2026高一数学寒假自学课（苏教版）10.2 二倍角的三角函数 （解析版）

10.2二倍角的三角函数内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：二倍角的正弦公式二倍角公式：sin2变形：sinα±cosα2注意：在三角函数中，sin（25-26高一上·江苏南京·月考）设全集，集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二倍角公式可得集合间的关系.【详解】因为，所以，即，所以或.于是集合.故选：B知识点2：二倍角的余弦公式二倍角公式：cos2降幂公式：sin注意：cos2α（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可求出，利用二倍角公式化简即可求出.【详解】解：角终边在直线上，则，所以，故选：C.知识点3：二倍角的正切公式二倍角公式：tan2注意：正切公式更多的会跟正余弦结合在一起考察，通过齐次化化简构造正切。（25-26高三上�广东清远�月考）已知，，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用同角公式及二倍角的正切公式计算得解.【详解】由，，得，所以.故选：A二倍角的正弦公式（25-26高三上�广东�月考）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角三角函数的关系，化简可得的值，进而可得的值，根据二倍角公式，结合两角差的正弦公式，化简计算，即可得答案.【详解】因为，所以，整理为，则，又，则，所以，所以，所以.故选：D.（25-26高三上�河北邯郸�月考）设，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，切化弦并结合二倍角的正弦公式求出，再利用同角公式及和角的正弦公式求解.【详解】依题意，，解得，由，得，则，所以．故选：B（25-26高二上�云南大理�月考）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式进行转化，再利用“齐次式”即可求解.【详解】，又，代入得.故选：A.（2025高三上�甘肃兰州�专题练习）已知且，则＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用二倍角公式求的三角函数，在根据，结合两角和与差的三角函数公式求值.【详解】因为，所以，又，所以.所以，.所以.故选：D二倍角的余弦公式（25-26高一上·福建莆田·月考）已知为任意角，则“”，是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据必要不充分条件的定义，即可得到答案；【详解】，推不出，反之，，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.（2025高三上�福建厦门�专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角和差的余弦公式及二倍角公式求值即可.【详解】由，可得，.所以.所以.故选：D（25-26高一上�江苏无锡�月考）已知，则．【答案】/【分析】令，即，，代入利用二倍角公式即可求解.【详解】令，即，，，故答案为：.（2025高三上�湖南常德�专题练习）已知角满足，则的值为．【答案】【分析】借助三角恒等变换公式与同角三角函数基本关系化简可得的值，进而求解即可.【详解】由，则，即，则，解得或（舍去），故．故答案为：.二倍角的正切公式（25-26高三上�山东济宁�期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先应用两角和差余弦公式计算化简得出，最后应用二倍角正切公式计算求解.【详解】因为，所以，所以，所以，则.故选：D.（25-26高三上�重庆�月考）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可对化简求得，再利用二倍角的正切公式从而可求解.【详解】因为，则，所以，则，所以，故A正确.故选：A.（2025高三�全国�专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C．0 D．或0【答案】D【分析】利用所给方程得出，分类讨论即可求出的值【详解】因为，则，若，可得，，即；若，可得，即，所以，综上所述，的值为或0.故选：D.（25-26高三上�湖北武汉�月考）已知，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数关系得出，再利用倍角公式计算，最后利用诱导公式计算.【详解】因为，所以，又，则，，则，所以.故选：B二倍角公式综合（2025�江西新余�模拟预测）已知，则．【答案】【分析】根据题意，化简求解可得，由诱导公式及二倍角公式化简，再利用齐次式求解即可.【详解】因为，则，即，显然，可得，整理得，解得或，又因为，可得，所以．故答案为：.（多选）（25-26高一上·吉林·期末）已知，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】将平方，根据题意结合同角的三角函数关系以及正弦二倍角公式可求，判断AB；求出的值后，结合余弦的二倍角公式可求，判断CD.【详解】由题意知，且，则即，故，所以，故A错误，B正确；又，结合，所以，，所以，所以，故C正确，D错误．故选：BC．