2026高一数学寒假自学课（苏教版）12.1 复数的概念（解析版）

12.1复数的概念内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：复数的概念1、i叫虚数单位，满足i2=−1，当k∈2、形如a+bi(a, b∈R)的数叫复数，记作复数z=a+bi(a, b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；b=0⇔z∈R,Z点组成实轴；b≠0,z叫虚数；b≠0且3、复数的分类对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.复数z=a+bi可以分类如下：复数注意：虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件，之间关系。实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（

）A．2025 B． C．1121 D．1120【答案】D【分析】由虚部的概念即可求解.【详解】由可知，虚部为1120.故选：D知识点2：复数的模复数a+bi(a, b∈R)的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为|z|=|a+bi|=a（24-25高二下·广西崇左·期末）若复数的模为，则实数的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根据复数模长的定义，列出方程，求出参数值.【详解】由题意得，解得.故选：D.知识点3：复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案.【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得.故选：C.虚数单位i及其性质（25-26高三上·湖北·月考）（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据虚数单位i的性质求解，即得答案.【详解】.故选：C（24-25高一下·全国·课堂例题）的平方根是.()【答案】正确【分析】由虚数的平方的概念判断可得.【详解】因为，所以的平方根是，故正确.故答案为：正确（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则【答案】0【分析】根据的运算公式，即可求解.【详解】.故答案为：0（24-25高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（

）A．2，0，2； B．2，0，2；C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2.【答案】A【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可.【详解】由的乘方的周期性，当时，；当时，；当时，；当时，；综上，（为虚数单位）的所有可能值为，故选：A复数的基本概念（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可.【详解】设复数，则，，而复数为纯虚数，则，且，所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.故选：B.（24-25高一下·全国·课堂例题）若复数，则．()【答案】错误【分析】根据复数的概念可求得结果.【详解】复数包括实数和虚数，只有当两个复数都是实数时才能比较大小，但不一定都是实数，所以该说法错误.故答案为：错误.（24-25高一上·上海·课堂例题）若复数z满足，则.()【答案】错误【分析】举例说明判断即得.【详解】当时，满足，因此“若复数z满足，则”，错误.故答案为：错误（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数.【答案】【分析】首先设出复数的一般形式，再根据纯虚数的定义得到实部和虚部的方程，进而求解.【详解】复数为纯虚数，设，则，又都是纯虚数，，解得，.故答案为：.复数的实部与虚部（25-26高三上·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为.【答案】【分析】根据复数的概念，即可求解.【详解】由复数，可得复数的虚部为.故答案为：（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的虚部为（）A．i B．5i C．1 D．-5【答案】C【分析】根据复数乘法运算结合虚部定义求解.【详解】由于，则的虚部为；故选：C（25-26高三上·青海西宁·月考）若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由复数的概念可得.【详解】由题意得，的虚部是3．故选：D．（2026·山东·一模）复数的共轭复数的虚部是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为复数的共轭复数是，所以复数的虚部为.故选：C根据相等条件求参（2025高三·全国·专题练习）设，则是复数与复数相等的条件．【答案】必要不充分【分析】根据复数相等的定义得，即验证是否能推出复数与复数相等，反之，复数与复数相等是否能推出即可求解.【详解】由复数与复数相等有，所以复数与复数相等，反之，复数与复数相等，所以是复数与复数相等必要不充分条件，故答案为：必要不充分.（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，其中，，为虚数单位．求实数，的值．【答案】，．【分析】由复数相等的充要条件，得，求解即可．【详解】根据复数相等的充要条件，由，得，解得，即，．（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果.【详解】易知复数的实部为，虚部为；所以，解得.故选：B（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由题意得，解方程即可【详解】因为的实部与虚部相等，所以，解得，故选：C.已知复数类型求参（25-26高二上·广西贺州·月考）若复数为纯虚数，则（）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】C【分析】根据纯虚数的定义即可求解.【详解】由纯虚数的定义可知，解得.故选：C（2025高二上·辽宁营口·学业考试）若复数是纯虚数，则实数（

