2025-2026学年湖北省咸宁市某中学高考数学模拟试卷（四）含答案

2025年湖北省咸宁市赤壁一中高考数学模拟试卷（四）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（5分）已知集合4={岫2-2“-320},B={n,e,0,-e},则4nB的真子集的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（5分）设复:数z满足三=i3为虚数单位），则z的共怩复数在复平面内对应的点位于第（）象

限.

A.一B.二C.三D.四

）

1-4T1T4T

A.-OA--OBB.-OA+-OB

3333

]T4T

C.-^OA+^OBD.-^OA-^OB

Jo

4.（5分）某数学学习兴趣小组8名同学，在一次数学素质拓展测试中的得分如下：122,125,128,131,

133,135,138,140.这8名同学成绩得分的第60百分位数是（）

A.131B.132C.133D.134

5.（5分）设〃、人是两条不重合的直线，a、0、丫是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）

A.若a//a,bua,则

B.若a〃仇aAy=tz,pny=/?,则a〃/;

C.若a_L0,

D.若a〃B，a_La,5_L0,则

6.（5分）已知等差数列｛即｝的前几项和为且Su=ll（/+2）,则公差为（）

A.4B.8C.10D.2

7.（5分）已知a=logs2,Z?=log54,c=log98,则（）

A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c

8.（5分）在平面直角坐标系工0），中，已知直线区-y-k+l=（）与圆/+./=4相交于A,8两点、则|/W|

笫1页（共17页）

的最小值为()

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合

题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分。

(多选)9.(6分)对于函数f(x)=|sin2x|和g(x)=|cosZv|,下列正确的有()

A.f(x)与g(x)有相同零点

B.f(x)与g(x)有相同最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期

D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

(多选)10.(6分)设函数/(x)=f-3»・9x-a有三个不同的零点，从小到大依次为为，也，制，则

()

A.-27<«<5

B.函数y=/(x)+〃的对称中心为(1,-11)

C.过(加，/(川))引曲线y=f(x)的切线，有且仅有I条

D.若加，X2，X3成等差数列，贝Ua=-II

(多选)11.(6分)在棱长为2正方体A8CO-AI8IGOI中，E为A8的中点，尸是侧面8BCC内的一

点(包含边界)，则以下结论正确的是()

A.若|力户|=代，则下的轨迹长度为n

TC

B.E/与4。所成角的最大值为三

4

C.若三棱锥4-DEF的体积为则F的轨迹长度为2企

D.若尸在线段CG上，则三棱锥A-88i户外接球表面积的取值范围是［竿，128

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知(x-2y)”展开式中二项式系数之和为128,贝必一2)，)〃展开式中心，3的系数为.

丫2V211

13.(5分)已知Fl、F1是椭圆C：得+9=1的两个焦点，点M在C上，则777777+77777的最小值

94IMF/\MF2\

为•

14.(5分)已知正整数〃，欧拉函数(p(〃)表示1、2、3、…、〃中与〃互素的整数的个数，例如，(p(2)

=1,(P(4)=2.若小明从3、5、7、11、13中随机取一个数%,小红从6、8、9、10、30中随机取一

个数/,则(p(k)-(p(/)=2的概率为.

第2页(共17页)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15,（13分）记△A8C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,as\nA=3bsmC.

（1）求A的最大值；

（2）若后c,且4=28,求cosC.

16,（15分）如图，在三棱锥人-BCD中，AB=BD=2,BC=CD=V2,ABLBD,点E为八。的中点.

（1）求证：BD1CE,

（2）若平面平面8CD求直线AC与平面8CE所成角的正弦值.

17.（15分）某品牌新能源汽车在某城市2024年1月至5月的销售量如表所示：

月份x12345

销售量辆32486380107

（1）求y关于x的经验回归方程；

（2）用（1）中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于3的一对数据为“异常数据”，现从

这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“异常数据”的对数X的概率分布和数学期望.

附：经验回归直线y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=沼旷"""）,。=

＞（ND?

乙-i=]

y-bx.

%2/1

IS.（17分）已知椭圆C形+忘=1（。.＞人＞0）的离心率为5右顶点为人（2.0）.

（1）求。的标准方程：

（2）若B（；,0）,直线/过。的右焦点且与。交于P,Q两点,

①求仍阴的最小值；

②若AP〃伙?，求/的方程.

19.（17分）已知函数/（%）=手.

