专题一　微专题2　基本初等函数、函数与方程 -大二轮数学专题复习

微专题2基本初等函数、函数与方程[考情分析]1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.考点一基本初等函数的运算、图象与性质指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y=x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同.例1(1)(2024·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=logax+1a的图象一定经过A.一、二象限 B.一、三象限C.二、四象限 D.三、四象限答案D解析当x=0时，y=loga1a=-1则当0<a<1时，函数图象过二、三、四象限；当a>1时，函数图象过一、三、四象限，所以函数y=logax+1(2)(2024·成都模拟)已知函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M.若(1，+∞)⊆MA.-B.0C.-∞，D.1答案B解析当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，符合题意；当a≠0时，因为函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M，且满足(1由指数函数的单调性可知，二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0，当a>0时，依题意有y=ax2-x+1的最小值4a-14a≤0，即0<当a<0时，不符合题意.综上，0≤a≤14[规律方法](1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围.(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.跟踪演练1(1)(2024·湖北宜荆荆随恩模拟)已知函数f(x)=log5(ax-2)在[1，+∞)上单调递增，则a的取值范围是()A.(1，+∞) B.[ln2，+∞)C.(2，+∞) D.[2，+∞)答案C解析若f(x)=log5(ax-2)在[1，+∞)上单调递增，则必然在x=1处有定义，所以a1-2>0，即a>2.若a>2，则当x≥1时，ax-2≥a-2>0，所以f(x)在[1，+∞)上有定义，再由a>2知ax-2在R上单调递增，所以f(x)在[1，+∞)上单调递增，故a的取值范围是(2，+∞).(2)(2024·全国甲卷)已知a>1，且1log8a-1loga4答案64解析由题知a>1，则log2a>0，1lo=3log2a-12整理得(log2a)2-5log2a-6=0，则log2a=-1(舍去)或log2a=6，所以log2a=6=log226，故a=26=64.考点二函数的零点判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f(x)=0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.考向1函数零点个数的判断例2(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=12xA.1 B.2 C.3 D.4答案C解析因为y=cos2x+π6向左平移π6个单位长度所得函数为y=cos2x+所以f(x)=-sin2x，而y=12x-12显然过0，-12与作出y=f(x)与y=12x-1考虑2x=-3π2，2x=3π2，即x=-3π4，x=3π4，x=7π4处f(x)与y=当x=-3π4时，f-3π4=-siny=12×-3π4-12当x=3π4时，f3π4=-sin3πy=12×3π4-12=当x=7π4时，f7π4=-sin7πy=12×7π4-12所以由图可知，f(x)的图象与直线y=12x-12考向2求参数的值或范围例3(2024·榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)4x3-m-1恰有3个零点，则答案(-1，0)∪(0，3)∪(3，4)解析令f(x)=(x2-4x+m)4x3得m=-x2+4x或m=4x令g(x)=-x2+4x，h(x)=4x3这两个函数图象的交点为(0，0)，(3，3)，因为g(x)max=4，h(x)>-1，所以由图可知m的取值范围是(-1，0)∪(0，3)∪(3，4).[规律方法]利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于()A.-1 B.12C.1 D.2答案D解析方法一令f(x)=g(x)，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cosx，原题意等价于当x∈(-1，1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(0)=G(0)，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F(x)=G(x)，可得2x2+1-cosx=0，因为x∈(-1，1)，则2x2≥0，1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意.方法二令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx，x∈(-1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)=a-2=0，解得a=2，若a=2，则h(x)=2x2+1-cosx，x∈(-1，1)，又因为2x2≥0，1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意.(2)(2024·茂名模拟)若f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，则函数g(x)=3|sinπx|-f(x)在区间[-1，5]内的所有零点的和是()A.20 B.18 C.16 D.14答案A解析若f(x)为R上的偶函数，则f(-x)=f(x)，且f(x)=f(4-x)，则f(-x)=f(4-x)，f(x)的周期T=4，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，则当x∈[-2，0)时，f(x)=12x-1，即可画出函数f(x函数y=3sinπx的周期是2，最大值为3，把函数y=3sinπx在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即可得到y=3|sinπx|的图象.