8.3 用多边形铺设地面新教材七年级下册数学同步教案(华东师大版2024)教学设计

8.3用多边形铺设地面新教材七年级下册数学同步教案(华东师大版2024)教学设计教材分析本节课是华东师大版2024新教材七年级下册第八章第三节内容，承接前两节多边形的概念、多边形内角和与外角和的知识，是多边形知识的实际应用延伸，也是几何知识与现实生活联系的重要纽带。结合2022版数学新课标要求，本节课以“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”为核心导向，引导学生从生活中常见的地砖、墙面铺设现象出发，探究多边形铺设地面的规律，体会几何图形的实用性和美感。教材编排遵循七年级学生从具体到抽象、从感知到推理的认知规律，先呈现生活中的镶嵌实例，再通过探究活动引导学生发现平面镶嵌的条件，最后拓展到多种多边形的组合镶嵌，既巩固了多边形内角和的知识，又培养了学生的探究能力、应用意识和创新意识，为后续学习更复杂的几何应用奠定基础。同时，教材注重联系生活实际，选取学生熟悉的场景，让学生感受数学与生活的密切联系，落实新课标中“数学源于生活、用于生活”的理念。教学目标学习理解1.能准确说出平面镶嵌的定义，明确平面镶嵌的核心特征（无空隙、不重叠，覆盖整个平面）；2.掌握平面镶嵌的基本条件，能结合多边形内角和知识，推导得出单一正多边形能够完成平面镶嵌的种类及理由；3.认识常见的单一多边形、多种多边形组合镶嵌的图形，能区分有效镶嵌与无效镶嵌。应用实践1.能根据平面镶嵌的条件，判断给定的单一正多边形（如正三角形、正方形、正六边形等）能否完成平面镶嵌；2.能设计简单的单一正多边形镶嵌图案，结合生活实例说明镶嵌图案的设计思路；3.能初步分析两种正多边形组合镶嵌的可行性，尝试画出简单的组合镶嵌示意图。迁移创新1.能结合多边形内角和知识，推导多种正多边形组合镶嵌的一般规律，解决简单的组合镶嵌问题；2.能联系生活实际，发现平面镶嵌在建筑、装饰等领域的应用价值，尝试设计具有个性化的镶嵌图案；3.能运用平面镶嵌的知识，解释生活中部分镶嵌图案的设计原理，培养用数学语言表达现实世界的能力，提升创新思维和实践能力。重点难点教学重点1.平面镶嵌的定义及核心条件；2.单一正多边形能够完成平面镶嵌的种类及推导过程；3.运用平面镶嵌的条件，判断图形能否镶嵌、设计简单的镶嵌图案。教学难点1.平面镶嵌条件的推导过程（结合多边形内角和，理解“在一个顶点处各个内角之和为360°”的核心原理）；2.两种及以上正多边形组合镶嵌的可行性分析及规律总结；3.结合新课标要求，将数学知识与生活实际结合，实现知识的迁移创新，能用数学语言解释生活中的镶嵌现象。课堂导入（情境导入，贴合生活，落实“用数学的眼光观察现实世界”）展示一组生活中常见的镶嵌实例：教室地面的正方形地砖、小区墙面的正六边形瓷砖、家里阳台的正三角形防滑垫、古建筑门窗上的多边形镶嵌图案，同时播放简短的实景视频，引导学生仔细观察这些图案的特点。提问引导：“同学们，仔细观察这些地面、墙面的图案，它们都是由哪些图形组成的？这些图形在拼接的时候，有什么共同的特点？有没有出现空隙？有没有重叠在一起？我们生活中还有哪些地方能看到类似的图案？”学生自由发言，分享自己的观察发现，教师结合学生的回答，补充引导：“这些图案都是由多边形拼接而成的，它们拼接后没有空隙、不重叠，刚好覆盖整个平面，这种现象在数学中叫做‘平面镶嵌’。今天我们就一起来探究，什么样的多边形能够用来铺设地面，背后隐藏着怎样的数学规律。”（导入设计意图：从学生熟悉的生活场景入手，激发学生的学习兴趣，引导学生用数学的眼光观察生活中的图形，发现平面镶嵌的现象，自然引入本节课的主题，同时为后续探究镶嵌条件做好铺垫，落实教-学-评一体化中“学”的导入环节，初步评价学生的观察能力。）