聚焦核心素养构建数学思维-《找最大公因数》探究式教学设计（北师大版五年级上册）

聚焦核心素养，构建数学思维——《找最大公因数》探究式教学设计（北师大版五年级上册）一、教学内容分析  本课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中“数的认识”与“数的运算”的交叉部分。从知识图谱看，它上承“因数与倍数”概念的建立，下启“约分”与分数运算的简化，是数论知识链条中承前启后的关键枢纽。核心概念“公因数”与“最大公因数”的建立，要求学生从对单个数的“因数”静态认识，转向对两个或多个数之间因数关系的动态把握，认知层级从“理解”迈向“应用”。课标蕴含的“数感”、“符号意识”、“推理能力”等核心素养在本课有集中体现。例如，通过寻找因数的过程培养数感；用数学符号（如集合图）表征公因数关系，发展符号意识；在探索不同求法时经历不完全归纳与逻辑推理。其育人价值在于，引导学生在“找”与“比”的数学活动中，感悟数学的简洁与有序之美，体会数学作为解决实际问题的有效工具，并在合作探究中培养严谨求实的科学态度。  学情研判方面，五年级学生已熟练掌握了因数的意义和求法，具备一定的有序思考能力，这是学习的“生长点”。然而，从“一个数的因数”到“两个数公有的因数”的思维跨越，以及“最大公因数”概念中“最大”与“公有”双重属性的整合，可能构成认知障碍。部分学生容易将“公因数”与“公有倍数”混淆，或在寻找过程中出现遗漏、重复。此外，学生的思维水平和策略偏好存在差异：有的依赖具体操作和枚举，有的已能进行初步的抽象概括。因此，教学将设计“前测”任务（如快速找出12和18的所有因数），动态评估学生的已有水平和思维差异。基于此，教学调适策略包括：为抽象思维较弱的学生提供可操作的学具（如数字卡片、圈画图），搭建从具体到抽象的“脚手架”；为思维较快的学生设计开放性探究任务（如“你能想出几种不同的找法？”），鼓励算法多样化与策略优化，实现分层推进。二、教学目标  知识目标：学生能准确理解公因数和最大公因数的意义，掌握寻找两个数公因数和最大公因数的基本方法（列举法、筛选法），并能在具体情境（如分割图形、等分物品）中识别和运用这些概念解决简单实际问题，构建起因数、公因数、最大公因数之间的层级化知识结构。  能力目标：学生通过自主探究与合作交流，经历观察、列举、比较、归纳、概括的完整过程，发展有序思考、逻辑推理和归纳概括的能力。能够清晰、有条理地表达自己的寻找策略，并对他人的方法进行评价和优化，提升数学语言表达与交流能力。  情感态度与价值观目标：在探究“怎么找”的过程中，激发对数学规律的好奇心与求知欲，体验数学思考的乐趣和解决问题的成就感。在小组合作中，学会倾听、尊重同伴的不同思路，培养团队协作意识和乐于分享的学习态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与归纳推理能力。通过将实际问题抽象为寻找公因数的数学模型，体会数学建模的过程。在从多个具体实例中归纳公因数与最大公因数特征及寻找方法时，经历从特殊到一般的归纳推理思维训练。  评价与元认知目标：引导学生通过对比不同寻找方法的效率与适用情境，初步建立策略选择的评价标准（如“何时用列举法更简单？”）。鼓励学生在练习后反思自己的解题过程，思考“我的方法有没有遗漏或重复？”“有没有更快捷的路径？”，培养自我监控与优化学习策略的元认知能力。三、教学重点与难点  教学重点：理解公因数和最大公因数的概念，掌握寻找两个数公因数和最大公因数的方法。确立依据在于，这一内容是整个“因数倍数”知识模块的核心概念之一，是后续学习“约分”、“求最小公倍数”以及解决相关实际问题不可或缺的认知基础。