小学五年级数学（下册）因数与倍数 核心素养知识清单

小学五年级数学（下册）因数与倍数核心素养知识清单

一、数的世界新基石：因数与倍数的概念体系

（一）因数与倍数的本质定义与相互依存关系

【核心概念】【基础】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，在算式12÷2=6中，12是2的倍数，2是12的因数；同时，12也是6的倍数，6也是12的因数。这里必须建立一个根本性的认知：因数与倍数是一种相互依存的关系，它们描述的是两个整数之间的一种整除关系。我们不能孤立地说某一个数是“因数”或“倍数”，必须指明是谁的因数，是谁的倍数。这种关系是后续学习约分、通分、解决实际问题的基础，也是考试中辨析题的常见考点。

（二）因数与倍数的数域范围

【重要】【高频易错】我们在此单元研究的数域范围是非零自然数。也就是说，我们讨论的因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数等概念，通常指在正整数（1，2，3，4...）范围内进行，不包括0。这是因为0除以任何非零自然数都得0，研究0的因数和倍数会使数学定义产生歧义，且不利于后续学习。这一点在判断题中反复出现，学生必须牢记，所有讨论均基于非零自然数。

（三）找一个数的因数的方法与特征

【基本技能】【高频考点】

1、方法：找一个数的因数，最常用且不易遗漏的方法是“成对地找”。从1开始，看哪两个整数相乘的积等于这个数，那么这两个整数就是这个数的一对因数。例如，找18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因数有1，2，3，6，9，18。当两个因数越来越接近，直到出现重复或相邻时，找因数的过程就结束了。

2、表示方法：通常用列举法，按从小到大的顺序排列，如：18的因数有：1，2，3，6，9，18。也可以用集合圈表示。

3、特征：【重要】一个数的因数的个数是有限的。其中，最小的因数是1，最大的因数是它本身。这个性质是理解质数与合数的基础，也是解决相关填空题的关键。

（四）找一个数的倍数的方法与特征

【基本技能】【高频考点】

1、方法：找一个数的倍数，就是用这个数依次乘非零自然数1，2，3，4...所得的积。例如，找7的倍数：7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28...所以7的倍数有7，14，21，28...

2、表示方法：通常用列举法写出前几个，然后用省略号表示无限个，如：7的倍数有：7，14，21，28，...

3、特征：【重要】一个数的倍数的个数是无限的。其中，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。这个无限性的概念，是区分因数与倍数性质的关键点。

二、整数王国的“居民身份”：奇数、偶数、质数、合数

（一）奇数和偶数：基于2的整除性分类

【基础】【高频考点】

1、定义：在整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数，但本单元研究非零自然数，所以最小的偶数是2），不是2的倍数的数叫做奇数。

2、特征：偶数的个位上是0，2，4，6，8；奇数的个位上是1，3，5，7，9。这是判断一个数是奇数还是偶数的最直观方法。

3、运算性质：【难点】【巧算基础】

奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数

奇数-奇数=偶数偶数-偶数=偶数奇数-偶数=奇数

奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数

这些性质在解决数字谜题、简便运算和判断题中有着广泛的应用。例如，判断一个算式结果是奇数还是偶数，不必计算，直接根据加数或因数的奇偶性推断即可。

（二）质数（素数）和合数：基于因数的个数分类

【核心概念】【重难点】

1、定义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如，2的因数只有1和2，所以2是质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如，4的因数有1，2，4，所以4是合数。

2、特殊数字“1”：1只有一个因数，就是它本身。因此，1既不是质数，也不是合数。这是数学上一个极其重要的规定，也是各类考试的必考点，往往以选择题或判断题的形式出现。

3、质数与合数的分类意义：这种分类是基于因数个数的多少，它和奇偶分类是从两个完全不同的维度对自然数进行划分。一个数可以同时具有两种身份，例如2既是质数又是偶数，9既是奇数又是合数。

（三）100以内的质数表及其记忆策略

【基本素养】【高频考点】

1、核心内容：熟练掌握20以内的8个质数（2，3，5，7，11，13，17，19）是基础。100以内的质数共有25个，除了上述8个，还有23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

2、记忆技巧：可以采用口诀、筛法或分段记忆法。例如，著名的“100以内质数口诀”：二三五七和十一，十三后面是十七，还有十九别忘记，二三九，三一七，四一三七，四三、四七，五三九，六一七，七一、七三、七九，八三、八九、九十七。

3、特别注意：2是唯一的偶质数，也是最小的质数。其他的质数都是奇数，但奇数不一定是质数（如9，15等）。这个特殊性使得2在数论问题中具有举足轻重的地位。

（四）质数与合数在实际问题中的应用

【拓展应用】【综合实践】判断一个稍大数（如91）是否为质数，除了查表，可以用试除法，即用质数从小到大去除，直到试除的质数接近这个数的算术平方根为止。例如，判断91，试除2、3、5、7，发现91÷7=13，所以91是合数。这种试除法思维是解决后续分解质因数的基础。

三、数的“基因”解析：分解质因数

（一）质因数与分解质因数的定义

【进阶概念】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，30=2×3×5，2、3、5就是30的质因数，这个过程就是分解质因数。

