长（）A． B． C． D．【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺）葭生其中央出水一尺．引葭赴岸适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（）A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺题型17：解决航海问题(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行离开港口2小时后两船相距（）A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图甲、乙两艘轮船同时从港口出发甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行乙轮船沿东北方向匀速航行小时后两艘轮船相距海里则乙轮船每小时航行海里．题型18：求河宽(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河但由于水流的影响实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米则河的宽度是（）A．6米 B．9米 C．12米 D．15米【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图某工程队为修通铁路需凿通隧道测得若每天开凿隧道需要几天才能把隧道凿通？题型19：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图在高为坡面长为的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A． B． C． D．【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典准备在一个长高的台阶上铺设地毯（如图）若台阶的宽为地毯的价格为120元则购买地毯需花费元．题型20：判断汽车是否超速(勾股定理的应用）【典例精讲】（23-24八年级下·河北廊坊·月考）“为了安全请勿超速”．如图一条公路建成通车在某路段上限速60千米小时为了检测车辆是否超速在公路旁设立了观测点C从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒已知米米．(1)请求出观测点C到公路的距离(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：）【变式训练】（24-25八年级下·广西贵港·期中）已知某高速路段限速（即）．如图汽车在车速检测仪A正前方30米的处过了后到处测得．请通过计算判断汽车是否超速．题型21：判断是否受台风影响(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·山东日照·月考）如图市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处以千米/时的速度向北偏西的方向移动距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．(1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明(2)如果市受这次台风影响那么受台风影响的时间有多长？【变式训练】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图某气象站测得台风中心在城正西方向的处以每小时的速度向北偏东的方向移动距台风中心的范围是受台风干扰的区域问城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰求出城受台风干扰的时间．题型22：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米、为铁路两边的两个村庄垂足分别为和千米千米现在要在铁路旁修建一个候车点使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（）A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米、为两村庄（看作两个点）垂足分别为、千米千米现在要在铁路旁修建一个煤栈使得、两村到煤栈的距离相等．设煤栈应建在距点千米处的点处如图则千米．(1)（______）千米(2)煤栈应建在距点多少千米处？题型23：求最短路径(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·全国·期中）如图在中若P是上的一个动点则的最小值是（）A． B．15 C． D．16【变式训练】（23-24八年级下·全国·期中）如图正方体的棱长为2B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发到达B点则它运动的最短路程为．1．（2024·四川泸州·中考真题）如图是由4个全等的直角三角形构成的“勾股弦图”若正方形的面积为52的长为4则正方形的面积为（）A． B．6 C．5 D．42．（2024·浙江杭州·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3且满足则大正方形面积为（）A．8 B．9 C．10 D．113．（2024·湖南益阳·中考真题）如图在中的平分线交于D且点E是边上的一动点则的最小值为．4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌经测量得到如下数据：米米则警示牌的高约为米．（结果精确到米参考数据：）5．（2024·陕西咸阳·中考真题）今年第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时台风中心位于距离A市的B处（即）正以的速度沿直线方向移动．(1)已知A市到的距离那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响那么A市受到台风影响的时间是多长？基础夯实1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图有一个水池水面是一个边长为12尺的正方形在水池正中央有一根芦苇高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿它的顶端恰好到达池边的水面求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺根据题意可列方程为（）A． B．C． D．2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中是勾股数的是（）A．71012 B． C．6810 D．58123．