2026高考数学复习高效培优专题14 直线与圆的最值与范围问题（培优高频考点专练）（解析版）

专题14直线与圆的最值与范围问题目录高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型一与距离相关的最值与范围问题（）题型二与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题（）题型三与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题（）题型四与圆的参数方程相关的最值与范围问题（）题型五与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题（）实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）高考中以选择题、填空题为主，部分试卷会在解答题中作为第一问或关键步骤考查，分值5-12分。基础知识必备：直线相关：掌握倾斜角与斜率的关系、五种直线方程形式（点斜式、斜截式等），熟练运用两点间距离、点到直线距离及平行线间距离公式。圆的相关：牢记圆的标准方程与一般方程，理解一般方程表示圆的充要条件（D22026高考预测：命题趋势：侧重综合化考查，常结合函数、不等式、向量等知识点，聚焦最值与范围问题的核心逻辑。创新方向：可能出现含参数的动态直线与圆问题，或结合实际场景的几何建模题，强调数形结合能力和分类讨论思想。重难知识汇总：距离最值问题：圆上点到定直线、定点的距离最值（核心逻辑：圆心到直线/定点距离±半径）；两圆间的最短/最长距离。参数范围问题：含参数直线与圆有公共点时的参数取值范围；圆的方程中参数的范围求解（结合圆的定义）。面积最值问题：直线截圆所得弦长相关的三角形面积最值；两圆相交时公共弦相关的面积范围。综合最值问题：与圆上点坐标相关的函数最值（如z=常用技巧方法：几何法：优先利用圆的几何性质，通过圆心到直线的距离、圆心距与半径的关系转化问题，减少计算量。代数法：联立直线与圆的方程，利用判别式Δ判断交点个数，求解参数范围；通过函数配方求最值。参数法：将圆上点坐标转化为参数形式（x=a+易错避坑提效：公式应用误区：避免混淆圆的一般方程圆心坐标（误记为(D,E)）、弦长公式漏写系数2（正确公式题型一与距离相关的最值与范围问题方法点拨：核心依据：“两点之间线段最短”“点到直线的距离，垂线段最短”两大几何公理。动态问题处理：先找定点（如动直线过定点）或动点轨迹（如隐形圆），将动态距离转化为定点到轨迹的距离问题。圆相关距离最值：若直线与圆相离，圆上点到直线的距离最值为“圆心到直线距离±半径”；圆上点到圆外定点的距离最值为“定点到圆心距离±半径”。【典例01】（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为.【答案】【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、直线过定点问题【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解.【详解】动直线过定点，动直线即过定点.因为，所以直线与直线垂直，又直线的斜率一定存在，注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在，故点在以为直径的圆上（去除点），圆心为，半径，圆心到直线的距离为所以圆与直线相切（切点不是点），的最小值为0；圆的直径，且点到直线的距离为，所以，即的取值范围为.故答案为：【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的模长公式可得，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解.【详解】因为，所以．又，所以，解得．因为，所以．建立如图所示的直角坐标系，设，因为，所以，整理得，即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆．设，则点在直线上运动，则，令点到直线的距离为，则，无最大值，故选：B．【变式01】（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值.【详解】圆的圆心坐标为，半径，因为点为线段的中点，，则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，点在直线上，可得圆心到直线的距离，所以的最小值为.故选：A

【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）(多选题)已知点，，点在圆：上运动，则（

）A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为C．的最大值为 D．当最小时，【答案】ACD【分析】由已知，圆心为，半径为，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式可判断；根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可判断；利用圆的性质可判断；根据直线与圆相切和勾股定理可判断．【详解】对于A，已知点，，点在圆：上运动，则圆心为，半径为，直线的方程为即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确；对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确．故选：ACD．【变式03】（2025·云南·三模）(多选题)已知点，，点P在圆上运动，则（

）A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为C．的最大值为6 D．当最小时，【答案】ACD【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动，则圆心为，半径为2，直线AB的方程为，则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确；对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为，则面积的最小值为，所以B错误；对于C中，由，所以C正确；对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确.故选：ACD．题型二与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题方法点拨：代数式几何化转化：形如y−bx−a形如(x−a)2【典例01】（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线过定点问题【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得.【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点，由点，可得直线的斜率分别为：，作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点，需使，解得.故选：C.【典例02】（2025·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于r的不等式即可求解．【详解】将直线方程变形为，则可知直线恒过定点，圆的圆心，则，若，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A、B重合，若直线与圆O交于不同的两点A，B，则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故，即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A、B，此时对于任意给定的半径r，根据圆的性质，当时，弦AB最短，最小，此时弦长，在中，，当时，为等边三角形，此时，由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦AB满足，即，解得，综上所述，．故选：C．【变式01】（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求点到直线的距离、二倍角的余弦公式、判断直线与圆的位置关系【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得.【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，如图：