从学科素养角度看，概念的理解与方法的掌握直接关联“数感”的深化和“推理能力”的发展，是课标明确要求达成的关键技能。  教学难点：准确、全面地找出两个数的所有公因数，并理解最大公因数是公因数中最大的一个，而非独立于公因数集合之外。难点成因在于概念的抽象性：“公有”意味着对两个数因数集合的交集进行识别，需要学生具备较强的集合思维和对比分析能力；“最大”则是在交集内部进行比较，部分学生可能割裂看待。此外，在应用多种方法时，容易出现策略混淆或操作失误。突破方向在于，设计丰富的直观操作活动和对比辨析环节，让学生在多感官参与中构建概念，并通过变式练习强化对“公有”与“最大”内在联系的理解。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（内含动态演示集合圈、分物品情境动画）；数字卡片（12、18、8、16等）；磁性黑板贴或白板笔。1.2学习材料：设计分层学习任务单（含前测、探究记录表、分层练习）；准备若干长方形方格纸（如长12cm宽18cm的方格图）。2.学生准备2.1预习与学具：复习因数概念；准备铅笔、直尺、彩笔。3.环境布置3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论与学具操作。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，提出问题：“同学们，学校艺术节准备布置展板，老师有一张长18分米、宽12分米的长方形彩纸，想把它裁成大小相同的正方形装饰画，并且没有剩余。猜猜看，正方形的边长可以是几分米？最大又是几分米呢？”（利用课件展示情境图）大家先别急着说出答案，我们把这个问题转化一下：正方形的边长要能同时“量尽”长方形的长和宽，这意味着边长数既是18的什么，又是12的什么？对，因数！那我们要找的，就是既是18的因数，又是12的因数的数。  1.1揭示课题，明确路径：“像这样，既是18的因数，又是12的因数的数，它们有一个共同的名字，叫做18和12的‘公因数’。其中最大的那个，就是‘最大公因数’。今天，我们就化身‘数学侦探’，一起来‘找最大公因数’（板书课题）。我们的探案路线是：先回顾旧知——快速找出单个数的因数；再对比发现——找到两个数‘公有’的因数；最后优化方法——探索高效寻找最大公因数的策略。”第二、新授环节  本环节通过四个递进式探究任务，引导学生主动建构知识。任务一：操作感知，初识“公有”教师活动：首先，引导学生回顾旧知：“请大家快速写出12和18各自所有的因数，比比谁写得又对又快。”巡视并选取典型答案（有序和无序的）进行投影对比，强调有序思考的重要性。接着，提出核心问题：“现在，请同学们像侦探找共同点一样，在这两排因数中，找出哪些数是‘公共’的，既是12的因数，也是18的因数？用彩笔把它们圈出来。”教师利用课件动态演示，将12的因数集合与18的因数集合用两个椭圆表示，让公共部分（交集）闪烁并填充颜色。“看，这个重叠的部分，就像它们的‘朋友圈’交集，里面的数就是公因数。我们一起来数一数，12和18的公因数有哪些？”（引导学生齐答：1,2,3,6）。学生活动：独立写出12和18的因数。观察、对比同学所列因数，强化有序列举的意识。在教师引导下，从自己列出的因数中圈出公有的数。观察课件动态演示的集合图，直观理解“公有”即为“交集”，并确认公因数集合。即时评价标准：1.能否正确、有序地列出指定数的所有因数。2.能否准确识别并圈出两个数公有的因数，无遗漏。3.能否初步理解集合图所表示的“公有”含义。形成知识、思维、方法清单：★公因数的直观理解：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。理解“公有”是关键词，意味着它同时属于这几个数的因数集合。