8.1.2 第2课时 三角形的外角和 教学设计（华东师大版2024 七年级下册 新教材）

8.1.2第2课时三角形的外角和教学设计（华东师大版2024七年级下册新教材）教材分析本节课是华东师大版2024年新教材七年级下册8.1.2三角形相关性质的第2课时，承接上一课时三角形内角和定理及三角形外角的定义，是对三角形内角和知识的延伸与拓展，也是后续学习多边形内角和、圆的相关性质的重要铺垫。教材编排贴合2022年数学新课标要求，以“观察—探究—验证—应用”为主线，注重引导学生通过动手操作、合作交流，培养用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界的核心素养。教材内容兼顾基础性与层次性，既落实外角性质、外角和定理等基础知识的掌握，也设计了贴合学生生活的应用场景，让学生感受数学与现实生活的紧密联系，体现“数学源于生活、用于生活”的理念，契合七年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点。教学目标学习理解1.能准确复述三角形外角的定义，明确三角形外角与相邻内角、不相邻内角的位置关系；2.掌握三角形外角的两个核心性质，理解性质的推导过程，能结合图形清晰表述性质的具体含义；3.理解三角形外角和定理的内涵，掌握外角和为360°的推导方法，明确外角和与内角和之间的关联，夯实基础知识，建立三角形角的知识体系。应用实践1.能运用三角形外角的性质，快速求解三角形未知角的度数，解决简单的角度计算问题；2.能利用三角形外角和定理，验证相关角度关系，解决基础的几何说理问题；3.能结合生活中的三角形实物，识别其中的外角，运用所学知识分析简单的实际场景，实现知识的初步应用。迁移创新1.能综合运用三角形内角和定理、外角性质、外角和定理，解决复杂的角度计算与说理问题，构建完整的角的计算逻辑；2.能通过类比三角形外角和的推导方法，尝试探究多边形的外角和，培养类比推理、归纳总结的能力；3.能结合实际问题，灵活运用所学知识设计简单的角度测量方案，解决生活中的实际难题，体现数学的应用价值，提升创新意识与实践能力。教学重点与难点教学重点1.三角形外角的两个核心性质的理解与掌握；2.三角形外角和定理的推导过程与应用；3.运用外角性质及外角和定理解决简单的角度计算与说理问题，落实基础知识的应用。教学难点1.三角形外角性质的推导过程（结合三角形内角和定理进行逻辑推理）；2.三角形外角和定理的推导方法（多种方法验证，理解“转化”的数学思想）；3.综合运用内角和、外角性质、外角和定理解决复杂问题，突破知识的综合应用瓶颈，培养学生的逻辑推理能力。课堂导入（贴合学生生活，激发兴趣，衔接旧知，导入新知）上课伊始，展示生活中的三角形实物图片（自行车车架、三角尺、屋顶支架），引导学生观察：“同学们，我们之前已经认识了三角形的内角，知道三角形的内角和是180°。大家仔细观察这些实物中的三角形，除了我们熟悉的三个内角，在三角形的一边延长后，会出现一个新的角，这个角和三角形的内角有什么关系呢？”接着，在黑板上画出一个三角形，延长其中一条边，标出这个新角，提问：“这个角在三角形的外部，我们称之为三角形的外角。大家结合上节课所学的内角知识，猜一猜，这个外角和它相邻的内角有什么关系？和不相邻的两个内角又有什么联系呢？今天我们就一起来深入探究三角形的外角及其相关性质，解锁三角形角的新知识点。”（导入环节兼顾旧知回顾与新知疑问，引导学生用数学的眼光观察生活中的图形，激发探究欲望，同时明确本节课的学习重点，落实新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求。）探究新知（围绕3个核心知识点，分层探究，落实“教-学-评”一体化，讲解细致，贴合学生认知，拆分探究任务，注重逻辑衔接）探究一：三角形外角的定义（衔接旧知，明确概念）1.