2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题01 轴对称+周期性+单调性教师版

第第页专题01轴对称+周期+单调性题型一：利用奇偶性+单调性解不等式【例题1-1】定义在实数上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，为奇函数且，则，因为在上单调递减，所以在上满足，在上满足,又因为为奇函数，所以在上满足，在上满足，所以的解集为的解集为；或，解得：或，故不等式的解集为；故选：D．【例题1-2】偶函数的定义域为，且对于任意，均有成立，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，所以在单调递减，则在单调递增，因为，所以，所以，化简得，解得或，即.故选：B.【例题1-3】已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】当时，，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所以函数在上单调递减．则不等式，即等价于，解得或．故选：D．【提分秘籍】1、对于任意，均有成立，注意功能用来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（）远，谁的函数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（）远，谁的函数值就小。【变式1-1】设a为实数，定义在R上的偶函数满足：在上为增函数，则使得成立的a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，由可得，∴，解得：或所以实数a的取值范围为故选：A【变式1-2】已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是___________.【答案】【详解】由，得或，因为是偶函数，，所以，，又因为在上单调递减，所以由得，解得，同理：由可得或，所以由可解得，由可解得，故或，即.故答案为：题型二：构造奇偶函数求函数值【例题2-1】已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，，为奇函数，当时，，.故选：D.【例题2-2】已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【详解】解：设，，因为，所以函数为奇函数，所以，所以，所以．故选：A．【例题2-3】已知函数，若，则（

）A． B．2 C．5 D．7【答案】C【详解】设，则，即函数是奇函数，，则，而所以.故选：C【提分秘籍】对于本身不具有奇偶性，通过构造（通常将尾巴常数变为0），构造奇函数，利用奇函数的对称性，求函数值.【变式2-1】已知函数，若，则（

）A． B．2 C．5 D．7【答案】C【详解】设，则，故，即，所以.故，因为，所以.故选：C【变式2-2】已知函数，则在上的最大值与最小值之和为______．【答案】【详解】由题意，得，把的图象向上平移3个单位长度，可得函数的图象．当时，，即为奇函数，则在上的最大值与最小值之和为0，故在上的最大值与最小值之和为．故答案为：．【变式2-3】已知函数，若，则______．【答案】【详解】令，，，为上的奇函数；，，即，解得：.故答案为：.题型三：奇偶性+周期性【例题3-1】已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以是周期为4的函数，所以，因为是奇函数，所以故选：D【例题3-2】函数是定义在上的偶函数，且，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】由题得所以.所以函数的周期为8.所以.故选：C【例题3-3】已知函数是定义在上的偶函数，，若对任意，都有，对任意且，都有，则____________．【答案】2【详解】因函数是R上的偶函数，且任意，都有，则当时，，即，有，则是以6为周期的周期函数，，又函数是R上的偶函数，且任意且，都有，则对，函数是以4为周期的周期函数，，所以.故答案为：2【提分秘籍】函数周期性的常用结论与技巧设函数，.①若，则函数的周期；②若，则函数的周期；③若，则函数的周期；④若，则函数的周期；⑤，则函数的周期【变式3-1】函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有，求的值（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【详解】由题意，函数是上的奇函数，所以，所以，又，所以，所以，因此函数为周期函数，周期，所以，故选：A.【变式3-2】已知函数对于任意都有，，且在区间上是单调递增的，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以的周期为2，因为，所以为偶函数，所以，，因为在区间上是单调递增的，所以，所以，故选：D【变式3-3】已知偶函数的定义域为R，满足，且当，则_______________【答案】【详解】因为函数的定义域为R，且为偶函数，故，则由得：，即，故，故答案为：题型四：对称性+奇偶性【例题4-1】已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：当时，，∴对称轴为，为奇函数，，，关于中心对称，设为图像上任意一点，则在上，，即，对称轴为．作出图像如下：由图像知有4个根，不妨设，由二次函数的对称性知，，∴所有根的和为．故选：A．【例题4-2】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：因为当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，由于函数是偶函数，故函数图象关于y轴对称，所以函数图象关于直线对称，所以，，由，函数在区间上单调递增，所以．故选：B.【例题4-3】设函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：假设，所以，所以，所以为奇函数，而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，由求导得因为，当且仅当即，取等号，所以所以在R上单调递增，因为得所以，解得，故选：B【提分秘籍】函数对称性（异号对称）（1）轴对称：若函数关于直线对称，则①；②；③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①；②；③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①；②；③【变式4-1】已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，，所以的图象关于直线对称，在上是减函数，则在上是增函数，又是奇函数，所以在上是增函数，所以在上是增函数，在上是减函数，结合奇函数得，所以，，，，所以，即，故选：C．【变式4-2】设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为偶函数，则的图像关于轴对称，所以关于对称，则，因为为奇函数，则的图像关于原点对称，且，所以关于对称，则，因为当时，，所以，，因为，所以，故，从而当时，，故.故选：A.【变式4-3】已知是R上的奇函数，且，当，，且时，，则当时，不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意，在上单调递增，又是R上的奇函数，∴，且在上单调递增，∴当时，，当时，．∵，∴的图象关于直线x＝1对称，∴，且在上单调递减，∴在上单调递减，且．∴当时，不等式的解集为.故选：B题型五：对称性+周期性+奇偶性（知二推三）【例题5-1】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则