探究新知（结构化设计，分层探究，落实“教-学-评”一体化，紧扣新课标数学思维、数学语言要求，拆分3个核心知识点，逐步突破重点难点）知识点一：平面镶嵌的定义（教：结合导入环节的实例，引导学生提炼平面镶嵌的核心特征，给出规范定义；学：学生结合实例，自主总结定义，小组交流补充；评：评价学生的总结能力，是否能准确抓住“无空隙、不重叠、覆盖整个平面”三个核心点）教师引导：“结合刚才我们观察的图案，大家尝试用自己的话总结一下，什么是平面镶嵌？”学生自主总结，小组内交流讨论，修正补充，之后每组派代表发言，教师结合学生的发言，给出平面镶嵌的规范定义：用一些多边形拼接在一起，它们既没有空隙，也不重叠，恰好覆盖整个平面，这种现象叫做平面镶嵌（也叫平面密铺）。补充强调：平面镶嵌的两个核心条件——①无空隙（拼接后没有空白区域）；②不重叠（拼接的图形之间没有重叠部分），两个条件缺一不可。即时评价：展示2-3个易错图形（如正五边形拼接有空隙、两个正方形重叠拼接），让学生判断是否为平面镶嵌，并说明理由，评价学生对定义的理解程度。知识点二：单一正多边形的平面镶嵌（教：引导学生结合多边形内角和知识，探究单一正多边形镶嵌的条件；学：小组合作，动手操作，计算、推导，得出结论；评：评价学生的探究能力、逻辑推理能力，是否能运用内角和知识推导镶嵌条件）1.提出问题：“我们生活中常见的地砖多是正方形、正六边形，为什么很少见到正五边形、正七边形的地砖？是不是所有的正多边形都能完成平面镶嵌？”2.探究准备：回顾正多边形的性质——正n边形的每个内角都相等，每个内角的度数为（n-2）×180°÷n；明确平面镶嵌的核心：拼接时，在同一个顶点处，各个正多边形的内角之和必须等于360°（因为一个周角是360°，只有满足这个条件，才能做到无空隙、不重叠）。3.小组探究：将学生分成4组，分别探究正三角形、正方形、正五边形、正六边形的镶嵌可行性，每组发放对应的正多边形纸片（或让学生在练习本上画图），动手拼接，同时计算每个正多边形的内角，验证在一个顶点处拼接的个数及内角和。4.推导过程：（1）正三角形：每个内角为（3-2）×180°÷3=60°；设在一个顶点处拼接k个正三角形，则60°×k=360°，解得k=6，k为整数，因此正三角形能完成平面镶嵌。（2）正方形：每个内角为（4-2）×180°÷4=90°；设在一个顶点处拼接k个正方形，则90°×k=360°，解得k=4，k为整数，因此正方形能完成平面镶嵌。（3）正五边形：每个内角为（5-2）×180°÷5=108°；设在一个顶点处拼接k个正五边形，则108°×k=360°，解得k≈3.33，k不是整数，因此正五边形不能完成平面镶嵌。（4）正六边形：每个内角为（6-2）×180°÷6=120°；设在一个顶点处拼接k个正六边形，则120°×k=360°，解得k=3，k为整数，因此正六边形能完成平面镶嵌。5.得出结论：单一正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形能够完成平面镶嵌，其他正多边形均不能完成平面镶嵌（因为解得的k不是整数，无法满足“无空隙、不重叠”的条件）。即时评价：让学生自主计算正七边形（每个内角约128.57°）、正八边形（每个内角135°）的镶嵌可行性，发言说明推导过程，评价学生对镶嵌条件的运用能力和逻辑推理能力。知识点三：多种正多边形的平面镶嵌（教：引导学生拓展探究，结合单一正多边形的镶嵌条件，分析两种正多边形的组合规律；学：自主尝试、小组合作，推导组合条件，设计简单图案；评：评价学生的迁移能力、创新能力，是否能灵活运用知识解决问题）1.