）A．2或3 B．3 C．2 D．0【答案】C【分析】根据纯虚数的概念即可求解.【详解】由题意，得，解得.故选：C.（2025高三上·河南洛阳·专题练习）若复数为纯虚数，则（

）A．2 B．1 C．0 D．1或2【答案】B【分析】由纯虚数的概念即可求解.【详解】由题意可得：，解得：故选：B（2025高三上·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为复数是实数，则，解得.故选：C.求复数的模（2026·黑龙江大庆·二模）已知复数，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】由模长公式求解即可.【详解】复数满足，则.故选：B.（2025·四川凉山·一模）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.【详解】依题意得，故.故选：C.（25-26高三上·河南·月考）已知为实数，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据复数的分类，结合复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为为实数，所以，解得，则，故选：B（2025·上海徐汇·一模）设复数（其中为虚数单位），则．【答案】【分析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】复数（其中为虚数单位），所以；故答案为：由复数模求参（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的模计算公式解得答案.【详解】因为，所以，化简得，解得.故选：B.（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】依题意，，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A（2024·四川德阳·模拟预测）若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由复数的运算结合模长公式求出，再由充分必要条件定义判断.【详解】由得，，解得或.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式.【详解】则解得故答案为：与复数有关的问题综合（多选）（24-25高二下·广东汕尾·期末）设复数z满足，则以下结论正确的是（

）．A．z在复平面上对应的轨迹是圆B．的最大值为2C．的最小值为0D．复数z的虚部取值范围是【答案】ABC【分析】利用复数的模的几何意义，可判断A，应用不等式的性质判断B，C，把点的坐标代入，特殊值法可判断D.【详解】设（为虚数单位），则表示点与之间的距离.对于A，z在复平面上对应的轨迹是以为圆心以1为半径的圆，故A正确；对于B，，当时即可取最大值，故B正确；对于C，，当时即可取最小值，故C正确；对于D，因为，则符合题意，故D错误.故选：ABC.（多选）（24-25高一下·湖南长沙·期中）关于复数z，下面是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．若，则【答案】BD【分析】对于AC，通过举特特例可判断选项正误；对于BD，设，由题意结合复数模计算公式可判断选项正误.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，设，由题可得，则.故B正确；对于C，当时，，故C错误；对于D，设，则，故D正确.故选：BD（多选）（24-25高一下·广东·月考）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（

）A．若，则 B．若．则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B.【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；对于B，设，由，得，则，因此，，B正确；对于C，取，满足，而，，C错误；对于D，由，得都是实数，因此，D正确.故选：BD（多选）（24-25高一下·江西赣州·月考）以下命题中，正确的有（

）A．若向量，满足，则B．若复数，满足，则C．若向量，满足，则D．若复数，满足，则【答案】ACD【分析】根据向量数量积的运算律以及复数四则运算法则进行计算，可得答案.【详解】对于A，由，则，即，解得，故A正确；对于B，设，，则，，由，则，化简可得，，故B错误；对于C，由，则，故C正确；对于D，设，，由，则，可得，即，无论哪种情况都可得，故D正确.故选：ACD.1．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数.【答案】【分析】借助纯虚数定义列不等式组计算即得.【详解】由题意可得，解得.故答案为：.2．（24-25高一下·重庆·月考）若为实数，是纯虚数，则复数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的概念得出的值即可.【详解】为实数，则，是纯虚数，则，则故选：D3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若复数，则、一定都是实数.()【答案】正确【分析】根据复数的概念即可判断.【详解】两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等.故判断为：正确.4．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可.【详解】表示以为圆心，为半径的圆，则圆心C到点的距离，则的最大值为.故选：A5．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据复数的几何意义求得正确答案.【详解】设，对应点，依题意，，表示与的距离为，所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示，，表示到原点的距离的平方，由图可知，其最小值为.故选：A6．（25-26高二上·上海·月考）已知，且是实数，则复数.【答案】【分析】根据题意设，再根据模长公式得到关于的方程，解出即可.【详解】∵是实数，∴复数的虚