2025年初中数学北师大版单元测试 第一章 三角形的证明（A卷·知识通关练）解析版

班级姓名学号分数

第一章三角形的证明（A卷,知识通关练）

考点1等腰三角形的性质

【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：

1.笔腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

1.如图，在A48C中，ZABC=ZACB,?为AA8C内的一点，且ZPBC=NPCA,ZBPC=100%则

的大小为（）

【分析】先利用三角形内角和定理求出/尸8C+N尸C8=80。，从而可求出NPC4+N尸C8=80L进而可得

44c8=80°，然后利用等腰三角形的性质可得NABC=NAC8=80。，最后利用三角形内角和定理进行计算

即可解答.

【解答】解：•••NBPC=1（X）。，

NPBC+4PCB=）80°-NBPC=80°,

•.•APBC=4PCA,

:.APCA+ZPCB=S0°,

/.ZACB=80°,

•/AB=AC^

...NABC=NA6=80°,

.*.Z4=I8O0-ZABC-NACA=20。，

故选：B.

2.已知等腰三角形的一边长为8cv〃，周长为1&?〃，则腰长为（）

A.8cm或2c〃?B.8(777C.5cmD.8(777或5(777

（分析］分8c?〃长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解•.

【解•答】解：当长是Scm的边是腰时，三边为8（7??,8a7?，2cm,等腰三角形成立，腰长是Scm：

当长是Scm的边是底边时，三边为Scm，5cm,5cm,等腰三角形成立，腰长是5cm.

故腰长是或5cm,

故选：D.

3.若一个等腰三角形的两边长分别为5和12,则该三角形的周氏是（）

A.5B.5或12C.22或29D.29

【分析】因为等腰三角形的两边分别为12和5,但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种恃况，需要分

类讨论.

【解答】解：当12为底时，其它两边都为5,12、5、5不能构成三角形，

当12为腰时，其它两边为12和5,因为12十5>12,所以能构戊二角形，

所以该三角形的周长是：12+12+5=29.

故选：D.

4.己知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60。，那么这个等腰三角形的顶角等于（）

A.15。或75。B.30°C.150°D.150。或30。

【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案.

方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可

能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况.

【解答】解：方法1：根据题意得：AI3=AC，BDA.AC,

如图（1）,NA4D=60°,

则44=30。;

如图（2）,ZABD=60°.

/.Zfi4D=30°，

.­.ZBAC=180o-30°=150°.

故这个等腰三角形的顶角等于30°或150。.

方法2：①当为锐角三角形时可以画图，

高与左边腰成60。夹角，由三角形内角和为180。可得，顶角为180°-90°-60。=30°,

②当为钝角三角形时可画图，

此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180。，

由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30。，

二三角形的顶角为180。-30°=150°.

Q)

考点2等腰三角形的判定

【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边“

牢记:（1）等腰三角形的性质“等边对等角“与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注

意区分；

（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。

【分析】由三角形的内角和判定选项A4C中的三角形是否为等腰三角形，。选项由等腰三角形的定义判断.

【解答】解：A、由三角形的内角和为180。知：第三个角的大小为：180°-50°-35。=95。，

A选项中的图形不是等腰三角形.故A选项符合题意；

B、由三角形的内角和为180。知：第三个角的大小为：180°-93°-45。=45。，

.••8选项中的图形是等腰三角形.故笈选项不符合题意；

C、由三角形的内角和为180。知：第三个角的大小为：180°-100。-40。=40。，

.•.C选项中的图形是等腰三角形.故C选项不符合题意；

。、由图形中有两边长为5知：选项。中的图形是等腰三角形.故。选项不符合题意；

故选：A.

6.如图，平面直角坐标系中，已知4(2,2),8(4,0).若在坐标轴上取点C,使AA4c为等腰三角形，则

满足条件的点。的个数是()

A.5B.6C.7D.8

y八

i

o

【分析】由点A、A的坐标可得到A8=2应，然后分类讨论：若AC=AA；若BC=AB；若CA=CB,确

定C点的个数.

【蟀答】解：•・•点A、8的坐标分别为(2,2)、5(4,0).

