2026年高二数学寒假自学课（苏教版）专题07 数列求和（10大考点）（原卷版）

专题07数列求和

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举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：数列求和常用方法

一．公式法

n(aa)n(n1)

（1）等差数列a的前n项和S1nnad，推导方法：倒序相加法．

nn212

，

na1q1

（）等比数列的前项和n，推导方法：乘公比，错位相减法．

2annSna1(1q)

，q1

1q

（3）一些常见的数列的前n项和：

n1n

k123nn(n1)；2k2462nn(n1)

k12k1

①

n

(2k1)135(2n1)n2；

k1

②

n1

k2122232n2n(n1)(2n1)；

k16

③

nn(n1)

k3132333n3[]2

k12

④

二．几种数列求和的常用方法

（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时

可用分组求和法，分别求和后相加减．

（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n

项和．

（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．

（）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求

4an“”

这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

知识点2:常用技巧

常见的裂项技巧

积累裂项模型1：等差型

111

（1）

n(n1)nn1

1111

（2）()

n(nk)knnk

1111

（3）()

4n2122n12n1

1111

（4）

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

11111

（5）()

n(n21)n(n1)(n1)2(n1)nn(n1)

n211

（6）1

4n214(2n1)(2n1)

3n14(n1)(n3)1111

（7）4()()

(n1)(n2)(n3)(n1)(n2)(n3)n2n3n1n2

1

（8）n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1).

3

1

（9）n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)

4

1111

（10）

n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)

2n111

（11）

n2(n1)2n2(n1)2

n1111

（12）

n2(n2)24n2(n2)2

积累裂项模型2：根式型

1

（1）n1n

n1n

11

（2）(nkn)

nknk

11

（3）(2n12n1)

2n12n12

11n(n1)111

（4）11

n2(n1)2n(n1)nn1

1

（5）

3n22n13n213n22n1

3n13n

3n13n1(3n22n13n213n22n1)

2

1(n1)nnn1(n1)nnn111

（）

62

(n1)nnn12n(n1)nn1

(n1)n(nn1)

积累裂项模型3：指数型

2n(2n11)(2n1)11

（1）

(2n11)(2n1)(2n11)(2n1)2n12n11

3n111

（2）()

(3n1)(3n11)23n13n11

（）n22(n1)n21111

3

n(n1)2nn(n1)2nnn12nn2n1(n1)2n

n1n1n1

(4n1)3191n1133

（4）3

n(n2)2(n2)n2n2n

(2n1)(1)n(1)n(1)n1

（5）

n(n1)nn1

11

（6）an3n1，设a(anb)3n[a(n1)b]3n1，易得a,b，

nn24

11

于是a(2n1)3n(2n3)3n1

n44

n2

(1)n(n24n2)2n(1)n(n24n2)(1)nn2(n1)n

（7）

n2n(n1)2n1n(n1)2n1n(n1)2n1

(1)n1111(1)n(1)n1

nn

n1(1)nn1()nn1

2n2(n1)222n2(n1)2

积累裂项模型4：对数型

an1an1

logalogalogaan

an

积累裂项模型5：三角型

11

（1）(tantan)

coscossin()

11

（2）tan(n1)tann

cosncos(n1)sin1

1

（3）tantan(tantan)1

tan()

tanntan(n1)

（4）atantan(n1);tan1tann(n1)，

n1tanntan(n1)

tanntan(n1)tanntan(n1)

则tanntan(n1)1,a1

tan1ntan1

积累裂项模型6：阶乘

n11

（1）

(n1)!n!(n1)!

n2n21n111

（2）=-

n!(n1)!(n2)!n!(n2)2n!(n2)(n2)!(n1)!(n2)!