动手操作：让学生拿出草稿纸和铅笔，画出一个任意三角形ABC，延长边BC至点D，观察点D处形成的角∠ACD，引导学生对比三角形的内角，说说这个角的位置特点。2.小组交流：让学生以4人为一小组，讨论“什么样的角是三角形的外角”，结合自己画出的图形，总结外角的位置特征，教师巡视指导，倾听小组发言，及时纠正错误认知。3.总结定义：结合学生的发言，引导学生完善三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。同时，结合图形强调两个关键：①外角在三角形的外部；②外角的一边是三角形的一条边，另一边是三角形另一条边的延长线。4.即时评价：给出3个图形（其中1个是三角形外角，2个不是），让学生快速判断并说明理由，评价学生对定义的掌握情况，及时巩固概念，避免混淆。探究二：三角形外角的性质（核心知识点，推导为主，落实逻辑思维）1.观察猜想：结合刚才画出的三角形ABC，延长BC至D，得到外角∠ACD，引导学生观察∠ACD与相邻的内角∠ACB的关系，提问：“∠ACD和∠ACB放在一起，组成了一个什么角？它们的和是多少度？”（学生不难发现是平角，和为180°），进而得出猜想1：三角形的一个外角与它相邻的内角互补（和为180°）。2.验证猜想：引导学生结合平角的定义（平角为180°），以及三角形内角的位置关系，自主验证猜想1，教师巡视，对有困难的学生进行引导，明确“∠ACD+∠ACB=180°”的推导依据（平角的定义）。3.进一步猜想：提问：“∠ACD除了和相邻的∠ACB互补，和不相邻的∠A、∠B有什么关系呢？大家可以用量角器测量一下自己画出的三角形的∠A、∠B和∠ACD的度数，看看能发现什么规律。”4.小组探究：学生分组测量、记录数据，小组内交流数据，总结规律，提出猜想2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。5.逻辑推导：引导学生结合三角形内角和定理（∠A+∠B+∠ACB=180°）和猜想1（∠ACD+∠ACB=180°），通过等式性质，推导得出猜想2的正确性：因为∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=∠A+∠B。推导过程中，强调“转化”的数学思想，让学生明白外角性质是基于内角和定理推导而来，培养学生的逻辑推理能力（落实新课标“用数学的思维思考现实世界”）。6.性质总结：引导学生自主总结三角形外角的两个性质，教师补充完善，用简洁的语言和图形结合的方式，让学生明确性质的内涵，同时强调“不相邻”三个字的重要性，避免学生混淆。7.即时评价：给出简单的角度计算问题（已知三角形两个内角，求其中一个外角的度数），让学生独立完成，小组内互相检查，教师随机抽查，评价学生对性质的理解与初步应用能力，及时纠正错误。探究三：三角形的外角和（核心知识点，多种方法探究，培养创新思维）1.概念铺垫：提问：“一个三角形有几个外角？”引导学生动手画图，发现一个三角形有6个外角，但每一组对顶角相等，实际研究时，我们只研究每个顶点处的一个外角，即一个三角形有3个外角（分别对应三个顶点），这3个外角的和，叫做三角形的外角和。2.猜想外角和：让学生结合刚才的外角性质，猜想三角形的外角和是多少度，鼓励学生大胆提出猜想（结合测量经验，学生可能会猜想为360°）。3.分层探究（多种方法，贴合学生认知，拆分任务）：方法一：测量法。让学生再次使用量角器，测量自己画出的三角形的3个外角的度数，然后将三个度数相加，记录结果，小组内交流测量数据，看看是否接近360°，初步验证猜想。教师强调测量存在误差，引导学生思考更严谨的验证方法。方法二：利用外角性质推导。引导学生结合外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），设三角形ABC的三个外角分别为∠1（对应顶点A）、∠2（对应顶点B）、∠3（对应顶点C），对应的不相邻内角分别为∠B、∠C；∠A、∠C；∠A、∠B。