（二）分解质因数的方法

【核心技能】【高频考点】

1、树枝图法（分解法）：例如，将60分解质因数。可以想60=6×10，再将6和10分别分解：6=2×3，10=2×5，所以60=2×3×2×5=2²×3×5。这种方法直观，但需要确保分解到最后每个因数都是质数。

2、短除法：【推荐方法】短除法是分解质因数最规范、最常用的方法。

步骤：

（1）写出一个短除号（类似于“厂”字，但开口向左），把被分解的合数写在里面。

（2）用这个合数的质因数（通常从最小的质数开始，如2、3、5...）去除，商写在被除数的下面。

（3）再用质因数去除这个商，直到最后的商是质数为止。

（4）把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。例如，用短除法分解60：

用2除60得30，再用2除30得15，再用3除15得5，5是质数。所以60=2×2×3×5=2²×3×5。

3、书写格式：分解质因数的结果必须写成质数相乘的形式，质数可以重复，通常按从小到大的顺序排列，可以用指数幂表示相同质数的个数。

（三）分解质因数的应用

【难点突破】【综合提升】

1、求一个较大数的因数：通过分解质因数，可以系统地找出一个数的所有因数。例如，72=2³×3²，其因数的个数为(3+1)×(2+1)=12个。具体求法是将2的0次、1次、2次、3次幂与3的0次、1次、2次幂分别相乘，得到所有因数。这种思维方式在解决较复杂的数学竞赛题中非常实用。

2、解决实际问题：如将一些物品平均分成若干份，每份数量相同且都是整数，其实质就是求一个数的因数。如果涉及到分成几组，每组人数相等，且每组人数是质数，那么就需要先分解质因数。

四、数与形的结合：探究两数关系

（一）公因数与最大公因数

【核心概念】【高频考点】

1、定义：几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。例如，12的因数有1，2，3，4，6，12；18的因数有1，2，3，6，9，18。12和18的公因数有1，2，3，6，最大公因数是6。

2、求法：

（1）列举法：分别列出每个数的因数，再找出公有的和最大的。

（2）筛选法：先写出较大数的因数，再看哪些也是较小数的因数，从中找最大的。

（3）分解质因数法：12=2²×3，18=2×3²，它们公有的质因数是2和3，最大公因数就是公有质因数的乘积，即2×3=6。

（4）短除法：【推荐方法】用两个数的公有质因数连续去除，一直除到商互质为止，然后把所有的除数相乘。例如：

用2除12和18得6和9，再用3除6和9得2和3，2和3互质。所以最大公因数是2×3=6。

3、特殊情况：如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是它们的最大公因数。例如，8和16的最大公因数是8。如果两个数是互质关系，那么它们的最大公因数是1。

（二）公倍数与最小公倍数

【核心概念】【高频考点】

1、定义：几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的一个（0除外），叫做它们的最小公倍数。例如，3的倍数有3，6，9，12，15，18...；4的倍数有4，8，12，16，20...。3和4的公倍数有12，24...，最小公倍数是12。

2、求法：

（1）列举法：分别写出每个数的若干个倍数，再找出最小的公有的。

（2）筛选法：先写出较大数的倍数，再看哪些也是较小数的倍数，从中找最小的。

（3）分解质因数法：3=3，4=2²，最小公倍数不仅要包含它们公有的质因数，还要包含各自独有的质因数，所以是2²×3=12。即把每个数分解后，取所有质因数的最高次幂相乘。

（4）短除法：【推荐方法】用两个数的公有质因数连续去除，一直除到商互质为止，然后把所有的除数和最后的商相乘。例如：

用2除3和4（4能被2除，3不能被2除，直接移下来）得3和2，3和2互质。所以最小公倍数是2×3×2=12。

3、特殊情况：如果两个数是倍数关系，那么较大的数就是它们的最小公倍数。例如，5和15的最小公倍数是15。如果两个数是互质关系，那么它们的积就是它们的最小公倍数。例如，4和5的最小公倍数是20。

（三）互质数的概念与判定

【重要概念】公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质的两个数不一定都是质数。常见的互质情况有：1和任何非零自然数；两个不同的质数；相邻的两个自然数；一个质数和一个不是它倍数的合数；两个都是合数，但公因数只有1，如4和9。

（四）“最大”与“最小”在实际问题中的模型识别

【终极难点】【压轴题方向】区分一道应用题是求最大公因数还是最小公倍数，是学生最大的挑战。

1、求最大公因数的模型特征：【重要】题目中通常会出现“分成...，每份...，刚好分完，没有剩余”、“铺地砖（用正方形砖铺满长方形地面）”、“剪成同样长的小段，没有剩余”等。其本质是将一个整体进行“分割”，求分割的最大单位。关键词：最多、最大、最长、尽可能大。

2、求最小公倍数的模型特征：【重要】题目中通常会出现“两人或物同时...，下次同时...”、“在一条路上等距离植树”、“父子两人在环形跑道上相遇”等。其本质是几个周期不同的过程，下一次“重合”或“同时发生”的时间。关键词：至少、最少、下次同时、再过多少天。

