初中数学七年级上册一元一次方程实际问题复习知识清单

初中数学七年级上册一元一次方程实际问题复习知识清单

一、核心概念与基本关系梳理

本部分复习内容聚焦于人教版七年级上册第三章“一元一次方程”中的两类经典实际问题：销售中的盈亏问题和球赛积分表问题。这两类问题是方程模型在实际生活中的典型应用，旨在培养同学们从实际问题中抽象出数学问题、寻找等量关系并建立方程的能力。

（一）销售中的盈亏问题

1.相关核心概念

【基础】进价（成本价）：商店进货时的价格，是计算盈亏的基础。

【基础】售价（卖出价）：商店最终出售商品的价格，即消费者实际支付的钱。

【基础】标价（原价/定价）：商店标签上标注的价格，通常用于计算折扣。

【基础】折扣：商店按标价的十分之几出售，例如打八折就是按标价的80%出售。

【基础】利润：商店销售商品所赚的钱，即售价减去进价。利润可以为正（盈利），也可以为负（亏损）。

【基础】利润率：利润占进价的百分比，是衡量盈利水平的关键指标。利润率=(利润÷进价)×100%。在亏损时，利润率为负。

【非常重要】盈亏问题中的核心等量关系：

利润=售价-进价

利润率=(售价-进价)/进价×100%

售价=标价×折扣率(例如，打x折时，折扣率为x/10)

售价=进价×(1+利润率)（常用于已知利润率求售价）

总利润=单件利润×销售量（在涉及多件商品时使用）

2.常见题型与考点

【高频考点】【★】已知进价、标价和折扣，求利润或利润率。例如：一件衣服进价为200元，标价为300元，打八折出售，求利润和利润率。

【高频考点】【★★】已知进价、利润率或盈亏情况，求售价或标价。例如：一台电脑进价为3000元，商店希望盈利20%，则售价应定为多少？若按此售价，顾客可享受九折优惠，则标价应为多少？

【热点】【★★】已知折扣、利润或利润率，求进价。例如：某商品打七五折后仍可获利25元，已知该商品标价为200元，求其进价。

【难点】【★★★】综合型问题，涉及多种商品或多次买卖。例如：商店同时卖出两件衣服，每件售价均为60元，但一件盈利25%，另一件亏损25%，求商店总的盈亏情况。

【易错点】对“折扣”的理解错误。打几折就是乘以十分之几，而非乘以几。打八折是乘以80%或0.8，而非乘以8。

【易错点】混淆利润率的基础。利润率是相对于“进价”而言的，不是相对于“售价”。在计算时，务必找准单位“1”（即进价）。

【易错点】在综合型问题中，忽略“总利润”与“单件利润”的区别。当商品数量不是1时，需要乘以数量。

（二）球赛积分表问题

1.相关核心概念

【基础】比赛场次：总比赛场数。

【基础】胜场数、负场数（或平场数）：在球类比赛中，通常根据赛制，有胜、负或平的结果。在七年级阶段，主要研究的是只有胜负（或胜平负）且积分规则明确的循环赛或部分场次比赛。

【基础】积分：球队通过比赛获得的总分数。

【非常重要】积分规则：每场比赛的胜、负（或平）对应的得分。这是建立方程的关键。常见规则有：胜一场得2分或3分，负一场得0分或1分，平一场得1分等。

【非常重要】球赛积分问题中的核心等量关系：

总场次=胜场数+负场数（或胜场数+负场数+平场数）

总积分=胜场数×胜场积分+负场数×负场积分（+平场数×平场积分）

从积分表中寻找隐含的积分规则：通常通过观察表格中某一行或两行的数据，利用已知的积分和场次，反向推导出胜、负、平的积分。

2.常见题型与考点

【高频考点】【★】直接从积分表中读出信息，求某队的胜场数或负场数。例如：给出完整的积分表格，根据已知的积分规则（如胜一场得2分，负一场得1分），求某队胜了多少场。

【高频考点】【★★】通过分析积分表，先求出积分规则（如胜一场得多少分，负一场得多少分）。例如：表格中只给出部分队伍的积分和胜负场次，要求先推断出胜一场和负一场的得分，再求解其他问题。