由图可知y=f(x)与y=3|sinπx|的图象在区间[-1，5]内一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称，所以g(x)在区间[-1，5]内的所有零点的和是20.考点三函数模型及其应用例4(1)(2024·重庆模拟)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logbn+1n，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的倍(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)A.5.5 B.6 C.6.5 D.7答案C解析由题意，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logbn+1n，可得P10(1)=lgP10(9)=lg109=lg10-lg9=1-2lg3所以P10(1)P(2)(2024·德阳模拟)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系：y=eax+b(a，b为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过()A.14℃ B.15℃ C.13℃ D.16℃答案A解析依题意，则e14a=19，即e7a=13，设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃，于是eat+b≥96=3e21a+b=e-7a·e21a+b=e14a+b，解得at+b≥14a+b，因此t≤14，所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.[易错提醒]构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型.(2)构建的函数模型有误.(3)忽视函数模型中变量的实际意义.跟踪演练3在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”.用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)=W0e-tτ，其中τ是一个常数.把混响时间TR定义为声音的声强衰减到原来的10-6所需的时间，则TR约为(参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6A.6.7τ B.8.3τ C.13.8τ D.14.8τ答案C解析由题意，W(TR)=10-6W0，即e-TRτ=10-6，等号两边同时取自然对数得lne-即-TRτ=-6ln所以TR=τ×6ln10=τ×6×(ln2+ln5)≈13.8τ.专题强化练(分值：83分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.若幂函数y=f(x)的图象经过点(2，2)，则f(16)等于(A.2 B.2 C.4 D.12答案C解析设幂函数y=f(x)=xα，因为f(x)的图象经过点(2，2)所以2α=2，解得α=所以f(x)=x12，所以f(16)2.(2024·湖北新高考协作体模拟)已知函数f(x)=2x+2-x,x≤2,A.103 B.13C.356 D.答案A解析f(log212)=f(log212-1)=f(log26)=f(log26-1)=f(log23)=2log23+123.函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(A.(1，3) B.(1，2)C.(0，3) D.(0，2)答案C解析由题，显然函数f(x)=2x-2x-a的图象在区间(1，2)内连续，因为f(x)的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)f(2)<0，即(2-2-a)(4-1-a)<0，解得0<a4.(2024·绵阳模拟)已知函数y=xa，y=bx，y=logcx在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则()A.log12c<baB.log12c<sinb<C.sinb<ba<log1D.sinb<log12c<答案B解析因为y=xa的图象过点(1，1)，故由图象可得a<0，又y=bx的图象过点(0，1)，故由图象可得0<b<1，又y=logcx的图象过点(1，0)，故由图象可得c>1.故log12c<log0<sinb<1，ba>b0=1，故log12c<sinb<b5.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：ln2≈0.693，e0.462≈1.587)()A.1.587 B.1.442C.0.587 D.0.442答案C解析空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，设空间站运行周期为T，其圆轨道半径为R，则T2=kR3(k>0)，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为R1，则(2T)2=kR两式相比得4=R即ln4=lnR1R3，lnR故R1R≈e0.462故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587-1=0.587.6.(2024·温州模拟)已知函数f(x)=x2-2x+3,x>0,2x,x≤0,则关于A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析作出函数y=f(x)的图象，如图所示，将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0，2))与函数y=f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a=0时，直线y=2与函数y=f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有三个交点，所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有两个交点.7.(2024·广州模拟)已知a=32，3b=5，5c=8，则(A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a答案C解析由题意得b=log35，c=log58，因为a=32=log3332=log327>log35=b，所以a因为bc=lg5lg3×lg5lg8=(lg5)2lg3×lg8>(lg5)2lg3+lg822=4(lg5)2(lg248.