五、核心思想方法与解题策略

（一）分类讨论与排除法思想

【思维方法】在处理质数、合数相关问题时，分类讨论是基本策略。例如，在求解“两个质数的和是20，积是91，这两个质数是多少？”时，可以列出和为20的两个质数可能的情况（3+17，7+13），再验证积。这就是一种基于限定条件的分类与排除。

（二）数形结合：用图形理解抽象关系

【思维方法】韦恩图（集合圈）是理解公因数、公倍数关系的直观工具。将两个数的因数（或倍数）分别画在两个有重叠部分的圈里，重叠部分就是公因数（或公倍数）。这种数形结合的表示方式，有助于学生直观理解“公有的”这一抽象概念。

（三）逆向思维与方程思想

【高阶思维】在一些已知最大公因数或最小公倍数，反求原数的题目中，需要运用逆向思维。例如，已知两个数的最大公因数是6，且它们的和是42，求这两个数。可以设这两个数为6a和6b（a、b互质），则6a+6b=42，得a+b=7，然后找出和为7的互质数对（1和6，2和5，3和4），再求出原数。这种将数论问题转化为方程问题求解的思路，是提升解题能力的关键。

（四）枚举验证法

【基本策略】对于数字较小、情况有限的问题，枚举法是最直接有效且不易出错的方法。例如，找出一个数的所有因数，或验证一个数是否为质数，都可以通过枚举进行检验。尤其是在考试中，当无法立即找到规律时，有序列举是解决问题的最可靠手段。

六、易错点深度剖析与避坑指南

【高频易错点1】混淆因数与倍数的概念与表述。误认为“4是因数，12是倍数”。正确的表述必须是“4是12的因数，12是4的倍数”。解题时需注意题干是否指明了相互关系的语境。

【高频易错点2】忽略“非零自然数”的研究范围。在判断题中出现“一个数的倍数一定比它的因数大”，这是错误的，因为最大的因数和最小的倍数都是它本身，两者相等。

【高频易错点3】质数与奇数的混淆。误认为所有奇数都是质数，所有质数都是奇数。要牢记2是偶数也是质数，9、15等是奇数但不是质数。

【高频易错点4】分解质因数的书写格式错误。将结果写成乘法算式后，未注意因数是否为质数，例如24=2×3×4，其中4不是质数。或者把乘号写成其他符号，结果中出现了1（如30=1×2×3×5），这些都是不规范的。

【高频易错点5】短除法求最大公因数和最小公倍数时，混淆计算规则。求最大公因数是乘“边”（除数），求最小公倍数是乘“边”再乘“底”（最后的商）。特别当两个数没有公因数时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。对于三个数的情况，求最小公倍数时，通常要除到两两互质为止，这个过程更复杂，需要格外小心。

【高频易错点6】应用题模型识别不清。当题目既可以用最大公因数解，又可以用最小公倍数解时，学生容易选错方法。关键要抓住问题的最终指向：如果是求“每份最大是多少”、“边长最长是多少”，就是最大公因数；如果是求“下次同时是什么时候”、“至少需要多少”，就是最小公倍数。

七、考点考向分析与典型题型

（一）基础填空题与选择题

【必考题型】主要考查基本概念。如：24的因数有（），其中质数有（），合数有（）。或者：在1-10中，既是奇数又是合数的数是（），既是偶数又是质数的数是（）。考查对数的分类的综合掌握。

（二）判断题

【常考题型】主要考查概念的精准理解。如：“因为8÷0.5=16，所以8是0.5的倍数。”（×，因为研究范围是非零自然数）。“所有的偶数都是合数。”（×，2是偶数但不是合数）。

（三）分解质因数计算题

【基本技能题】直接给出一个合数，要求用短除法分解质因数。如：把36、48、51分解质因数。评分标准关注过程（短除法）和结果（质数相乘形式）的规范性。

（四）求最大公因数和最小公倍数

【核心计算题】给出两个或三个数，要求求出它们的最大公因数和最小公倍数。可以是直接计算，也可以是结合短除法的形式考查。例如：求24和36的最大公因数和最小公倍数。

（五）生活中的数学应用题

【综合应用题】【拉分题】

1、典型例题1（最大公因数）：把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸片剪成同样大小的正方形，且没有剩余。剪出的正方形边长最大是多少厘米？能剪出多少个？

解题步骤：先求30和24的最大公因数，即6厘米，是正方形的边长。再求个数：长边可剪30÷6=5个，宽边可剪24÷6=4个，一共5×4=20个。

2、典型例题2（最小公倍数）：一筐苹果，如果每人分3个，还多2个；如果每人分5个，还多4个；如果每人分7个，还多6个。这筐苹果至少有多少个？

解题思路：分析题意，苹果总数如果加上1个，就能被3、5、7整除。所以先求3、5、7的最小公倍数是105，再减去1，得到104个。这是一道典型的“缺同”问题，需要灵活转化。

（六）探究规律与开放性问题

【素养提升题】例如：已知A=2×3×m，B=3×5×m（m是非零自然数），如果A和B的最大公因数是21，那么m是多少？此时A和B的最小公倍数