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图长方形的边在数轴上点B的坐标为点C的坐标为3以B为圆心为半径画弧与数轴交于点E则点E表示的实数是（）A． B． C． D．4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养提高学生发现问题分析问题解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河但由于水流的影响实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米）结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米则河的宽度为米．5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数则m的值为．6．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在平面直角坐标系中点A的坐标为则线段的长为．7．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图图中所有四边形都是正方形三角形是直角三角形若正方形AB的面积分别为1810则正方形C的面积是．8．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木系索其末委地三尺．引索却行去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍在其顶端系一根绳子让绳子竖直下垂在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地底端离木棍底端的距离是8尺问绳子长为多少？9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在中．求的长．10．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图在中．(1)若求和(2)若求和．培优拔高11．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图已知正方形的面积为如果正方形的面积为那么正方形的面积为（）A． B． C． D．12．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图圆柱的底面周长为高为蚂蚁在圆柱侧面爬行从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（）A． B． C． D．13．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图在中以点B为圆心适当长为半径画弧分别交于点MN再分别以点MN为圆心大于的长为半径画弧两弧交于点P作射线交于点D．若则在中边上的高为（）A．3 B．4 C．8 D．614．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图在中．若分别是和上的动点则的最小值是．15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图在中已知的垂直平分线分别交、于点D、E点F和点G分别是线段和边上的动点则的最小值为．16．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图点在线段上点F为平分线上的一点且和均为等边三角形则的长是．17．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图在中是的中点是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时的长为．18．（24-25八年级下·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日为了增强全民的消防安全意识某校师生举行了消防演练如图云梯长为25米云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直）云梯底端A与墙角O的距离为7米．(1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾需将云梯顶端C下滑到着火点D处则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米．19．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、在直线上存在点使得的值最小．解法：如图1作点关于直线的对称点连接则与直线的交点即为且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：(1)格点应用：如图2边长为1的正方形网格内有两点、直线与、的位置如图所示点P是直线上一动点则的最小值为在网格内画出点P(2)几何应用：如图3在中边的垂直平分线交于点E垂足为D．若点P是直线上的动点求的最小值．20．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图在一次课外活动中同学们要测量某公园人工湖两侧AB两个凉亭之间的距离已知现测得请计算AB两个凉亭之间的距离．参考答案知识点梳理01：勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为ab斜边长为c那么a2+b2=c2.1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为ab斜边长为c则a2+b2=c2a2=c2-b2、b2=c2-a2、、.【知识拓展】12＜c2.【易错点拨】1.勾股定理是直角三角形的特殊性质所以其适用的前提是直角三角形.2.运用勾股定理时一定要分清直角边和斜边若没有明确哪条边是斜边则需要分类讨论写出所有可能的情况以避免漏解或者错解.知识点梳理02：勾股定理的证明通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后只要没有重叠、没有空隙面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.下面列举几种证明方法：1、“赵爽弦图”证明：在图1中大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2ab×4+（b﹣a）2化简得：a2+b2＝c2．2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2ab×4化简得：a2+b2＝c2．3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）ab×2c2化简得：a2+b2＝c2．