/.AB=2叵,

©JVAC=AB,以A为圆心，/W为半径画弧与X轴有2个交点(含3点)，即(0,0)、(4,0),

.••满足A43c是等腰三角形的C点有1个；

②若屈=人4,以“为圆心，笈4为半径画弧与x轴有2个交点(A点除外)，即满足AA4C是等腰三角形的。

点有2个；

③若6=6,作的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，即满足AA4c是等腰三角形的C点

有2个；

综上所述：点C在坐标轴上，AABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个.

故选：A.

7.如图，在AABC中，ZE4C=90°,4）是高，班:是中线，CF是角平分线，CF交AD于点、G,交BE

于点H,下面说法正确的是（）

①M跖的面积等于ABCE的面积；

②ZAAG=ZAGA

③NE4G=2ZAb；

④BH=CH.

A.①②③B.②®④C.①③④D.®®®®

【分析】根据三角形中线的性质瓦证明①；根据三角形的高线可得NABC=NC4D，利用三角形外角的性质

结合角丫分线的定义可求解NAFC=NAGF,可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法

判定④.

【解答】解：♦.•盛是AA8C的中线，

AE=CE,

「.AABE的面积等于MCE的面积，故①正确;

•.•4）是AA9C的高线，

NADC=9（）。，

NA8C十〃AZ>=90°,

-.•Za4C=90°,

/HAD+NC4O=90°，

NA4C=NC4力，

•.•W为A44C的角平分线，

/.ZACF=NBCF=-ZACH，

2

・.・ZAkC=NA8D+NBC卜,ZA5=ZACb+NG4L>,

：.ZAFC=ZAGF.故②正确；

•.•/fiAD+NG4D=ZAC3+NG4£>=90。，

:.ZBAD=ZACD

ZFAG=2ZACF,故③正确：

根据已知条件无法证明故④错误，

故选：A.

8.如图，已知NMQV,在边QN上顺次取点［,G，A…，在边OM上顺次取点〃，P4,6…，使

得。［=q4=64=44=七6...,得到等腰△oq〃，△P\Pp,△鸟A鸟，2P3P1P5…

（1）若NA/ON=30。，可以得到的最后一个等腰三角形是△RRR；

（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是4^乙乙，则NMON的度数a的取值范围

是—.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出NO6A即可判断.

（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是仆需要满足：/巴心乙=4仪＜90。且

NM8《=50.90。，解不等式即可解决问题.

【解答】解：（1）•.•06=66=66，

NO恰=NO=30。，

么例=/社4=60。，

..NOV90。,

△P[P3P4不存在，

.••得到的最后一个等腰三角形是△466.

故答案为^PFK

(2)由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是4P.P4P5,

需要满足：N44A=4a<90。且/9心=5。..90。，

.•.18。,，a<22.5。，

故答案为18。,，a<22.5。.

考点3“三线合一”性质的应用

【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一

9.如图，在△A8C中，ZBAC=90°,ADLBC,8£平分NA8C,G为E/的中点，求证：AGLEF.

【分析】只要证明A/=AE,利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题;

【答案】证明：:BE平分N4BC

ZABE=NCBE/AEF=9C-ZABE

又/AFE=/DFB=900-NCBE

：.ZAFE=ZAEF,

•••△AFE为等腰三角形

又YG为E尸的中点

：.AGLEF.

10.在△48C中，8c边上的高AG平分NBAC.

(1)如图I,求证：AB=ACx

(2)如图2,点。、E在△人BC的边8C上，AD=AE,BC=I0cw,DE=6cm,求的长.

AA

【分析】（1）想办法证明N8=NC即可解决问题.

（2）如图2中，作AG_LBC于G.利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可解决问题.

【答案】（1）证明：如图1中，

为N84C的平分线，

・・・N8AG=NC4G,

•・YG为8C边上高

••・NAG8=NAGC=9()°,

：・4B=/C,

：.AB=AC.

(2)如图2中，作AG_18c于G.

'：AB=AC,AGIBC,

:・BG=CG,

a：AD=AE,AGA.BC.

:.DG=EG,

:.BG・DG=CG・EG,

:・BD=CE,

VZ^C=10cvn,DE=6cm,

BD=2cm.

11.已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点。，8C的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:

【分析】欲证8。=。&只需证根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明NO8E=/

E=30°.

