七年级数学专题-商品中的利润问题

七年级数学专题——商品中的利润问题在我们的日常生活中，商品交易无处不在。从超市购物到网上下单，我们总会遇到各种价格标签、折扣信息。商家如何确定商品售价？我们购买一件商品时，商家究竟能赚多少钱？这些看似简单的问题背后，其实蕴含着数学中的“利润问题”。今天，我们就来深入探讨这个与生活紧密相关的数学专题，掌握其中的基本规律和解题方法，让你在面对商品价格时，能有更清晰的判断和计算。一、核心概念：理解利润问题的“语言”要解决利润问题，首先必须准确理解几个核心概念，它们是构建整个知识体系的基石。1.成本价（进价）：这个不难理解，就是商家购进一件商品时所付出的钱。比如，一个服装店老板从批发商那里以80元一件的价格进了一批T恤，这80元就是这件T恤的成本价，也叫进价。2.售价：指商品卖出时的价格，也就是我们消费者购买商品时实际支付的钱。假设上面提到的T恤，老板以120元的价格卖给了顾客，那么120元就是这件T恤的售价。3.利润：这是商家关心的核心。简单来说，利润就是商家卖出商品后赚到的钱。它是售价与成本价之间的差额。如果售价高于成本价，商家就盈利了，此时利润为正数；如果售价低于成本价，商家就亏损了，此时利润为负数（或者说亏损额）。所以，基本公式是：利润=售价-成本价。4.利润率：仅仅知道利润的多少还不够，因为不同成本的商品，相同的利润绝对值意义可能不同。比如，成本100元的商品赚了50元，和成本1000元的商品赚了50元，哪个更“赚钱”？显然是前者。因此，我们引入“利润率”来衡量获利的能力。利润率是指利润占成本价的百分比。计算公式为：利润率=(利润/成本价)×100%。二、基本关系：利润问题中的“黄金公式”掌握了核心概念，我们来梳理一下它们之间的基本数量关系，这些关系是解决所有利润问题的“金钥匙”。1.利润的基本公式：*利润=售价-成本价(进价)*由此可变形为：售价=成本价+利润*以及：成本价=售价-利润2.利润率的公式及变形：*利润率=(利润/成本价)×100%*若已知成本价和利润率，如何求利润？将上面公式变形可得：利润=成本价×利润率*此时，售价就可以表示为：售价=成本价+成本价×利润率=成本价×(1+利润率)。这个公式非常重要，在已知成本和期望利润率时，能快速计算出应定售价。*反过来，如果知道售价和利润率，如何求成本价呢？我们可以把成本价设为未知数，根据“售价=成本价×(1+利润率)”这个关系式列方程求解，这也是常用的方法。三、典型例题精析理解了概念和公式，我们通过几个典型例题来看看如何运用这些知识解决实际问题。例题1：基础利润与利润率计算一件商品的进价是200元，商家以280元的价格卖出。请问：（1）这件商品的利润是多少元？（2）这件商品的利润率是多少？分析与解答：（1）这里，进价200元就是成本价，售价是280元。根据利润公式：利润=售价-成本价=280-200=80（元）所以，这件商品的利润是80元。（2）已知利润是80元，成本价是200元。根据利润率公式：利润率=(利润/成本价)×100%=(80/200)×100%=40%所以，这件商品的利润率是40%。例题2：已知成本和利润率，求售价某商店购进一批笔记本，每本的成本是5元。商店计划获得40%的利润率，那么每本笔记本的售价应定为多少元？分析与解答：题目中，成本价是5元，期望的利润率是40%。我们可以先求出每本笔记本的期望利润，再加上成本就是售价。利润=成本价×利润率=5×40%=5×0.4=2（元）售价=成本价+利润=5+2=7（元）或者，直接使用变形公式：售价=成本价×(1+利润率)=5×(1+40%)=5×1.4=7（元）两种方法结果一致。所以，每本笔记本的售价应定为7元。例题3：已知售价和利润率，求成本价一款手机按定价出售，可获得400元的利润，利润率为25%。这款手机的成本价是多少元？定价是多少元？分析与解答：这道题告诉我们利润是400元，利润率是25%，要求成本价。我们知道利润率是利润与成本价的百分比，即：利润率=(利润/成本价)×100%这里，利润是400元，利润率是25%，成本价是未知数。我们设成本价为x元。根据公式可列出方程：25%=(400/x)×100%化简可得：0.25=400/x解得：x=400/0.25=1600（元）所以，这款手机的成本价是1600元。定价（即售价）=成本价+利润=1600+400=2000（元）因此，这款手机的成本价是1600元，定价是2000元。例题4：打折销售问题一件商品的原价是300元，现在商店搞促销活动，打八折出售。已知这件商品的成本价是200元，请问：（1）这件商品现在的售价是多少元？（2）打折后，这件商品的利润是多少元？利润率是多少？（结果保留一位小数）分析与解答：（1）“打八折出售”是什么意思呢？打八折，就是按原价的80%出售。原价是300元，所以：现在的售价=原价×折扣=300×80%=300×0.8=240（元）所以，这件商品现在的售价是240元。（2）现在的售价是240元，成本价是200元。利润=售价-成本价=240-200=40（元）利润率=(利润/成本价)×100%=(40/200)×100%=20%所以，打折后，这件商品的利润是40元，利润率是20%。四、解题技巧与注意事项1.明确概念，找准数据：在解决利润问题时，首先要仔细审题，明确题目中给出的是成本价（进价）、售价、利润还是利润率，以及这些数据对应的商品数量（单件还是多件）。2.灵活运用公式：利润问题的核心是几个基本公式及其变形。要根据题目已知条件和所求问题，选择合适的公式进行计算。当直接计算有困难时，可以考虑设未知数，通过列方程来求解，如例题3的情况。3.理解折扣含义：遇到打折问题，要清楚折扣的意义，例如“打九折”就是按原价的90%出售，“买四送一”等促销方式则需要计算实际的单价或总价。4.注意单位统一：在计算过程中，要确保所有数据的单位一致，通常情况下货币单位都是统一的（如元）。5.利润率的基数：特别要注意，利润率的计算基数是成本价，而不是售价或原价，这是初学者容易混淆的地方。五、巩固练习1.一个书包进价为60元，如果以90元的价格卖出，那么利润是多少元？利润率是多少？2.某书店想购进一批畅销书，每本进价15元，计划利润率达到30%，则每本书的售价应为多少元？3.一件商品按20%的利润率定价，售价为240元。这件商品的成本价是多少元？4.一台微波炉原价500元，现打八五折销售。若这台微波炉的成本价是350元，那么商家卖出这台微波炉能赚多少钱？利润率是多少？（结果保留一位小数）结语商品中的利润问题，本质上是百分