笫3页（共17页）

（1）判断函数/（x）在区间（0,3n）上极值点的个数并证明；

（2）函数/（X）在区间（0,+8）上的极值点从小到大分别为内，X2,孙…，设。”=/（x〃），

S〃为数列｛m｝的前〃项和.

①证明:2V0；

②问是否存在〃WN*使得S〃20?若存在，求出〃的取值范围；若不存在，请说明理由•

第4页（共17页）

2025年湖北省咸宁市赤壁一中高考数学模拟试卷（四）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案CDCCADDC

二,多选题（共3小题）

题号91011

BCDABDCD

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（5分）已知集合4={如』-2“-320},B={n,e,0,-e\,则4Q8的真子集的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：解不等式/・2。・320,得或aW・l,

所以A=（-8,-|]U[3,4°°）,

又因为e,0,-e},

所以-e},

故AHB的真子集个数为2?-I=3个.

故选：C.

2.（5分）设复数z满足三=i（/・为虚数单位），则z的共规复数在复平面内对应的点位于第（）象

2—1

限.

A.-B.二C.三D.四

【解答】解：因为=i»

2—1

所以z=i（2-i）=1+23

z=l-2i,对应的点坐标为（1,-2）,位于第四象限.

故选：D.

3.（5分）如图.已知前=等行，用6B表示6P,则8P等于（）

笫5页（共17页）

p、

B

IT4T1T4T

A.-OA--OBB.-0AOB

3333

I-»4T

C.-^OA^-^OBD.-^OA-^OB

4T

【解答】解：•・・4。=n3

4-

-8

3

14

」--

一33GB

故选：C.

4.（5分）某数学学习兴趣小组8名同学,在一次数学素质拓展测试中的得分如下：122,125,128,131,

133,135,138,140.这8名同学成绩得分的第60百分位数是（）

A.131B.132C.133D.134

【解答】解：由8X60%=4.8.

得数据122,125,128,131,133,135,138,14。的第60百分位数是从小到大第5个数，这个数为

133.

故选：C.

5.（5分）设〃、》是两条不重合的直线，a、0、丫是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）

A.若〃〃a,bua,则〃〃人

B.若a〃0,aGY=4，6门丫=4贝Ua〃力

C.若〃_1_仇blp,贝"/〃匕

D.若a〃仇a_La,力_L0,则a〃力

【解答】解：若〃〃a,bua,则。〃。或。与〃异面，所以A选项错误：

若a〃|0,any=rt,（3C\y=b,则a〃/，，所以8选项正确；

若。_L0,b_L0,则。〃儿所以。选项正确；

若a〃0,a_La,则4_1_。，又〃J_0,所以。〃儿所以。选项正确.

故选:A.

6.（5分）已知等差数列｛如｝的前〃项和为S,”且Su=ll（⑥+2）,则公差为（）

第6页（共17页）

A.4B.8C.10D.2

【解答】解：•・•｛，〃｝是等差数列，

.*.S||=-y-(«l+«ll)=1146=11(45+2),

•••"6-45=2,即｛检｝公差为d=2.

故选：D.

7.(5分)已知”=1。发2,0=1。梃4,C=log98,贝|J()

A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c

,cln2,..比42ln2ln2.ln83ln2ln2

【解答】解：a=l°g32=硒'b=log54=胭=而于=菽，°=1强9o8=布=砧■=布,

又3>V§>那，

则M3>ZnV5>/nV9,

又/〃2>0,

则a<b<c,

故选：D.

8.(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线米・y・0+1=0与圆/+)?=4相交于A,8两点、则|AB|

的最小值为()

A.V2B.V3C.2V2D.2百

【解答】解：圆/+丁=4的圆心为(0,0),半径r=2,

直线依・y・2+1=0可化为A(x・1)-yH-1=0,可得直线h・y・2+1=0过定点A(1,1),

圆心到直线的距离dmax=\0A\=V2,\AB\min=2〃2一=2VL

所以H8|的最小值为2V1

故选：C.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合

题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)对于函数/(x)=|sin2x|和g(x)=|COS2A1,下列正确的有()

A./(x)与g(x)有相同零点

B.f(x)与g(x)有相同最大值

C./(幻与g(x)有相同的最小正周期

D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

【解答】解：根据题意，设依Z,

笫7页(共17页)

对于A,/(x)=|sin2t|的零点满足x=竽；

g(x)=|cos2x|的零点满足x=今+竽，可知A项不正确.

