垂径定理经典练习题

垂径定理作为圆的核心性质之一，在解决与圆相关的线段长度、角度关系以及位置关系等问题中扮演着至关重要的角色。其核心在于揭示了圆的对称性，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。熟练掌握并灵活运用垂径定理，对于提升几何推理能力和解题效率具有不可替代的作用。本文将通过若干经典练习题，深入剖析垂径定理的应用方法与技巧，以期为读者提供有益的参考。一、核心知识回顾在进入习题解析之前，我们首先简要回顾垂径定理的核心内容，确保基础概念的清晰：*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。*几何语言描述：如图1，若AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点E，则有CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。*垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。*此推论强调“不是直径”的条件，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。它为我们提供了另一种判断垂直关系的途径。掌握垂径定理及其推论，关键在于理解“垂直”与“平分”之间的对应关系，以及它们如何与圆的半径、弦长、弦心距（圆心到弦的距离）等基本量产生联系。通常，我们会通过构造直角三角形（由半径、弦心距、半弦长构成）来解决相关计算问题。二、经典练习题解析（一）直接应用定理求基本量例题1：已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。分析：这是垂径定理应用的最基本模型。我们知道，弦心距垂直于弦，因此可以连接圆心与弦的一个端点，构造出一个直角三角形，其中斜边为圆的半径R，一条直角边为弦心距d=3厘米，另一条直角边为半弦长l/2=4厘米。解答：如图2，连接OA，过O作OE⊥AB于E，则OE=3厘米，AE=AB/2=4厘米。在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA²=OE²+AE²即R²=3²+4²=9+16=25解得R=5（厘米）故⊙O的半径为5厘米。点评：本题直接利用垂径定理的性质，将弦长、弦心距与半径联系起来，通过勾股定理求解，是垂径定理计算的基础题型。（二）利用垂径定理解决弦的中点问题例题2：在⊙O中，半径OA=10厘米，弦AB=16厘米，P为AB上一点，且OP=6厘米，求AP的长。分析：要求AP的长，需要先确定点P在AB上的位置。由于OP已知，我们可以过O作AB的垂线，垂足为M，先求出OM的长度以及AM（或BM）的长度，再在Rt△OMP中求出PM的长度，最后根据P点与M点的相对位置确定AP的长度（AP=AM±PM）。解答：如图3，过O作OM⊥AB于M，连接OA。由垂径定理知，M为AB的中点，因此AM=AB/2=8厘米。在Rt△AOM中，OA=10厘米，AM=8厘米，由勾股定理得OM²=OA²-AM²=10²-8²=100-64=36，所以OM=6厘米。已知OP=6厘米，因此在Rt△OMP中，OM=6厘米，OP=6厘米，所以PM²=OP²-OM²=6²-6²=0，即PM=0。这说明点P与点M重合。因此，AP=AM=8厘米。点评：本题的关键在于通过作弦心距，将问题转化为直角三角形中的计算。特别注意，当OP等于OM时，点P与垂足M重合，这是一种特殊情况。如果OP的长度发生变化，P点的位置也会相应变化，可能会有两个解（P在M点左侧或右侧）。（三）垂径定理与分类讨论思想的结合例题3：⊙O的半径为5厘米，弦AB//CD，AB=6厘米，CD=8厘米，求AB与CD之间的距离。分析：题目中只说AB//CD，但并未说明AB和CD是在圆心的同侧还是异侧，因此需要分两种情况进行讨论：一是AB和CD在圆心O的同侧；二是AB和CD在圆心O的异侧。分别求出两种情况下的距离，再综合得出结果。解答：过O作EF⊥AB于E，交CD于F。因为AB//CD，所以EF⊥CD。连接OA、OC。由垂径定理，AE=AB/2=3厘米，CF=CD/2=4厘米。在Rt△AOE中，OE²=OA²-AE²=5²-3²=25-9=16，所以OE=4厘米。在Rt△COF中，OF²=OC²-CF²=5²-4²=25-16=9，所以OF=3厘米。情况一：AB和CD在圆心O的同侧（如图4左）此时，AB与CD之间的距离EF=OE-OF=4-3=1厘米。情况二：AB和CD在圆心O的异侧（如图4右）此时，AB与CD之间的距离EF=OE+OF=4+3=7厘米。综上所述，AB与CD之间的距离为1厘米或7厘米。点评：本题充分体现了分类讨论思想在几何问题中的应用。对于没有明确位置关系的图形，要考虑到各种可能的情况，避免漏解。（四）垂径定理在实际问题中的应用例题4：一座石拱桥的桥拱是圆弧形（劣弧），其跨度（弧所对的弦长）为40米，拱高（弧的中点到弦的距离）为8米，求桥拱所在圆的半径。分析：这是一个典型的垂径定理在实际建筑中的应用问题。跨度AB=40米，拱高CD=8米，其中C为弧AB的中点，D为AB的中点，CD⊥AB。我们可以设桥拱所在圆的圆心为O，半径为R米。OD就是弦心距，其长度为(R-8)米（因为拱高CD=8米，即OC-OD=8米，而OC=R）。AD=AB/2=20米。在Rt△AOD中应用勾股定理即可求解。解答：如图5，设桥拱所在圆的圆心为O，半径为R米，AB为跨度，AB=40米，CD为拱高，CD=8米，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，则AD=AB/2=20米，OD=OC-CD=R-8（米）。在Rt△AOD中，OA=R，AD=20，OD=R-8，由勾股定理得OA²=AD²+OD²，即R²=20²+(R-8)²展开得R²=400+R²-16R+64移项、化简得16R=464解得R=29（米）故桥拱所在圆的半径为29米。点评：解决此类实际问题的关键是将其转化为数学模型，即抽象出圆弧形、弦、弦心距等几何元素，然后运用垂径定理和勾股定理建立方程求解。方程思想在此类计算中扮演着重要角色。三、解题方法与技巧归纳通过对以上经典例题的分析与解答，我们可以总结出应用垂径定理解决问题时的一些常用方法与技巧：1.“知二求一”与勾股定理：垂径定理构造出的直角三角形（半径R、弦心距d、半弦长l/2）是核心。已知这三个量中的任意两个，可以通过勾股定理R²=d²+(l/2)²求出第三个量。2.辅助线作法：遇到圆的弦的问题，常作的辅助线是过圆心作弦的垂线（即弦心距），或者连接圆心与弦的端点（即半径），目的都是构造直角三角形。3.方程思想的应用：当题目中涉及的未知量较多，或者直接计算困难时，可以设未知数，根据垂径定理和勾股定理列出方程，通过解方程求解。如例题4。4.分类讨论意识：在涉及到两条弦的位置关系、点与弦的位置关系等问题时，要考虑到不同的情况，避免因思维定势而漏解。如例题3。5.实际问题模型化：将实际问题中的图形（如拱桥、隧道等）抽象为数学中的圆、弦、弧等几何图形，明确已知量和未知量，再运用相应的定理求解。四、总结垂径定理是圆的几何性质中的基石，它巧妙地将圆的半径、弦长、弦心距以及弧长（或弧度）联系在一起。其应用不仅仅局限于简单的计算题，更常常与其他几何知识（如勾股定理、等腰三角形性质、圆心角与圆周角关系等）相结合，构成综合性较强的证明或计算题。要真正掌握垂径定理，除了理解定理的文字表述和几何符号表示外，更重要的是通过大量的练习，熟悉其在各种不同情境下的应