2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第04讲 正弦函数的图像与性质 （原卷版）

第04讲正弦函数的图像与性质

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：正弦函数的图像

一、核心知识点：正弦函数图像的绘制方法

1.几何法（精确作图）

推导过程：利用单位圆中的正弦线来绘制正弦函数ysinx（x[0,2]）的图像，步骤如下：

1.作单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，作半径为1的单位圆.

2.等分单位圆：从单位圆与x轴正半轴的交点A(1,0)开始，将单位圆平均分成12等份，对应角度分别为

0,,,,,2.

632

3.作正弦线：过每个等分点作x轴的垂线，垂足为x轴上对应的角度点，垂线段的长度（向上为正，向下

为负）即为该角度的正弦值，这些垂线段就是正弦线（如角度的正弦线是从(0,0)到(0,1)的线段）.

2

4.平移正弦线：在x轴上，将[0,2]区间也平均分成12等份，对应标注各角度值，把每个角度对应的正

弦线平移到x轴上相应的角度位置，使正弦线的起点与该角度点重合，终点即为正弦函数图像上的点.

5.连线：用光滑的曲线将所有正弦线的终点依次连接，得到ysinx在[0,2]上的图像.

6.拓展到全体实数：根据诱导公式sin(x2k)sinx（k），将[0,2]上的图像沿x轴正、负方向

每次平移2个单位长度，即可得到ysinx（x）的完整图像，称为正弦曲线.

2.五点法（快速作图）

推导过程：观察ysinx在[0,2]上的图像，发现有5个关键点决定了图像的基本形状，这5个点分别是

图像的起点、最高点、零点、最低点、终点，通过描出这5个点并光滑连线，可快速画出正弦函数的简图，

步骤如下：

3

1.确定关键点：在[0,2]内，5个关键点的坐标为(0,0)、,1、(,0)、,1、(2,0).

22

2.描点：在平面直角坐标系中准确描出这5个点.

3.连线：用光滑的曲线将5个点依次连接，得到[0,2]上的正弦函数简图.

4.拓展：同样利用周期性平移，得到全体实数范围内的正弦曲线.

二、易错辨析

易错点1：用五点法作图时，混淆关键点坐标.例如将,1误写为,0，或遗漏角度的周期性.辨析：

22

牢记5个关键点的“横标等差、纵标特征”——横标间隔，纵标依次为0、1、0、-1、0，对应图像的升

2

降、极值位置.

易错点2：几何法作图时，将正弦线的方向或长度搞错.辨析：正弦线的方向由角度所在象限决定（第一、

二象限为正，第三、四象限为负），长度等于对应角度正弦值的绝对值，且最大长度为1（单位圆半径）.

易错点3：平移图像时，平移单位错误.例如认为平移个单位即可重复图像.辨析：正弦函数的最小正周

期是2，只有平移2k（k,k0）个单位，图像才会完全重合.

三、概念比较：几何法与五点法的区别与联系

比较维

几何法五点法

度

精度高，可精确画出每一点的位置低，仅能画出近似简图

步骤复简单，仅需找5个关键

复杂，需作单位圆、正弦线、平移等多步

杂度点、描点连线

适用场快速解题、粗略分析函数

理解正弦函数图像的起源、精确研究局部性质

景变化趋势

五点法的5个关键点本质是几何法中“正弦线端点的特殊位置”，两

联系

者均基于正弦函数的周期性和值域限制

四、重点记忆+常考结论

3

重点记忆：5个关键点的坐标是核心，必须熟练默写：(0,0)、,1、(,0)、,1、(2,0).

22

常考结论1：正弦曲线是“波浪线”，关于原点对称，在y1和y1之间波动，无间断点.

常考结论2：用五点法画yAsinxb（A0）在[0,2]上的图像时，关键点坐标为(0,b)、,Ab、

2

3

(,b)、,Ab、(2,b)（代换法推导）.

2

知识点2：正弦函数的性质

一、核心知识点：正弦函数的核心性质（以ysinx，x为例）

1.定义域与值域

推导过程：

定义域：由正弦函数的定义（任意角的正弦值均可通过单位圆或三角函数线确定）可知，x可取任意实数，

故定义域为.

值域：从单位圆的正弦线分析，正弦线的长度最大为单位圆半径1，最小为-1，且能取到区间内的所有值，

因此值域为[1,1]；当且仅当x2k（k）时，ymax1；当且仅当x2k（k）

22

时，ymin1.

2.周期性

推导过程：

周期定义：对于函数f(x)，若存在非零常数T，使得对任意x定义域，都有f(xT)f(x)，则T为

函数的周期.

