8.2多边形的内角和与外角和 第1课时 教案（2024-2025学年华东师大版 数学七年级下册）

8.2多边形的内角和与外角和第1课时教案（2024—2025学年华东师大版数学七年级下册）一、教材分析本节课选自华东师大版七年级下册第八章第二节第1课时，是在学生已经掌握三角形的概念、内角和定理及图形的基本认识之后，对多边形知识的延伸与拓展，也是后续学习多边形外角和、四边形性质、相似多边形等内容的重要基础。结合2022版数学新课标要求，本节课聚焦“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养，引导学生通过观察、猜想、操作、推理等活动，经历多边形内角和公式的推导过程，体会“转化”这一重要数学思想，将多边形问题转化为已学的三角形问题解决，培养学生的逻辑推理能力和几何直观素养。教材编排遵循学生认知发展规律，从具体的多边形（四边形、五边形）入手，逐步过渡到一般n边形，层层递进，既注重知识的衔接，也注重探究过程的呈现，为学生提供充分的动手实践和思维探究空间，契合七年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点。二、教学目标结合2022版新课标核心素养要求，围绕“学习理解、应用实践、迁移创新”三个层次，制定以下教学目标，实现层层递进、逐步提升：（一）学习理解1.能准确识别多边形、凸多边形、正多边形的概念，明确多边形的顶点、边、内角、对角线等基本要素，区分凸多边形与凹多边形的差异；2.回顾三角形内角和定理的内容及推导方法，能初步感知多边形内角和与三角形内角和的关联，理解将多边形转化为三角形的转化思想；3.掌握四边形、五边形内角和的计算方法，能准确说出推导过程中用到的分割技巧。（二）应用实践1.能熟练运用多边形内角和公式计算任意n边形的内角和，解决与多边形内角和相关的基础计算题（如已知边数求内角和、已知内角和求边数）；2.能运用多边形内角和知识解决简单的实际问题，如判断一个多边形的内角和是否符合特定条件、计算多边形未知内角的度数；3.能规范书写多边形内角和公式的推导过程，准确表达自己的探究思路和推理逻辑。（三）迁移创新1.能探索出推导多边形内角和的不同方法（如从多边形内部取一点、从边上取一点分割多边形），体会转化思想的灵活性；2.能结合多边形内角和公式，探究正多边形每个内角的度数规律，解决与正多边形相关的拓展问题；3.能将多边形内角和的探究方法迁移到其他几何图形的探究中，培养几何推理的迁移能力和创新思维，践行新课标“三会”核心素养要求。三、重点难点（一）教学重点1.多边形、凸多边形、正多边形的概念辨析，能准确识别各类多边形；2.多边形内角和公式的推导过程，理解转化思想的应用；3.运用多边形内角和公式解决基础计算题和简单实际问题。（二）教学难点1.多边形内角和公式推导过程中，如何合理将多边形分割为三角形，理解分割后三角形个数与多边形边数的关系；2.灵活运用转化思想，探索不同的推导方法，体会数学思维的严谨性和灵活性；3.运用多边形内角和知识解决综合性、拓展性问题，实现知识的迁移与创新。四、课堂导入（5分钟）导入环节紧扣新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求，结合学生生活经验，激发探究兴趣，同时衔接已学知识，做好铺垫，同步落实“教-学-评”一体化中的“评”（初步评价学生对三角形内角和的掌握情况）。1.情境展示：呈现生活中常见的多边形物体，如地板砖（正六边形）、课桌桌面（四边形）、五角星（五边形）、自行车车架（三角形与四边形组合），引导学生观察：“这些物体的表面都是由什么形状组成的？它们与我们之前学过的三角形有什么区别？”2.回顾衔接：提问学生：“我们已经学过三角形的内角和是多少度？怎么推导出来的？”（引导学生回忆三角形内角和180°，推导方法：剪拼法、平行线性质推导法），进一步追问：“那四边形、五边形的内角和又是多少呢？我们能不能用类似的方法探究出来？”3.导入课题：通过学生的观察和回答，自然引出本节课的课题——多边形的内角和与外角和（第1课时），明确本节课核心任务：认识多边形，探究多边形内角和的计算方法，并运用其解决相关问题。评价要点：观察学生对生活中多边形的识别能力，评价学生对三角形内角和定理及推导方法的掌握程度，判断学生是否能快速衔接新旧知识，激发探究欲望。五、探究新知（20分钟）本环节围绕“教-学-评”一体化理念，拆分3个递进式探究任务，引导学生自主探究、合作交流，经历“观察—猜想—操作—推理—总结”的过程，突破重点、化解难点，落实新课标核心素养要求，每一步均融入评价，及时反馈学生学习情况。