可以通过集合图（韦恩图）进行直观表征，交集部分即公因数。▲有序列举的价值：在寻找一个数的因数时，有序思考（成对寻找）能确保不重不漏，这是准确找到公因数的前提。可以提醒学生：“有序是数学侦探的基本素养哦！”任务二：归纳概括，明晰概念教师活动：在学生找出公因数集合{1,2,3,6}后，追问引导深度思考：“观察这组公因数，它们有什么特点？（从小到大排列）其中谁最大？（6）”自然引出：“6就是12和18的最大公因数。”板书完整概念。接着，设置辨析环节：“那么，公因数和最大公因数之间是什么关系呢？最大公因数是‘另起炉灶’单独找的吗？”鼓励学生表达。教师总结：“最大公因数是公因数家族里的‘老大’，找到了所有公因数，最大的那个自然就出现了。所以，找最大公因数，通常先找公因数。”学生活动：观察、描述公因数集合的特点，发现其有序性及存在最大值。思考并讨论公因数与最大公因数的关系，尝试用自己的语言表达（如：最大公因数是公因数中的一个；先找公因数，再找最大的）。在教师引导下，形成对两者关系的清晰认知。即时评价标准：1.能否从公因数集合中准确指出最大公因数。2.能否用清晰的语言描述公因数与最大公因数的包含关系，而非将二者割裂。3.讨论时能否倾听并吸收同伴的观点。形成知识、思维、方法清单：★最大公因数的定义：几个数的公因数中最大的一个，叫做它们的最大公因数。记作：如（12，18）=6。强调它是公因数的子概念。★概念关系网络：因数→公因数→最大公因数。这是一个从一般到特殊、范围逐步缩小的概念层级。理解这一点有助于构建知识体系。任务三：探索方法，优化策略教师活动：提出挑战性问题：“我们刚才用了‘分别列出因数再找公有’的方法，我们叫它‘列举法’。侦探破案讲究多思路，你还能想出其他办法来找12和18的最大公因数吗？”给予学生独立思考和小声讨论的时间。预设学生可能想到：先找较小数12的因数，再从这些因数中筛选出哪些也是18的因数（筛选法）。教师请学生上台讲解思路，并给予肯定：“这个方法很巧妙！直接锁定一个目标的范围进行筛选，有时更快捷。”随后，教师可引入更直观的“铺格子”法（对应导入问题）：在课件上展示长18宽12的方格图，用边长分别为1、2、3、4、6…的正方形去“铺”，看哪些能正好铺满，直观验证公因数。引导比较：“列举法、筛选法、铺格子法，各有什么特点？你更喜欢哪种？为什么？”鼓励学生根据数字特点灵活选择。学生活动：积极思考，尝试探索不同的寻找策略。可能提出筛选法，并尝试解释其原理。观察“铺格子”的动态演示，建立公因数与“等分”、“分割”几何直观的联系。参与方法比较的讨论，思考不同方法的适用情境和效率。即时评价标准：1.能否在教师引导下，至少探索并理解两种寻找公因数的方法。2.能否清晰表述不同方法的操作步骤和思路。3.是否初步具备根据数字特点选择合适方法的意识。形成知识、思维、方法清单：★寻找公因数/最大公因数的基本方法：①列举法：分别列出各数的所有因数，再找出公有的因数中最大的。步骤清晰，不易错。②筛选法：先找出较小数的所有因数，再从这些因数中筛选出哪些也是较大数的因数，其中最大的即为最大公因数。此法常更高效。▲方法的几何直观：“铺格子”模型将数的公因数关系转化为图形的可公度性问题，为数形结合理解概念提供了有力支撑。可以启发学生：“原来数学问题画个图就能看得更明白！”任务四：尝试应用，深化理解教师活动：出示尝试题：“请用你喜欢的方法，找出8和16的公因数及最大公因数。”巡视指导，关注学生的方法选择和应用过程。选取不同方法（列举法、可能直接观察到16是8的倍数）的作业进行展示。特别展示“（8，16）=8”的结果，引发讨论：“当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数有什么特点？”引导学生发现：较小数就是它们的最大公因数。