【答案】证明：•••△A3C为等边二角形，“。是AC边的中线，

/.BD1AC,8。平分NABC,^DBE=^ZABC=30a.

2

,:CD=CE,

：,ZCDE=ZE.

VZ4CT=60°,且/4C8为△COE的外角，

AZCDE+ZE=6(f.

AZCDE=Z£=30°,

.\ZDBE=ZDEB=3Q°,

:・BD=DE.

12.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，N84C=90°,AB=AC.

(1)若。为BC的中点，过。作。M_LQN分别交AB、AC于M、N,求证：DM=DN；

(2)若。M_L/)N分别和84、4c延长线交于M、N,问0M和ON有何数量关系，并证明.

【分析】（1）连接AO,可得NADM=NCDN,可证△人用。丝△CN。，可得DM=DN；

（2）连接4。，可得N4QM=NC£W,可证△4MOg△CNQ,可得QM=QM

【答案】解：（1）连接AQ，

•・•。为8C中点，

：,AD=BD,ZBAD=ZC,

VZADM+ZADN=90°,ZADN+ZCDN=90°,

・•・ZADM=NSV,

在△AM。和△CNQ中，

[ZADM=ZCDN

AD=CD，

|ZBAD=ZC

:・4AMD学4CND(ASA),

:・DM=DN.

(2)连接4Q.•.,。为AC中点，：.AD=BD.NBAD=NC,

VZADM+ZMDC=9()°,NMDC+NCDN=90",

，ZADM=NCDN,

VZMAD=MAC+DAC=\35°,NNCO=1800-ZACD=135°

在△AMO和△CNO中,

rZADM=ZCDN

AD=CD，

ZMAD=ZNCD

:.△AMgACND(ASA),

:,DM=DN.

考点4等边三角形的判定与性质

【方法点拨】等边三角形的性质：

（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对•称轴；

（2）等边三角形的每个角都等于60。。

等边三角形的判定：

（1）三边相等的三角形是等边三角形。

（2）二个角都相等的二角形是等边二角形。

（3）有两个角是60。的三角形是等边三角形。

（4）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

13.如图，在边长为2的等边三角形48c中，D为边BC上一点,且3。=,。。.点石，尸分别在边

2

AC上，且N功/=90°,M为边防的中点，连接CM交"'于点N.若DFNAB,则CM的长为（

）

A.-V3B.-V3C.-V5D.G

346

【分析】根据等边三角形边长为2,在RtABDE中求得小的长，再根据CM垂直丫:分。尸，在RSCDN中

求得CN,最后根据线段和可得CM的长.

【解答】解：•.•等边三角形边长为2,BD=-CD,

2

BD=-,CD=-,

33

•.•等边三角形A8C中，DF//AB,

N/7?C==

-.-Z£DF=90°.

充=30。，

:.DELBE,

.”£D=90°，

•••N3=60。，

."£>£=30。•

:.BE=-BD=~,

23

DE=yJlU)2-BE2=—，

3

如图，连接QM,则RtADEF中，DM=-EF=FM.

2

NFDC=ZFCD=60°，

尸是等边二角形，

4

,\CD=CF=-,

3

二.CM垂直平分£)/，

:"DCN=30。,DN=FN,

.•.RtACDN中，DN=~,CN=—,

33

•••M为“'的中点，

:.MN，DE=2,

26

»...r2x/3J55、B

366

故选：C.

14.己知：如图，AABC和ADEC都是等边三角形，。是8c延长线上一点，4）与的相交于点P,AC.

跖相交于点M,4）、CE相交于点N,则下列五个结论：①AD=BE；②NBMC=ZANC；

③NAAM=60。：®AN=BM⑤△。网是等边三角形.其中，正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据先证明MCE二AAC。，得出=根据已知给出的条件即可得出答案；