正弦函数的周期性：由诱导公式sin(x2k)sinx（k,k0）可知，2k均为ysinx的周期；

进一步观察图像，发现不存在比2更小的正周期，因此最小正周期T2.

3.奇偶性

推导过程：根据奇偶性的定义，判断f(x)与f(x)的关系.对于ysinx，f(x)sin(x)，由诱导公

式可知sin(x)sinxf(x)，且定义域关于原点对称，因此ysinx是奇函数，其图像关于原点

中心对称.

4.单调性

推导过程：结合正弦曲线的升降趋势分析：

3

在[0,2]内，正弦曲线从(0,0)上升到,1，再下降到,1，最后上升到(2,0)，因此单调递增

22

3

区间为,，单调递减区间为,.

2222

结合周期性拓展到全体实数：将上述区间沿x轴平移2k（k），得到：单调递增区间为

3

2k,2k（k）；单调递减区间为2k,2k（k）.

2222

5.对称性

推导过程：结合奇偶性和图像特征分析：

中心对称：由奇偶性可知，ysinx是奇函数，其图像关于原点(0,0)中心对称；结合周期性拓展，所有

对称中心坐标为(k,0)（k），即对于任意k，点(k,0)是函数图像的对称中心.

轴对称：观察正弦曲线，在x处，图像左右对称，且x时函数取得最大值1；结合周期性拓展，

22

所有对称轴方程为xk（k），即对于任意k，直线xk是函数图像的对称轴.

22

二、易错辨析

易错点1：混淆正弦函数的对称中心和对称轴.例如将对称中心(k,0)误记为对称轴，或把对称轴

xk误记为对称中心.辨析：对称中心是函数图像绕该点旋转180°后与原图像重合的点（在x轴上），

2

对称轴是函数图像沿该直线折叠后与原图像重合的直线（垂直于x轴），可结合图像辅助记忆.

易错点2：单调性区间书写不规范.例如遗漏k，或把闭区间写成开区间.辨析：正弦函数在单调区间的

端点处连续，端点属于单调区间，因此需用闭区间；k不可遗漏，否则仅表示一个周期内的单调区间.

易错点3：求最值时忽略k.例如仅写出x时ymax1，未考虑周期性.辨析：正弦函数的最值在每

2

个周期内均会出现，因此需加上2k（k）表示所有取最值的x值.

易错点4：判断奇偶性时忽略定义域对称性.例如认为ysinx（x[0,2]）是奇函数.辨析：奇偶性的

前提是定义域关于原点对称，[0,2]不关于原点对称，因此该区间内的正弦函数不具有奇偶性.

三、概念比较：正弦函数性质的关联与区别

性质类

核心特征关联性质

型

单调性、对称性均具有周期性，可由一个周期内的性质拓展

周期性图像周期性重复，最小正周期

2到全体实数

奇偶性关于原点中心对称，是中心对称性的特殊情况（对称中心为原点）

sin(x)sinx

在特定区间内单调升降，区间间隔

单调性单调区间的端点对应函数的最值点，与值域直接相关

2

轴对称的对称轴均过函数的最值点，中心对称的对称中心均

对称性既有中心对称，又有轴对称

在x轴上

四、重点记忆+常考结论

重点记忆1：正弦函数ysinx（x）的核心性质汇总：定义域，值域[1,1]，最小正周期2，奇

3

函数，单调递增区间2k,2k（k），单调递减区间2k,2k（k），

2222

对称中心(k,0)（k），对称轴xk（k）.

2

重点记忆2：取最值的条件：y1x2k（k）；y1x2k（k）.

max2min2

常考结论1：若sinx0，则xk（k）；若sinx1，则x2k（k）；若sinx1，

2

则x2k（k）.

2

常考结论2：正弦函数在一个周期内的图像与x轴有3个交点，分别为(0,0)、(,0)、(2,0)，对应全体

实数范围内的交点即为对称中心(k,0)（k）.

常考结论3：利用单调性比较大小：同名正弦函数值比较大小，需将自变量转化到同一单调区间内，再根据

57573

单调性判断.例如比较sin与sin，可将和转化到[,]（单调递减区间），因

666622

57357

，故sinsin.

266266

知识点3：正弦型函数核心性质

一、核心知识精讲

基础铺垫：正弦型函数的图像是由ysinx经“伸缩、平移”变换得到.其性质与参数A、、、b密

切相关.各参数几何意义：A（振幅）影响图像纵向伸缩.（角频率）决定周期.（相位）影响左右平移.b

（纵向平移量）决定图像上下位置.