常见放缩公式：

1111

（1）n2；

n2n1nn1n

1111

（2）；

n2nn1nn1

14411

（3）2；

n24n24n212n12n1

1n!11111

（4）TCrr2；

r1nnrr!nr!nrr!rr1r1r

n

1111

（5）1113；

n1223n1n

122

（6）2n1nn2；

nnnn1n

122

（7）2nn1；

nnnnn1

12222

（8）22n12n1；

nnn112n12n1

nn

22

2n2n2n2n111

（9）n2；

2nnnnnn1n1n

2n12121212221212121

111n1n11

（10）

n3nn2n1nn1n1nn1n1n1

11111n1n1

2

n1nnn1n1n1n1n12n

11

2n2；

n1n1

1222

（11）

n3n2nnn2nn1n1nn1nnn1

2n1n22

n2；

n1nn1n

111222

（）；

12nn012

21111CnCnCn1nn1nn1

12n111

（13）n2．

2n12n112n12n112n1

212

（14）2(n1n)2(nn1)．

n1nnnn1

考点一：分段数列求和

*

【例1】（25-26高二上·天津西青·月考）设等差数列an的前n项和为Sn(nN)，a53,S535．

(1)求an的通项公式；

(2)求Sn的最大值；

(3)设数列an的前n项和为Tn，求Tn．

【变式1-1】（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足

2

2Snanan.

(1)证明数列an是等差数列，并求出an的通项公式；

1

,n为奇数

(2)若bnanan2，求数列bn的前2n项和T2n.

an

3，n为偶数

【变式1-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列an满足a13a25a32n1ann.

(1)求数列an的通项公式；

2n1,n为奇数

(2)已知bn1，求数列bn的前20项和S20.

,n为偶数

an

【变式1-3】（25-26高二上·江苏常州·月考）设数列an是等差数列，bn是等比数列.已知b12a12，

b2a22，b32a32.

(1)求an和bn的通项公式；

3a2

n2,n为奇数,

*

(2)设cnanan2bn1（nN），求数列cn的前2n项和S2n；

为偶数

a2n1bn,n,

考点二：公式法

2

【例2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知数列an的前n项和Sn满足Snn13n，

(1)求数列an的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn的最大值.

22

【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列an满足a115,anan18n72n2.

(1)求数列an的通项公式.

(2)记bnan，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.

【变式2-2】（25-26高二上·安徽·月考）（1）若an为等差数列，且a1a3a527，a2a4a636，求

an的通项公式；

S

（2）记a的前n项和为S，若a5，a9，且n为等差数列，求a和S．

nn13nnn

a1

1n

【变式2-3】（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）已知数列an满足，a1，an1，若bn.

1013anan

(1)求证：bn是等差数列；

(2)求bn的前n项和Sn的最小值；

考点三：错位相减法

【例3】（22-23高二上·山东济南·月考）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列，且

a1a33

(1)求数列an的通项公式；

n4

(2)设ba，记数列b的前n项和为Tn，证明：T．

n12nnn3

【变式3-1】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列an的前n项和为Sn，数列bn是公比为3的等比数

2，

列，且Snnb1a1.

(1)求数列an、bn的通项公式；

(2)令cnan1bn，求数列cn的前n项和Tn.

【变式3-2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知an是等差数列，bn是首项为1，公比为3的等比数列，

且a1b1，a14b4.

(1)求an的通项公式；

(2)若cnanbn，求数列cn的前n项和Sn.

【变式3-3】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列an满足a2a1012，a88，数列bn满足b11，

an

bn12bn．

(1)求数列an和bn的通项公式；

a

n1

(2)设cn，数列cn的前n项和为Sn，求证：Sn2．

bn12

考点四：分组求和法

【例4】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，bn是公比大于1的等比数

列，a12,S520,b1b432,b2b312

(1)求an和bn的通项公式；

，

(2)设cnanbn求数列cn的前n项和Tn.

【变式4-1】（25-26高二上·河北承德·月考）已知等差数列an的公差为dd0，等比数列bn的公比为

q(q0且q1)，满足条件：a1b11,a2b2,a4b3．

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Sn．

【变式4-2】（25-26高二上·北京平谷·月考）已知an是等差数列，bn是等比数列，且

,,,

b23b39a1b4a5b2.