对于B,根据正弦函数与余弦函数的性质，

可知/(x)与g(x)有相同的最大值为1,8项正确.

对于C,根据y=sin2x的周期7=冬=TT,可知J'(x)=|sin2x|的周期为三；

/2

71

同理可得g(x)=|cos2x|的周期为所以/(x)与g(x)有相同的周期，C项正确.

对于。，|t|f—x)=|sin(E-2x)|=|sin2H=/(x),可得/(%)的图象关于直线x=竽对称：

根据g—X)=|cos(Air-2x)|=|cos2r|=g(x),可知g(x)的图象关于直线％=竽对称，

所以函数/(x)与g(X)的图象有相同的对称轴，故。项1E确.

故选：BCD.

(多选)10.(6分)设函数/(X)=/-3/-91-4有三个不同的零点，从小到大依次为川，X2，X3，则

()

A.-27<«<5

B.函数)，=/(工)+々的对称中心为(1,-11)

C.过Cq,/(^i))引曲线y=f(x)的切线，有且仅有1条

D.若XI，X2，*3成等差数列，贝lja=-11

【解答】解：因为/(X)-3A2-9x-a,所以/(x)=幺2-64-9=3(x+1)(x-3),

所以当xW(-8,-1)时，f(x)>0,/(%)单调递增；

当.隹(・1,3)时，/(A)<0,/(x)单调递减；

当烧(3,+8)时，f(x)>0,/(x)单调递增；

所以/(x)的极大值为/(-I)=5-小极小值为/(3)=-27-a,

因为/J)有3个零点，所以/(1)>0>/(3),

所以产一,解得-27V〃V5,所以A选项正确；

1-27-a<0

令g(-=f(x)+a,则g'(x)=3x2-6x-9,

所以g"(x)=6x-6,令g"(x)=0,可得x=l,

又g(1)=-11,所以g(x)对称中心为(1,-11),所以B选项正确；

根据A选项的分析可知过(xi，/(Xi))引曲线y=/(x)的切线有2条，所以C选项错误；

笫8页(共17页)

根据题意可得f（x）=X3-3X2-9x-«=（X-Al）（X-X2）（X-A3）

=/-（X1+X2+X3）/+（X1X2+X2.V3+X3XI）X+X1X”3，

所以XI+X2+43=3,X1X2+X2X3+A-3X1=-9,X\X2X3=a,

若A）,X2，%3成等差数列，则2X2=X\+X3,则X2=l»

所以Xl+X3=2,X|+X3+X3X1=-9,所以X|X3=-11，

所以。=X|X3=-U，所以。选项正确.

故选：ABD.

（多选）11.（6分）在棱长为2正方体ABCO-AiBCiDi中，七为A8的中点，尸是侧面BBiCC内的一

点（包含边界），则以下结论正确的是（）

A.若|4F|=花，则r的轨迹长度为n

B.£?与Ai。所成角的最大值为g

4

C.若三棱锥Al-OE尸的体积为则广的轨迹长度为2立

D.若尸在线段CG上，则三棱锥A-88尸外接球表面积的取值范围是［半，12汨

【解答】解：点尸在侧面BBQC内，・・・BFu平面BB6C.

TAB，平面B8CC，BFu平面BBiCiC,：.AB±BF,

在RlZVlB尸中，由HQ2=H8F+|8F12,可得|8尸|=y/\AF\2-\AB\2=^5^4=1,

点”的运动轨迹是以台为圆心，1为半径，圆心角为三

nn

・•・点F的轨迹长度为二x1=-,故选项A不正确;

22

如图所示，连接BC，B\E,CE,

在RSEBi中，|EBi|=J|E8|2+的元=炳,

第9页（共17页）

同理可得|EC|=V5,AAEC5i为等腰三角形，

当点尸为BC的中点时，连接EE此时有EnLBC.

在正方体中易知8C〃Ai。，；・EALAi。，此时E尸与4。所成角为故选项B不正确;

:匕「即。=VA.-DEF=/；・C尸〃平面ADE,

・•・点F的轨迹为线段囱。，・••点F的轨迹长度为2企,故选项C正确；

设/8F8i=e,易知当点尸为CG的中点时，0最大,

取/犯的中点P,贝1"“^=51年=肾。=春，cosZB^P=cos^=

4

.

sinO=Isin2cos2ni

当点F与点。或点G重合的，6最小，此时si"。=竽，

所以si%。€［4，自.