知识点梳理03：勾股定理的应用利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明题在解决过程中往往利用勾股定理列方程（组）有时需要通过作辅助线来构造直角三角形化非直角三角形为直角三角形来解决.1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤1、从实际问题中抽象出几何图形2、确定所求线段所在的直角三角形3、找准直角边和斜边根据勾股定理建立等量关系4、求得结果.2、勾股定理应用的类型：（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题（4)作长为(n＞1且n为整数)的线段（5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题首先要建立直角三角形的模型然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.【易错点拨】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.知识点梳理04：利用勾股定理作长为的线段(n＞1且n为整数)实数与数轴上的点是一一对应的有理数在数轴较易找到它对应的点但要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难因此我们可以利用勾股定理作长为(n＞1且n为整数)的线段进而在数轴上画出表示(n＞1且n为整数)的点.在数轴上表示的步骤：①利用勾股定理求出长为的线段②点.题型1：用勾股定理解三角形【典例精讲】（2025·浙江衢州·模拟预测）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图四边形为正方形若的斜边则图中线段的长为（）A．6 B． C．8 D．【答案】D【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质勾股定理由勾股定理可求的长由全等三角形的性质可求进一步可得答案．【规范解答】解：如图标注顶点在中．故选：D．【变式训练】（2025·江西·模拟预测）如图在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点连接当为直角三角形时P点的坐标是．【答案】或或【思路点拨】本题考查了坐标与图形的性质勾股定理．分三种情况讨论：当点在轴上在原点在轴上根据勾股定理列出式计算即可求解．【规范解答】解：①当点在轴上运动时连接．∵∴设点的坐标是∵∴∴即解得．∴点的坐标是②当点在原点时∴点的坐标为③当点在轴上运动时连接设点的坐标是∴∴即解得．∴点的坐标是．故答案为：或或．题型2：已知两点坐标求两点距离【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中为坐标原点．已知点则线段的长为（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【思路点拨】本题考查了两点之间的距离公式熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．直接利用两点之间的距离公式解答即可得．【规范解答】解：∵为坐标原点点∴线段的长为故选：C．【变式训练】（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中点到坐标原点O的距离为．【答案】【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标勾股定理先确定点到坐标轴的距离再根据勾股定理直接求出答案.【规范解答】解：根据题意得点P到x轴的距离是5到y轴的距离是2∴.故答案为：.题型3：勾股树(数)问题【典例精讲】（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中下列各组数中是“勾股数”的是（）A．6810 B．51211 C．789 D．235【答案】A【思路点拨】本题考查勾股定理根据勾股数的定义三个正整数两个较小数的平方和等于较大数的平方这三个正整数构成一组勾股数进行判定即可．【规范解答】A．是勾股数B．不是勾股数C．不是勾股数D．不是勾股数故选：A．【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数知道其中的两个数分别是5和12则第三个数是．【答案】13【思路点拨】本题考查了勾股数勾股定理分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数再根据勾股数判定即可求解运用分类讨论思想解答是解题的关键．【规范解答】解：当第三个数是直角边时第三个数当第三个数是斜边时第三个数∵三个数是一组勾股数∴当第三个数为时不合题意舍去∴第三个数是13故答案为：13．题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图字母B所代表的正方形的面积是（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用会利用勾股定理进行几何计算是解决本题的关键．如图利用勾股定理得到再根据正方形的面积公式得到则可计算出从而得到字母所代表的正方形的面积．【规范解答】解：如图∵而字母所代表的正方形的面积为故选A．【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图是一株美丽的勾股树其中所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11则最大正方形E的边长是．【答案】【思路点拨】本题考查了勾股定理正方形的面积由勾股定理得即可求解．【规范解答】解：如图所有的三角形都是直角三角形（负值已舍去）最大正方形E的边长是故答案为：．题型5：勾股定理与网格问题【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分一个扫地机器人沿图中所示的折线从则它所走的路程是（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】由图片可知、均为长、宽的矩形的对角线运用勾股定理分别求出、的长再相加即可本题考查了勾股定理精准识图、准确计算是解题的关键．【规范解答】解：．故选：C．【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图数轴上点所表示的数为1点是的正方形网格上的格点以点为圆心长为半径画圆交数轴于两点则点所表示的数为．（可以用含根号的式子表示）【答案】/【思路点拨】本题考查的是实数与数轴勾股定理的应用先求解再进一步求解即可．【规范解答】解：由勾股定理可得则点表示的数是1点所表示的数为．故答案为：．题型6：勾股定理与折叠问题【典例精讲】（24-25八年级下·青海海西·期中）如图有一块直角三角形纸片两直角边现将直角边沿直线折叠使它落在斜边上且与重合则等于（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】先根据勾股定理求得的长再根据折叠的性质求得的长从而利用勾股定理可求得的长．