【解答】解：•.•AA8C和AD£C都是等边三角形，

：.AC=BC^CD=CE,ZAC8=ZECD=60°,

;.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,BPZBCE=ZACD,

:.ABCE^^ACD(SAS),

:.AD=BE,故选项①正确；

vZACB=Z4CE=60°,由MCEMAACD得：ZCBE=ZCAD,

:"BMC=ZANC,故选项②正确；

由MCE二AAC。得：NC3E=NCAD,

•.•Z4C8是A4C。的外角，

/.ZACB=ZCAD+ZADC=ZCBE+ZADC=6(r,

又ZAPM是"BD的夕卜角，

ZAPM=ZCBE+ZADC=60°.故选项③正确：

在MCN和ABCM中，

ZCAN=KBM

AC=BC,

NACN=NBCM=60°

：2CNw耶CM，

AN=BM,故选项④1E确；

:.CM=CN,

ACW7V为等腰三角形，•「NMCV=60。，

」.△CWV是等边三角形，故选项⑤正确；

故选：。.

15.如图，已知AABC中高仞恰好平分边4C,4=30°,点〜是胡延长线上一—点，点O是线段4)上

一点且OP=OC,下面的结论；①NACO+NDCO=30。；②△OPC是等边三角形；@AC=AO-t-AP；

④5必席=4忸形Ag,.其中正价的为①②©④.（填序号）

【分析】①连接03,根据垂直平分线性质即可求得O3=OC=OP，即可解题；

②根据周角等于360。和三角形内角和为180。即可求得NPOC=2NABD=60。，即可解题；

③在AC上截取AE=P4,易证AO/%二△CPE，可得AO=CE，即可解题；

④作C”_L8P，可证AC/X?三△CH/5和RtAABDwRlAACH,根据全等三角形面积相等即可解题.

【解答】解：①连接OB,如图1,

AA8C中高4)恰好平分边BC，即A。是AC垂直平分线，

:.AB=AC,BD=CD,

:.OB=(X：=OP,

：.ZAPO=ZABOADBO=NDCO,

ZABC=ZABO+ZDBO=30°，

/.ZAPO+ZDCO=3(T.故①正确；

②AO3P中，ZLBOP=180°-ZOPB-zLOBP,

A5OC中，ZBOC=180°-Z.OBC-ZOCB.

/.ZPOC=360°-/BOP-NBOC=40PB+NOBP+Z.OBC+NOCB,

♦:NOPB=NOBP、NOBC=/OCB,

:"POC=2ZABD=60°,

\'PO=OC,

.♦.△OPC是等边三角形，故②正确；

③3图2,在AC上截取隹二%,

ZME=180。-Z^AC=60。，

.,.A4PE是等边三角形，

.­.ZPE4=ZAPE=60°,PE=PA,

NAPO+NO尸石=60。，

NOPE+NCPE=ZCPO=60°,

:.ZAPO=^CPE,

,;OP=CP、

在AOPA和ACPE中,

PA=PE

<Z4Po=NCPE,

OP=CP

..AOPA^^CPE(SAS),

/.AO—CE»

:.AC=AE+CE=AO+AP；

故③正确：

④如图3,作CH_L8P，

•.•"6=60°，ZPCO=60°.

:."CH=NOCD、

在ACDO和?中，

/ODC=ZPHC=90。

•Z.0CD=4PCH,

OC=PC

.;ACDO三ACHP(AAS),

,•S&OCD=S&CHP

CH=CD,

•；CD=BD,

:.BD=CH,

在RtAABD和RtAACH中,

Ali=AC

BD=CH'

RtAABD三RtAACH(HL),

,•,^A4BD=^AAHC

•.•四边形04尸C面积=SA°AC+S&OCD

/.四边形OAPC面积=S-故④正确.

故答案为：①②③

图2

16.如图，等边AABC的边长为6,ZABC,NACK的角平分线交于点。，过点。作E尸//AC,交AB、CD

于点E、F,则E尸的长度为4.

【分析】根据四和C。分别平分乙43c和NAC8,和EFNBC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换,

求证出席=。£,DF=FC.然后即可得出答案.