（一）周期性

1.定义：对于函数yf(x).若存在非零常数T.使得对定义域内任意x.都有f(xT)f(x).则称T为

函数的一个周期；其中最小的正数T称为最小正周期（高频考点.需熟记）.

2

2.核心公式：最小正周期T

||

3.推导思路：由基本函数ysinx的最小正周期为2.当x变为x（横坐标伸缩变换）时.周期变为原来

12

的倍.故得T.

||||

4.典例点拨：求y2sin3x1的最小正周期.

4

22

解析：由公式得T.

|3|3

（二）单调性

1.解题核心：“整体换元法”——将x视为整体变量t.转化为基本函数ysint的单调性问题求解.

2.基础依托：ysint的单调区间（k）

3

增区间：2k,2k；减区间：2k,2k

2222

3.求解步骤：

①当0时.直接解不等式：

增区间：2kx2k（k）.整理得x的范围；

22

3

减区间：2kx2k（k）.整理得x的范围；

22

②当0时.先提取负号将化为正数（如ysin(2x)sin(2x)）.再求反向单调区间（原

33

函数增区间对应转化后函数的减区间）.

4.典例点拨：求ysin2x的增区间.

3

解析：先转化为ysin2x.求原函数增区间即求ysin2x的减区间.

33

3511

解不等式2k2x2k（k）.得kxk（k）.即为原函数增

2321212

区间.

（三）奇偶性

1.前提条件：函数定义域必须关于原点对称（若定义域不关于原点对称.函数一定是非奇非偶函数.此为易

错点）.

2.判定结论（k）：

①奇函数：满足f(x)f(x).等价条件为k.此时函数可化为yAsin(x)；

②偶函数：满足f(x)f(x).等价条件为k.此时函数可化为yAcos(x)；

2

3.典例点拨：判断ysin2x的奇偶性.

2

解析：定义域为（关于原点对称）.0.满足偶函数条件.故为偶函数.验证：

22

ysin2xcos2x.而cos2x是偶函数.

2

（四）对称性

正弦型函数图像既是轴对称图形.也是中心对称图形.对称性可通过“整体换元”结合ysint的对称性推

导.

1.对称轴（过函数最值点的直线）：

k

推导：由ysint的对称轴为tk（k）.令xk.解得对称轴方程：

x2

22

（k）

2.对称中心（函数图像与平衡线yb的交点）：

k

推导：由ysint的对称中心为(k,0)（k）.令xk.解得对称中心坐标：,b（k）

3.典例点拨：求y3sin2x2的对称轴和对称中心.

3

5k

解析：①对称轴：令2xk.解得x（k）；

32122

kk

②对称中心：令2xk.解得x.纵坐标为2.故对称中心为,2（k）.

36262

二、易错警示（高频易错点突破）

（一）周期性常见错误

22

1.公式遗漏绝对值：误将周期记为T.忽略的正负性；正确公式必须带绝对值T.周期恒为正

||

数.

2.周期定义理解偏差：认为“存在某个x满足f(xT)f(x)即可”.实际需对定义域内所有x成立.

2

3.复合函数周期错判：如y|sin(x)|的周期为（是原正弦函数周期的一半）.易误记为.

||||

（二）单调性常见错误

1.忽略符号影响：当0时.未反转不等式方向.导致单调区间求解错误.

2.未结合定义域限制：求解出的单调区间需是函数定义域的子集.若有定义域范围（如x[0,]）.需截取

对应部分.

（三）奇偶性常见错误

1.跳过定义域判断：直接代入f(x)判断.忽略定义域是否关于原点对称.

2.颠倒奇偶性条件：误将k作为奇函数条件.k作为偶函数条件.

2

（四）对称性常见错误

1.混淆对称轴与对称中心条件：误将对称轴条件记为xk.对称中心条件记为xk.

2

2.忽略对称中心纵坐标：误将对称中心纵坐标记为0.实际应为纵向平移量b.

三、核心速记手册

（一）必背公式

2

1.最小正周期：T

||

2k2k

22

2.单调区间（0，k）：增区间：,；减区间：

3

2k2k

22

,

3.奇偶性条件（k）：奇函数：k；偶函数：k

2

kk

4.对称性（k）：对称轴：2；对称中心：,b

x

（二）关键结论

1.||与周期成反比：||越大.周期越小；||越小.周期越大.

2.A的正负不影响单调区间的位置.仅影响函数值的增减幅度.

3.对称轴必过函数最值点（yAb或yAb）.对称中心必在平衡线yb上.