本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【规范解答】解：由折叠的性质得：设则在中．故选：A．【变式训练】（2025·广东汕头·一模）如图在三角形纸片中沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处再折叠纸片使点C与点D重合若第二次的折痕与的交点为E则的长是（）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】先由折叠的性质得出推出再由勾股定理求出设则然后由勾股定理列出方程解方程即可．【规范解答】解：由折叠的性质得：∵∴∴∴在中由勾股定理得：设则在中由勾股定理得：即解得：故选：D．题型7：利用勾股定理证明线段平方关系【典例精讲】（24-25八年级下·青海玉树·期末）在中所对的边分别是且则下列等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】本题考查三角形的内角和定理等腰三角形的判定勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形利用勾股定理求解边长关系．【规范解答】解：∵∴∴∴．故选：C．【变式训练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图和都是等腰直角三角形的顶点是的斜边上的点连接．(1)求的度数(2)求证：(3)若请直接写出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【思路点拨】本题考查等腰三角形的定义全等三角形的判定和性质勾股定理熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键（1）证明得出即可求解（2）根据（1）的结论推出根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论（3）设则利用勾股定理列式进行求解即可．【规范解答】（1）解：与都是等腰直角三角形．．（2）证明：即．在中即（3）解：设则即解得．．题型8：勾股定理的证明方法【典例精讲】（24-25八年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10那么的长是（）A．5 B．6 C． D．【答案】D【思路点拨】本题主要考查勾股定理的证明 完全平方公式的应用三角形的面积解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积建立方程求解出的值再利用完全平方公式变形即可解答．【规范解答】解：已知4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10根据题意：则（负值舍去）即故选：D．【变式训练】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中不能用面积验证勾股定理的是（）．A． B．C． D．【答案】D【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的证明以直角三角形三边为边长作正方形若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方即可证明勾股定理据此可得答案．【规范解答】解：由题意知所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理故选：D．题型9：以弦图为背景的计算题【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形四边形与四边形均为正方形H是的中点．若的长为5则阴影部分的面积为．【答案】15【思路点拨】本题考查勾股定理求阴影部分面积等．根据题意设则根据勾股定理列式继而得到即可得到本题答案．【规范解答】解：由“赵爽弦图”可知∴设则∵的长为5∴解得：∴阴影部分的面积：故答案为：15．【变式训练】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图是我国古代弦图变形得到的数学风车是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成直角三角形的斜边直角边点在上则中间正方形的面积为．【答案】1【思路点拨】本题考查了以弦图为背景的计算题理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为据此即可求解．【规范解答】解：中间正方形的边长为中间正方形的面积为．故答案为：．题型10：用勾股定理构造图形解决问题【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图一支铅笔放在圆柱体笔筒中笔筒的内部底面直径是内壁高．若这支铅笔长为设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x则x的取值范围是（）A．B．C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用首先根据题意画出图形利用勾股定理计算出的长度．然后求其差即可得出结果．【规范解答】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大最大．当铅笔如图放置时最小．在中．的取值范围：．故选：B．【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图圆柱的高为3米底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后挂在点A的正上方点B处彩带最短需要米．【答案】【思路点拨】本题考查圆柱展开图勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形彩带最短为长方形对角线长度再利用勾股定理即可求出本题答案．【规范解答】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度∵圆柱的高为3米底面圆的周长为5米∴米故答案为：．题型11：勾股定理与无理数【典例精讲】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（）A． B． C．4.4 D．4.5【答案】B【思路点拨】本题主要考查勾股定理及实数与数轴熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键由题意易得然后问题可求解．【规范解答】解：由题意得：∴故选B．【变式训练】（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图则在数轴上点表示的实数是．【答案】【思路点拨】本题考查了实数与数轴勾股定理求出长是解题的关键．先由勾股定理求解再由即可求解数轴上点表示的实数．【规范解答】解：点在原点的左侧到原点的距离是点表示的实数是．