【解答】解：如图，连接AD，

AEBD=QBC,Z.FCD=乙DCB，

•:EFMBC，

ZEBD=Z.DBC=Z.EDB,4FCD=ZDCB=/FDC,

:.BE=DE,DF=FC，

BD和CO分别平分ZABC和ZACB,

.•.4）平分NB4C,

/84O=NC4D=30°，

又・.・AB=AC,

/.ADA.BC,

•;EFi/BC,

.\ADVEF,

:.AE=2ED,AF=2DF,

•.•48=AC=6,

:.BE+AE=6,AF+CF=6,

；.BE=CF=2,

:.DE=DF=2,

.\EF=DE+DF=4,

故答案为：4

考点5直角三角形全等的判定

【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一

条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

17.使两个直角三角形全等的条件是（）

A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等

C.一条边对应相等D.斜边及一条直角边对应相等

【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个

条件，而也是不能判定三角形全等的，所以正确的答案只有选项。了.

【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角

形全等，故本选项错误；

8、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故本选项错误；

C、一条边对应相等，再加一组锐角相等才能得出两三角形全等，故本选项错误；

当两个直角三角形的两直角边对应相等时，由ASA可以判定它们全等；当一直角边与一斜边对应相等

时，由儿判定它们全等，故本选项正确；

故选：D.

18.如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（）

A.ASAB.AASC.SASD.HL

【分析】根据ASLAi正明全等解答即可.

【解答】解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边，

所以根据ASA证明三角形全等，

故选：A.

19.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.斜边和一直角边对应相等B.两个锐角对应相等

C.一锐角和斜边对应相等D.两条直角边对应相等

【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS,ASA,SSS,MS,做题时要结合已知条件与全等的

判定方法逐一验证.

【解答】解：A、符合判定“L，故本选项正确，不符合题意；

8、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；

C、符合判定A4S,故本选项正确，不符合题意；

D、符合判定WS，故本选项正确，不符合题意.

故选：B.

20.如图所示，已知在AABC中，ZC=9O°,AD=AC,DE工AB交BC于点、E,若N8=28。，则4fC=（

A.28°B.59°C.60°D.62°

A

【分析】根据NC=90。，AD=AC,求证△C4£MS4E,Z.CAE=/DAE=-4CAB再由ZC=9O°.

2

/8=28。，求出NC48的度数，然后即可求出NAEC的度数.

【解答】解：•.•在AABC中，ZC=90°.AD=AC,DE工AB交.BC于点、E,

'.ACAE^^DAE,ZCAE=ZDAE=-Z.CAB,

2

VZB4-ZCAB=90°,ZB=28°,

ZC4B=90o-28o=62°,

/.ZAEC=90o--ZC4B=90°-3io=59°.

2

故选：B.

考点6直角三角形性质的综合应用

【方法点拨】掌握直角二角形两条重要的性质：（1）斜边上的中线为斜边的一半。

（2）30。角所对直角边为斜边一半。且两直角边成百倍关系。

21.如图，直线a//"RtAABC如图放置，若Nl=28。，Z2=8O°,则的度数为（）

A.62°B.52°C.38°D.28°

【分析】根据平行线的性质得到Nl+N84c=N2,进而求得44C,再根据直角三角形的性质求出々即

可.

【解答】解：♦:cd1b,

Zl+Zfi4C=Z2.

ZBAC=Z2-Z1=80°-28°=52°,

NAC/=90。，

/.ZB+ZZMC=90°,

/.ZB=900-52o=38o.

故答案为：C.

22.如图，AA8C沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若4=54。，ZC=90°,则NEVC等

于（）

A.54°B.62°C.72°D.76°

B

【分析】根据直角三角形的性质求出NA，再根据折叠的性质、三角形的外角性质计算即可.

【解答】解：•,•N8=54。，ZC=90°.

.•.ZA=90°-54°=36°,

由折叠的性质可知，ZAE4=ZA=36°,

ZfiVC=N/VE4+NA=72。，

故选：C.

23.如图，从旗杆旦的顶端人向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面夕处，若旗杆的高度为3.2米，则

绳子”的长度不可能是（）

A.3B.3.3C.4D.5

【分析】直接利用直角三角形的性质斜边大于直角边进而得出答案.

【解答】解：•.•旗杆的高度为AB=3.2米，

.•・绳子”的长度不可能是：3米.

故选：A.

24.如图，在A4BC中，ZC=60°,ZB=50°,D是BC上一点,DE上AB于点E,力/_LAC于点

F,则NED厂的度数为（）

A.90°B.KX）°C.110°D.120°

【分析】由三角形内角和定理求得NA=70。；由垂直的定义得到NAED=NAFD=90。；然后根据四边形

内角和是360度进行求解.