（2025�安徽�模拟预测）已知角满足，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】应用二倍角公式化简条件得到，再对目标式进行化简并代入求解即可.【详解】由题意得，则，解得，所以，，所以，故选：B.（25-26高三上�重庆�月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及差角的余弦公式化简即得.【详解】由，得，则，两边平方得，所以.故选：D利用二倍角公式化简求值（2025高一上·全国·专题练习）化简：．【答案】【分析】利用三角函数的二倍角公式求解.【详解】因为.所以，，，，当时，原式无意义；当，即，即，即，时，原式=，，，.（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，．(1)若，求；(2)若，求，．【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）由题设得，应用正余弦和差角公式求函数值；（2）由已知及和差角正余弦公式化简得，再由二倍角正弦及平方关系得、，即可求值.【详解】（1）由于，所以，则；（2）由，即，即，化简得，故，又，则，故，则.（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）已知.(1)化简；(2)若，且，求的值；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据诱导公式和二倍角公式化简即可；（2）由题设可得，进而求得，再结合求解即可；（3）结合诱导公式代值计算即可.【详解】（1）.（2）由（1）知，则，因为，所以，则.（3）由，，则.（24-25高一下·内蒙古包头·月考）化简与求值(1)化简，其中；(2)求值：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角的余弦公式，结合角的范围化简即可；（2）根据平方关系及诱导公式化简即可.【详解】（1）由，可得，，所以，由，可知，得原式；（2）．利用二倍角公式化简求证（24-25高一下·福建宁德·月考）已知函数．(1)求的定义域；(2)求证：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）直接根据正切函数的性质求定义域；（2）利用三角函数公式变形证明即可.【详解】（1）令，得，即的定义域为；（2）因为左边，且，，且，所以.（2025高一·全国·专题练习）求证：．【答案】证明见解析【分析】借助同角三角函数基本关系及降幂公式可得，借助同角三角函数基本关系可得，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系可得，即可得证.【详解】；由，则；又，故．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）求证：(1).(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角函数的倍角公式对分子、分母分别化简约分，即可证明；（2）将等式右边进行通分后，利用同角三角函数的平方关系及完全平方公式即可证明.【详解】（1）证明：左边==右边.（2）证明：右边==左边.（24-25高一下·上海闵行·月考）求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式证明即可；（2）结合同角三角函数的基本关系及二倍角公式求证即可.【详解】（1）.（2）.一、单选题1．（2026�广东茂名�一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算.【详解】依题意，，所以．故选：B．2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角公式，同角三角函数关系可得，据此可得答案.【详解】因，则..则.故选：C3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦函数二倍角公式，结合特殊角的正余弦函数值进行求解即可.【详解】由，因为，所以，所以由，因为，所以.故选：A4．（25-26高二上�河南许昌�月考）已知，且，则.【答案】【分析】根据诱导公式得到，再利用二倍角公式即可求出答案.【详解】由得，所以，.故答案为：.5．（25-26高一上·广东珠海·月考）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切的倍角公式计算.【详解】，则，得（负值舍去）.故选：C6．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可.【详解】由题意，因为，所以，所以.故选：A.二、填空题7．（25-26高三上·江苏扬州·月考）若，则【答案】/【分析】利用倍角公式整理可得，进而可求.【详解】因为，即，所以.故答案为：.三、解答题8．（25-26高一上·广东广州·月考）已知.(1)求与的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用及求出和的值，进而求解；（2）根据（1）中的结果，利用商数关系及计算求解.【详解】（1）若，则，，因为，代入可得，所以或（不符合题意舍去）代入计算可得，所以，（2）由（1）可得，因为，所以.9．（25-26高一上·河北邢台·月考）（1）已知.①求的值；②求的值.（2）求的值.【答案】（