【题型1五点法作正弦（型）函数图像】

例1．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）利用正弦线画出，的图像.

�=sin��∈[0,2π]

（2）结合，的图像，最高点__________，最低点__________，与轴的交点__________，

_________�_，=_s_i_n_�___�_∈__[.0,2π]

例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出，的简图.

�=2+sin��∈[−π,π]

变式1．（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图.

(1)，；

(2)�=2sin��∈，0,2π.

ππ5π

(3)�=sin�+3在�一∈个[−周3期,3（]）内的图像．

1π

�=sin(2�−3)�=4π

变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出函数的简图；并说明该图

像如何由正弦曲线的相关部分通过图像变换得到.�=−sin�(0≤�≤2π)

【题型2含绝对值的正弦函数图像】

例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如

何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到.�=sin��∈[0,4π]

例2.（23-24高一下·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不

同交点，则的取值范围是.�(�)=sin�+3|sin�|�∈[0,2π]�=�

�

变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像.

�=sin|�|,�∈[−2�,2�]

变式2．（2024高三·全国·专题练习）画出函数的简图．

11

�=2sin�+2sin�

【题型3求正弦（型）函数的单调性】

例1．（23-24高三上·上海·期末）已知.

(1)求函数的最小正周�期�；=sin�

π

(2)求函数�=��⋅�2−�的单调减区间.

ππ

例2（.25-2�6=高�三上2�·上+海3闵,�行∈·期0,中2）求函数在的单调递增区间.

π

��=sin2�−3�∈0,π

变式1．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为.

π

�=2sin−2�+6�∈−π,0

变式2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是．

�=3sin2�−3cos2�

【题型4解正弦不等式（求正弦型函数的定义域）】

例1．（24-25高一下·上海杨浦·月考）函数的定义域与值域的交集为.

1

��=sin�−2

例2.（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为．

�=2sin�−10≤�≤2π

变式1．（23-24高一上·河北邢台·月考）函数的单调递增区间为（）

π

�(�)=sin�+3

A．B．

ππ5ππ

C．2�π−3,2�π+6(�∈Z)D．2�π−6,2�π+6(�∈Z)

π2ππ7π

变式2．（2�2π4+-256,高2�一π下+·上3海(�浦∈东Z)新·月考）函数2�π+6,2�π的+定6义(域�为∈Z)．

1

�=sin�−cos�−1

【题型5求正弦（型）函数的值域】

例1．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是．

ππ

�=sin2�+60,2

例2.（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇

函数，则的最大值为．��R�=��−sin��=��+2cos�

��

变式1．（2025·上海·模拟预测），恒成立，则．

变式2．（24-25高一下·上海·期中�）�函=数3sin�+cos�，��≤��的值域为tan2�．=

πππ

�=sin�+6�∈−3,2

【题型6由正弦（型）函数的值域最值求参数】

例1．（25-26高三上·上海·期中）已知，若两个不等的实数满足

且的最小值为�(，�)则=sin��−2cos�.�(�>0)�1,�2

�(�1)�(�2)=5�1−�2π�=

例2.（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值

为.�=�sin�+2cos�,�>0�

变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是，值域是

，则的值不可能为（）��=2sin�⋅sin�+3cos�−1�,�

−2,A1．�−�B．C．D．

7ππ5π3π

变式2．（1224-25高一下·上海2杨浦·期中）已知函数12的定义域4为，值域为，则

的取值范围为（）�=sin�+cos��,�−1,2�−�

A．B．C．D．

3π5ππ3ππ3π3π3π

4,42 , 42 , 24 , 2

【题型7换元法求正弦（型）函数的最值】

例1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为．

2π

�=sin�+cos�+2

例2.（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是．

��=2sin�⋅cos�+sin�−cos��∈�

变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时

的所有值的集合：

(1)�，；

(2)�=2−3sin��∈�，；

2

(3)�=−sin�+2，sin�+2�∈；�

π5π

(4)�=2sin�−5�，∈−3.,6

2

�=cos�−sin��∈�

变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为，最大值

2

为.�=1−cos�+5sin�

【题型8求正弦（型）函数的奇偶性】

例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

(1)；

(2)�=sin3�；

(3)�=sin�；

(4)�=�sin�.

π

�=2sin�+6

例2.（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则

．��=3sin3�−cos3��=��+�

�=

变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则.

��=sin(2�+�)�=

变式2．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足

，则．��=3sin�+�+cos�+��

�−�=��tan�=

【题型9求正弦（型）函数的周期性（注意含绝对值类型）】

例1．（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为.