【热点】【★★★】利用表格中的数据进行说理或判断。例如：根据积分规则，判断某队的总积分能否为某个特定的数值（如21分），并说明理由。这通常需要结合方程的解必须是整数这一隐含条件进行讨论。

【难点】【★★★】方案设计或最优策略问题。例如：在已知积分规则下，某队为了出线，在剩余比赛中至少需要赢几场？

【易错点】忽略隐含条件：比赛场次、胜场数、负场数、平场数都必须是整数（非负整数）。在解决“是否存在”这类问题时，求出的解如果不是整数，则说明该情况不可能存在。

【易错点】积分规则推断错误。在分析表格时，必须选择数据信息完整且无歧义的两行进行对比分析，列出方程组（在七年级通常转化为带参数的一元一次方程，通过尝试整数解得到规则）。

二、解题方法与步骤精讲

（一）销售盈亏问题的标准解题步骤

【非常重要】审题：仔细阅读题目，圈出所有关键数字和名词，如“进价”、“标价”、“售价”、“折扣”、“利润”、“利润率”、“盈利”、“亏损”。明确题目要求什么。

【非常重要】设未知数：一般情况下，直接设所求量为未知数x。例如，设进价为x元，设售价为x元，或设标价为x元。有时为了列方程方便，也可以间接设未知数。

【非常重要】寻找等量关系：这是最关键的一步。从题目描述中，找到蕴含的相等关系，并用文字表述出来。常用的等量关系包括：

售价-进价=利润

利润率=利润/进价

售价=标价×折扣

总售价=总进价+总利润

【非常重要】列方程：将文字等量关系中的量，用含未知数的代数式替换，得到一元一次方程。注意代数式的书写要准确，如“打八折”应写成“0.8×标价”或“(8/10)×标价”。

【非常重要】解方程：运用等式的基本性质，准确解出方程的解。注意去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤的正确性。

【重要】检验：将解代入原方程检验，同时更重要的是检验解是否符合实际意义。例如，价格不能为负数，利润率为正数代表盈利，负数代表亏损。

【重要】作答：完整、清晰地写出答案，注意单位。

（二）球赛积分表问题的标准解题步骤

【非常重要】观察表格：首先明确表格的行和列各代表什么。通常每一行代表一支球队，列包含队名、比赛场次、胜场数、负场数、平场数（如有）、积分等。浏览表格整体，看是否有直接给出的积分规则。

【非常重要】分析数据：如果积分规则未知，需要从表格中选择两行数据进行分析。选择哪两行有技巧：

优先选择数据简单、场次少、胜负关系清晰的队伍。

通常选择一支胜场数和负场数都很少的队伍，或者胜场数和负场数都很多的队伍，这样方程形式简单。

可以假设胜一场得a分，负一场得b分（或平一场得c分），然后根据两支队伍的数据列出两个方程。在七年级，这两个方程通常可以让我们用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再结合a、b、c通常为整数（且常为较小的整数，如0,1,2,3）这一事实，进行尝试，最终确定积分规则。

【非常重要】明确等量关系：一旦积分规则确定（或已知），则每一支队伍的积分都满足：总积分=胜场数×胜场积分+负场数×负场积分（+平场数×平场积分）。

【非常重要】列方程求解：根据问题要求，设出未知数（如某队的胜场数为x），利用上述等量关系列出方程并求解。

【非常重要】检验解的合理性：求出的胜场数、负场数或平场数必须是非负整数，且不能超过总比赛场次。如果出现分数或负数，则该解无效，需要检查计算过程或题目条件。

【重要】作答：根据问题要求，完整回答问题。

三、深度拓展与数学思想渗透

（一）跨学科视野下的销售盈亏问题

从经济学角度看，销售中的盈亏不仅仅是一个简单的数学算式，它还涉及到市场供需、定价策略、成本控制等多个方面。例如，商家在定价时，不仅要考虑期望的利润率，还要考虑消费者的接受程度（即标价过高可能导致滞销），以及竞争对手的价格。因此，售价往往是在进价、预期利润和市场行情之间找到一个平衡点。数学中的方程模型，正是将这个复杂的决策过程简化为一个可计算的理想化模型，为我们理解商业活动提供了一个量化的工具。

