2025-2026学年山东省济南市高一上学期10月学情检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济南市2025-2026学年高一上学期10月学情检测数学试题一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，正确；对于B，正确；对于C，正确；对于D，符号使用错误.故选：D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，又因为，所以，故选：C.3.命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】易知命题“，”的否定形式是.故选：C.4.已知都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意当时，由推不出，此时；当时，，则可得，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5.已知正实数，满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】A【解析】，当且仅当，即时取等号.故选：A.6.已知全集，集合，则的真子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】A【解析】，，则，其真子集个数为.故选：A.7.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，所以.故选：A.8.已知集合，且，则实数的取值为（）A. B.3 C.2或3 D.或3【答案】D【解析】若，可得或；当时，满足题意；当时，满足题意；若时，可知，不满足元素的互异性，不合题意.因此实数的取值为或3.故选：D.9.的最大值为（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】由，则由基本不等式可得：，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选：B.10.不等式的解集是，则的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】由不等式的解集是，所以方程的两个根为和3.由韦达定理得，，即，所以为，即，解得.故选：B.11.方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若方程有一个正根和一个负根，则，，，得，则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误；是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误；是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确；是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误.故选：C.12.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可知，当时，可得，即，满足题意；当时，可得，解得;综上可知，实数的取值范围是.故选：C13.对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】当时，即，则原不等式为恒成立，所以符合题意；当时，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.14.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（）A.100人 B.人 C.人 D.178人【答案】B【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示，则，，，．不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为，观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为，观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为，则，，，．由三个集合的容斥关系公式得，解得，故接受调查的市民共有人．故选：B．15.设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立，等价于当时，，当时，，即，所以；若q为真命题，即存在，不等式成立，等价于当时，.由于，，所以，解得.若p，q都是真命题，则；所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或.故选：D.16.已知正实数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由正实数，满足，所以，.，当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立.所以的最小值为.故答案为：C.二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.17.已知集合，，下列说法正确的是（）A.，B.，C.“”是“”的充分不必要条件D.“”是“”的必要不充分条件【答案】ABC【解析】解不等式可得，即,因此可得，所以，即A正确；又，但，因此B正确；因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，可得C正确；易知若，则一定有，但，所以“”是“”的充分不必要条件，即D错误.故选：ABC.18.关于的不等式的解集可能是（）A. B.C. D.或【答案】BD【解析】当时，不等式为，解得；当时，由解得或，若时，即，则的解集为：，故D正确；若时，即，则的解集为：；若时，即，则的解集为：；当时，由解得或，所以的解集为：，故B正确；故选：BD.19.已知集合或，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】对于选项A，已知，根据集合的性质可知，当时，的解集是空集，满足，当时，由，可得，所以因为，所以或，解得综上：，所以选项A正确；对于选项B，已知，根据集合的性质可知，由A选项知，所以选项B错误；对于选项C，当时，是空集，此时，当时，，因为，所以，则，，此时，所以选项C错误；对于选项D，当时，，因为，所以，则，，此时，所以选项D正确.故选：AD.20.已知正数，满足，下列结论正确的是（）A. B.C.的最小值为12 D.的最小值为14【答案】BC【解析】对于A，由可得，又因为为正数，所以，解得，因此A错误；对于B，由可得，解得，因此B正确；对于C，将等式变形可得，又所以可得，整理即可得，解得或（舍），当且仅当，即时，等号成立,因此C正确；对于D，由可得，当且仅当，即时，等号成立,此时的最小值为13，即D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.21.已知，，则的取值范围为________.【答案】【解析】因为，，则，由不等式的基本性质可得.故的取值范围为.故答案为：.22.已知集合，，若，则实数________.【答案】【解析】由于，当时，无解；当时，,此时，,不满足条件；当时，，此时，,此时,满足条件；故答案为：23.甲、乙、丙三名同学比身高，甲说：“你俩都比我矮”；乙说：“我比丙高”；丙说：“我比你们都矮”.经过测量，三个人身高各不相同且恰有一名同学说错了，那么最矮的同学是________.【答案】丙【解析】假设甲说错，那么乙、丙都对，此时身高顺序从高到矮为乙、甲、丙，则丙最矮；假设乙说错，那么甲、丙都对，此时乙的说法的意思是乙不比丙高，这与丙的说法矛盾；假设丙说错，那么甲、乙都对，由甲对可知甲最高，由乙对可知乙比丙高，所以身高从高到矮为甲、乙、丙.此时丙的说法‘我比你们都矮’是正确的，这与丙说错的假设矛盾.综上所述，丙最矮.故答案为：丙.24.若对任意，不等式恒成立，则________.【答案】3【解析】因为对任意，不等式恒成立，所以对任意，恒成立.设，由可得，即①，由可得，即②，由可得，即③，令，则由解得，所以，由①可得④，由③可得⑤，由④+⑤可得⑥，由②⑥可得.故答案为：.