则∠1=∠B+∠C，∠2=∠A+∠C，∠3=∠A+∠B。将三个式子相加，得到∠1+∠2+∠3=2（∠A+∠B+∠C）。又因为三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，所以∠1+∠2+∠3=2×180°=360°，从而严谨推导得出三角形外角和定理：三角形的外角和为360°。方法三：剪拼法。让学生将三角形的3个外角分别剪下来，将三个外角的顶点重合，拼在一起，观察是否能组成一个周角（360°），通过动手操作，直观验证外角和定理，培养学生的动手实践能力，同时让学生感受“数形结合”的数学思想。4.总结升华：引导学生对比三种探究方法，说说每种方法的优缺点（测量法直观但有误差，推导法严谨但需要逻辑思维，剪拼法直观且动手性强），强调推导法的严谨性，同时鼓励学生在探究数学问题时，可采用多种方法，培养发散思维。5.即时评价：让学生独立完成一道利用外角和定理解决的角度计算问题（已知三角形两个外角的度数，求第三个外角的度数），完成后同桌互相批改，教师针对共性问题进行讲解，评价学生对外角和定理的掌握情况，落实“教-学-评”一体化。课堂练习（分层设计，贴合知识点，兼顾基础、提升与拓展，落实“教-学-评”，每道题对应相关知识点，评讲细致，及时巩固）基础题（对应知识点：外角定义、外角性质，全员必做）1.下列图形中，是三角形外角的是（）（给出4个选项，其中1个正确，3个错误，错误选项分别对应“不是延长线组成”“在三角形内部”“不是三角形的边延长形成”），要求学生说明错误理由。2.在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角的度数是多少？（考查外角性质：外角等于不相邻两个内角的和）3.已知三角形的一个外角是120°，与它相邻的内角是多少度？（考查外角性质：外角与相邻内角互补）提升题（对应知识点：外角性质、外角和定理，全员必做，兼顾能力提升）1.在△ABC中，一个外角为100°，且这个外角对应的不相邻内角中，一个角是另一个角的2倍，求△ABC的三个内角的度数。（考查外角性质的灵活应用，需要分类讨论，培养学生的分类思维）2.已知△ABC的三个外角分别为∠α、∠β、∠γ，其中∠α=100°，∠β=120°，求∠γ的度数，以及△ABC中与∠γ对应的内角的度数。（考查外角和定理与外角性质的结合应用）拓展题（对应知识点：综合应用内角和、外角性质、外角和定理，选做，面向学有余力的学生，培养迁移创新能力）1.如图，在△ABC中，延长AB至点E，延长AC至点F，∠EBC和∠FCB的平分线相交于点D，若∠A=70°，求∠D的度数。（综合考查外角性质、角平分线定义、三角形内角和定理）2.尝试类比三角形外角和的推导方法，探究四边形的外角和是多少度，写出简要的探究过程。（考查迁移创新能力，贴合教学目标中的迁移创新层次）练习评讲1.基础题：采用“学生举手回答+教师补充”的方式，重点评讲错误选项的错误原因，以及外角性质的应用步骤，确保每位学生掌握基础知识；2.提升题：让学生上台板书解题过程，教师针对解题步骤、分类讨论的合理性进行点评，纠正常见错误（如忽略分类讨论、外角与相邻内角混淆）；3.拓展题：邀请学有余力的学生分享解题思路和探究过程，教师进行补充完善，引导学生体会“转化”“类比”的数学思想，激发学生的探究兴趣，同时评价学生的迁移创新能力。通过练习评讲，及时发现学生的知识漏洞，针对性进行巩固，落实“评”的环节，为后续课堂总结和课后任务布置提供依据。课堂总结（以学生自主总结为主，教师补充完善，梳理知识点，构建知识体系，贴合“教-学-评”，强化核心素养）首先，让学生自主发言，说说本节课学到了哪些知识点，掌握了哪些解题方法，遇到了哪些困难，有哪些收获。然后，教师结合学生的发言，进行梳理总结，形成完整的知识体系：1.