专题六　微拓展2　蒙日圆与阿基米德三角形 -大二轮数学专题复习

微拓展2蒙日圆与阿基米德三角形[考情分析]在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及蒙日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.考点一蒙日圆在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，例1(1)已知椭圆M的方程为x24+y2=1，过平面内椭圆M外的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为(A.x2+y2=5 B.x2+y2=4C.x2+y2=3 D.x2+y2=5答案A解析设点P(x0，y0)，当切线斜率存在且不为0时，x0≠±2，y0≠±1，设切线方程为y-y0=k(x-x0)，联立x消去y得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0，则Δ=64k2(y0-kx0)2-4×(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0，即(4-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0，两切线垂直，故其斜率之积为-1，则由根与系数的关系知1-y02当切线斜率不存在或为0时，此时点P坐标为(2，1)，(-2，1)，(-2，-1)，(2，-1)，满足方程x02+y02=5，故所求轨迹方程为x2(2)(多选)已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4，离心率为e=12，P为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是(A.过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，则有PA⊥PBB.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，则kOP·kAB=-4C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S△APB的取值范围为9D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则S△AOB的最大值为3答案ACD解析由题意知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4故a=2，ca=1所以c=1，b2=a2-c2=3，则椭圆方程为x24+y23=1，“蒙日圆”的方程为x2对于A，由蒙日圆的定义知PA⊥PB，A正确；对于B，设A(x2，y2)，B(x3，y3)，则PA的方程为x2x4+PB的方程为x3x4+两切线过点P(x1，y1)，故x2x14+y2y1即点A，B在直线xx14+yy1故直线AB的方程为xx14+yy13=1，而kOP=y1x1，故kOP·kAB=-3对于C，由于直线AB的方程为xx14+yy13=1，得(3x12+4y12)x2-24x1xΔ=(24x1)2-4(3x12+4y12=64y12(3x12+4y则x2+x3=24xx2x3=48-16y故|AB|=1+kAB=1+9x=29又点P到直线AB的距离d1=|3故S△APB=12|AB|d=9x1=(3x又x12+y12=7，故令t=3x12+4y12则S△APB=t3t2令f(t)=1t+12t3，显然f(t)在[3，4故y=11t+12t3在[则(S△APB)min=1f(3)=(S△APB)max=1f(4)=即S△APB的取值范围为97，16对于D，由C的分析可知|AB|=29而点O到直线AB的距离d2=|-12故S△AOB=12|AB|d=9x1=123又x12+y故令t=3x12+4y12-12=y1则S△AOB=12tt2而t+12t≥212=43，当且仅当t=12t，即t=23∈[3，4]时，故S△AOB=12t+12t≤1243=3，即S[规律方法](1)设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.性质1PA⊥PB.性质2kOP·kAB=-b2性质3kOA·kPA=-b2a2，kOB·kPB=-b2性质4PO平分椭圆的切点弦AB.性质5延长PA，PB分别交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.性质6S△AOB的最大值为ab2，S△AOB的最小值为a性质7S△APB的最大值为a4a2+b2，(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当(3)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=-p2(可以看作半径无穷大的圆)跟踪演练1(多选)已知椭圆C：x25+y24=1，O为原点，A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9B.过直线l：x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线OP的斜率为-4C.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦MND.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，且O，P到MN的距离分别为d1，d2，则d1d2=20答案ACD解析对于A，椭圆C：x25+y24=1的蒙日圆方程为x2+y2对于B，依题意，点P是直线l与蒙日圆的交点，则x解得P-95，125或P(直线OP的斜率为-43或0，B对于C，设P点坐标为(x0，y0)，直线OP斜率kOP=y0由切点弦公式得到MN的方程为x0xa2+y0yb2=1，kMN=-b由点差法可知，PO平分MN，C正确；对于D，设P(a2+b2cosθ，a2则直线MN的方程为xb2a2+b2cosθ+ya2a2+b2sin则原点O到直线MN的距离d1=a2则点P到直线MN的距离d2=|=a=a4故d1d2=a2b2a2+考点二阿基米德三角形抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.例2(1)过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为.

答案x0x=p(y+y0)解析y=x22p，y'=xp，由导数的几何意义得所求切线的斜率∴所求的切线方程为y-y0=x0p(x-x0即x0x=x02+py-py0，又x02∴过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=p(y+y0).(2)(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是()A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p答案ABC解析对于A，由蒙日圆的定义知A正确；对于B，过A的切线方程为y1y=p(x+x1)，过B的切线方程为y2y=p(x+x2)，联立方程，y12=2px1,y∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；对于C，设Q(x0，y0)，则直线AB的方程为y0y=p(x+x0)，又直线AB经过焦点Fp2∴0=pp2+x0，∴x0=-对于D，若底边AB过焦点，则Q点的轨迹方程是x=-p2，易验证kQA·kQB=-1，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，∴|QM|=x1+x22+p2=y12+y224p+p2≥2∴S△QAB=12|QM||y1-y2|≥|QM|·|y1y2|≥p2，当且仅当y1=-∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.[规律方法](1)阿基米德三角形的常见性质性质1阿基米德三角形底边上的中线MQ平行(或重合)于抛物线的对称轴.性质2若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线.性质3抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.性质5底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p2.(2)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质.(3)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.跟踪演练2若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点，若直线l方程为ax+by+c=0，则定点的坐标为.