•:B,劣尸在球面上，的外接圆直径2/?=黑?=焉£点，2企］,

sinustnuzJ

・•・三棱锥A-BB\F的外接球的直径为2r=J|4B/+©郎=山+4炉G［孚,273］,

，三棱锥4-B小尸的外接球的半径r€［苧，V3］,

・•・三棱锥A-B小尸的外接球的表面积为4"2£［半，12扪，故选项。正确.

故选：CD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知（x-2y）”展开式中二项式系数之和为128,则（x-2y）〃展开式中产炉的系数为

280.

【解答】解：（x-2y）”展开式中二项式系数之和为2〃=128,

所以77=7,

则（X-2），）7展开式中43的系数为。・（-2）3=-280.

故答案为：・280.

第10页（共17页）

13.(5分)己知Q、尸2是椭圆C：号+4=1的两个焦点，点M在。上，则；；二+的最小值为

94IMF/\MF2\

2

3-.

42y2

【解答】解：F|,尸2是椭圆C：%+—=1的两个焦点，点M在。上，|MF||+|/WF|=6,

942

111111|M&|IMF/2

所以■加7+\MF~I=2X(7^77+77777)(1^!I+\MF2\)=-(2+T-777+T-T7T)>

尸IMF2I6IMFil|MF2|6附&||MF2|3

当且仅当|MQ|=|M0|=3时，取等号，

所以771+771的最小值为:

|MF1|IMF2I3

故答案为:f.

14.(5分)已知正整数〃，欧拉函数年(〃)表示1、2、3、…、〃中与“互素的整数的个数，例如，(p(2)

=1,<p(4)=2.若小明从3、5、7、II、13中随机取一个数匕小红从6、8、9、10、30中随机取一

4

个数2,则卬(k)(p(/)=2的概率为二.

【解答】解：小明从3、5、7、II、13中随机取一个数鼠小红从6、8、9、10、30中随机取一个数/,

由题意可得(P(3)=2,(p(5)=4,(p(7)=6,

(P(11)=10,(p(13)=12,(p(6)=2,

(P(8)=4,ip(9)=6,<p(10)=4,(p(30)=8,

•・g3,5,7,11,13),/G{6,8,9,10,30},

满足年(k)-cp(1)=2的数组(k,/)有：

(5,6)、(7,8)^(7,10)、(11,30),

44

/.(p(2)-<p(I)=2的概率为----=一.

5x525

4

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(13分)记△A3C的内角A,B,C所对的边分别为小b,c,asi"=3加inC.

(1)求A的最大值；

(2)若bWc,且A=2B,求cosC.

【解答】解：(1)由asinA=3〃sinC及正弦定理可得，cP=3bc,

又由余弦定理可得cos4=.啜丁=庐+嘉3加22喘芦=_|,

当且仅当〃=。时等号成立取得最小值，且当力=c时，a=6c,能构成三角形，

第11页(共17页)

1Z7T

故cosA的最小值为一5，Ae(0,IT),所以A的最大值为三~；

23

(2)由A=2B,得sinA=sin2B=2sinBcosB,

所以a=2/?cos8=2Zr---------，整理得/1,-/?)=b(c2-b2),

2ac

因为〃Wc,所以J=/?(CH7?),

由(1)可知cr=3bcf所以b(b+c)=3>bc,解得b=2c,贝Ja=73bc=V6c,

a2+Z?2—c23/6

所以cosC=-2ah-

16.（15分）如图，在三棱锥A-8c。中，AB=BD=2,BC=CD=遮,A8_L8。，点E为A。的中点.

（1）求证：BD±CE；

（2）若平面ABO_L平面BCD求直线AC与平面BCE所成角的正弦值.

