2026届上海市北蔡高中高一下数学期末综合测试试题含解析

2026届上海市北蔡高中高一下数学期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．函数f（x）=log3（2﹣x）的定义域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]3．已知曲线C的方程为x2+y2＝2（x+|y|），直线x＝my+4与曲线C有两个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1或m＜﹣1 B．m＞7或m＜﹣7C．m＞7或m＜﹣1 D．m＞1或m＜﹣74．已知向量,满足,和的夹角为,则()A． B． C． D．15．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法6．与直线平行，且到的距离为的直线方程为A． B． C． D．7．在非直角中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要8．已知等比数列中，，该数列的公比为A．2 B．-2 C． D．39．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A． B． C． D．10．圆与圆的位置关系为()A．相交 B．相离 C．相切 D．内含二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在等差数列中，若，则的前13项之和等于______.12．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第行从右至左的第3个数为___________．13．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______．14．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．15．角的终边经过点，则___________________．16．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积为______；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，，.（1）求的最小值及相应的t的值；（2）若与共线，求实数m.18．等差数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)设,求数列的前n项和.19．如图．在四棱锥中，，，平面ABCD，且．，，M、N分别为棱PC，PB的中点.（1）证明：A，D，M，N四点共面，且平面ADMN；（2）求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值．20．已知的外接圆的半径为，内角，，的对边分别为，，，又向量，，且.（1）求角；（2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.21．为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:),并将样本数据分组为,,,,,,,其频率分布直方图如图所示.(1)若样本中月均用电量在的居民有户,求样本容量;(2)求月均用电量的中位数;(3)在月均用电量为,,,的四组居民中,用分层随机抽样法抽取户居民,则月均用电量在的居民应抽取多少户?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系2、C【解析】试题分析：利用对数函数的性质求解．解：函数f（x）=log3（1﹣x）的定义域满足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函数f（x）=log3（1﹣x）的定义域是（﹣∞，1）．故选C．考点：对数函数的定义域．3、A【解析】

先画出曲线的图象，再求出直线与相切时的，最后结合图象可得的取值范围，得到答案．【详解】如图所示，曲线的图象是两个圆的一部分，由图可知：当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时，结合图象可得或．故选：A．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应有直线与圆的位置关系，合理结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．4、B【解析】

由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案.【详解】由题意可得.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式，属基础题.5、B【解析】

此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．【详解】依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．

故选B．【点睛】本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．6、B【解析】试题分析：与直线平行的直线设为与的距离为考点：两直线间的距离点评：两平行直线间的距离7、C【解析】

由得出，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系.【详解】若，则，易知，，，，，，，，，.因此，“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、B【解析】分析：根据等比数列通项公式求公比.详解：因为，所以选B.点睛：本题考查等比数列通项公式，考查基本求解能力.9、B【解析】

设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设正方形的边长为，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰直角三角形的边长为，对应每个小等腰三角形的面积，则阴影部分的面积之和为，正方形的面积为，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10、B【解析】

首先把两个圆的一般方程转化为标准方程，求出其圆心坐标和半径，再比较圆心距与半径的关系即可.【详解】有题知：圆，即：，圆心，半径.圆，即：，圆心，半径.所以两个圆的位置关系是相离.故选：B【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，比较圆心距和半径的关系是解决本题的关键，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据题意，以及等差数列的性质，先得到，再由等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为是等差数列，，所以，即，记前项和为，则.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列前项和的基本量的运算，熟记等差数列的性质以及求和公式即可，属于基础题型.12、【解析】

由题可以先算出第行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可.【详解】由图得,第行有个数,故前行一共有个数,即第行最后一个数为,故第行从右至左的第3个数为.【点睛】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.13、【解析】

根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【详解】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2∴圆锥的高，底面半径.∴这个圆锥的表面积：.故答案为．【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14、【解析】

求出的垂直平分线方程，两垂直平分线交点为外接圆圆心．再由两点间距离公式计算．【详解】由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为.故答案为：【点睛】本题考查三角形外接圆圆心坐标，外心是三角形三条边的中垂线的交点，到三顶点距离相等．15、【解析】

先求出到原点的距离,再利用正弦函数定义求解.【详解】因为,所以到原点距离,故.故答案为：.【点睛】设始边为的非负半轴,终边经过任意一点,则：16、【解析】

先根据以及余弦定理计算出的值，再由面积公式即可求解出的面积.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易.三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）时，最小值为；（2）.【解析】

(1)利用向量的模长公式计算出的表达式然后求最值.

(2)先求出的坐标，利用向量平行的公式得到关于m的方程，可解得答案.【详解】（1）∵，

∴当时，取得最小值.（2）.∵与共线，∴，则.【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.18、(1)；（2）.【解析】

(1)根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.(2)先求出，再利用裂项求和求得.【详解】(1)等差数列中，，解得：(2)数列的前n项和.【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用及计算能力.19、(1)证明见解析；(2)【解析】

（1）先证，再证，即可得证；要证平面ADMN，可通过求证PB垂直于ADMN中的两条交线来证明（2）求直线BD与平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通过三垂线定理去进行证明【详解】解：（1）证明因为M，N分别为PC，PB的中点，所以；又因为，所以．从而A，D，M，N四点共面；因为平面ABCD，平面ABCD．所以，又因为，，所以平面PAB，从而，因为，且N为PB的中点，所以；又因为，所以平面ADMN；（2）如图，连结DN；由（1）知平面ADMN，所以，DN为直线BD在平面ADMN内的射影，且，所以，即为直线BD与平面ADMN所成的角：在直角梯形ABCD内，过C作于H，则四边形ABCH为矩形；，在中，；所以，，，在中，，，，所以.综上，直线BD与平面ADMN所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，考查了线面角的求解方法，考查了运算能力及空间想象能力，属于中档题.20、(1).(2)，周长为.【解析】

（1）由，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C（2）利用（1）中，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.【详解】（1）∵，∴，且，由正弦定理得：，化简得：.由余弦定理：，∴，∵，∴.（2）∵，∴（当且仅当时取“”），所以，，此时，为正三角形，此时三角形的周长为.【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.21、(1)200(2)224