2026届山东省胶州市第一中学等高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2026届山东省胶州市第一中学等高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为()A． B． C． D．2．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①与平行；②与是异面直线；③与成60°角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④3．已知，实数、满足关系式，若对于任意给定的，当在上变化时，的最小值为，则（）A． B． C． D．4．在中，内角所对的边分别为.若,则角的值为（）A． B． C． D．5．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（）A．30 B．40 C．20 D．366．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是()A． B．C． D．7．圆心在(-1,0),半径为的圆的方程为()A． B．C． D．8．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A．这天中有天空气质量为一级 B．这天中日均值最高的是11月5日C．从日到日，日均值逐渐降低 D．这天的日均值的中位数是9．在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（）A．4 B． C． D．10．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C．-1 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，两次都是正面向上的概率为________.12．过点作圆的两条切线，切点分别为，则=.13．已知在中，角的大小依次成等差数列，最大边和最小边的长是方程的两实根，则__________．14．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则直线与平面所成的最大角的余弦值为________.15．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为100且支出在元的样本，其频率分布直方图如图，则支出在元的同学人数为________16．对任意的θ∈0,π2，不等式1三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数,（1）求的单调递增区间.（2）求在区间的最大值和最小值.18．已知点是函数的图象上一点,等比数列的前n项和为,数列的首项为c,且前n项和满足:当时,都有.(1)求c的值;(2)求证:为等差数列,并求出.(3)若数列前n项和为,是否存在实数m,使得对于任意的都有,若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.19．某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？20．高一某班以小组为单位在周末进行了一次社会实践活动，且每小组有5名同学，活动结束后，对所有参加活动的同学进行测评，其中A，B两个小组所得分数如下表：A组8677809488B组9183？7593其中B组一同学的分数已被污损，看不清楚了，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高出1分.（1）若从B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；（2）从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求的概率.21．在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱维P-ABC中，PA⊥底面ABC.(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空_________⊥________，则该三棱锥为“鳖臑”;(2)如图，已知AD⊥PB垂足为D,AE⊥PC，垂足为E,∠ABC=90°.(i)证明:平面ADE⊥平面PAC;(ii)作出平面ADE与平面ABC的交线l,并证明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.(在图中体现作图过程不必写出画法)

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

利用平面向量数量积的定义计算出的值，由可得出，利用平面向量数量积的运算律可求得实数的值.【详解】，，向量与的夹角为，，，，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.2、C【解析】

将正方体的展开图还原为正方体后，即可得到所求正确结论．【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD﹣EFMN后，可得AF，CN异面；BM，AN平行；连接AN，NF，可得∠FAN为AF，BM所成角，且为60°；BN⊥DE，DE⊥AB可得DE⊥平面ABN，可得DE⊥BN，可得③④正确，故选C．【点睛】本题考查展开图与空间几何体的关系，考查空间线线的位置关系的判断，属于基础题．3、A【解析】

先计算出，然后利用基本不等式可得出的值.【详解】，由基本不等式得，当且仅当时，由于，即当时，等号成立，因此，，故选：A.【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.4、C【解析】

根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.【详解】由正弦定理得：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.5、A【解析】

先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解【详解】每个个体被抽到的概率为,乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为,故选:A【点睛】本题考查分层抽样的应用,属于基础题6、C【解析】关于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化为，解得，∴所求不等式的解集是,故选C.7、A【解析】

根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程.【详解】圆心为(-1,0),半径为，则圆的方程为故选：A【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，属于简单题.8、D【解析】

由折线图逐一判断各选项即可.【详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日日均值为82，显然最大，故B正确，从日到日，日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是，所以D不正确，故选D.【点睛】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.9、B【解析】

根据正弦定理，代入数据即可。【详解】由正弦定理，得：，即，即：解得：选B。【点睛】此题考查正弦定理：，代入数据即可，属于基础题目。10、A【解析】

根据投影的定义和向量的数量积求解即可．【详解】解：∵，，∴向量在向量方向上的投影，故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，利用列举法求出基本事件有4个，由此能求出两次都是正面向上的概率．【详解】把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，基本事件有4个，分别为：正正，正反，反正，反反，两次都是正面向上的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，求解时注意列举法的应用，即列举出所有等可能结果.12、【解析】