（二）从球赛积分表看统计学与数学模型

球赛积分表本身就是一种数据收集与整理的统计表。通过对这些数据的分析，我们可以挖掘出很多信息。例如，可以通过积分预测球队的排名，可以通过胜负场次分析球队的实力，甚至可以通过数据的一致性（如总胜场数应等于总负场数，在无平局的循环赛中）来检验数据的真实性。积分表问题实质上是一个线性方程组模型，它展示了如何用数学语言（方程）来描述和解释现实世界中的规则（比赛积分规则）。这体现了数学建模的基本思想：从现实情境中抽象出数学结构，用数学方法求解，再返回现实情境中解释和应用。

（三）数学思想方法的提炼

1.方程思想：这是贯穿本部分内容的核心思想。无论是盈亏问题还是球赛积分问题，其本质都是通过设立未知数，将题目中隐含的等量关系表达为方程，从而用已知量去求解未知量。方程是连接已知与未知的桥梁。

2.建模思想：将实际生活中的具体问题（如买卖商品、体育比赛）转化为抽象的数学问题（一元一次方程），这是数学建模的雏形。这个过程包括：审题、简化、假设、建立模型、求解、验证、应用。

3.分类讨论思想：在一些复杂的盈亏问题或积分问题中，可能会遇到多种可能的情况（例如，折扣方式不同，或比赛规则有多种可能），需要我们对这些情况进行分类讨论，分别求解，最后再综合判断是否符合题意。

4.数形结合思想：在分析销售问题时，可以借助简单的线段图或流程图来表示进价、利润、售价之间的关系，使数量关系更加直观。分析积分表时，表格本身就是一种“形”，有助于我们快速提取和组织信息。