【解答】解：如图，•.•在AABC中，ZC=60°,NB=50。,

/.Z4=70°.

•・・。£，48于点后，J.ACJ点产，

ZAED=ZA/7）=90°,

.­.ZEDF=360o-ZA-ZAED-ZAFD=1l0°.

故选：C.

考点7角平分线性质的应用

【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等

牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；

（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过用平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。

25.如图，N/UM=15O。，OP平分N/UM,PD工OB于点、D,PC"OB交OA于点C,若PQ=3,则OC

的长为（）

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论.

【解答】解：•••NAQA=150°,PCUOB交.OA干点、C,

.\ZPCO=30°,

过P作PE_LO4于E,

•;PD1OB，OP平分ZAO8

；.PE=PD=3,：.ZAOP=ZPOD=75°,

.-.ZCPO=75%

.,.OC=PC=6,

故选：

26.如图，AP平分NC4B,PD_LAC于点。，若PD=6,点E是边AB上一动点,关于线段正叙述正确

的是（）

A.PE=6B.PE>6C.PR,6D.PE..6

【分析】过尸点作尸〃J_A3于〃，如图，根据角平分线的性质得到尸〃=叨=6,然后根据垂线段最短可

对各选项进行判断.

【解答】解：过尸点作于H,如图，

•.•"平分NC48,PDYAC,PH1AB,

：.PH=PD=6,

点£■是边AB上一动点，

/.PE..6.

故选：D.

27.如图，在A48C中，A£>为NR4C的平分线，。石_LAB于石，_LAC于/，AA8C的面积是30。川,

AB=13c/n，AC=1cm,则DE的长（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6c7〃

A

【分析】根据角平分线的性质得到。七=根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：:AD为44C的平分线，DEVAB,DF±AC,

:.DE=DF,

••S^BC=^ABXDE+^XACXDF=30(c/n2),即gxl3xOE+；x7x£＞尸=30，

解得DE=DF=3cm,

故选：A.

28.如图，PMLOA,PNLOB,垂足分别为M、N.PM=PN,若NHOC=30。，则NAO8=_60。

【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OC平:分NAOB,再根据角平分线的定义可得

ZAOB=2/BOC.

【解答】解：・.,尸"_1_。4,PN1OB,PM=PN,

•.OC平分NAOB，

Z4OT=2ZBOC=2x30=60°.

故答案为：60°.

考点8线段垂直平分线性质的应用

【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。

29.如图，在AA5C中，的垂直平分线DE与边Afi,AC分别交于点。，E.已知AA8C与ABCE的

周长分别为22c/〃和14cm，则BD的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

A

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到£4=硕，根据三角形的周长公式计算即可得到结论.

【解答】解：•.■。石是的垂直平分线，

：.EA=EB,AD=BD=—AB.

2

•.•ABCE的周长是14。〃，

8C+BE+EC=14（777,BPAC+BC=\4cm.

•.•A48C的周长是22<?〃，

/.AB+AC+BC=22cm，

.•.48=22-14=8（。〃），

...HD=-AB=-x^=4（cm）.

22

故选：B.

30.如图，在AA8C中，力石是AC的垂直平分线，且分别交3C、AC于点O和石，ZB=70°,ZC=25°,

则/44）为（）

【分析】根据三角形内角和定理求出NB4C，根据线段垂直平分线的性质得到。4=衣，得到

〃4C=NC=25。，计算即可.

【解答】解：在AA8C中，ZB=70°,ZC=25°,

则Z.BAC=180°-ZB-ZC=180°-70°-25°=85°,

・「£归是AC的垂直平分线，

DA=DC，

/.zmc=zc=25°,

...NBAD=85°-25°=60°,

故选；B.

31.如图，DE,。b分别是线段AB,6C的垂直平分线，连接D4,£心，则（）

A.ZA=ZCB.ZB=ZADCC.DA=DCI1.DE=DF

BFL

【分析】根据线段垂直平分线的性质求解判断即可.

【解答】解：如图，连接80，

二

Bc

；DE,OF分别是线段/W,8C的垂直平分线，

:.DA=DB,DB=DC,

:.DA=IXJ,

故选：c.

