专题五　微专题2　随机变量及其分布 -大二轮数学专题复习

微专题2随机变量及其分布[考情分析]离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.考点一分布列性质及应用离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(1)pi≥0，i=1，2，…，n.(2)p1+p2+…+pn=1.(3)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn.(4)D(X)=x1-E(X)2p1+x2-(5)若Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X).例1(1)(2024·廊坊模拟)已知X的分布列如表所示，且Y=aX+b，E(Y)=56，则D(Y)的值为(X-101Pa11A.1 B.518C.59 D.答案D解析由a+13+16=1可得a所以E(X)=-1×12+0×13+1×1D(X)=-1+132×12+0+132×所以D(Y)=a2D(X)=14×59=(2)(多选)已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为X123Pabc下列选项正确的是()A.b=14 B.a+c=C.43<E(X)<83 D.D(X)答案BCD解析对于AB，由a得b=13,a对于C，由a+c=23，a>0，c>0，得0<c则E(X)=a+2b+3c=2c+43∈43对于D，D(X)=a1-2c+43=23-c2c=-4c2+83c+=-4c-1当c=13时，D(X)取得最大值，且最大值为23，[规律方法]分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.跟踪演练1(1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=23，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=3C.D(X)=29 D.D(3X+2)答案ABC解析随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=23，所以P(X=1)所以E(X)=13，D(X)=对于A，P(X=1)=E(X)，故A正确；对于B，E(3X+2)=3E(X)+2=3，故B正确；对于C，D(X)=29，故对于D，D(3X+2)=9D(X)=9×29=2，故D不正确(2)随机变量X的分布列如表所示，则D(bX)的最大值为()X123Pa2baA.29 B.1C.227 D.答案D解析由题可知2a+2b=1，0≤a≤1，0≤2b≤1，所以a+b=12，0≤bE(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2，D(X)=(1-2)2a+(3-2)2a=2a，则D(bX)=b2D(X)=2ab2=-2b3+b2，令f(b)=-2b3+b2，则f'(b)=-6b2+2b=-2b(3b-1)，则f(b)在0，13上单调递增，在13，12上单调递减，所以f(b所以D(bX)的最大值为127考点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，E(X)=np，D(X)=np(1-p).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n考向1相互独立事件例2(多选)(2024·昆明模拟)在一个有限样本空间中，事件A，B，C发生的概率满足P(A)=P(B)=P(C)=13，P(A∪B)=59，A与C互斥，A.P(AC)=1B.A与B相互独立C.P(ABC)=1D.P(A∪B∪C)≤8答案ABD解析A选项，A与C互斥，故A∩C=⌀，P(AC)=0，则C包含事件A，故P(AC)=P(A)=13，B选项，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，即13+13-P(A∩B)=59，故P(A∩故P(A∩B)=P(A)P(B)，A与B相互独立，B正确；C选项，A与C互斥，故AB与C互斥，故P(ABC)=P[(AB)∩C]=0，C错误；D选项，P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=13+13+13-13×13-P(BC)=89因为P(BC)≥0，故P(A∪B∪C)=89-P(BC)≤89，考向2超几何分布例3(2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.解(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因为20×25%=5，所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为73+772=75(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.所以X的所有可能取值为1，2，3，P(X=1)=C22CP(X=2)=C21CP(X=3)=C20所以X的分布列为X123P331数学期望E(X)=1×310+2×35+3×110考向3二项分布例4(2024·无锡模拟)我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.解(1)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=153P(X=1)=C31×45×P(X=2)=C32×452P(X=3)=453=∴X的分布列为X0123P1124864∵X~B3∴E(X)=3×45=12(2)击中一次火被扑灭的概率P1=C31×451×1击中两次火被扑灭的概率P2=C32×452×1击中三次火被扑灭的概率P3=453∴所求概率P=6125+32125+64125[规律方法]求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.跟踪演练2某市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？解(1)由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，所求概率P=C42C21(2)设甲公司答对的题数为X，则X的可能取值为1，2，3，P(X=1)=C41P(X=2)=C42P(X=3)=C43则X的分布列为X123P131所以E(X)=1×15+2×35+3×1D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15设乙公司答对的题数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，P(Y=0)=C30×230P(Y=1)=C31×231P(Y=2)=C32×232P(Y=3)=C33×233则Y的分布列为Y0123P1248所以E(Y)=3×23=2D(Y)=3×23×1-2由于E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲公司竞标成功的可能性更大.考点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x=μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.例5(1)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则((若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8答案BC解析依题可知，x=2.1，s2=0.01所以Y~N(2.1，0.12)，故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.8413，所以C正确，D错误；因为X~N(1.8，0.12)，所以P(X<1.8+0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.8413=0.1587，而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.1587，所以B正确，A错误.