轻松寒假快乐复习30天 初中数学第16天

轻松寒假，快乐复习30天第16天相似三角形★思路点睛 1．相似三角形的判断方法： ①相似三角形的判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似； ②相似三角形的判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似； ③相似三角形的判定定理3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． ④平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似． 2．射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB。 3．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． ②相似三角形的对应线段（边，高，中线，角平分线）成比例． ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方比．★典型试题1．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③。其中正确的有A、3个B、2个C、1个D、0个【答案】A．【解析】试题分析：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线；∴DE∥BC，BC=2DE；（故①正确）∴△ADE∽△ABC；（故②正确）∴，即；（故③正确）因此本题的三个结论都正确，故选A．2．如图，已知在△ABC，P为AB上一点，连结CP，不能判断△ABC～△ACP的是（）A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACBC．＝D．＝【答案】D【解析】试题分析：根据∠ACP＝∠B，∠A=∠A可得△ABC～△ACP；∠APC＝∠ACB，∠A=∠A可得△ABC～△ACP；＝，∠A=∠A可得△ABC～△ACP；＝两边对应成比例，夹角不相等，△ABC和△ACP两个三角形不相似，故选D．3．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）。A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】试题分析：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝2，则AD的长是（）A．B．C．－1D．＋1【答案】C【解析】∵∠A＝∠DBC＝36°，∠C为公共角，∴△ABC∽△BDC，且AD＝BD＝BC．设BD＝x，则BC＝x，CD＝2－x．由于＝，∴＝，整理得：x2＋2x－4＝0，解得：x＝－1±，∵x为正数，∴x＝－1＋．故选C．5．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD，CD＝AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连结BD∵E、F分别为AB、AD中点，∴EF＝BDEF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴＝＝，∴＝，∵CD＝AB，CB⊥DC，AB∥CD，∴＝＝，∴＝＝，故选C6．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且＝，则＝________，BF＝________．【答案】，6【解析】△AFE∽△CDE，＝为相似比，所以面积比为相似比的平方，即．由比例式＝＝，所以AF＝4，则BF＝6．7．如图，是的中位线，是的中点，那么=．【答案】【解析】试题分析：∵DE是△ABC的中位线，∴=，DE∥BC，∵M是DE的中点，∴=，∵DE∥BC，∴△DNM∽△NBC，∴=，∴=（）2=8．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，AB=5cm，AD=2cm，将足够大的直角三角形PHF的直角顶点P落在CD边上（不与C、D重合），在CD上适当移动三角板顶点P，使直角边PH始终通过点A，另一直角边PF与CB的延长线交于点Q，与AB交于点M，若BM=1cm，则DP=cm【答案】2【解析】试题分析：由上图易知△BMQ∽△CPQ∵∠DPA和∠CPQ互余，∠CPQ和∠CQP互余∴∠DPA=∠CQP，∠D=∠C=90°∴△DAP∽△CPQ∽△BMQ设DP=x,BQ=y∴解得x=2,y=1∴DP=29．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F,（1）求证：ΔABF∽ΔACE（3分）（2）求证：ΔAEF∽ΔACB（3分）（3）若∠A=60°，求：（3分）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】试题分析：（1）∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F∴∠AEC=∠AFB=90°又∵∠A=∠A∴ΔABF∽ΔACE（2）证明∵ΔABF∽ΔACE∴∴又∵∠A=∠A∴ΔAEF∽ΔACB（3）在RtΔAFB中，∵∠A=600，∴∠ABF=300，∴又ΔAEF∽ΔACB∴10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从A向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D向A以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，你有什么发现？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【答案】（1）t=2；（2）经计算发现：点P，Q在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变．（3）当t=1．2或3秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．【解析】（1）对于任意时刻的t有：AP=2t，DQ=t，AQ=6-t，当AQ=AP时，△QAP为等腰直角三角形,即6-t=2t，∴t=2，∴当t=2时，△QAP为等腰直角三角形．（2）在△AQC中，AQ=6-t，AQ边上的高CD=12，∴S△AQC=（6-t）×12=36-6t;在△APC中，AP=2t，AP边上的高CB=6，∴S△APC=×2t×6=6t．∴四边形QAPC的面积S四边形QAPC=S△AQC+S△APC=36-6t+6t=36（cm2）,所以，经计算发现：点P，Q在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变．（3）根据题意，应分两种情况来研究：①当时，△QAP∽△ABC，则有，求得t=1．2（秒）．②当时，△PAQ∽△ABC，则有，求得t=3（秒）．∴当t=1．2或3秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．★真题摘编（2014中考真题）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的度数为，的长为．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长．【答案】∠ACE的度数为75°，AC的长为3．【解析】试题分析：由CE//AB可知∠ACE=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，可知△ACE是等腰三角形，又CE//AB可知△ABD∽△CED，由相似的性质可知DE=1，所以AC=AE=AD+DE=3图3中，由已知的条件可知△ACD是等腰三角形，因为∠BAC=90°，因此可过点D作DF⊥AC，然后利用相似、三角函数、勾股定理加以解决试题解析：图（2）：∠ACE的度数为75°，