2026高一数学寒假自学课（苏教版）9.1向量概念（4知识点+7考点）（原卷版）

9.1向量概念内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：向量的实际背景与概念1、数量与向量（1）向量：既有大小又有方向的量（如力、速度、加速度、位移等）叫做向量．（2）数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等）称为数量．【注意】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移；（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素；（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．2、向量的二要素：向量由大小和方向两个要素组成，向量的大小是代数特征，向量的方向是几何特征．（2025高一·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（

）A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度知识点2：向量的几何表示1、向量的表示（1）向量的几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点，B为终点的向量记作（注意起点一定要写在终点的前面）．向量的大小称为向量的模长，记作．（2）向量的字母表示：向量也可用小写字母表示（印刷时用黑体，书写时用）．2、有向线段与向量的区别与联系（1）区别：从定义上看，向量由大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这时两个不同的量．在平面内，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的．（2）联系：有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段．（2025高一·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量．(1)，点A在点O的正西方向；(2)，点B在点O的北偏西方向；(3)根据（1）（2），作出向量并求出的值．知识点3：向量的相关概念1、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．2、单位向量：长度等于1个单位的向量．【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定．（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．3、相等向量：长度相等且方向相同的向量．【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．4、向量共线或平行：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．规定：与任一向量共线．【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别．（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．5、相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫作的相反向量，记作，与称为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍然是零向量．于是，对于任意一个向量，总有．（25-26高一·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（

）A．向量与向量是相等向量B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系D．向量的模是一个非负实数知识点4：向量的夹角1、向量夹角的定义：对于两个非零向量与，在平面内任取一点，作，，叫作向量与的夹角．如下图所示．2、特殊夹角对应的向量当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记作．（2025高一·全国·课后作业）如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量，(1)与的夹角是多少？(2)与垂直的向量有哪些？题型一：向量的概念辨析【例1】（2025高一·河南·月考）下列量中是向量的为（

）A．课桌的高度 B．一段路程的公里数C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力【变式1-1】（2025高一·全国·课后作业）下列物理量中，不能称为向量的是（

）A．质量 B．速度 C．位移 D．力【变式1-2】（2025高一·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1-3】（2025高一·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（

）A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度题型二：零向量与单位向量【例2】（2025高一·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（

）A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等【变式2-1】（25-26高二·北京海淀·月考）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同【变式2-2】（2025高三·天津·专题练习）下列说法错误的是（

）A．B．，是单位向量，则C．若，则D．两个相同的向量的模相等【变式2-3】（2025高一·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（

）A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的B．零向量和任何向量都是共线向量C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等D．，，则题型三：向量的几何表示方法【例3】（2025高一·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.

(1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米）(2)求向量的模.【变式3-1】（2025高一·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且．(1)画出所有满足条件的向量；(2)求的最大值与最小值．【变式3-2】（2025高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方．(1)作出，，，；(2)求的模．【变式3-3】（2025高一·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地．(1)作出向量，，，；(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？题型四：向量相等【例4】（25-26高三·湖南·期中）已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-1】【多选】（2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（

）A．12对 B．18对C．20对 D．24对【变式4-3】（25-26高一·全国·假期作业）若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．12题型五：平行向量（共线向量）【例5】（25-26高二·全国·假期作业）设O是的外心，则是（

）A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量【变式5-1】【多选】（2025高一·甘肃张掖·期中）下列能使成立的充分条件是（

）A． B． C．与方向相反 D．或【变式5-2】（25-26高一·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（

）A． B．且 C． D．【变式5-3】【多选】（2025高一·江西上饶·月考）下列说法不正确的有（

）A．向量就是所在的直线平行于所在的直线B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量C．零向量与任一向量平行D．共线向量是在一条直线上的向量题型六：向量的夹角的应用【例6】（2025高三·广西·学业考试）如图，在正方形中，与的夹角为（

）

A．30° B．90° C．120° D．180°【变式6-1】（2025高一·全国·课后作业）在正中，与的夹角等于．【变式6-2】（2025高一·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2025高一·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点.

(1)求与的夹角；(2)求与的夹角.题型七：利用向量关系研究几何性质【例7】（2025高一·广东佛山·月考）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7-1】（2025高一·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（

）A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．正方形【变式7-2】（2025高三·河南·月考）已知四边形，下列说法正确的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形【变式7-3】（2025高一·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心一、单选题1．（山东省2025-2026学年高三学期春季高考第一次模拟考试数学试题）下列说法正确的是（

）A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量2．（2025高二·云南昆明·月考）下列结论中正确的是（

）．A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的C． D．3．（2025高一·湖北武汉·期末）下列说法中正确的是（

）A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等4．（2025高一·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（

）A．向量又称有向线段B．平行向量一定相等C．平行向量一定共线D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量5．（2025高一·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（

）A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同6．（25-26高二·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．（2025高一·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④若，，则.其中错误的说法有（）个A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题8．（2025高一·甘肃定西·月考）下列说法中，正确的是（

）A．时间、摩擦力、重力都是向量B．向量的模是一个正实数C．相等向量一定是平行向量D．向量与不共线，则与都是非零向量9．（25-26高一·全国·期末）下列说法不正确的有（

）A．向量就是所在的直线平行于所在的直线B．相等向量是长度相等，方向相同的向量C．零向量与任一向量平行D．共线向量是在一条直线上的向量10．（2025高二·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（）A．与不平行B．C．与的模相等的向量有9个（不含）D．与相等的向量只有一个（不含）三、填空题11．（2025高一·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是．①零向量都相等；②任一向量与它的平行向量不相等；③若四边形是平行四边形，则；④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．12．（2025高一·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则.13．（2025高一·广东阳江·月考）下列说法正确的是.（填序号）①若，则；②若，则；③若，则与共线；④若，则一定不与共线.14．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题：①若向量，，则；②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；③在菱形中，一定有.其中是真命题的为.（填序号）15．（2025高二·全国·课后作业）给出下列命题：①是向量的必要不充分条件；②向量，相等的充要条件是；③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中正确的是.（填序号）四、解答题16．（2025高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．

17．（2025高一·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量）18．（2025高一·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：