故答案为：．题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图一架梯子的长度为15米斜靠在墙上梯子底部离墙底端为9米．(1)这个梯子顶端离地面有几米(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）【答案】(1)12米(2)米【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理求出即可（2）根据勾股定理求出进而求出即可【规范解答】（1）解：根据题意得米米∴答：梯子顶端离地面有12米（2）解：根据题意得米米∴米∴∴梯子的顶端下滑了米．【变式训练】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上木板底端点B到墙的距离木板长宽．（1）若木板的底端B向里滑行则木板的顶端A沿墙上滑m（2）在木板滑动的过程中木板的顶端D到O点的最大距离是m．【答案】1【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用正确作出辅助线是解题的关键．（1）在中根据勾股定理求出再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果（2）取的中点E连接根据直角三角形上的中线的性质得出再根据勾股定理求出最后根据当OED共线时长最大求解即可．【规范解答】解：（1）如图由题意可知∴∵∴∴∴即木板的顶端A沿墙上滑故答案为：1（2）如图取的中点E连接由题意可知是直角三角形的斜边上的中线∴∵E是的中点∴由勾股定理得当OED共线时长最大最大值为故答案为：.题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图所示已知旗杆垂直地面小明想知道学校旗杆的高他发现旗杆顶端的绳子垂到地面比旗杆还多1米当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后发现下端刚好接触地面（米）请你求出旗杆的高度．【答案】【思路点拨】本题考查勾股定理一元一次方程的应用掌握相关知识是解决问题的关键．因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形设旗杆的高度为米则绳子的长度为米根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【规范解答】解：设旗杆的高度为米则绳子的长度为米根据勾股定理可得：解得．答：旗杆的高度为米．【变式训练】（24-25七年级上·山东淄博·期中）小明买了一个年画风筝并进行了试放为了验证某些数学问题他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为根据手中余线长度计算出的长度为牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点ABCD在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度(2)在余线仅剩的情况下若想要风筝沿射线方向再上升请问能否成功？请说明理由．【答案】(1)(2)不能成功见解析【思路点拨】本题考查勾股定理的应用理解题意添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．（1）过点A作于点E在中利用勾股定理求出即可求解（2）假设能上升延长至点F使连接在中利用勾股定理求出即可求解．【规范解答】（1）解：如图1过点A作于点E则在中由勾股定理得：∴（2）解：不能成功理由如下：假设能上升如图2延长至点F使连接∴在中∵余线仅剩∴∴不能上升即不能成功．题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图有两棵树一棵高另一棵高两树相距一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢则小鸟至少飞行（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】本题考查勾股定理的应用构建直角三角形是解题的关键．先构建直角三角形再用勾股定理求解即可．【规范解答】解：设高的那棵树用表示低的那棵树用表示过点C作于点E连接如图所示：由题意得：米米米∴米在中由勾股定理得：（米）故选：C．【变式训练】（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景提出了一个有趣的数学问题：有两棵树一棵高另一棵高两树相距一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶至少需要飞（）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解掌握勾股定理是应用是解题的关键．【规范解答】解：如图∴∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶至少需要飞故选：．题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用)【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图在一棵树的高的处有两只猴子其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等试问这棵树高．【答案】【思路点拨】本题考查勾股定理的应用设树高为则可用表示出利用勾股定理可得到关于的方程求解即可．用树的高度表示出利用勾股定理得到方程是解题的关键．【规范解答】解：设树高为则由题意可知：∴根据题意知：即为直角三角形∴即解得：即这棵树高．故答案为：．【变式训练】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺末折抵地去本五尺问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺问折处高几尺？即：如图尺尺设为x尺则下列方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用设为x尺则尺运用勾股定理即可列出方程利用题目信息构造直角三角形运用勾股定理求解是解题的关键．【规范解答】解：设为x尺则尺依题意得：故选：B．题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)【典例精讲】（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯测得内部底面半径为高为吸管放进杯里杯口外面至少要露出吸管长（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】本题考查了圆柱体的性质勾股定理熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质结合勾股定理解答即可．