初中数学九年级中考复习知识清单：第15讲 二次函数实际应用精讲

初中数学九年级中考复习知识清单：第15讲二次函数实际应用精讲

一、核心概念与函数建模思想【基础】★

本讲知识清单的核心，在于理解二次函数作为描述现实世界变量之间关系的强大数学模型。其一般形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。在解决实际问题时，我们并非直接求解一个抽象的方程，而是要将题目中的实际情境，通过数学语言转化为一个具体的二次函数关系式。这一过程称为“函数建模”。它的本质是找出实际问题中两个变量之间的二次函数关系，并利用二次函数的图像与性质（如开口方向、顶点坐标、增减性）来分析和解决实际问题，例如求最大利润、最省材料、最大面积或确定抛物线形状的隧道、拱桥的通过性等问题。整个复习需牢牢把握“由实际问题抽象为函数模型——求解函数模型——回归实际问题验证”这一基本思想。

二、二次函数实际应用的常见题型与建模策略【高频考点】▲

（一）抛物线型问题【非常重要】

此类问题通常以拱桥、隧道、投篮、喷泉等呈现出抛物线形状的实际背景出现。解题的关键是能够根据题中所给的条件，恰当地建立平面直角坐标系。坐标系的选择直接影响函数解析式的复杂程度。通常，若题目中已给出坐标系，则直接使用；若未给出，我们应优先选择将抛物线的顶点设为原点或置于y轴上，或将对称轴设为y轴，这样得到的解析式往往是y=ax²或y=ax²+k或y=a(x-h)²的形式，可大大简化计算。确定解析式后，将实际问题中的数据转化为点的坐标（特别注意长度与坐标的转化，注意正负号），利用待定系数法求出解析式。最后，将实际问题的条件（如求某高度对应的水平距离，或某水平距离对应的高度）转化为求二次函数图像上点的横坐标或纵坐标的问题。

（二）销售利润问题【非常重要】★

这是中考中出场率最高的题型之一。核心公式为：总利润=(每件商品售价-每件商品进价)×销售量。在复杂情境中，售价和销售量往往不是固定不变的，而是存在某种函数关系（通常是一次函数关系）。解题时，首先要理清题目中的变量关系，通常设销售单价为x元，或设涨（降）价为x元。然后，用含x的代数式表示出单件利润和销售量。特别注意，销售量的表达式要根据题目中“每涨价1元，销售量减少m件”或“每降价1元，销售量增加n件”的规则来构建。接着，根据公式列出总利润w关于自变量x的二次函数表达式w=(x-进价)×[原销售量±变化量×x]。列出函数后，务必确定自变量x的取值范围，这往往受到“售价不低于进价”、“不高于某价格”、“商品数量为非负数”等实际条件的约束。最后，将二次函数化为顶点式，结合自变量的取值范围，判断函数的最值是在顶点处取得，还是在端点处取得。

（三）图形面积问题【重要】☆

这类问题通常是在给定周长、篱笆长度或墙面可利用长度的条件下，求围成的矩形或其它几何图形的最大面积。解题思路是利用几何图形的面积公式，设出其中一边长为x，根据几何关系（如周长公式、线段的和差关系）用含x的代数式表示出另一边长，进而得到面积S关于x的二次函数。这里极易出错的是自变量x的取值范围，它必须保证所有边长均为正数，且符合题中特定的限制条件（如墙的长度、篱笆的段数等）。对于“一面靠墙，三面用篱笆围”的类型，要特别处理好墙的长度对自变量范围的限制。

（四）动点与几何图形综合问题【难点】▲

此类问题将二次函数与几何图形的动态变化相结合。通常是在三角形或四边形中，有动点从某点出发，沿边以一定速度运动，从而引起某个中间图形（如三角形、梯形）的面积或某条线段长度的变化。解题的关键是“以静制动”，设运动时间为t，用含t的代数式表示出相关线段的长度，再根据几何图形的面积或线段关系公式，建立关于t的二次函数模型。这类问题往往还涉及分类讨论思想，例如当动点运动到不同位置时，图形形状发生变化，函数关系式可能需要分段表示。

三、解题步骤与规范要求【基础】▲

解二次函数实际应用题，通常遵循“审、设、列、解、验、答”六步法。

1、审题：【基础】仔细阅读题目，理解题意，分清已知量和未知量，找出题目中蕴含的等量关系（如利润公式、面积公式、相似三角形对应边成比例等）和变量之间的变化规律（如“每涨价1元，销量减少5件”）。

2、设元：【基础】设出自变量（如销售单价、运动时间、一边长等）和因变量（如利润、面积等）。设未知数时，要明确其单位，并注意有时需要引入中间变量。

3、列式：【核心】根据找到的等量关系，用含自变量的代数式表示出其他相关量，列出二次函数的关系式。这一步要求代数式表达准确无误。

4、求解：【核心】将列出的二次函数解析式通过配方化为顶点式，确定其顶点坐标（h,k）和开口方向。然后，根据自变量的实际意义，确定其取值范围。在取值范围内，分析函数的最值或特定值。若顶点横坐标不在取值范围内，则需根据函数的增减性，在取值范围的端点处寻找最值。