5.转化思想：将利润率问题转化为比例问题，将复杂的文字描述转化为简洁的数学表达式，将未知的积分规则通过分析转化为已知的数学关系，都是转化思想的体现。

四、典型例题精析与变式训练

【例题1】销售盈亏问题（基础）

【题型】已知进价、标价和折扣，求利润率。

【题目】某商店将一款运动鞋的进价定为每双300元，标价为450元。为了促销，商店决定打八折出售。问：卖出这样一双运动鞋，商店的利润率是多少？

【解析】

1.审题：进价=300元，标价=450元，折扣=八折=80%。

2.思路：要求利润率，需先求出利润。利润=售价-进价。售价=标价×折扣。

3.计算售价：售价=450×0.8=360元。

4.计算利润：利润=360-300=60元。

5.计算利润率：利润率=(60/300)×100%=20%。

【答案】利润率为20%。

【例题2】销售盈亏问题（提升）

【题型】已知折扣和利润，求进价。

【题目】某商品标价为200元，店庆期间按标价的九折出售，仍可获利20元。求该商品的进价。

【解析】

1.审题：标价=200元，折扣=九折=90%，利润=20元。求进价。

2.设未知数：设该商品的进价为x元。

3.寻找等量关系：售价-进价=利润。

4.列方程：售价为200×90%=180元。方程为180-x=20。

5.解方程：x=180-20=160。

6.检验：进价160元，售价180元，获利20元，符合题意。

【答案】该商品的进价为160元。

【变式】若题目改为“仍可获利20%”，即利润率是20%，则方程变为180-x=20%x，或180=(1+20%)x。解得x=150元。

【例题3】销售盈亏问题（难点、易错点）

【题型】综合盈亏判断（两件商品，一盈一亏）。

【题目】某服装店在促销活动中，同时卖出两件衣服，每件都卖了135元。其中一件盈利25%，另一件亏损25%。请计算该服装店在这次销售中是赚了还是亏了？差额是多少？

【解析】

1.审题：两件衣服售价均为135元。一件盈利25%，一件亏损25%。需要比较总售价与总进价。

2.设未知数：设盈利25%的那件衣服进价为x元，亏损25%的那件衣服进价为y元。

3.列方程求解进价：

对于盈利的衣服：售价=进价×(1+利润率)。即135=x×(1+25%)=1.25x，解得x=135÷1.25=108元。

对于亏损的衣服：售价=进价×(1+利润率)。注意亏损25%意味着利润率为-25%。即135=y×(1-25%)=0.75y，解得y=135÷0.75=180元。

4.计算总进价与总售价：

总进价=108+180=288元。

总售价=135+135=270元。

5.判断盈亏：总售价270元<总进价288元，所以商店亏了。

6.计算差额：亏损额=总进价-总售价=288-270=18元。

【答案】商店在这次销售中是亏损的，亏损了18元。

【易错点警示】很多同学会误以为一盈一亏相互抵消，或者直接用135×25%来计算利润，这是错误的。因为利润率的基础进价不同，必须分别求出进价再进行比较。

【例题4】球赛积分表问题（基础）

【题型】已知积分规则，求胜场数。

【题目】在篮球比赛中，胜一场得2分，负一场得1分。某队参加了10场比赛，共得16分。求该队胜了多少场？

【解析】

1.审题：总场次=10，总积分=16，胜一场2分，负一场1分。求胜场数。

2.设未知数：设该队胜了x场，则负了(10-x)场。

3.列方程：根据总积分=胜场积分+负场积分，得2x+1×(10-x)=16。

4.解方程：2x+10-x=16，x+10=16，x=6。

5.检验：胜6场，负4场，总积分=2×6+1×4=12+4=16，符合题意。

【答案】该队胜了6场。

【例题5】球赛积分表问题（提升、高频考点）

【题型】根据积分表，先求积分规则，再求未知数据。

【题目】下表是某次足球比赛第一阶段循环赛的积分表（部分）。已知比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。请观察表格并回答问题。

球队

比赛场次

胜场

平场

负场

积分

A队

8

5

2

1

17

B队

8

4

3

1

15

C队

8

3

4

1

13

D队

8

2

4

2

10

E队

8

0

5

3

5

F队

8

0

4

4

4

（1）根据C队的数据，验证胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分是否正确。

（2）若G队赛完8场后积分为8分，请你推测G队的胜、平、负场数可能的情况。

【解析】

（1）验证：C队胜3场，平4场，负1场。按规则积分应为3×3+1×4+0×1=9+4=13。与表格中C队的积分13分一致，说明规则正确。

（2）分析：设G队胜了a场，平了b场，则负了(8-a-b)场。根据积分规则和总积分，得方程：

3a+1×b+0×(8-a-b)=8，即3a+b=8。

这是一个求不定方程整数解的问题。a和b必须是非负整数，且a+b≤8。

我们根据a的可能取值进行讨论：

当a=0时，b=8，则负场=0，即0胜8平0负。

当a=1时，b=5，则负场=8-1-5=2，即1胜5平2负。

当a=2时，b=2，则负场=8-2-2=4，即2胜2平4负。

当a=3时，b=-1（不可能，舍去）。

因此，G队的胜、平、负场数有三种可能情况。

【答案】（1）规则正确。（2）G队可能为：0胜8平0负；或1胜5平2负；或2胜2平4负。

【考点】本题结合了方程思想和分类讨论思想，考查学生对方程整数解的理解。

【例题6】球赛积分表问题（难点、热点）

【题型】推断积分规则，并进行说理。

【题目】下表是某次篮球联赛的积分榜。

球队

比赛场次

胜场

负场

积分

雄鹰

14

10

4

24

猛虎

14

9

5

23

飞龙

14

7

7

21

猎豹

14

4

10

18

羚羊

14

0

14

14

（1）请通过分析，确定本次联赛的积分规则（即胜一场得多少分，负一场得多少分）。

（2）某队的胜场总积分能否等于它的负场总积分的2倍？若能，求出该队是哪个队；若不能，请说明理由。

【解析】

（1）观察表格，羚羊队14场全负，积14分。由此可推断：负一场得分为14÷14=1分。

设胜一场得x分。根据雄鹰队数据：胜10场，负4场，总积分24分。列方程：10x+4×1=24，解得10x=20，x=2。

验证其他队伍：猛虎队：9×2+5×1=18+5=23，符合；飞龙队：7×2+7×1=14+7=21，符合。所以，联赛规则是：胜一场得2分，负一场得1分。

（2）设某队胜了a场，则负了(14-a)场。根据条件“胜场总积分等于负场总积分的2倍”列方程：

2a=2×[1×(14-a)]【注意：负场总积分=(14-a)×1】

化简得2a=2×(14-a)

两边除以2得a=14-a

2a=14

a=7

当a=7时，负场为14-7=7场。查表可知，飞龙队恰好是胜7场负7场。所以存在这样的队伍，即飞龙队。

【答案】（1）胜一场得2分，负一场得1分。（2）能，飞龙队的胜场总积分（14分）等于其负场总