）A．0 B．1 C．2 D．2021【答案】B【详解】解：因为f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，所以，又，所以，则，即，所以，则f（x）是以为周期的周期函数，因为，所以，则，所以，，故选：B【例题5-2】已知定义域为的函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】的定义域为，由可知，是偶函数，由可知，周期为4，因为，故关于轴对称，又因为，所以也是的对称轴，因为在上存在导函数，所以是的极值点，即，曲线在点处的切线斜率为0，故切线方程可能为.故选：B.【提分秘籍】（1）例1中：奇偶性+对称性周期性已知是奇函数，则；又，则关于对称，综合考虑（2）例2中：奇偶性+周期性对称性由和可知关于对称【变式5-1】己知是定义在上的偶函数，且函数的图像关于原点对称，若，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【详解】解：因为是定义在上的偶函数，所以，由函数的图像关于原点对称，即函数为奇函数，所以，所以，所以，即，所以，所以是以为周期的周期函数，又，所以，又，所以，所以，所以.故选：C【变式5-2】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】为定义在上的奇函数，，，，，是周期为的周期函数，，；又，；又，，.故选：B.【变式5-3】已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】因为是上的偶函数，所以，又的图象关于点对称，则，所以，则，得，即，所以是周期函数，且周期，由时，，则，，，，则，则.故选：C题型六：三角函数中的对称性，周期性，奇偶性与单调性问题【例题6-1】已知点是函数图象的一个对称中心，其中为常数且，则以下结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．将函数的图象向右平移个单位所得的图象关于轴对称C．函数在上的最小值为D．若，则【答案】B【详解】由题意知：，∴，，即：，，∴，符合题意，∴，周期，所以A错误；将的图象向右平移个单位所得的函数设为，则：，∵，∴为偶函数，∴的图象关于轴对称，所以B正确；由，得：；当时，即，时，有最小值，为，所以C错误；设，，，设，∴当时，单调递减，当时，单调递增，即：时，单调递减，有，则；在时，单调递增，有，则，所以D错误.故选：B.【例题6-2】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称C．函数为奇函数 D．函数的图象关于直线对称【答案】C【详解】由题意得：；对于A，的最小正周期，A错误；对于B，当时，，不是的对称中心，B错误；对于C，，为奇函数，C正确；对于D，当时，，不是的对称轴，D错误.故选：C.【提分秘籍】1、三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独考，也可能以多选的形式综合在一个题目中考查.2、三角函数的奇偶性(1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；(2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；(3)函数是奇函数⇔()．3、三角函数的对称性(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(3)函数的图象的对称中心由)解得．【变式6-1】已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，由，当时，，故选：B.【变式6-2】将函数()的图象向左平移个单位长度,得到曲线.若关于轴对称,则的最小值是______．【答案】【详解】设曲线所对应的函数为,则,的图像关于轴对称,,,解得:,,的最小值是.故答案为:.专题01轴对称+周期+单调性课后巩固练习一、单选题1．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】定义在R上的奇函数在上单调递减，故函数在上单调递减，且，故，函数在和上满足，在和上满足.，当时，，即；当时，，即.综上所述：.故选：A2．己知函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设函数的对称中心为，则函数为奇函数，由，得，整理得，所以，解得，所以函数图象的对称中心是.故选：D.3．已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则的解集是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，又，所以，则当时，，当时，，不等式，等价于或，解得或，所以的解集是.故选：C.4．已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，，则（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，因为为偶函数即关于轴对称，所以的图象关于直线对称，所以，故，故选：B5．已知函数在上单调递增，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，在上单调递增，，解得：，即，，，则由得：，解得：.故选：C.6．已知函数（，），直线和点分别是图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（

）A．函数为奇函数B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上为单调函数D．函数在区间上有12个零点【答案】D