可进一步追问：“那如果两个数的公因数只有1呢？比如5和7？”引出“互质关系”及最大公因数为1。不做深入展开，为后续学习埋下伏笔。学生活动：独立或与同桌合作，运用所学方法找出8和16的公因数和最大公因数。交流各自的方法和结果。在教师引导下观察、发现特殊情况下（倍数关系）最大公因数的规律。初步感知“互质”的概念。即时评价标准：1.能否正确、灵活运用所学方法解决新问题。2.能否发现并口头描述倍数关系下最大公因数的特点。3.练习过程是否专注、规范。形成知识、思维、方法清单：★特殊关系的规律：①若两个数成倍数关系，较小数是它们的最大公因数。②若两个数的公因数只有1，则它们的最大公因数是1，这样的两个数叫做互质数。发现规律是数学探究的重要乐趣。▲策略选择的灵活性：没有唯一的最佳方法，要根据数字特点和个人思维习惯灵活选择。鼓励学生：“适合自己的，能又快又准解决问题的方法，就是好方法！”第三、当堂巩固训练  设计分层训练体系：  1.基础层（全体必做）：①找出10和15的公因数和最大公因数。②找出下面每组数的最大公因数：（6，9）；（4，8）；（5，12）。目标：直接应用核心概念与方法，巩固技能。  1.1综合层（大多数学生完成）：③判断：a.两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（）b.1是所有非零自然数的公因数。（）④解决简单实际问题：把一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸片，没有剩余，剪出的正方形边长最大是多少厘米？目标：辨析概念，在稍复杂情境中应用。  1.2挑战层（学有余力选做）：⑤探究：有三个数12、18和24，你能尝试找出12、18和24这三个数的最大公因数吗？说说你的思路。目标：拓展到三个数，激发探究欲，初步接触方法的迁移。  反馈机制：学生独立完成后，小组内交换批改基础题，讨论分歧。教师巡视收集综合层与挑战层的典型解答。请学生上台讲解第④题（实际问题）的解题思路，重点展示如何将实际问题转化为寻找最大公因数的数学模型。教师集中讲评判断题，剖析错误原因（如a题的反例）。挑战题请有思路的学生分享，不做统一要求，重在鼓励思考。第四、课堂小结  引导学生进行自主结构化总结：“今天的‘侦探之旅’即将结束，我们来梳理一下破案‘秘籍’。请大家回忆，我们是怎么一步步找到最大公因数的？你学到了哪些关键概念和方法？有什么新的发现或感悟？”鼓励学生用思维导图或关键词的形式在练习本上简要梳理。请几位学生分享，教师板书核心框架：概念（公因数、最大公因数）→方法（列举法、筛选法）→发现（特殊关系：倍数、互质）→应用（解决等分问题）。作业布置：必做题：课本对应练习题第1、2、4题。选做题：①寻找生活中可以用“找最大公因数”知识解决的问题，并记录下来。②研究：用筛选法找两个较大数（如36和54）的最大公因数，感受其优势。预习提示：“我们已经能找到两个数的最大公因数，那如果是三个数呢？或者，有没有更巧妙的方法，比如利用它们的‘亲戚关系’来快速寻找呢？下节课我们将继续探索。”六、作业设计  基础性作业（必做）：  1.写出下面每组数的所有公因数和最大公因数。   (1)9和15 (2)7和14 (3)8和9  2.判断对错，并说明理由。   (1)因为5和6只有公因数1，所以5和6没有最大公因数。（）   (2)两个合数的最大公因数不可能是1。（）  拓展性作业（建议完成）：  3.解决问题。有两根木料，一根长18米，另一根长24米。现在要把它们截成同样长的小段，每段必须是整米数，且没有剩余。每段最长可以截成多少米？一共可以截成多少段？  探究性/创造性作业（选做）：  4.数学小研究：请调查你的家人（爸爸、妈妈）的年龄（或生日月份数），计算这两个数的最大公因数。