【解答】解：（1）证明：如图，取8。中点F,连接ERCF,

乂因为48_LBO,所以EF_LBD,

因为BC=CO,所以C”_L8D：

又CFCEF=F,CF,EFu平面EFC,

所以8O_L平面EFC,

又因为£Cu平面EFC,

所以BDLCE；

第12页（共17页）

(2)因为平面A8O_L平面BCD,且平面48DG平面8CO=8。，ABLBD,

所以A8_L平面BCD,则E/LL平面BCD,

故FC,/'B,尸£两两互相垂直，

故以〃为原点，FC,FB,尸E所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

因为A4=4O=2,则A((0,1,2),D(0,-I,0),E(0,0,1),4(0,I,0),

又BC=CD=所以82+4^2=802,

即COJ_BC,

所以C*=aBD=1,故C(1,0,0),

则尾=(-1,0,1),CB=(-1,1,0),AC=(1,-1,-2),

设平面8CE的一个法向量为£=(x,y,z),

fTiiifzitCE——x+z=0।mil।

则J-，令K=I,贝ijy=z=l,

(n-CB=-x+y=0

故n=(1,1,1),

所以直线AC与平面BCE所成角的正弦值为|cos<AC,n>\=用4==冬.

|n|MC|J3X，6J

17.(15分)某品牌新能源汽车在某城市2024年1月至5月的销售量如表所示：

月份X12345

销售量W辆32486380107

(1)求y关于x的经验回归方程；

(2)用(1)中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于3的一对数据为“异常数据”，现从

这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“异常数据”的对数X的概率分布和数学期望.

第13页(共17页)

附：经验回归直线y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=a=

)(占-牙

Z_T=]

y-bx.

1

【解答】解：⑴由表格可得，7=4(14-24-3+4+5)=3,

2

y=^(32+48+63+80+107)=66,SF=i(xf-%)=4+1+0+1+4=10,

SF=i(xf-x)(yf-y)=68+18+0+14+82=182,

所以匕=红色二吗2=柴=18.2,

%1(―)10

AA

a=y-bx=66—18.2x3=11.4,

故1y关于x的经验回归方程是y=18.2%+11.4；

(2)当人=1时，y=18.2x1+11.4=29.6,残差的绝对值为|29.6・32|=2.4C3；

当x=2时，7=18.2X2+11.4=47.8,残差的绝对值为|47.8-48|=0.2<3；

当x=3时，7=18.2X3+11.4=66,残差的绝对值为|66-63|=3；

当x=4时，y=18.2X4+11.4=84.2,残差的绝对值为|84.2-80|=4.2>3：

当x=5时,y=18.2X5+11,4=102.4,残差的绝对值为|102.4・107]=4.6>3.

所以“异常数据”为第四对和第五对共2对数据.

故“异常数据”的对数X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=O)=g=iP(X

P(X=2)=警/

所以x的概率分布如下：

V012

P133

10510

336

_

数学期望E(X)=0x卷+1x12X=1

5105

%2yz1

18.(17分)已知椭圆C*+京=l(a>b>0)的离心率为3右顶点为A(2,0).

(1)求C的标准方程；

(2)若0),直线/过。的右焦点且与C交于P,Q两点，

第14页(共17页)

①求|P8|的最小值；

②若AP〃BQ,求/的方程.

1

【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为1右顶点为A（2,0）,

r£_1

所以忆1,

“2=b2+C2

解得4=2,b=®

%2y2

则椭圆c的标准方程为丁+-=1：

43

（2）①设P（刈，和），

因为点P在椭圆上，

所以"=3

43

22XX

此时|P8|=-1）+（y0-0）=y]0~10十表十3（1—予）=十翟，

因为xoW[・2,2],

所以当xo=l时，IP阴取得最小值，最小值为了：

4

②易知直线/斜率不为0,

设直线/的方程为x=/ny+l,P（xi»y\）,Q（必>,2）»

因为4P〃8Q,

所以△AP&〜△BQ&，

此时购=吧=芸J

用以"I143

所以=4点?，

解得=-g力，

x=my+1

/y2_，消去X并整理得（3〃产+4）丁+6,町・9=o,

!T+T=1

由韦达定理得力+y2=正黑,%丫2=扁N，

4

一9

所以乃+3一

y2=723rn24-4,

271

TX3m2+4

即巾2=A,

第15页（共17页）

解得m=±-n.L=J-.

则直线/的方程为3次％+2y-3V5=0或-2y-3V5=0.

19.(17分)已知函数/(%)=婴.

(1)判断函数/(x)在区间(0,3K)上极值点的个数并证明；

(2)函数/(%)在区间(0,+°°)上的极值点从小到大分别为XI，X2，X3，…，即?，…，设q〃=/(x〃)，

S”为数列｛的｝的前〃项和.

①证明：4|+〃2<0；

②间是否存在〃WN*使得S〃20?若存在，求出”的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)/(%