(1)求an的通项公式；

(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和；

(3)求数列an前n项和Sn的最大值．

2

【变式4-3】（25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列an的前n项和为Sn，且Snn1

(1)求数列an的通项公式an；

an1

(2)设数列bn满足bn2an1，Tn为数列bn的前n项和，求Tn.

考点五：裂项相消法之等差型

【例5】（25-26高二上·河北·期中）已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a36，S642

(1)求数列an的通项公式；

1

1

(2)若bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn.

anan14

，，，

【变式5-1】（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列an的公差d0，且a47a1a2a5成等比数列．

(1)求数列an的通项公式；

1

1

(2)若bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn．

anan12

【变式5-2】（25-26高三上·河北·期中）已知an为正项等差数列，a3a630,a1a829，Sn为an的前n

项和.

(1)求数列an的通项公式：

n

3Sn

(2)求数列的前n项和Tn;

n

4n3(n1)1

(3)设数列的前n项和为Mn，证明：Mnn.

SnSn12

考点六：裂项相消法之根式型

【例6】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列an满足：a1，a2，a31成等比数列．

(1)求数列an的通项公式；

n

(2)若数列bn满足：a1bna2bn1anb131，求数列bn的通项公式及前n项和Tn；

n1

*

(3)记cn，nN，证明：c1c2cn2an．

nn1

【变式6-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且

an(2Snan)4.

(1)求S1,S2；

2

(2)证明：{Sn}是等差数列；

1

(3)求数列{}的前n项和为Tn.

SnSn1

*

【变式6-2】已知数列an的前n项和为Sn，a11，S525，且3Sn1an2SnSn2nN．

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)设bn，求数列b的前n项和Tn．

2n12n1n

【变式6-3】已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn1annN．

（1）求数列an的通项公式；

1bnbn+1

bn,cn

（2）设，求数列cn的前n项和Tn．

log1ann1n

3

考点七：裂项相消法之指数型

x

【例7】（25-26高三上·云南红河·月考）已知函数fxa1(a0且a1)的图象经过点1,1，记数列an

的前n项和为Sn，且Snfn.

(1)求数列an的通项公式；

2n1

11

(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn

an1an1162

【变式7-1】（25-26高三上·河南郑州·月考）在数列an中，a11，nan13n1an．

(1)求an的通项公式；

a

n1

(2)记an的前n项和为Sn，若bn，求bn的前n项和Tn．

4Sn14Sn11

aa

【变式7-2】（25-26高二上·重庆·月考）若一个数列n为常值数列，且a1，则有n1，解得an.

n1nn

aa

(1)若数列a满足条件n1n，且a2，求a的通项公式；

nn1n1n

(2)已知数列dn前n项和为Sn，且满足nN,2Sn(n1)dn，且d11

①求数列dn的通项公式；

2bn21

dn

②设bn31，cn，求证：c1c2cn.

bnbn12

【变式7-3】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列an的首项a11，且满足递推关系an13an4.

(1)求证：an2是等比数列，并求数列an的通项公式；

a2

n

(2)记bn，数列bn的前n项和为Tn，若am1Tm39，求m.

anan1

考点八：裂项相消法之三角型

2

【例8】数列an各项均为正数，an的前n项和记作Sn，已知S11，anan2Sn10,(n2)．

(1)求an的通项公式；

(2)设bntanantanan1，求数列bn的前2023项和．

【变式8-1】已知数列an中，a21，设Sn为an前n项和，2Snnan．

(1)求an的通项公式；

sin1

(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn

cosan1cosan11

【变式8-2】（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知数列an的前n项和为Sn，a12，a23，且

Sn3Sn12Sn210（n3）.

(1)求a3；

(2)求an的通项公式；

3an1π

(3)求数列sinnπ的前n项和Tn.

an1an2

【变式8-3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2a614,S416．

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)设bn，求数列bn的前n项和Bn；

anan1

nπ

(3)设casin，求数列c的前100项和T．

nn2n100

考点九：倒序相加法

2010x

【例9】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数fxlg，数列a满足

1xn

123L2n1

anffff.