想一想，这个最大公因数可能与生活中的什么安排或巧合有关？写一份简短的发现报告。七、本节知识清单及拓展  ★公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。理解关键在于“公有”，即同时满足是每一个数的因数。例如，1，2，3，6既是12的因数，也是18的因数，所以是12和18的公因数。  ★最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做它们的最大公因数。常用符号（a，b）表示a和b的最大公因数。如（12，18）=6。它是公因数集合中的一个特殊元素。  ★列举法：寻找两个数最大公因数的基本方法之一。步骤：①分别有序地列出两个数的所有因数；②找出两个因数列表中相同的数（公因数）；③从公因数中找出最大的一个。优点：清晰直观，不易遗漏。  ★筛选法：寻找两个数最大公因数的另一种有效方法。步骤：①先找出两个数中较小数的所有因数；②用这些因数依次去除较大的数，看能否整除；③能整除的因数就是公因数，其中最大的就是最大公因数。优点：目标明确，步骤有时更简捷。  ▲集合图表示法：用韦恩图（两个相交的椭圆）可以直观表示两个数的因数集与公因数的关系。交集部分即公因数集合，最大公因数也在其中。这是将抽象概念可视化的好工具。  ★倍数关系下的规律：如果两个数成倍数关系（如8和16），那么较小数（8）就是这两个数的最大公因数。这是因为较小数的所有因数中，最大的是它自己，而这个数也必然是较大数的因数。  ★互质关系：如果两个数的公因数只有1，那么1就是它们的最大公因数。这样的两个数叫做互质数。互质数不一定都是质数（如4和9），但两个不同的质数一定互质。  ▲最大公因数的应用模型：将“把长方形裁成相同正方形（无剩余）”、“把两根绳子截成相同小段（无剩余）”等实际问题，转化为求两个数的最大公因数问题。核心是找到能同时“量尽”两个原始量的最大单位。  ▲方法的比较与选择：列举法普适性强；筛选法在数字特征明显（如较小数因数少）时效率高。鼓励学生通过练习体会，培养根据数据特点灵活选用策略的能力。  ▲有序思考的重要性：在列举因数时，成对、有序地寻找（如找12的因数：1×12，2×6，3×4），是确保不重复、不遗漏的基石，直接影响找公因数的准确性。八、教学反思  （一）目标达成度分析：从课堂练习反馈和小组讨论情况看，绝大多数学生能准确理解公因数与最大公因数的概念，并能运用至少一种方法正确找出两个数的最大公因数。基础层练习正确率预估在90%以上，表明知识技能目标基本达成。在解决实际问题（如截木料）时，约70%的学生能顺利建立数学模型，表明应用能力目标得到初步落实。情感目标方面，学生在探究不同方法时表现出较高兴趣，小组交流氛围积极。  （二）环节有效性评估：导入环节的“裁纸”情境成功引发了学生的认知冲突和探究欲望，有效衔接了旧知与新问题。新授环节的四个任务环环相扣，“操作感知→归纳概念→探索方法→尝试应用”的路径符合学生的认知规律。任务三中鼓励算法多样化，促进了学生思维的深度参与。然而，在“探索方法”环节，给予学生自由思考的时间可能略显紧张，部分思维稍慢的学生尚未形成自己的策略便进入了交流环节，未来可考虑增加12分钟的独立“沉思”时间。巩固训练的分层设计满足了不同学生的需求，挑战题虽只有少数学生尝试，但起到了很好的思维导向作用。  （三）学生表现深度剖析：课堂观察发现，学生差异明显。约30%的“策略优化者”能迅速掌握筛选法并发现特殊规律，他们需要更具挑战性的任务（如三个数的最大公因数探究）来保持思维活性。约60%的“方法掌握者”能扎实掌握一至两种方法，通过练习巩固即可。另有约10%的“概念构建中”学生，对“公有”的理解