π

�=3sin(2�+6)

例2.（25-26高三上·上海·期中）函数的最小正周期为.

��=sin�⋅cos�

变式1．（24-25高一·上海·课堂例题）函数的最小正周期是．

�=sin�

变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期.

(1)；

�π

�=2sin3−6

(2)；

(3)�=sin2�.−cos2�

�

�=sin3

【题型10求正弦（型）函数的对称轴，对称中心】

例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论：

21

①函数的图象关于点对称；��=sin�cos�+sin�−2

π

②函数�=��的对称轴是−8,0；

�π3π

③函数�=�的�零点为�=2+8；,�∈Z

�ππ

④若函数���是=偶2函+数8,，�∈则Z的最小值为；

π

其中正确的�=命�题�个+数�是（）�8

A．B．C．D．

0123

例2.（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是.

π

变式1．（23-24高一下·上海闵行·期末�）=对sin于函3�数+6+1，给出下列结论：

21

①函数的图象关于点对称；��=sin�cos�+sin�−2

π

②函数�=��的对称轴是8,0，；

�π3π

③若函数�=��是偶函�=数，2则+8的�最∈小Z值为；

π

④函数�=�在�+�的值域为�，8

π2π1−33−1

其中正确�=的�命�题个数6,是3（）4,4

A．0B．1C．2D．3

变式2．（24-25高一下·上海·月考）函数图像的对称轴方程是.

�(�)=2sin�+1

【题型11正弦（型）函数的零点/方程的根与不等式】

例1．（25-26高三上·湖北·月考）已知函数（）的最小正周期

23+2

为.��=sin��cos��−3cos��+2�>0

(1)π求的解析式并求其单调递减区间；

(2)若方��程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围.

1

��=20,��

例2.（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数.

3

(1)求的单调递增区间；��=sin�cos�−2cos2�

�=��

(2)求函数在上的零点；

1

(3)对任意的�=��−，2不0等,2式π恒成立，求的取值范围.

ππ2

�∈6,4��−���−1≤0�

变式1．（24-25高二下·上海·月考）已知函数．

2

(1)求函数的单调递增区间；��=2cos�+3sin2�

(2)设�，=若�关�于的方程在上有唯一解，求的取值范围．

π

�∈����=��∈0,2�

变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数.

23

(1)求函数的最小正周期；��=33sin�cos�+3cos�−2

(2)求函数��的单调递增区间；

(3)若方程��在上有两个不相等的实数根，，求的值.

π

��=2�∈0,3�1�2cos�1−�2

一、核心知识框架

（一）正弦函数的图像

1.绘制方法

几何法：单位圆→正弦线→平移→连线（精确作图）

3

五点法：关键五点(0,0)、,1、(,0)、,1、(2,0)→描点→连线（快速作图）

22

2.图像特征：波浪线，关于原点对称，在y1之间波动，周期重复

（二）正弦函数的性质（ysinx，x）

1.定义域：

2.值域：[1,1]，最值条件：

y1x2k（k）

max2

y1x2k（k）

min2

3.周期性：最小正周期T2，周期通式2k（k，k0）

4.奇偶性：奇函数，图像关于原点中心对称

5.单调性（k）：

递增区间：2k，2k

22

3

递减区间：2k，2k

22

6.对称性（k）：

中心对称：对称中心(k，0)

轴对称：对称轴xk

2

二、核心考点梳理

1.图像绘制：用五点法快速画指定区间内的正弦函数简图

2.性质应用：

求最值及对应x的取值集合

判断单调性及求解单调区间

利用奇偶性、周期性化简或求值

判断对称性（对称中心、对称轴）

3.比较大小：利用单调性比较同名正弦函数值的大小（转化到同一单调区间）

4.解方程：求解sinxa（a[1,1]）的解

三、易错提醒（核心记忆要点）

1.五点法关键点坐标不可混淆，平移单位为2k（k）

2.单调区间、对称中心/轴需标注k，不可遗漏

3.判断奇偶性需先验证定义域关于原点对称

4.比较大小需先将自变量转化到同一单调区间

一、单选题

1．（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（）

A．B．

2

4sin��+1

2

C．�=�+1D．�=4sin�

22

2．（25�-2=6�高三+上4s·in上�海·月考）已知函数�=�−4，sin下�列选项中错误的是（）.

1π

A．函数在上为严格增�函�数=sin2�−3

π3π

B．对任意�=��，都−有3,2

2π

C．函数�∈R在��上=的�值−域3是−�

4π1

�=��−3,π−1,2

D．若函数在区间上恰有2个零点，则实数