四、解答题：本题共2小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.已知二次函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若对，不等式恒成立，求不等式的解集.解：（1）由题意可知，和是方程的两个根，则，解得.（2）由题意可知：，解得，则不等式即为，所以，即，解得或，即不等式的解集为或.26.设集合，.（1）求集合中元素的最小值和最大值；（2）用表示集合中所有元素的和.（i）求；（ii）设是正整数集的一个子集，且.对于任意正整数，都存在的子集，使，求的最小值.解：（1）当时，取到最小值0；当时，取到最大值.（2）（i）取值方式不同时，的值也互不相同，对所有元素求和时，每个的系数均为个0和个1，所以；（ii）为了能够取遍小于等于360的正整数，需要，显然，而，，，，，让到尽可能大，所以取，，，，，，此时，设，若，则时与时至少有一个不成立，所以，因为，所以.又由，所以，取符合题意，所以最小值为59.山东省济南市2025-2026学年高一上学期10月学情检测数学试题一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，正确；对于B，正确；对于C，正确；对于D，符号使用错误.故选：D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，又因为，所以，故选：C.3.命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】易知命题“，”的否定形式是.故选：C.4.已知都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意当时，由推不出，此时；当时，，则可得，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5.已知正实数，满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】A【解析】，当且仅当，即时取等号.故选：A.6.已知全集，集合，则的真子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】A【解析】，，则，其真子集个数为.故选：A.7.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，所以.故选：A.8.已知集合，且，则实数的取值为（）A. B.3 C.2或3 D.或3【答案】D【解析】若，可得或；当时，满足题意；当时，满足题意；若时，可知，不满足元素的互异性，不合题意.因此实数的取值为或3.故选：D.9.的最大值为（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】由，则由基本不等式可得：，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选：B.10.不等式的解集是，则的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】由不等式的解集是，所以方程的两个根为和3.由韦达定理得，，即，所以为，即，解得.故选：B.11.方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若方程有一个正根和一个负根，则，，，得，则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误；是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误；是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确；是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误.故选：C.12.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可知，当时，可得，即，满足题意；当时，可得，解得;综上可知，实数的取值范围是.故选：C13.对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】当时，即，则原不等式为恒成立，所以符合题意；当时，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.14.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（）A.100人 B.人 C.人 D.178人【答案】B【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示，则，，，．不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为，观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为，观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为，则，，，．由三个集合的容斥关系公式得，解得，故接受调查的市民共有人．故选：B．15.设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立，等价于当时，，当时，，即，所以；若q为真命题，即存在，不等式成立，等价于当时，.由于，，所以，解得.若p，q都是真命题，则；所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或.故选：D.16.已知正实数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由正实数，满足，所以，.，当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立.所以的最小值为.故答案为：C.二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.17.已知集合，，下列说法正确的是（）A.，B.，C.“”是“”的充分不必要条件D.“”是“”的必要不充分条件【答案】ABC【解析】解不等式可得，即,因此可得，所以，即A正确；又，但，因此B正确；因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，可得C正确；易知若，则一定有，但，所以“”是“”的充分不必要条件，即D错误.故选：ABC.18.关于的不等式的解集可能是（）A. B.C. D.或【答案】BD【解析】当时，不等式为，解得；当时，由解得或，若时，即，则的解集为：，故D正确；若时，即，则的解集为：；若时，即，则的解集为：；当时，由解得或，所以的解集为：，故B正确；故选：BD.19.已知集合或，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】对于选项A，已知，根据集合的性质可知，当时，的解集是空集，满足，当时，由，可得，所以因为，所以或，解得综上：，所以选项A正确；对于选项B，已知，根据集合的性质可知，由A选项知，所以选项B错误；对于选项C，当时，是空集，此时，当时，，因为，所以，则，，此时，所以选项C错误；对于选项D，当时，，因为，所以，则，，此时，所以选项D正确.故选：AD.20.已知正数，满足，下列结论正确的是（）A. B.C.的最小值为12 D.的最小值为14【答案】BC【解析】对于A，由可得，又因为为正数，所以，解得，因此A错误；对于B，由可得，解得，因此B正确；对于C，将等式变形可得，又所以可得，整理即可得，解得或（舍），当且仅当，即时，等号成立,因此C正确；对于D，由可得，当且仅当，即时，等号成立,此时的最小值为13，即D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.21.已知，，则的取值范围为________.【答案】【解析】因为，，则，由不等式的基本性质可得.故的取值范围为.故答案为：.22.已知集合，，若，则实数________.【答案】【解析】由于，当时，无解；当时，,此时，,不满足条件；当时，，此时，,此时,满足条件；故答案为：23.甲、乙、丙三名同学比身高，甲说：“你俩都比我矮”；乙说：“我比丙高”；丙说：“我比你们都矮”.经过测量，三个人身高各不相同