2025年初中数学北师大版单元测试 第一章 三角形的证明（A卷·知识通关练）原卷版

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第一章三角形的证明（A卷•知识通关练）

考点1等腰三角形的性质

【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：

1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

I.如图，在AA8C中，ZABC=ZACB,P为AABC内的一点，且NP8C=NPC4,N8PC=100。,

则44的大小为（）

2.已知等腰三角形的一边长为8劭，周长为18。〃，则腰长为（）

A.8c7〃或2c7〃B.8（77.C.5anD.或

3.若一个等腰三角形的两边长分别为5和12,则该三角形的周长是（）

A.5B.5或12C.22或29D.29

4,已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为6（尸，那么这个等腰三角形的顶角等于（

）

A.15。或75。B.30°C.150°D.150°或3。°

考点2等腰三角形的判定

【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”

牢记:（1）等腰三角形的性质”等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正

好相反，要注意区分；

（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重

要依据。

5,下列三角形中，不是等腰三角形的是（）

使为等腰三

角形，则满足条件的点C的个数是（）

A.5B.6C.7D.8

y八

i

o

7.如图，在AA3c中，N4AC=90。，AO是高，跖是中线，是角平分线,B交4。于点G,

交BE于点、H,下面说法正确的是（）

①的面积等于ABCE的面积；

③/£4G=2NAb;

®BH=CH.

A.①®@B.②③④C.①③④D.①②③④

8.如图，已知NMON,在边ON上顺次取点P、,[…，在边上顺次取点优，6，乙...,

使得====…，得到等腰4o明,△PER,△PW，△匕名日…

(1)若NMON=30。，可以得到的最后一个等腰三角形是;

(2)若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△GRA，则NMQN的度数a的取

值范围是.

考点3“三线合一”性质的应用

【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)。

9.如图，在△48。中，ZBAC=90°,ADLBC,BE平分NA3C,G为EE的中点，求证:

AG±EF.

10.在△ABC中，BC边上的高AG平分NBAC.

(1)如图1,求证：AB=AC；

(2)如图2,点。、上在△ABC的边8c上，AD=AE,BC=TUcm,DE=6an,求BO的长.

图1

11.己知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D,的延长线上取一点E,使CE=

CD.求证：BD=DE.

12.如图所示，△A8C是等腰直角三角形，N8AC=90°,AB=AC.

（1）若。为的中点，过。作OM_LON分别交AB、AC于M、N,求证：DM=DN；

（2）若OM_LON分别和BA、AC延长线交于M、N,问。M和ON有何数量关系，并证明.

考点4等边三角形的判定与性质

【方法点拨】等边三角形的性质：

（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴;

（2）等边三角形的每个角都等于60。。

等边三角形的判定：

（1）三边相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有两个角是60。的三角形是等边三角形。

（4）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

13.如图，在边长为2的等边三角形A8C中，D为边BC上一点,且点E,尸分别

2

在边顾，AC上，且/瓦卢=90。，例为边所的中点，连接CM交£＞产于点N.若DF口AB,

则CM的长为（）

A.-V3B.-VsC.-^3D.6

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14.已知：如图，AABC和SEC都是等边三角形，。是8C延长线上一点，4）与应:相交于点P,

AC、破相交于点M,4）、CE相交于点N,则下列五个结论:①4）=麻;；②/BMC=Z/WC;

③〃府=60。；④AV=HM;⑤ACMV是等边三角形.其中，正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

15.如图，已知AAKC中高4）恰好平分边BC,NB=30。，点?是胡延长线上一点，点O是线

段AO上一点且OP=OC,下面的结论：①ZAPO+/DCO=30°;②AOPC是等边三角形；

③AC=AO+AP;®SMHC=SVWiAOCP.其中正确的为.（填序号）

16.如图，等边AA8C的边长为6,ZABC,ZAC8的角平分线交于点/）,过点D作EF//BC,交

AB.CD于点E、F,则所的长度为.