(2)已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：甲：P(ξ>a+1)>P(ξ>a+2)；乙：P(ξ≤a)=0.5；丙：P(ξ>a+1)=P(ξ<a-1)；丁：P(a-1<ξ<3+a)<P(a<ξ<4+a).若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案D解析对于甲，a取任何值，都有P(ξ>a+1)>P(ξ>a+2)，所以甲为真命题；对于乙，若P(ξ≤a)=0.5，则该正态分布的均值μ=a；对于丙，若P(ξ>a+1)=P(ξ<a-1)，则该正态分布的均值μ=(a+1)+(a乙和丙至少有一个真命题，又因为乙和丙等价，所以乙和丙都是真命题；对于丁，P(a<ξ<4+a)=P(a<ξ<3+a)+P(3+a<ξ<4+a)=P(a<ξ<3+a)+P(a-4<ξ<a-3)<P(a<ξ<3+a)+P(a-1<ξ<a)=P(a-1<ξ<3+a)，所以丁为假命题.[规律方法]利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：(1)对任意的a，有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0).(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).跟踪演练3(2024·洛阳模拟)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为x=110.据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差s；(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的x和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X-10，试估计这20000名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数.注：6≈2.4；若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.解(1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-110)2×0.22+(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08+(140-110)2×0.02=150.故估计这20000名考生数学成绩的方差为150，标准差s=150=56≈5×2.4=12.(2)由(1)知μ可用x=110来估计，σ可用s来估计.故X~N(110，122).又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=P≈0.9545-0.68272=0.1359故P(122≤X≤134)≈0.1359.又Y=5X-10，所以P(600≤Y≤660)=P(600≤5X-10≤660)=P(122≤X≤134)≈0.1359.故这20000名考生中成绩在[600，660]的人数约为20000×0.1359=2718.专题强化练(分值：90分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是()A.8 B.10 C.12 D.14答案C解析选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.2.(2024·三明模拟)下列说法正确的是()A.随机变量X~B(3，0.2)，则P(X=2)=0.032B.若随机变量X~N(3，σ2)，P(X>2)=0.62，则P(3<X<4)=0.24C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D.从除颜色外完全相同的10个红球和20个白球中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布答案D解析对于选项A，P(X=2)=C32×0.22×(1-0.2)=0.096，故对于选项B，P(X≥4)=P(X≤2)=1-P(X>2)=0.38，所以P(3<X<4)=0.5-P(X≥4)=0.12，故B错误；对于选项C，至少有一个黑球包含的样本点有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的样本点有“一黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故C错误；对于选项D，设摸出红球的个数为k，则P(X=k)=C10kC205-kC305(k=0，1，2，3，4，3.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为13，比赛采取三局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为(A.527 B.7C.29 D.答案B解析分三种情况：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为13×13=②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为1-13×13×1③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为13×1-13×1故甲获胜的概率为19+227+2274.(2024·金华模拟)某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩服从正态分布N(95，122).如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为(参考数据：P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.95)()A.A B.B C.C D.D答案B解析数学测试成绩服从正态分布N(95，122)，则μ=95，σ=12，由于A，D等级的概率之和为16%+16%=32%≈1-P(μ-σ<X<μ+σ)，所以P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ)=1-P(X-μ≤σ)2≈0.16⇒P(X<83)=而P(μ-σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ)≈0.34，即P(83<X<95)=P(95<X<107)≈0.34，故X>107为A等级，95<X<107为B等级，83<X<95为C等级，X<83为D等级，故99分为B等级.5.已知随机变量ξ的分布列如表所示，若D(ξ+1)=59，则E(ξ+1)等于(ξ-101Pa1cA.23 B.4C.23或43 D.-2答案C解析由题意可得a+13+c=1，即c=23-则E(ξ)=-1×a+0×13+1×c=c-a=23-2则D(ξ)=a23-2a+12+1323-2a化简得-4a2+83a+29即12a2-8a+1=(2a-1)(6a-1)=0，解得a=12或a=则E(ξ)=-13或E(ξ)=则E(ξ+1)=E(ξ)+1=-13+1=23或Eξ+1=E(ξ)+1=16.[柯西分布]柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为X~C(γ，x0)，其中当γ=1，x0=0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)=1π(1+x2).已知X~C(1，0)，PX≤33=13，P33<X≤1=A.16 B.2C.14 D.答案D解析函数f(x)=1π(1+x2)由PX≤33=P0≤X且P33<则P(X>1)=12-16-1所以P(|X|≤1)=1-2×14=1二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=.