【规范解答】解：根据题意得圆柱底面半径为故底面直径为高为则故圆柱内部吸管长又露出的部分至少为故吸管长．故选：A．【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺）葭生其中央出水一尺．引葭赴岸适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（）A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺【答案】C【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用．设水深为x尺则葭长为尺根据勾股定理列出方程即可求解．【规范解答】解：设水深为x尺则葭长为尺根据题意得：解得：答：水深为12尺则葭长为13尺．故选：C.题型17：解决航海问题(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行离开港口2小时后两船相距（）A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里【答案】B【思路点拨】此题考查勾股定理的应用方向角解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间得两条船分别行驶的距离．再根据勾股定理即可求得两条船之间的距离．【规范解答】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向∴两小时后两艘船分别行驶了海里海里根据勾股定理得：(海里)．故选：B．【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图甲、乙两艘轮船同时从港口出发甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行乙轮船沿东北方向匀速航行小时后两艘轮船相距海里则乙轮船每小时航行海里．【答案】【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角然后根据路程速度时间根据勾股定理即可得出答案．【规范解答】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行乙轮船沿东北方向匀速航行∴∴∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时∴（海里）∵海里在中（海里）∴乙轮船平均每小时航行（海里）．故答案为：．题型18：求河宽(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河但由于水流的影响实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米则河的宽度是（）A．6米 B．9米 C．12米 D．15米【答案】D【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用根据题意可知为直角三角形根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．【规范解答】解：根据题意得在中∴解得即河的宽度是15米故选：D．【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图某工程队为修通铁路需凿通隧道测得若每天开凿隧道需要几天才能把隧道凿通？【答案】需要天才能把隧道凿通【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形再根据勾股定理求得的长从而可以求得结果.【规范解答】解：∵∴∴是直角三角形∵∴∵天答：需要天才能把隧道凿通．题型19：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图在高为坡面长为的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．当地毯铺满楼梯时其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和根据勾股定理求得水平宽度然后求得地毯的长度即可．【规范解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和∴地毯的长度至少是．故选：C．【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典准备在一个长高的台阶上铺设地毯（如图）若台阶的宽为地毯的价格为120元则购买地毯需花费元．【答案】8160【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案．【规范解答】解：由题意得台阶最上面和最下面的水平距离为∴购买地毯需花费元故答案为：8160．题型20：判断汽车是否超速(勾股定理的应用）【典例精讲】（23-24八年级下·河北廊坊·月考）“为了安全请勿超速”．如图一条公路建成通车在某路段上限速60千米小时为了检测车辆是否超速在公路旁设立了观测点C从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒已知米米．(1)请求出观测点C到公路的距离(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：）【答案】(1)观测点C到公路的距离为米(2)此车没有超速理由见解析【思路点拨】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半勾股定理的应用熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．（1）过点C作于H先求出的长再用勾股定理求解即可（2）先求出的长再求出的长进而求出汽车的速度即可得出答案．【规范解答】（1）解：过点C作于H在中．米（米）（米）即观测点C到公路的距离为（米）．（2）解：米米米∴车速为（米/秒）千米/小时米/秒∴此车没有超速．【变式训练】（24-25八年级下·广西贵港·期中）已知某高速路段限速（即）．如图汽车在车速检测仪A正前方30米的处过了后到处测得．请通过计算判断汽车是否超速．【答案】没有超速【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用将实际问题转化为数学问题成为解题的关键．由勾股定理可得再根据小汽车用行驶的路程为那么可求出小汽车的速度然后再判断即可解答．【规范解答】解：汽车没有超速理由如下：依题意由勾股定理可得：．∴∴．∴汽车没有超速．题型21：判断是否受台风影响(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·山东日照·月考）如图市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处以千米/时的速度向北偏西的方向移动距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．