ED

B

考点5直角三角形全等的判定

【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）:

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

17.使两个直角三角形全等的条件是（）

A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等

C.一条边对应相等D.斜边及一条直角边对应相等

18.如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依

据是（）

B.AASC.SASD.HL

不能判定两个直角三角形全等的是（)

A.斜边和一直角边对应相等B.两个锐角对应相等

C.一锐角和斜边对应相等D.两条直角边对应相等

20.如图所示，已知在AAHC中，NC=90。，AD=AC.OE_LAB交AC于点E,若NA=28。，则44EC=（

)

A.28°B.59°C.60°D.62°

考点6直角三角形性质的综合应用

【方法点拨】掌握直角三角形两条重要的性质：（1）斜边上的中线为斜边的一半。

（2）30。角所对直角边为斜边一半。旦两直角边成百倍关系。

21.如图，直线a/必，RtAABC如图放置，若Nl=28。，Z2=80°,则ZB的度数为（）

A.62°B.52°C.38°D.28°

22.如图，AA8C沿直线折叠，使点A与回边上的点七重合，若々=54。，NC=90。，则Z£M7

等于（）

A.54°B.62°C.72°D.76°

23.如图，从旗杆4?的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面?处，若旗杆的高度为

3.2米，则绳了心的尺度不可能是（）

A.3B.3.3C.4D.5

24.如图，在AABC中，ZC=60°,ZB=50°,。是8c上一点，Z)E_L/W于点£,DF1AC

于点F，则NEL/的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

BDC

考点7角平分线性质的应用

【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等

牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；

（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的

线段。

25.如图，NAO8=150。，OP平分ZAO8,PD上OB于点、D,PCMOB交OA千点、C,若PD=3,

则OC的长为（）

D.6

点E是边上一动点，关于线段庄叙

述正确的是（）

A.PE=6B.PE>6C.PJ,6D.PE..6

27.如图，在AA6C中，4）为N3AC的平分线，于E,£>F_LAC于/，A/WC的面积是

30d,AB=13cm,AC=1cm>则DE的长（）

A.3cmB.4ctnC.5cmD.bcm

28.如图，PMLOA.PN工OB,垂足分别为M、N.PM=PN,若N4OC=30°,则ZA（M=

考点8线段垂直平分线性质的应用

【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。

29.如图，在A4BC中，/W的垂直平分线£）£与边回,AC分别交于点。，E.已知AABC与MCE

的周长分别为22cm和也加,则8。的长为（）

A.3cmB.4(.7?!C.5cmD.6cm

30.如图，在AA8C中，。石是AC的垂直平分线，且分别交3C、AC于点。和E,4=70°,

ZC=25°,则^^^4£>为()

60°C.65°D.70°

31.如图，DE,DP分别是线段A3,3C的垂直平分线，连接。4,DC,则（

ZB=ZA£>CC.DA=DCD.DE=DF

32.如图，在AABC中，AC的垂直平分线分别交AC,BC于点、D,E.若AABC的周长为22,

BE=4,则MM的周长为（)

A.26B.20C.18D.14

考点9等腰三角形与全等三角形的综合

33.如图，△ABC中，AB=BC,ZABC=45°,BELAC于点、E,4D_L8C于点DBE与AD

相交于F.

(1)求证：BF=AC；

(2)若CO=3,求4/的长.

34.如图，在等腰RtZXABC中，ZACB=90°,。为BC的中点，DEVAB,垂足为E,过点B

作B/〃AC交力E的延长线于点F,连接CK

(1)求证：CD=BF；

(2)求证：ADYCFx

(3)连接AF,试判断△4C尸的形状.

35.如图，在△48。中，AB=AC,ZBAC=45°，点。是3c的中点，过点。作CEJ_A5,

垂足为点E,交于点足

(1)求证：AE=CE；

(2)求证；/\AEFq/\CEB.

36.如图，已知等腰三角形ABC中，A8=AC,点。、E分别在边AB、AC上，Q.AD=AEf

连接BE、CD,交于点发

(1)判断NABE与NACO的数量关系，并说明理由；

(2)求证：过点A、尸的直线垂直平分线段3c.

考点10与三角形有关的动点问题

37.如图，ZkABC中，AB=BC=AC=\2cni,现有两点M、N分别从点4、点B同时出发，沿

三角形的边运动，已知点M的速度为1c〃而，点N的速度为2c〃心.当点N第一次到达B

点时，M、N同时停止运动.

(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?

(3)当点M、N在8c边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在，

请求出此时M、N运动的时间.

38.已知△ABC中，AC=BCiZC=120°,点。为AB边的中点，ZEDF=60°,DE、DF

分别交AC、BC于E、/点.