探究任务一：认识多边形（落实知识点1：多边形的相关概念）1.自主观察：呈现不同类型的图形（三角形、四边形、五边形、六边形，包含凸多边形和凹多边形），让学生自主观察，对比这些图形与三角形的异同，尝试用自己的语言描述多边形的定义。2.概念讲解：结合学生的描述，规范多边形的定义：由三条或三条以上不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形，叫做多边形。明确多边形的基本要素：顶点、边、内角（相邻两条边组成的角）、对角线（连接多边形不相邻两个顶点的线段）。3.辨析拓展：通过对比图形，讲解凸多边形与凹多边形的区别：画出多边形的任意一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形；否则就是凹多边形（结合简单图形演示，让学生直观区分）。补充正多边形的概念：各个边都相等，各个内角都相等的凸多边形，叫做正多边形（举例：正三角形、正方形、正六边形）。4.即时评价：呈现一组图形（包含凸多边形、凹多边形、非封闭图形、线段不首尾顺次连接的图形），让学生举手判断哪些是多边形、哪些是凸多边形、哪些是正多边形，说明判断理由，评价学生对概念的理解和辨析能力，及时纠正错误认知。探究任务二：探究四边形、五边形的内角和（落实知识点2：具体多边形的内角和推导）1.猜想假设：引导学生结合三角形内角和180°，猜想四边形的内角和是多少度（预设学生猜想360°），追问：“你怎么验证这个猜想？能不能用三角形内角和的推导方法，将四边形转化为三角形来解决？”2.动手操作：让学生分组合作，拿出准备好的四边形纸片、直尺，尝试通过分割的方法，将四边形转化为三角形，记录分割方法和分割后三角形的个数。教师巡视指导，提醒学生注意分割时线段的选取（连接不相邻的两个顶点）。3.交流展示：邀请不同小组上台展示分割方法（预设：从四边形的一个顶点出发，连接两个不相邻的顶点，将四边形分割成2个三角形），引导学生计算内角和：2×180°=360°，验证猜想正确。补充其他分割方法（如从四边形内部取一点，连接各个顶点，分割成4个三角形，内角和为4×180°-360°=360°），让学生体会转化方法的多样性。4.迁移探究：让学生自主尝试用同样的方法（分割法）探究五边形的内角和，分组交流分割方法和计算过程，教师引导学生总结：从五边形一个顶点出发，连接不相邻的顶点，可分割成3个三角形，内角和为3×180°=540°。5.即时评价：评价学生的动手操作能力和合作交流能力，检查学生分割方法的合理性和内角和计算的准确性，鼓励学生大胆尝试不同的分割方法，培养学生的几何直观和推理能力。探究任务三：推导n边形的内角和公式（落实知识点3：多边形内角和公式）1.列表梳理：引导学生梳理三角形、四边形、五边形的边数、分割后三角形的个数、内角和，填写表格（口头梳理，不使用数字编号），对比分析，寻找规律：图形类型：三角形，边数：3，分割后三角形个数：1，内角和：1×180°；图形类型：四边形，边数：4，分割后三角形个数：2，内角和：2×180°；图形类型：五边形，边数：5，分割后三角形个数：3，内角和：3×180°。2.规律总结：引导学生发现，从n边形的一个顶点出发，能连接（n-3）条对角线，将n边形分割成（n-2）个三角形。结合三角形内角和180°，推导得出n边形的内角和公式：n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）。3.公式验证：让学生用公式计算三角形、四边形、五边形的内角和，验证公式的正确性，强调公式中n的取值范围（n≥3），说明“n为整数”的原因（边数为正整数）。4.即时评价：评价学生的观察分析能力和归纳推理能力，检查学生对公式推导过程的理解程度，让学生口述公式的推导思路，确保每个学生都能掌握公式的由来，而非死记硬背。六、课堂练习（10分钟）课堂练习遵循“分层设计”原则，贴合三个层次的教学目标，兼顾基础、提升和拓展，落实“教-学-评”一体化中的“评”，及时检测学生的学习效果，反馈教学漏洞，针对性讲解纠正，贴合新课标要求，培养学生的应用能力和创新思维。基础题（落实应用实践第一层，面向全体学生）1.判断下列图形是否为凸多边形、正多边形，并说明理由；2.计算边数为6的多边形（六边形）的内角和；3.已知一个多边形的内角和为1080°，求这个多边形的边数。