(1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明(2)如果市受这次台风影响那么受台风影响的时间有多长？【答案】(1)市会受到台风的影响(2)小时【思路点拨】本题考查了勾股定理含角的直角三角形的性质解题关键是掌握勾股定理含角的直角三角形的性质．（1）是否会受到影响需要求得点A到台风所走路线的最短距离根据垂线段最短即作于C再根据直角三角形的性质进行计算比较（2）需要计算出受影响的总路程再根据时间=路程÷速度进行计算．【规范解答】（1）解：过A作于C∵台风向北偏西的方向移动∴∵市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处∴∴市会受到台风的影响（2）过A作交于点DE∵A市气象站测得台风中心在A市正东方向千米的B处以千米/时的速度向北偏西的方向移动∴受台风影响的路程为∴该市受台风影响的时间为：（小时）∴如果市受这次台风影响那么受台风影响的时间为小时．【变式训练】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图某气象站测得台风中心在城正西方向的处以每小时的速度向北偏东的方向移动距台风中心的范围是受台风干扰的区域问城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰求出城受台风干扰的时间．【答案】A城会受到此次台风的干扰干扰的时间为小时理由见解析【思路点拨】本题考查了含度角的直角三角形以及勾股定理作则得出根据可得出的长则城会受到此次台风的干扰以为圆心为半径作弧交于、两点连接在中有的长可得出从而得出城受台风干扰的时间是基础知识要熟练掌握．【规范解答】解：作于点则．城会受到此次台风的干扰以为圆心为半径作弧交于、两点连接．在中有城受台风干扰的时间为：（小时）．题型22：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)【典例精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米、为铁路两边的两个村庄垂足分别为和千米千米现在要在铁路旁修建一个候车点使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（）A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米【答案】B【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用正确理解题意得到是解题的关键．设则利用勾股定理得到则解方程即可．【规范解答】解：设则两村到候车点的距离相等解得：则候车点应距点．故选：B．【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米、为两村庄（看作两个点）垂足分别为、千米千米现在要在铁路旁修建一个煤栈使得、两村到煤栈的距离相等．设煤栈应建在距点千米处的点处如图则千米．(1)（______）千米(2)煤栈应建在距点多少千米处？【答案】(1)(2)千米处【思路点拨】（）连接则由勾股定理可得解之即可求解（）根据（）的结果即可求解本题考查了勾股定理的应用掌握勾股定理是解题的关键．【规范解答】（1）解：如图连接则∵∴∵千米∴千米∵∴解得∴千米故答案为：（2）解：由（）得千米∴煤栈应建在距点千米处．题型23：求最短路径(勾股定理的应用)【典例精讲】（23-24八年级下·全国·期中）如图在中若P是上的一个动点则的最小值是（）A． B．15 C． D．16【答案】A【思路点拨】本题考查解直角三角形勾股定理动点问题等知识解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法．利用勾股定理求出根据垂线段最短求出的最小值即可解决问题．【规范解答】解：∵∴∴根据垂线段最短得当时的值最小此时取得最小值∵∴∴的最小值．故选：A．【变式训练】（23-24八年级下·全国·期中）如图正方体的棱长为2B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发到达B点则它运动的最短路程为．【答案】【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用．正方体侧面展开为长方形确定蚂蚁的起点和终点根据两点之间线段最短根据勾股定理可求出路径长．【规范解答】解：如图在中∴．故答案为：1．（2024·四川泸州·中考真题）如图是由4个全等的直角三角形构成的“勾股弦图”若正方形的面积为52的长为4则正方形的面积为（）A． B．6 C．5 D．4【答案】D【思路点拨】本题主要考查了勾股定理解题的关键是掌握勾股定理．假设直角三角形的另一个直角边长为根据勾股定理求出的值然后再求正方形的面积即可．【规范解答】解：假设直角三角形的另一个直角边长为根据勾股定理得∴∴（负值舍去）∴正方形的面积为故选：D．2．（2024·浙江杭州·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3且满足则大正方形面积为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【思路点拨】本题考查勾股定理的证明由题意可知中间小正方形的边长为根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．【规范解答】解：由题意可知中间小正方形的边长为∴即∵∴得∴大正方形的面积为：故选：B．3．（2024·湖南益阳·中考真题）如图在中的平分线交于D且点E是边上的一动点则的最小值为．【答案】【思路点拨】本题考查了角平分线性质定理勾股定理垂线段最短．根据勾股定理求出过D作于E根据角平分线性质定理求出代入求出即可．【规范解答】解：在中由勾股定理得：过D作于E则此时的值最小∵平分∴．故答案为：．4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌经测量得到如下数据：米米则警示牌的高约为米．（结果精确到米参考数据：）【答案】【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用含30度角的直角三角形的性质解可得米解可得进而求得．【规范解答】解：在中米米在中米∴∵米警示牌的高米．故答案为：．5．（2024·陕西咸阳·中考真题）今年第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时台风中心位于距离A市的B处（即）正以的速度沿直线方向移动．(1)已知A市到的距离那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响那么A市受到台风影响的时间是多长？