如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故.考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.13、【解析】

本题首先可根据角的大小依次成等差数列计算出，然后根据最大边和最小边的长是方程的两实根得到以及，最后根据余弦定理即可得出结果．【详解】因为角成等差数列，所以，又因为，所以.设方程的两根分别为、，则，由余弦定理可知：，所以.【点睛】本题考查根据余弦定理求三角形边长，考查等差中项以及韦达定理的应用，余弦定理公式为，体现了综合性，是中档题．14、【解析】

作的中心，可知平面，所以直线与平面所成角为，当在中点时，最大，求出即可。【详解】设正方体的边长为1，连接，由于为正方体，所以为正四面体，棱长为，为等边三角形，作的中心，连接，，由于为正四面体，为的中心，所以平面，所以为直线与平面所成角，则当在中点时，最大，当在中点时，由于为正四面体，棱长为，等边三角形，为的中心，所以，，所以直线与平面所成的最大角的余弦值为故直线与平面所成的最大角的余弦值为故答案为【点睛】本题考查线面所成角，解题的关键是确定当在中点时，最大，考查学生的空间想象能力以及计算能力。15、30【解析】

由频率分布直方图求出支出在元的概率，由此能力求出支出在元的同学的人数，得到答案．【详解】由频率分布直方图，可得支出在元的概率，，所以支出在元的同学的人数为人．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及概率的计算，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，合理求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16、-4,5【解析】1sin2θ+4cos2点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）最大值为，最小值为【解析】

利用二倍角公式、两角和差正弦公式和辅助角公式可化简出；（1）令，解出的范围即为所求单调递增区间；（2）利用的范围可求得所处的范围，整体对应正弦函数图象可确定最大值和最小值取得时的值，进而求得最值.【详解】（1）令，，解得：，的单调递增区间为，（2）当时，当时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为【点睛】本题考查正弦型函数单调区间和最值的求解问题，涉及到利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简三角函数；关键是能够灵活应用整体对应的方式，结合正弦函数的图象与性质来进行求解.18、(1)1;(2)证明见解析,;(3)存在,.【解析】

(1)根据题意可得，再根据等比数列的性质即可求出c(2)根据题意可得，然后求出和(3)利用裂项求和法求出前n项和为，然后就可得出m的范围【详解】(1)因为所以，即即前n项和为,所以，因为是等比数列所以有，即解得(2)且数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列所以，即

所以(3)因为对于任意的都有所以【点睛】常见的数列求和方法有公式法即等差等比数列的求和公式、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.19、（1）；（2）当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为万元.【解析】

(1)由题可得成本函数G（x）＝4+,通过f（x）＝R（x）-G（x）得到解析式；(2)当x＞10时，当0≤x≤10时，分别求解函数的最大值即可．【详解】（1）由条件知成本函数G（x）＝4+可得（2）当时，，当时，的最大值为万元；当时，万元，综上所述，当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为万元.【点睛】本题考查实际问题的应用，分段函数的应用，函数的最大值的求法，考查转化思想以及计算能力．20、（1）（2）【解析】

（1）先设在B组中看不清的那个同学的分数为x，分别求得两组的平均数，再由平均数间的关系求解.（2）先求出从A组这5名学生中随机抽取2名同学所有方法数，再用列举的方法得到满足求的方法数，再由古典概型求解.【详解】（1）设在B组中看不清的那个同学的分数为x由题意得解得x=88所以在B组5个分数超过85的有3个所以得分超过85分的概率是（2）从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，则所有共有共10个其中满足求的有:共6个故|的概率为

【点睛】本题主要考查了平均数和古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21、（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）(i)见证明；(ii)见解析【解析】

（1）根据已知填BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC均可；（2）(i)先证明PC⊥平面ADE，再证明平面ADE⊥平面PAC;(ii)在平面PBC中，记DE∩BC，=F，连结AF，则AF为所求的l.再证明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.【详解】（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）（i）在三棱锥P-ABC中，BC⊥AB，BC⊥PA，BC∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，所以BC