核心知识点：三角形外角的定义（把握两个关键：外部、边的延长线组成）、三角形外角的两个性质（与相邻内角互补、等于不相邻两个内角的和）、三角形外角和定理（外角和为360°）；2.数学思想与方法：转化思想（外角性质、外角和定理的推导均转化为内角和知识）、类比思想（拓展题中四边形外角和的探究）、数形结合思想（图形与角度计算结合）、动手实践方法（剪拼法、测量法）；3.核心素养提升：通过本节课的探究，培养了用数学的眼光观察图形、用数学的思维进行逻辑推理、用数学的语言表达解题思路的能力。最后，教师强调：本节课的知识是三角形角的知识的重要组成部分，后续学习多边形时会经常用到，希望同学们课后加强练习，灵活运用所学知识，避免混淆外角与内角、外角性质的应用条件。课后任务（分层设计，贴合课堂知识点，兼顾基础巩固、能力提升与实践应用，贴合新课标要求，落实迁移创新目标，避免负担过重）基础任务（全员必做，巩固基础知识与基础应用）1.教材对应课后习题，完成基础计算题（3-4道），重点考查外角性质、外角和定理的基础应用，要求写出解题步骤，标注所用的知识点；2.画出一个任意三角形，标出它的3个内角和3个外角，并用符号表示出来，结合图形复述外角的定义和两个性质、外角和定理。提升任务（全员必做，提升综合应用能力）1.解决课堂练习中的拓展题第1题，完善解题步骤，写出每一步的推导依据；2.收集生活中含有三角形外角的实物图片（1-2张），结合图片说明其中的外角，以及外角与内角的关系，简单写写自己的发现。拓展任务（选做，面向学有余力的学生，培养迁移创新能力）1.完成课堂练习中拓展题第2题，详细写出四边形外角和的探究过程，尝试探究五边形的外角和；2.编写1道关于三角形外角和的应用题（贴合生活实际），并写出对应的解题过程和答案，下节课分享给同学和老师。任务要求1.独立完成基础任务和提升任务，拓展任务自愿完成，严禁抄袭；2.书写工整，解题步骤清晰，标注所用知识点；3.遇到困难时，可查阅教材、课堂笔记，也可向同学、老师请教，培养自主学习能力。板书设计（简洁明了，突出重点，贴合课堂流程，便于学生回顾，排版规范，字迹工整）三角形的外角和（第2课时）一、外角定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角（两个关键：外部、边的延长线）二、外角性质1.与相邻内角互补：∠ACD+∠ACB=180°（平角定义）2.等于不相邻两个内角的和：∠ACD=∠A+∠B（内角和定理推导）三、外角和定理1.定义：3个顶点处各1个外角的和2.结论：三角形外角和=360°（推导方法：测量、剪拼、逻辑推导）四、数学思想转化、类比、数形结合五、解题关键区分外角与内角，找准不相邻内角，灵活运用性质和定理教学反思（贴合课堂实际，真实具体，不空洞，复盘课堂亮点与不足，提出改进措施，贴合“教-学-评”一体化，助力后续教学优化）本节课围绕三角形外角的定义、外角性质、外角和定理三个核心知识点，紧扣2022年数学新课标核心素养要求，以“教-学-评”一体化为核心，设计了观察、探究、练习、总结等环节，贴合七年级学生的认知特点，整体课堂流程顺畅，知识点讲解细致，任务拆分合理，逻辑性较强。课堂亮点在于：1.导入环节贴合学生生活，通过实物图片激发学生兴趣，衔接旧知自然，能有效引导学生主动探究新知；2.探究新知环节，注重学生的动手操作与合作交流，设计了测量、剪拼、逻辑推导三种方法探究外角和定理，兼顾了不同层次学生的认知需求，既能让学生直观感受知识的形成过程，也能培养学生的逻辑推理能力和动手实践能力，落实了新课标“用数学的眼光、思维、语言”的核心素养；3.课堂练习和课后任务均采用分层设计，兼顾了基础巩固与能力提升，拓展题注重迁移创新能力的培养，贴合教学目标的三个层次；4.全程落实“教-学-评”一体化，即时评价贯穿探究、练习、总结各个环节，能及时发现学生的知识漏洞，针对性进行巩固，提升课堂教学效率；5.注重数学思想的渗透，在推导过程中强调转化、类比、数形结合思想，帮助学生构建完整的数学思维体系，避免了单纯的知识点灌输，