【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时(2)A市受台风影响的时间为小时【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用等腰三角形三线合一性质根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．（1）在中根据勾股定理求出台风的速度已知即可得出台风中心从点移到点所经过长时间（2）假设市从点开始受到台风的影响到点结束根据题意在图中画出图形可知市在台风从点到点均受影响即得出两点的距离便可求出市受台风影响的时间．【规范解答】（1）解：由题意得在中（小时）即台风中心从点移到点需要6小时（2）解：以为圆心以为半径画弧交于、则市在点开始受到影响离开点恰好不受影响（如图）由题意在中（小时）市受台风影响的时间为小时．基础夯实1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图有一个水池水面是一个边长为12尺的正方形在水池正中央有一根芦苇高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿它的顶端恰好到达池边的水面求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺根据题意可列方程为（）A． B．C． D．【答案】D【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用设芦苇的长度是尺因为水面是一个边长为12尺的正方形在水池正中央有一根芦苇高出水面2尺．可得整理得即可作答．【规范解答】解：设芦苇的长度是尺∵水面是一个边长为12尺的正方形在水池正中央有一根芦苇高出水面2尺．∴整理得故选：D．2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中是勾股数的是（）A．71012 B． C．6810 D．5812【答案】C【思路点拨】本题考查勾股数的定义掌握知识点是解题的关键．勾股数是满足勾股定理的正整数组需同时满足正整数和的条件即可解答．【规范解答】解：勾股数需为正整数且满足对于A：不符合对于B：不是正整数不符合对于C：相等且均为正整数符合对于D：不符合故选C．3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图长方形的边在数轴上点B的坐标为点C的坐标为3以B为圆心为半径画弧与数轴交于点E则点E表示的实数是（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】本题考查了勾股定理实数与数轴利用二次根式的性质化简解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．先求出然后在中运用勾股定理求解即可得到即可表示点E表示的实数．【规范解答】解：由题意得因为长方形所以所以由勾股定理得所以点表示的数为故选：C．4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养提高学生发现问题分析问题解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河但由于水流的影响实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米）结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米则河的宽度为米．【答案】24【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用根据题意可知为直角三角形根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．【规范解答】解：在中根据勾股定理得到即解得故答案为：24．5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数则m的值为．【答案】12【思路点拨】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和理解题意先分情况讨论m是斜边或13是斜边进行列式计算即可作答．【规范解答】解：依题意当m为斜边时由勾股定理得即解得不是正整数舍去当13为斜边时由勾股定理得即∴解得（负值已舍去）故答案为：12．6．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在平面直角坐标系中点A的坐标为则线段的长为．【答案】【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及勾股定理根据勾股定理计算原点O到点A的距离．【规范解答】解：点A的坐标为由勾股定理得．故答案为：．7．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图图中所有四边形都是正方形三角形是直角三角形若正方形AB的面积分别为1810则正方形C的面积是．【答案】28【思路点拨】本题主要考查勾股定理理解并掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的面积与边长的关系可知由此即可求解．【规范解答】解：根据勾股定理的几何意义可知∴．故答案为：28．8．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木系索其末委地三尺．引索却行去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍在其顶端系一根绳子让绳子竖直下垂在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地底端离木棍底端的距离是8尺问绳子长为多少？【答案】【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用根据题意绳子长度比木棍高度多3尺当绳子拉直时木棍高度、水平距离8尺和绳子长度构成直角三角形利用勾股定理求解．【规范解答】解：设绳子长度为尺则木棍高度为尺依题意当绳子拉直底端着地时有解得答：绳长为尺9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在中．求的长．【答案】【思路点拨】本题考查了勾股定理直接代入公式求解．【规范解答】解：．10．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图在中．(1)若求和(2)若求和．【答案】(1)(2)【思路点拨】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形和直角三角形的性质在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理和直角三角形的性质运用方程的思想是解题的关键．（1）由中可得设则利用勾股定理列方程即可求解（2）由中可得为等腰直角三角形可设利用勾股定理列方程即可求解．【规范解答】（1）解：在中∴设则∵∴解得∴．∴．（2