所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，所以当分别为圆的切线，且最小时，最大，又，则最大，所以最大，此时最小，此时．显然的最大值为1，故．故选：A【变式02】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解.【详解】设，由，，得点为的中点，则.又，，则，，因此，即，点在以为圆心，为半径的圆上，设直线OM（O为原点）斜率为，由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时，则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或，所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为.故选：B【变式03】（2025·重庆·二模）过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的最大值为.【答案】【分析】把曲线方程变形，设出过点且与圆的一部分，相切的直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得答案．【详解】由曲线，得，作出图象如下：设过点且与半圆相切的直线的斜率为，则直线方程为，即．由，解得或（舍去），直线的斜率的最大值为．故答案为：题型三与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题方法点拨：弦长最值：过圆内定点的弦，最长弦为直径，最短弦为与定点和圆心连线垂直的弦（弦长公式：2r2−d2【典例01】（25-26高三上·贵州·月考）已知圆的方程为，过点的直线与圆交于不同的两点，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断的位置，然后判断出时有最小值，结合几何关系计算出结果.【详解】因为，所以在圆内，记圆心为，由条件可知，圆心，半径，记圆心到直线的距离为，所以，当取最大值时，有最小值，当时，取最大值，(理由：当时，，当与不垂直时，设，则，在中，显然，所以)此时，，所以的最小值为，故选：C.【典例02】（25-26高三上·四川南充·月考）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（

）A． B． C．6 D．4【答案】C【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案．【详解】直线分别与轴，轴交于，两点，，，则，点在圆上，圆心为，则圆心到直线距离，故点到直线的距离的范围为，则．所以面积的最大值是故选：C．【变式01】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】求出圆的圆心和半径，证明在圆内，证明Q是AB的中点，分直线l的斜率不存在时和直线l的斜率存在两种情况结合向量即可求解.【详解】易知圆C：的圆心为，半径，又，所以在圆内，因为，垂足为Q，由垂径定理可知Q是AB的中点，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易得此时圆心C与Q重合，不符合题意，由可得，设点，则，，所以，即，故点Q的轨迹方程为（除点外），圆心到直线的距离为，则点Q到直线的最大距离为．故选：D.【变式02】（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值.【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径．可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点.又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图，设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形．设，则，结合，，可得，所以,，当且仅当，即时取等号．综上所述，当时，取得最大值．故选：B.【变式03】（2025高三下·全国·专题练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】设点，则直线的方程为，（注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是），化简可得：，所以圆心到直线的距离为：所以，当时，的最小值为.故选：C.题型四与圆的参数方程相关的最值与范围问题方法点拨：参数化转化：圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r【典例01】（24-25高三下·河南开封·开学考试）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案.【详解】因为点为圆上一动点，故设，则，令，则，即，则，其中为辅助角，，则，整理得，故的最大值为，故选：A【典例02】（2025·广东揭阳·三模）已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设出点坐标，写出距离代数式，列出方程，根据圆的标准方程，使用三角函数替换点横纵坐标，根据角的范围，求出结果.【详解】设点，由题意可得，不妨令，取，，其中，，则，故，由可知，故，的取值范围是.故选：B.【变式01】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆的标准方程写出点的参数方程坐标，分别计算，再合并即得，最后利用余弦函数的值域即可求得其范围.【详解】依题意，设点，则故，因，故易得.故选：A.【变式02】（24-25高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得.【详解】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，则以AB为直径的半圆为，因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即的取值范围为.故选：B

【变式03】（24-25高三下·浙江·月考）若存在实数使得，则实数的取值范围为.【答案】【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为，利用两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求的取值范围.【详解】因为，设，，，令，则，又易知，点在圆上，如图所示，则，又，故的最大值为，因为存在实数使得所以，即，故答案为：.题型五与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题方法点拨：隐形圆识别：由垂径定理（如AB为圆的弦，M为中点，则OM⟂AB，M的轨迹为圆）；由阿波罗尼斯圆（动点到两定点距离比为定值，轨迹为圆）；由圆幂定理、向量条件等推导轨迹方程。最值转化：将复杂最值问题转化为“圆上点到定点/定直线的距离最值”，再利用圆的性质求解。对称转化：涉及直线两侧点的距离和【典例01】（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆，因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角，则点在圆外，又因为动点在直线上，则直线与圆相离，所以，解得，则，即，因此，椭圆的离心率的取值范围是.故选：D.【典例02】（2025·广东清远·二模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（