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为()A.18 B.1C.12答案C解析方法一由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)，令x+a=0，解得x=-a；令ln(x+b)=0，解得x=1-b，若-a≤-b，当x∈(-b，1-b)时，可知x+a>0，ln(x+b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若-b<-a<1-b，当x∈(-a，1-b)时，可知x+a>0，ln(x+b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若-a=1-b，当x∈(-b，1-b)时，可知x+a<0，ln(x+b)<0，此时f(x)>0；当x∈[1-b，+∞)时，可知x+a≥0，ln(x+b)≥0，此时f(x)≥0，可知-a=1-b，符合题意；若-a>1-b，当x∈(1-b，-a)时，可知x+a<0，ln(x+b)>0，此时f(x)<0，不符合题意，综上所述，-a=1-b，即b=a+1，则a2+b2=a2+(a+1)2=2a+1当且仅当a=-12，b=所以a2+b2的最小值为12方法二由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)，令x+a=0，解得x=-a；令ln(x+b)=0，解得x=1-b，则当x∈(-b，1-b)时，ln(x+b)<0，若f(x)≥0，则x+a≤0，所以1-b+a≤0；当x∈(1-b，+∞)时，ln(x+b)>0，若f(x)≥0，则x+a≥0，所以1-b+a≥0；故1-b+a=0，即b=a+1，则a2+b2=a2+(a+1)2=2a+1当且仅当a=-12，b=所以a2+b2的最小值为12二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2024·重庆南开中学统考)若logab<0，则函数f(x)=ax+b与g(x)=logb(a-x)在同一坐标系内的大致图象可能是()答案BC解析因为logab<0=loga1，所以当0<a<1时，得b>1，所以y=ax在定义域上单调递减，且f(x)=ax+b>b>1，当x趋近于+∞时，f(x)趋近于b，函数g(x)=logb(a-x)的定义域为(-∞，a)，且由简单函数μ(x)=a-x，g(μ)=logbμ复合而成，由复合函数的单调性可知g(x)=logb(a-x)在定义域上单调递减，且当x趋近于a时，g(x)趋近于-∞，故B正确，D错误；当a>1时，得0<b<1，所以y=ax在定义域上单调递增，且f(x)=ax+b>b，当x趋近于-∞时，f(x)=ax+b无限趋近于b<1，此时g(x)=logb(a-x)在(-∞，a)上单调递增，且当x趋近于a时，g(x)趋近于+∞，故C正确，A错误.10.已知c>0，且2a=3b=5c，则()A.a>b>cB.ac<b2C.1a+1bD.若a+c=ac，则b=log310答案ACD解析设2a=3b=5c=k，因为c>0，所以k>1.对于A，易知a>b>c，选项A正确.对于C，因为a=log2k，b=log3k，c=log5k，所以1a=logk2，1b=logk3，1于是1a+1b=logk2+logk3=logk6>logk5=1c，对于D，若a+c=ac，则1a+1c=1，即logk2+logk5=logk10=1，则则b=log310，选项D正确.对于B，取k=3，则b2=1，由3log32=log38<2，知log32<23，由3log53=log527>2知，log5所以log32<log53，即log32·log35<1，0<1ac=log32·log35<1=此时ac>b2，选项B错误.11.(2024·河北省“五个一”名校联盟联考)已知函数f(x)=ex+2x-2，g(x)=2lnx+x-2的零点分别为x1，x2，则()A.2x1+x2=2 B.x1x2=ex1+lnC.x1+x2>43 D.2x1x2<答案ACD解析对于A，由题知ex1+2x1-2=0，2lnx2+x2所以ex1+2x1=2lnx2+x2=2，即ex1+2lnex1=2lnx所以ex1=x2，故2x1+x2=2x1+ex1对于B，由f(x)=0，g(x)=0得ex=-2x+2，lnx=-12x+1故函数y=ex与y=-2x+2的图象交点的横坐标和y=lnx与y=-12x+1的图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的零点x1，x2如图，由图象性质可知0<x1<12，1<x2又由A得ex1=x2，故x1=lnx所以x1x2=x1ex1<ex1<ex1+x1=ex对于C，由2lnx2+x2=2，x1=lnx2以及1<x2<2得，x1+x2=lnx2+x2=2lnx2+2x22=1+12x2对于D，由A，B得ex1=x2，0<x1<12，2x1所以2x1x2=2x1ex1=(2-ex1)ex1三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2024·开封模拟)已知alog94=1，则2-a=.

答案1解析由alog94=1可得4a=9，即(2a)2=9，2a=3，故2-a=1313.(2024·广州联考)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过天，甲的“日能力值”是乙的20倍.(参考数据：lg102≈2.0086，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)

答案100解析令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别(1+2%)n，(1-1%)n，依题意，(1+2%)n(1-1%)两边取对数得nlg10299=lg20因此n=1+lg2lg102-lg99≈1+0.30102.0086-1.9956所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)为偶函数，满足f(x-3)=f(x+1)，且当-2≤x≤0时，f(x)=33x-2，若关于x的方程f(x)-2loga(3x+1)=0有两个实数解，则a的值为答案49或1解析由f(x-3)=f(x+1)可得f(x)=f(x+4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，且f(x)=33x-2(-2≤x≤0)，故可作出函数f(x若关于x的方程f(x)-2loga(3x+1)=0有两个实数解，则y=f(x)与y=2loga(3x+1)的图象有两个交点，当a>1时，y=2loga(3x+1)的图象过点A(2，1)，所以1=2loga(3×2+1)，解得a=49；当0<a<1时，y=2loga(3x+1)的图象过点B(4，-1)，所以-1=2loga(3×4+1)，解得a=1综上所述，a的值为49或1169每小题5分，共10分15.[