答案c解析任取直线l：ax+by+c=0上的一点Q(x0，y0)，则有ax0+by0+c=0，即y0=-abx0-cb，过点Q作抛物线y2=2px的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在的直线方程为y0y=p(x0+x)，把①式代入可得-abx0-cby=p即-aby-px0=令-aby-p=0且px+cby可得弦AB所在的直线过定点ca1.已知☉O：x2+y2=1，若在直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的☉O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为()A.[1，+∞) B.(1，+∞)C.[2，+∞) D.(2，+∞)答案A解析由题分析可知☉O的蒙日圆方程为x2+y2=2，即点P的轨迹方程为x2+y2=2，又点P在直线y=kx+2上，所以直线y=kx+2与圆x2+y2=2必有交点，即|2|k+1≤2.已知双曲线x2a2-y24=1(a>1)上存在一点M，过点M向圆x2+y2=1作两条切线MA，MB，若MA·MB=0，则实数A.(1，2) B.(1，2]C.[2，+∞) D.(2，+∞)答案B解析双曲线x2a2-y24=1(a>1)上存在一点M，过点M向圆x2+y2=1若MA·MB=0，可知MAOB是正方形，MO=2，所以双曲线的实半轴长的最大值为2，所以a的取值范围是(1，2].3.若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0 B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0 D.2x-y-2=0答案A解析设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x=-1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2=4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，因为点P的纵坐标为4，所以点P(-1，4)，所以直线PF的斜率为4-0-1-1又因为PF⊥AB，所以直线AB的斜率为12所以直线AB的方程为y-0=12(x-1)，即x-2y4.(2024·六安模拟)在圆(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上存在点P，使得过点P能作椭圆x2+y23=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是(A.[1，7] B.[1，9]C.[3，7] D.[3，9]答案C解析根据题意可知椭圆x2+y23=1的蒙日圆方程为x2+y2=4，圆心为原点，半径为圆(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)的圆心为(4，3)，半径为r，则圆(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)与x2+y2=4必有交点才符合题意，即两圆圆心距d=(4-0)2则|r-2|≤d≤|r+2|，故r的取值范围是[3，7].5.(多选)若椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆为C：x2+y2=32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，A.椭圆Γ的离心率为2B.△MPQ面积的最大值为32aC.M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2-2)aD.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2=-1答案ABD解析由蒙日圆的定义可知a2+b2=32a2，得a2=2b2所以椭圆Γ的离心率e=ca=1-b2a2=因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ=90°，所以PQ为圆C的直径，所以|PQ|=2×32a2=所以△MPQ面积的最大值为12|PQ|×32a2=6a2×32a2设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F(-c，0)，因为c2=a2-b2=12a2所以|MF|2=(x0+c)2+y02=x02+y02+2x0c+c2=32a2+2x0×22a+12a2=2a2+2ax0，又-所以(2-3)a2≤|MF|2≤(2+3)a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为(6-2)由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(-x1，-y1)，k1=y1-y2x1又x所以x12-x所以y12-y22x所以k1k2=-12，故D正确6.(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形.抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为()A.若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB=90°B.点P的坐标是xC.△PAB的边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0D.△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)答案ACD解析由题意设Ax1，x122p，Bx由x2=2py，得y=x22p，则y'所以kPA=x1p，kPB=若弦AB过焦点，设AB所在直线为y=kx+p2，联立x2=2py，得x2-2pkx-p2=0则x1x2=-p2，所以kPA·kPB=-p2所以PA⊥PB，故A正确；以点A为切点的切线方程为y-x122p=x1p(x-x1)，以点B为切点的切线方程为y-x222联立消去y得x=x1将x=x1+x22代入y-x122p得y=x1所以Px1+x2设直线AB的斜率为k=y2-y1x故直线AB的方程为y-x122p=x1+x化简得(x1+x2)x-2py-x1x2=0，故C正确；设N为抛物线弦AB的中点，N的横坐标为xN=x1+x22，因此直线PN平行于y轴(或与y轴重合)7.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>b>0)的离心率为62，若过点E(-1，0)的双曲线C的两条切线互相垂直答案x22-y解析由蒙日圆的定义得点E的轨迹方程为x2+y2=a2-b2，点E在圆x2+y2=a2-b2上，则a2-b2=1，因为e=1+b2a2=62，所以a2故其标准方程为x22-y8.过抛物线y2=8x(p>0)的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，则△PAB的面积的最小值为.

答案16解析由题意知三角形为阿基米德三角形，根据性质可知三角形面积的最小值为16.9.如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2=2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.(1)若AP⊥PB，证明：直线AB经过点0，(2)若分别记△PMN，△ABQ的面积为S1，S2，求S1S(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx+b，由x消去y并整理得x2-2pkx-2pb=0，有x1x2=-2pb，令抛物线C：x2=2py在点A处的切线方程为y-y1=t(x-x1)，由y消去y并整理得x2-2ptx+2ptx1-2py1=0，则有Δ=4p2t2-4(2ptx1-2py1)=4p2t2-4(2ptx1-x12)=0，解得t=同理，抛物线C：x2=2py在点B处的切线斜率为x2因为AP⊥PB，则有x1p·x2p解得b=p2所以直线AB：y=kx+p2恒过定点0(2)解由(1)知，切线PA的方程为y-y1=x1p(x-x1整理得y=x1px-y同理切线PB的方程为y=x2px-y设点Q(x0，y0)，则切线MN的方程为y=x0px-y而点P(m，n)，即有n=x1pm-y1，n=x2pm因此直线AB的方程为y=mpx-n有|AB|=1+mp2|x1-x点Q(x0，y0)到直线AB的距离d2=mp则S2=12|x1-x2|m由py解得点M的横坐标xM=x0同理点N的横坐标xN=x0有|MN|=1+x0p2|x1-x2|2，点P(则S1=14|x1-x2|m所以S1S210.已知圆O：x2+y2=5，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆的两条切线与椭圆相切于A，B两点.①若直线PA的斜率为2，求直线PB的