评价要点：学生对多边形概念的辨析能力，对内角和公式的基础应用能力，计算的准确性。提升题（落实应用实践第二层，面向中等水平学生）1.一个四边形的三个内角分别为80°、100°、120°，求第四个内角的度数；2.一个凸五边形的内角和比一个凸四边形的内角和多多少度？评价要点：学生运用内角和公式解决实际问题的能力，对凸多边形概念的灵活运用，推理的规范性。拓展题（落实迁移创新层，面向学有余力学生）1.求正六边形每个内角的度数；2.尝试用从多边形内部取一点的方法，推导n边形的内角和公式，与本节课所学方法对比，说明两种方法的异同。评价要点：学生对正多边形性质的探究能力，转化思想的灵活运用，知识的迁移创新能力，逻辑推理的严谨性。练习反馈：学生独立完成，小组内互相检查纠错，教师巡视指导，针对共性问题（如公式应用错误、分割方法不合理）集中讲解，个性问题单独辅导，确保每个学生都能在练习中巩固知识、提升能力。七、课堂总结（3分钟）本环节落实“教-学-评”一体化，以学生为主体，引导学生自主总结，教师补充完善，梳理本节课知识体系，强化重点、突破难点，同时评价学生对本节课知识的掌握情况，培养学生的归纳总结能力。1.自主总结：让学生自主回顾本节课所学内容，尝试用自己的语言梳理知识点和探究过程，口述自己的收获（如：认识了多边形、凸多边形、正多边形的概念；学会了推导多边形内角和公式的方法；掌握了多边形内角和公式，并能运用其解决问题；体会了转化思想的应用等）。2.补充完善：教师结合学生的总结，梳理本节课核心知识点，强调重点：多边形的相关概念、内角和公式的推导过程及应用，强调难点：转化思想的灵活运用，补充学生遗漏的知识点（如正多边形的特点、公式中n的取值范围）。3.素养升华：结合2022版新课标要求，引导学生感悟：本节课通过将多边形转化为三角形，解决了内角和的探究问题，体现了“用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养，鼓励学生在今后的几何学习中，主动运用转化思想，探索未知问题。评价要点：学生对本节课知识的归纳总结能力，对核心知识点和数学思想的理解程度，语言表达的准确性和规范性。八、课后任务（1分钟）课后任务遵循“分层设计、兼顾基础与拓展”的原则，贴合课堂所学内容，落实教学目标，衔接后续学习，同时培养学生的自主学习能力和实践能力，符合新课标“学以致用”的要求。基础作业（必做）1.教材对应习题，完成基础计算题（已知边数求内角和、已知内角和求边数）；2.画出一个凸六边形，标注出它的顶点、边、内角、一条对角线，并计算其内角和。拓展作业（选做）1.探究正n边形每个内角的度数公式，并计算正八边形、正十边形每个内角的度数；2.收集生活中更多多边形物体，分析它们的边数、内角和，尝试运用本节课所学知识解决与这些物体相关的简单几何问题，撰写简短的探究笔记（100字左右）。作业要求：书写规范、步骤完整，拓展作业鼓励学生大胆尝试，主动探究，培养创新思维和实践能力，下节课分享探究成果。九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、突出重点、条理清晰”的原则，贴合教学过程，便于学生回顾和记忆核心知识点，体现“教-学-评”一体化理念，排版规范、美观，无冗余信息。多边形的内角和与外角和（第1课时）一、多边形的相关概念1.多边形：三条及以上线段首尾顺次连接的封闭图形2.凸多边形vs凹多边形（直观区分）3.正多边形：各边相等、各内角相等的凸多边形二、多边形内角和推导1.分割法：多边形→三角形（转化思想）三角形（3边）：1×180°四边形（4边）：2×180°五边形（5边）：3×180°2.公式：n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3，n为整数）三、公式应用1.已知边数求内角和2.已知内角和求边数3.求多边形未知内角四、核心思想：转化思想五、课后任务（基础+拓展）十、教学反思本节课围绕2022版数学新课标“三会”核心素养要求，以“教-学-评”一体化理念为核心，设计了分层递进的教学环节，引导学生自主探究、合作交流，完成了多边形相关概念、内角和公式推导及应用的教学目标，贴合七年级学生的认知发展规律。亮点之处：1.导入环节结合生活实际，激发了学生的探究兴趣，有效衔接了已学的三角形内角和知识，为后续探究奠定了良好基础；2.探究新知环节拆分合理，分层递进，让学生经历了“具体—抽象—归纳”的过程，充分体现了学生的主体地位，落实了转化思想的教学，契合新课标核心素养要求；3.课堂练习和课