例如，若a1=a3=a5=1，a2=a4=0，则A=10101.其中二进制数A的各位数中，已知a1=1，ak(k=2，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X=a1+a2+a3+a4+a5，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是A.P(X=4)=881 B.P(X=3)=C.E(X)=83 D.D(X)=答案BD解析由题意，计算器启动一次，随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，则P(X=1)=C40P(X=2)=C4123P(X=3)=C42232×P(X=4)=C4323P(X=5)=C44∴E(X)=1×181+2×881+3×827+4×3281D(X)=12×181+22×881+32×827+42×3281+52×1681综上，A，C错误；B，D正确.8.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p<1)，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则()A.乙3∶0赢甲的概率是(1-p)3B.P(X=4)=4p3(1-p)+4p(1-p)3C.P(X=5)=6p2(1-p)2D.P(X=5)的最大值是3答案ACD解析对于选项A，因为每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p<1)，且每局比赛的胜负互不影响，所以乙3∶0赢甲的概率是(1-p)3，故选项A正确；对于选项B，因为X=4，当乙3∶1赢甲时，概率为C31p(1-p)3=3p(1-p)当甲3∶1赢乙时，概率为C31p3(1-p)=3p3(1-p所以P(X=4)=3p3(1-p)+3p(1-p)3，故选项B错误；对于选项C，因为X=5，所以前4局比赛，甲、乙各赢2局，得到P(X=5)=C42p2(1-p)2=6p2(1-p)2，所以选项对于选项D，由选项C知P(X=5)=6p2(1-p)2，令y=6p2(1-p)2，则y'=12p(1-p)2-12p2(1-p)=12p(1-p)(1-2p)，又0≤p<1，当0≤p<12时，y'>0当12<p<1时，y'<0即y=6p2(1-p)2在区间0，12上单调递增，在区间所以ymax=6×1221-122三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2024·南通模拟)已知随机变量X~N(4，42).若P(X<3)=0.3，则P(3≤X≤5)=，若Y=2X+1，则Y的方差为.

答案0.464解析由题意可知μ=4，σ=4，即D(X)=16，所以D(Y)=4D(X)=64；因为P(X<3)=0.3，所以P(3≤X≤5)=1-2P(X<3)=0.4.10.(2024·衡阳模拟)已知有A，B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是.

答案77解析若两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜.若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为12×25第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒中有4个黑球和2个白球，第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为25×26+35×此时B盒中恰有7个球的概率为15×815=若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为12×35第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒中有3个黑球和3个白球，第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为35×36+25×此时B盒中恰有7个球的概率为310×12=3所以B盒中恰有7个球的概率为875+320=四、解答题(共27分)11.(12分)(2024·萍乡模拟)定义两组数据ui，vi(i=1，2，…，n)的“斯皮尔曼系数”为变量ui在该组数据中的排名xi和变量vi在该组数据中的排名yi的样本相关系数，记为ρ，其中ρ=1-6n(n2-1)nΣi=1(某校15名学生的数学成绩的排名xi与知识竞赛成绩的排名yi如表：学生编号i123456789101112131415xi123456789101112131415yi153498761021214131115(1)试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；(5分)(2)已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有X人，试求X的分布列和数学期望.(7分)解(1)依题意，ρ=1-615×224×(9+16+4+4+1+64+1+4+9)=0.8所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.(2)依题意，X的值可能为0，1，2，3，P(X=0)=C53P(X=1)=C101P(X=2)=C102P(X=3)=C103则X的分布列为X0123P2204524所以X的数学期望为E(X)=1×2091+2×4591+3×2412.(15分)(2024·深圳模拟)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；(7分)(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A=“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B=“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知0<P(B)<1，证明：P(A|B)>P(A|B).(8分)(1)解设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，事件M=“混合放在一起的零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起的零件来自乙工厂”，事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，则P(M)=mm+n，P(P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%×mm+n+98%×解得3m=n.所以P(M)=mm+nX的可能取值为0，1，2，3，X~B3P(X=0)=C30P(X=1)=C31P(X=2)=C32P(X=3)=C331所以X的分布列为X0123P272791E(X)=3×14=3(2)证明由题意得P(B|A)>P(B|A)，即P(AB)因为P(A)>0，P(A)>0，所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).因为P(A)=1-P(A)，P(AB)=P(B)-P(AB)，所以P(AB)[1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A)，即得P(AB)>P(A)P(B)，所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B).即P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)].又因为1-P(B)=P(B)，P(A)-P(AB)=P(AB)，所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).因为0<P(B)<1，0<P(B)<1，所以P(AB)即P(A|B)>P(A|B)得证.13题6分，14题5分，共11分13.(多选)高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是