5、检验：【非常重要】求出数学结果后，必须检验其是否符合实际意义。例如，人数必须是整数，长度必须为正数，售价不能为负数等。要将不符合实际意义的解舍去。

6、作答：【基础】规范、完整地写出答案，包括单位。

四、各题型的满分答题策略与技巧【高频考点】

（一）抛物线型问题满分策略

1、建系技巧：优先考虑将顶点放在原点或y轴上，以简化解析式。若题目已给坐标系，务必看清原点位置。

2、求解析式：明确已知点的坐标，选择恰当的解析式形式（一般式、顶点式、交点式）。若已知顶点，优先使用顶点式。

3、转化问题：将“求水喷到的最远距离”转化为“求抛物线与x轴正半轴交点的横坐标”；将“求汽车能否通过隧道”转化为“求隧道中间某处高度是否大于车身高度”。

4、易错点警示：【易错点】注意坐标与长度的转化，特别是当点在x轴下方时，其纵坐标为负值，而长度是正值。

（二）销售利润问题满分策略

1、理清变量关系：若题目给出“售价与销量的函数关系”，则直接用待定系数法求出一次函数关系式；若给出“每涨（降）价……销量变化……”，则要准确设出涨（降）价次数，并以此表示新售价和新销量。

2、函数构建：

设涨价x元时，利润为w=(原价+x-进价)×(原销量-单次减少量×x)；

设降价x元时，利润为w=(原价-x-进价)×(原销量+单次增加量×x)。

3、定义域确定：【非常重要】自变量取值范围是此题型的高频扣分点。需满足：①单件利润为正（售价不低于进价）；②销量为正；③若题目有“薄利多销”、“不超过某价格”等字眼，也要转化为不等式。

4、最值判断：【重要】求出对称轴x=-b/2a。若对称轴在自变量取值范围内，则最值在顶点处取得；若对称轴在取值范围左侧，则函数在取值范围内随x增大而减小（或增大），最值在靠近对称轴的端点处取得。

（三）图形面积问题满分策略

1、几何关系梳理：对于矩形面积问题，关键是表示出矩形的长和宽。若涉及篱笆靠墙问题，要准确分析篱笆总长度等于哪几条边之和。

2、函数构建：面积=长×宽。

3、定义域确定：【易错点】必须满足所有边长>0，以及题目中隐含的限制（如墙的长度有限）。例如，若墙长10米，则矩形的长不能超过10米。

4、最值判断：与销售利润问题类似，结合定义域和对称轴位置求最值。

五、思维拓展与跨学科融合【热点】▲

新课程标准强调跨学科融合。二次函数的实际应用在这一方面体现得尤为突出。

1、与物理学科的融合：这是最常见的跨学科考向。主要包括：①物体在重力作用下的运动轨迹（如铅球、篮球、实心球的投掷，喷泉的水柱），其高度h与水平距离d或时间t的关系可以用二次函数表示。这需要理解物理中的匀变速直线运动和运动的合成与分解思想。②匀变速直线运动中，路程s与时间t的关系s=v₀t+½at²，也是一个典型的二次函数模型。

2、与经济和社会的融合：如上述销售利润问题，涉及到市场经济中的定价策略、最大收益问题，体现了数学在经济学中的应用价值。这也是立德树人、培养学生财经素养的切入点。

3、与其他学科融合：如生物学中细菌繁殖的“J”型增长曲线（在特定阶段近似二次函数）、化学中某些反应速率与浓度的关系等，都可能作为新颖的问题背景出现。

在解决此类问题时，无需深究其他学科的复杂原理，关键在于能从中提取数学信息，剥离出“两个变量之间是二次函数关系”这一核心，然后用数学方法解决。

六、高频考点与考向预测【非常重要】★

基于对近几年全国中考数学试卷，特别是甘肃考情的分析，二次函数实际应用的考查呈现出“稳中有变，注重应用”的特点。

1、考向一：纯二次函数建模问题。即以实际情境为背景，直接考查学生将实际问题转化为二次函数模型的能力，重点在于函数解析式的求解和简单应用（如求特定值）。

2、考向二：最值问题。【绝对高频】无论是销售利润还是图形面积，求“最大利润”、“最大面积”是命题者最青睐的考查方式。这类题目往往需要结合二次函数的顶点式和自变量的取值范围进行综合讨论。

3、考向三：方案决策问题。此类问题通常会在求出最大利润或最大面积的基础上，进一步要求考生给出具体的方案（如定价多少元，进货多少件），或者比较几种方案的优势。

4、考向四：与方程、不等式的综合应用。题目中可能会先要求利用一元二次方程求解某个临界值（如利润达到某值时），再进一步利用二次函数求最大利润。

5、考向五：抛物线型问题与几何变换。例如，抛物线平移（如汽车在隧道中移动）、旋转（如喷头转动）等，考查学生的空间想象能力和数形结合思想。

七、易错点深度剖析与避坑指南【难点】

1、忽略自变量的取值范围。【第一易错点】这是导致失分的“头号杀手”。任何实际问题的自变量都有其现实意义，不能仅凭数学公式认为顶点就是最值点。

2、变量表示错误。在销售问题中，对“涨价x元”和“售价为x元”的区分不清，导致销量表达式写错。在动点问题中，线段长度表示错误，尤其是涉及分段运动时。

3、单位不统一。题目中若出现不同单位（如米和厘米），需先统一单位再列式。

4、坐标系建立不当。在抛物线型问题中，若坐标系建立得过于复杂，将直接导致求出的解析式繁琐，增加计算量和出错概率。

5、忽略检验解的合理性。解出的方程的解（如x=12.5人，或x=-5米）往往需要根据实际情况舍去。

6、对“最值”的理解不到位。当顶点不在自变量取值范围内时，最值应在端点处取得，此时函数可能是单调递增或单调递减。部分学生会机械地套用顶点坐标公式而导致错误。

八、甘肃中考命题特点与复习建议【策略】

针对甘肃省中考数学命题，二次函数的实际应用历来是解答题中的中档题或压轴题。命题往往紧密联系生产生活实际，如兰州、天水等地的中考题常以当地特色产业（如苹果销售、旅游人数）或城市建设（如桥梁、喷泉）为背景。因此，在复习本讲时，建议：

1、强化建模训练：多接触不同类型的实际问题，不局限