2n2n2n2n

(1)求证：fxf1x为定值，并求数列an的通项公式；

111

(2)记数列的前n项和为Tn，求证：Tn．

anan132

4x122020

【变式9-1】（2025高二·全国·专题练习）设f(x)，Sfff，求S

4x2202120212021

的值．

1

【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fxsinx1，数列an满足

2

0，n1

an12n1

fffn2

nnn

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)设bn，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn1．

an1an11

1

【变式9-3】（24-25高二上·上海·月考）已知函数fx，数列a是正项等比数列，且a1，

x1n10

1

(1)计算fxf的值；

x

(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求fa1fa2fa3fa18fa19的值.

考点十：并项求和法

【例10】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，

b11，b2S210，a52b2a3．

(1)求an和bn的通项公式；

n

(2)若数列cn满足c2n1an，c2n1anbn，求数列cn的前2n项和T2n，

n

i4i1

(3)求1nN*的最大值和最小值．

i1aiai1

【变式10-1】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S24，S416；数列bn满

nn1n1

足2b12b22bnn122，nN.

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)cnanbn，求数列cn的前n项和Tn；

将数列n和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现

(3)1anbn100dn

的个数重复排列，求dn的前106项和

【变式10-2】（25-26高三上·江西·月考）已知正项等差数列an满足a313，且1,a1,a6成等比数列．

(1)求an的通项公式；

(2)求an的前n项和Tn；

设数列n的前n项和为，求．

(3)1anSnS2n

，，

1．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列an的前n项和记为Sn，已知S315，且a1a3a4成等

差数列．

(1)求数列an的通项公式；

(2)当Sn取最小值时，求序号n的值，并求出Sn的最小值；

(3)求数列an的前n项的和Tn．

2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a35,S39

(1)求数列an的通项公式；

2,n为奇数

(2)记数列c，c的前n项和为Tn，求T．

n为偶数n2n

an,n

3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设an是等比数列，a11,a32a2

(1)求an的通项公式；

(2)求a2a4a6a2026．

a

1n

4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列an，a1且满足an1；在数列bn中，记数列bn的

23an1

前n项和为Sn，满足Sn2bnn.

(1)求数列an，bn的通项公式；

bn1

(2)求数列的前n项和Tn；

an

n*

(3)若不等式2(1)bn1an1对任意nN恒成立，求实数的取值范围.

2

5．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列an的前n项和为Sn，2Snanan.

(1)求数列an的通项公式；

1

1

(2)设bn22，记数列bn的前n项和Tn，求证：Tn

anan112

2

6．（25-26高二上·江苏连云港·月考）记Sn为递增数列an的前n项和，an4n4Sn．

(1)求证：数列an是等差数列，并求出其通项公式；

求数列的前n项和；

(2)an·a2n

4

1

(3)记bn，bn前n项和为Tn，求证：Tn.

a2n·a2n12

7．（2025高二上·福建福州·专题练习）已知数列an的通项公式为ann.数列bn满足bn12bnan1，

b3a5.

1

(1)求数列{}的前n项和Sn.

anan1

(2)证明数列bnn是等比数列，并求数列bn的通项公式.

(3)求数列bn的前n项和Tn.

n2

8．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知数列a的前n项和为S，_______.请在①a2，SaS；

nn1n1n1nn

②a1，a3，a7成等比数列，Sn1anSn1，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题.

(1)求数列an的通项公式；

111

(2)记Tn，求Tn.

a1a2a2a3anan1

9．（25-26高二上·河北·月考）已知在正项数列an中，a11且SnSn1ann2，其中Sn为数列an

的前n项和.

(1)求数列an的通项公式；

*n

(2)若对于任意nN，2Sn恒成立，求实数的取值范围；

1

(3)设cnan4n10，dn，求数列dn的前n项和Tn及使Tn0的n的最小值.

cncn1

n23n

10．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）记正项数列an的前n项和为Sn，已知a12，S

n2

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)若数列的前n项的和Tn，求T10及Tn表达式

anan1

2

11．（2025·四川成都·一模）已知正项数列an的前n项和为Sn，且2anSn