32.如图，在AA5C中，8C的垂直平分线分别交AC,BC于点D,1£.若AA3C的周长为22,BE=4,

则A44O的周长为（）

A.26B.20C.18ID.14

二

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到。3=DC,BC=2BE=8,根据三角形的周长公式计算即可.

【解答】解：是5C的垂直平分线,

：.DB=DC,BC=2BE=8,

•.•AA8C的周长为22,

.\AB+BC+AC=22,

:.AB+AC=\4,

A/WO的周长=AO+A/）+AB=A7）+CD+AB=AB+4C=14,

故选：D.

考点9等腰三角形与全等三角形的综合

33.如图，AABC+，AB=BC,/43C=45°,4E_LAC于点E,4Q_L4C于点。，BE与AD相交于立

(1)求证：BF=AC；

(2)若CO=3,求A/的长.

【分析】(1)根据等腰三角形腰长相等性质可得人。=8。，即可求证△BDFgZLAC。，即可解题；

(2)连接CR根据全等三角形的性质得到。尸=OC,得到△/)人?是等腰直角三角形.推出AK=EC,

BE是AC的垂直平分线.于是得到结论.

【答案】解：(1)AD±BD,ZDAD=45°，

：.AD=BD,

•:/BFD=/AFE,NAFE+NC4£)=90°,NC4D+NAC£>=90°,

:・NBFD=/ACD,

在△B。尸和△AC。中，

'NBFD二NACD

ZBDF=ZADC.

BD=AD

：・4BDF出XACD(A4S),

：.BF=AC；

(2)连接CF,

'：^BDF^/\ADC,

：.DF=DC,

・•・△OFC是等腰直角三角形.

VCD=3,CF=y/2CD=342,

*：AB=BC,BE±AC,

・・.A£=EC,/汨是AC的垂直平分线.

：.AF=CF,

・・・4F=3&.

A

34.如图，在等腰RtZ\48C中，ZACB=90°,。为8c的中点，OE_LA8,垂足为E,过点8作8尸〃AC

交QE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证：CD=BF；

(2)求证：ADA.CF-,

(3)连接人尸，试判断△4C尸的形状.

【分析】(1)由平行可求得NC8r=90°,再结合等腰三角形的判定和性质可求得可得8尸=

CD；

(2)结合(I)的结论，可证明△人CO0△C8A可得NQCG=NC4。，可证明NCGO=9()°,可得结

论；

(3)由(2)可得。/=AQ,又A3垂直平分。凡可得4Q=AF,可证明Cb=AP,可知ZkACF为等腰

三角形.

【答案】(1)证明：

•：AC//BF,且NAC8=90°,

:・NCBF=90°,

又4C=BC,

••・NOH4=45°,

*：DELAB,

/.NDEB=ZBEF=ADBF=W,

:./BDE=/BFE=45°,

・•・BD=BF,

又。为3C中点,

:・CD=BD,

:.CD=BFx

(2)证明：

由(1)可知CO=8凡且CA=CB,/ACB=/CBF=90°,

在△4CD和△CBf'中

fCD=BF

NACD二NCBF

IAC=BC

:.XNCD9XCFB(SAS),

：.ZCAD=ZBCF,

VZACB=90°,

：.ZCAD+ZCDA=90°,

：,ZBCF+ZCDA=90°,

AZCGD=90°,

：.ADLCF；

(3)解：

由(2)可知△ACOgACBF,

：,AD=CF,

由(1)可知A8垂直平分OF,

：.AD=AF,

：.AF=CFf

・•・△ACT为等腰三角形.

35.如图，在△ABC中，AB=AC,N8AC=45°，点。是8c的中点，过点C作CE_LA8,垂足为点E,

交4D于点F.

(1)求证：AE=CE；

(2)求证：/^AEF^ACEH.

【分析】（1）求出NACE=45°,证明NEAC=N4CE,即可解答；

（2）利用同角的余角相等，证明NB4D=N8CE,利用AS4证明即可解答.

【答案】解：⑴-：CE±ABt

・・・NAEC=90°,

•・・/B4C=45°,

AZACE=90°-45°=45°,

・•・ZEAC=ZACE,

：.AE=CE.

