2026高考数学复习高效培优专题14 直线与圆的最值与范围问题（培优高频考点专练）（原卷版）

专题14直线与圆的最值与范围问题目录高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型一与距离相关的最值与范围问题（）题型二与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题（）题型三与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题（）题型四与圆的参数方程相关的最值与范围问题（）题型五与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题（）实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）高考中以选择题、填空题为主，部分试卷会在解答题中作为第一问或关键步骤考查，分值5-12分。基础知识必备：直线相关：掌握倾斜角与斜率的关系、五种直线方程形式（点斜式、斜截式等），熟练运用两点间距离、点到直线距离及平行线间距离公式。圆的相关：牢记圆的标准方程与一般方程，理解一般方程表示圆的充要条件（D22026高考预测：命题趋势：侧重综合化考查，常结合函数、不等式、向量等知识点，聚焦最值与范围问题的核心逻辑。创新方向：可能出现含参数的动态直线与圆问题，或结合实际场景的几何建模题，强调数形结合能力和分类讨论思想。重难知识汇总：距离最值问题：圆上点到定直线、定点的距离最值（核心逻辑：圆心到直线/定点距离±半径）；两圆间的最短/最长距离。参数范围问题：含参数直线与圆有公共点时的参数取值范围；圆的方程中参数的范围求解（结合圆的定义）。面积最值问题：直线截圆所得弦长相关的三角形面积最值；两圆相交时公共弦相关的面积范围。综合最值问题：与圆上点坐标相关的函数最值（如z=常用技巧方法：几何法：优先利用圆的几何性质，通过圆心到直线的距离、圆心距与半径的关系转化问题，减少计算量。代数法：联立直线与圆的方程，利用判别式Δ判断交点个数，求解参数范围；通过函数配方求最值。参数法：将圆上点坐标转化为参数形式（x=a+易错避坑提效：公式应用误区：避免混淆圆的一般方程圆心坐标（误记为(D,E)）、弦长公式漏写系数2（正确公式题型一与距离相关的最值与范围问题方法点拨：核心依据：“两点之间线段最短”“点到直线的距离，垂线段最短”两大几何公理。动态问题处理：先找定点（如动直线过定点）或动点轨迹（如隐形圆），将动态距离转化为定点到轨迹的距离问题。圆相关距离最值：若直线与圆相离，圆上点到直线的距离最值为“圆心到直线距离±半径”；圆上点到圆外定点的距离最值为“定点到圆心距离±半径”。【典例01】（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为.【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式01】（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）(多选题)已知点，，点在圆：上运动，则（

）A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为C．的最大值为 D．当最小时，【变式03】（2025·云南·三模）(多选题)已知点，，点P在圆上运动，则（

）A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为C．的最大值为6 D．当最小时，题型二与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题方法点拨：代数式几何化转化：形如y−bx−a形如(x−a)2【典例01】（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例02】（2025·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式01】（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（）A． B． C． D．【变式02】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【变式03】（2025·重庆·二模）过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的最大值为.题型三与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题方法点拨：弦长最值：过圆内定点的弦，最长弦为直径，最短弦为与定点和圆心连线垂直的弦（弦长公式：2r2−d2【典例01】（25-26高三上·贵州·月考）已知圆的方程为，过点的直线与圆交于不同的两点，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【典例02】（25-26高三上·四川南充·月考）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（

）A． B． C．6 D．4【变式01】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（

）A． B．1 C． D．【变式02】（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（

）A． B． C． D．【变式03】（2025高三下·全国·专题练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（）A． B． C． D．题型四与圆的参数方程相关的最值与范围问题方法点拨：参数化转化：圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r【典例01】（24-25高三下·河南开封·开学考试）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【典例02】（2025·广东揭阳·三模）已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式01】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式02】（24-25高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．【变式03】（24-25高三下·浙江·月考）若存在实数使得，则实数的取值范围为.题型五与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题方法点拨：隐形圆识别：由垂径定理（如AB为圆的弦，M为中点，则OM⟂AB，M的轨迹为圆）；由阿波罗尼斯圆（动点到两定点距离比为定值，轨迹为圆）；由圆幂定理、向量条件等推导轨迹方程。最值转化：将复杂最值问题转化为“圆上点到定点/定直线的距离最值”，再利用圆的性质求解。对称转化：涉及直线两侧点的距离和【典例01】（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例02】（2025·广东清远·二模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（

）A．（除去点）， B．（除去点），C．， D．，【变式01】（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【变式02】（2025·河北保定·模拟预测）已知点，点满足，记的轨迹为，则（

）A．是半径为的圆B．C与圆有一个交点C．与直线有两个交点D．与圆围成图形的面积为【变式03】（24-25高三下·四川成都·月考）(多选题)如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（

）A．存在点P使得 B．直线与点P的轨迹有公共点C．点P运动轨迹长为 D．三棱锥体积最大值为（限时训练：15分钟）1．（24-25高三下·北京·月考）已知圆点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为2．（24-25高三上·山东济南·期末）已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（25-26高三上·北京·月考）已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4.（25-26高三上·广东·月考）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（

）A．36 B．60 C．72 D．805.（2025·江苏徐州·模拟预测）(多选题)已知圆，P为圆O上的动点，则（

）A．圆心O关于直线AB的对称点为B．动点P到直线AB的距离最大值为C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等6．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知点在圆上，则的最大值是(

)A． B．10 C． D．7．（2025·辽宁沈阳·二模）(多选题)在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线