）A．（除去点）， B．（除去点），C．， D．，【答案】B【分析】先由题设，，利用求出，接着设直线的方程为，利用韦达定理求出直线l方程和方程所过定点即可得动点的轨迹和直线斜率最大值时的情况，进而可求解.【详解】由题可设，，则，解得或者（舍），设直线的方程为，与抛物线方程联立得，所以，故，故直线的方程为，所以直线过定点，又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆，因为中点坐标为，所以点的轨迹方程为（除去点），过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大，所以直线斜率的最大值为．故选:B【变式01】（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，设点，根据求出点的轨迹方程，结合圆的周长公式可求得结果.【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点、，设点，由可得，整理可得，化为标准方程得，如下图所示：所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，因此，点轨迹的长度为.故选：A.【变式02】（2025·河北保定·模拟预测）已知点，点满足，记的轨迹为，则（

）A．是半径为的圆B．C与圆有一个交点C．与直线有两个交点D．与圆围成图形的面积为【答案】B【分析】对A，求出圆的方程可判断；对B，利用两圆的圆心距和半径的关系，判断两圆的位置关系可判断；对C，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系得解；对D，易知围成图形为同心圆围成的圆环求解判断.【详解】对于A，设，由，得，整理得，所以圆的方程为，圆心为，半径为1，故A错误；对于B，圆可化为，圆心为，半径为2，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，所以与圆内切，故B正确；对于C,又的圆心到直线的距离为，所以圆与直线相切，故C错误；对于D，易知与圆围成图形为同心圆围成的圆环，所以其面积为，故D错误.故选：B.【变式03】（24-25高三下·四川成都·月考）(多选题)如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（

）A．存在点P使得 B．直线与点P的轨迹有公共点C．点P运动轨迹长为 D．三棱锥体积最大值为【答案】AC【分析】根据给定条件，在平面内建立直角坐标系，求出点P的轨迹，再逐项分析判断即可.【详解】以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，设，由，得，整理得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的圆弧，对于A，若，则点在以为直径的圆上，由，解得，点满足条件，A正确；对于B，直线，圆心到直线的距离，则与圆无公共点，B错误；对于C，射线交圆于点，，，，即圆弧所对圆心角为，弧长为，C正确；对于D，由平面平面，得点到直线的距离即为三棱锥底面上的高，而，，因此三棱锥体积无最大值，D错误.故选：AC（限时训练：15分钟）1．（24-25高三下·北京·月考）已知圆点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为【答案】C【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B.【详解】圆心为，半径为.点满足，即.设切线方程为和，由圆的切线性质可知，的最小值，出现在最小时.此时圆心到直线距离为：，代入得，A选项错误；四边形面积的最小值为，D选项错误；四边形面积的最小值为，所以，C选项正确；当最小时，，直线的斜率为，因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误.故选:C.2．（24-25高三上·山东济南·期末）已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由题求得过且与圆相切的直线方程，即可判断命题关系【详解】由题，圆是圆心为，半径为的圆，当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为1，不等于半径，与圆不相切不符合；当直线的斜率存在时，设直线为，化为一般式即，则圆心到直线距离为，解得,所以“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充要条件,故选：C.3.（25-26高三上·北京·月考）已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。【详解】直线恒过定点，当时，圆心到直线的距离最大值为，此时取得最小值,根据勾股定理：.故选：A.4.（25-26高三上·广东·月考）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（

）A．36 B．60 C．72 D．80【答案】C【分析】设，利用两点间距离公式求出，利用余弦函数的范围求出的最大值和最小值，从而得到所求.【详解】由点在圆上运动，设，，，的最大值为，最小值为，的最大值与最小值之和为.故选：C.5.（2025·江苏徐州·模拟预测）(多选题)已知圆，P为圆O上的动点，则（

）A．圆心O关于直线AB的对称点为B．动点P到直线AB的距离最大值为C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等【答案】AC【分析】求出直线的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置关系判断C；求出切线长判断D.【详解】直线的斜率，直线的方程为，对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确；对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误；对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为，而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确；对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误.故选：AC6．（