（2）<AB=AC,点D是BC的中点,

：.ADLBC,

ZADB=90°,

••.NB+NB人0=90°,

TN“+N8CE=90°,

:・NBAD=NBCE,

在ZkAEr和△C£3中，

fZAEF=ZCEB

AE=CE

l/EAF二NBCE

・•・△AEFe^CEB.

36.如图，已知等腰三角形A6c中，A8=AC,点。、石分别在边A6、AC上，且AD=AE,连接6E、CD,

交于点F.

（1）判断NABE与NACQ的数量关系，并说明理由;

（2）求证：过点A、”的直线垂直平分线段4C

A

【分析】（1）证得后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论;

（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论.

【答案】解：（1）ZABE=ZACD；

在△A8E和△AC。中，

'AB二AC

ZA=ZA-

AE=AD

/.△ABE经△AC。，

・•・/ABE=/ACD；

（2）连接AF.

,：AB=AC.

・•・^ABC=NACB,

由（I）可知N4BE=NAC。，

:・NFBC=NFCB,

:.FB=FC,

*：AB=AC,

工点A、〃均在线段8C的垂直平分线上，

即直线A尸垂直平分线段BC.

考点10与三角形有关的动点问题

37.如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点8同时出发，沿三角形的边

运动，已知点M的速度为点N的速度为2。加s.当点N第一次到达B点时，M、2同时停止运

动.

（1）点加、N运动几秒后，加、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?

（3）当点M、N在8c边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在，请求出此时M、

N运动的时间.

【分析】（1）首先设点朋、N运动工秒后，M、N两点重合，表示出M,N的运动路程，N的运动路程比

Z的运动路程多\2crn,列出方程求解即可：

（2）根据题意设点M、N运动，秒后，可得到等边三角形△AMN,然后表示出AM,4N的长，由于NA

等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；

（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出可得CM=BN,设出运动时间，表示出

CM,NB,NM的长，列出方.程，可解出未知数的值.

【答案】解：（I）设点A/、N运动x秒后，M、N两点重合，

.rXl+12=2v,

解得：x=12；

（2）设点M、N运动，秒后，可得到等边三角形△AMM如图①，

4M=，Xl=f,AN=AB-BN=\2-2t,

•・•三角形是等边三角形，

/.r=12-2r,

解得r=4,

・••点/、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.

（3）当点M、N在3C边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，

由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设△AMN是等腰三角形，

：.AN=AM,

/.ZAMN=NANM,

/.ZAMC=NANB,

,：AB=BC=AC,

•••△4C8是等边三角形,

AZC=ZB,

在△ACM和aABN中，

'AC=AB

;ZC=ZB，

ZAMC=ZANB

XhCM乌tsABN,

/.CM=BN,

设当点V、N在8C边上运动时，M、N运动的时间），秒时，△AMN是等腰二角形，

：,CM=y-12,NB=36-2y,CM=NB,

y-12=36-2y,

解得：），=16.故假设成立.

・•・当点M、N在边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMM此时M、N运动的时间为16

秒.

38.已知△A8C中，AC=BC,ZC=120°，点。为A8边的中点，NEDF=60。,DE、。厂分别交4C、

BC于E、F点.

（1）如图1,EF//AB.求证：DE=DF.

（2）如图2,若即与A8不平行.则问题（1）的结论是否成立？说明理由.

【分析】（1）根据SAS证明△AQEgZXBQF,再根据全等三角形的性质可得。七=。尸；

（2）过。作QM_LAC交AC于M,再作ON_L8C交8C于M可证明QM=QN.再分一、当M与七重

合时，N就一定与尸重合.二、当M落在。、E之间时，N就一定落在3、尸之间.三、当M落在A、E

之间时，N就一定落在C、尸之间.三种情况讨论即可求解.

【答案】解：(1)*：EF//AB.

••・NFEC=NA=300.

NEFC=N8=30°

：.EC=CF.

又・・・AC=8C

：.AE=BF

D是AB中点.

：,DB=AD

：.△NDE9RBDF.

：.DE=DF

(2)过。作。M_LAC交AC于M,再作。N_L3C交于M

,:AC=BC,

JNA=NB,

又•・・NAC8=120°,

・・・N4=N