提出问题：“除了单一正多边形，我们生活中也能看到两种或多种正多边形组合镶嵌的图案（如正三角形和正方形组合的地砖），那么两种正多边形组合，需要满足什么条件才能完成平面镶嵌？”2.探究引导：类比单一正多边形的镶嵌条件，两种正多边形组合镶嵌时，在同一个顶点处，两种正多边形的内角之和也必须等于360°，设两种正多边形分别为正m边形和正n边形，在一个顶点处分别拼接a个和b个（a、b均为正整数），则满足：（m-2）×180°÷m×a+（n-2）×180°÷n×b=360°。3.实例探究：（1）正三角形和正方形组合：正三角形内角60°，正方形内角90°，尝试代入公式：60°a+90°b=360°，化简得2a+3b=12，寻找正整数解：当b=1时，2a=9，a=4.5（不是整数，舍去）；当b=2时，2a=6，a=3（整数，符合条件）；当b=3时，2a=3，a=1.5（舍去）；当b=4时，2a=0（舍去）。因此，a=3、b=2，即一个顶点处拼接3个正三角形和2个正方形，能完成平面镶嵌。（2）正三角形和正六边形组合：正三角形内角60°，正六边形内角120°，代入公式：60°a+120°b=360°，化简得a+2b=6，正整数解：当b=1时，a=4（符合条件，1个正六边形+4个正三角形）；当b=2时，a=2（符合条件，2个正六边形+2个正三角形）；当b=3时，a=0（舍去）。因此，这两种组合均能完成平面镶嵌。4.得出结论：两种正多边形组合镶嵌，核心是在同一个顶点处，两种正多边形的内角乘以各自的拼接个数，之和等于360°，且拼接个数均为正整数；多种正多边形组合，同理，在同一个顶点处，所有多边形的内角之和为360°即可。即时评价：让学生自主探究正正方形和正六边形的组合可行性，推导并验证，小组展示探究成果，评价学生的迁移探究能力和逻辑推理能力，鼓励学生动手画出组合镶嵌的示意图。（探究新知设计意图：分层探究三个知识点，符合七年级学生的认知规律，每个知识点都落实教-学-评一体化，教师引导、学生主体，让学生在探究中理解知识、运用知识，培养数学思维和数学语言表达能力，突破重点难点，贴合新课标要求。）课堂练习（分层设计，贴合教学目标，落实教-学-评一体化，兼顾基础、提升、拓展，评价学生对知识的掌握程度和运用能力，及时反馈纠正）基础练习（贴合学习理解目标）1.判断下列图形能否完成平面镶嵌，并说明理由：（1）正三角形；（2）正五边形；（3）正八边形；（4）任意三角形。2.填空：平面镶嵌的两个核心条件是________和________；单一正多边形中，能完成平面镶嵌的有________、________、________。提升练习（贴合应用实践目标）1.计算：在一个顶点处，拼接几个正六边形能完成平面镶嵌？请写出推导过程。2.设计题：画出一个由正三角形镶嵌而成的简单图案，并简要说明设计思路。3.判断：一个顶点处拼接2个正三角形和2个正六边形，能否完成平面镶嵌？说明理由。拓展练习（贴合迁移创新目标）1.探究：正三角形和正十二边形能否组合完成平面镶嵌？若能，求出在一个顶点处的拼接个数；若不能，说明理由。2.实践题：结合生活实际，设计一个两种正多边形组合的镶嵌图案，标注出所用的正多边形种类和每个顶点处的拼接个数。练习评讲：学生自主完成后，小组内互相批改、交流，教师针对易错题型（如组合镶嵌的可行性判断）进行重点评讲，纠正学生的错误思路，强调镶嵌条件的核心，评价学生对三个层次教学目标的达成情况，及时弥补知识漏洞。课堂总结（落实教-学-评一体化，以学生自主总结为主，教师补充完善，梳理知识体系，强化重点，培养学生的归纳能力）1.学生自主总结：请学生结合本节课的探究过程，自主梳理本节课的核心知识点、重点难点，分享自己的学习收获、探究体会，以及遇到的问题和解决方法。2.教师补充完善：结合学生的总结，梳理本节课的知识框架，强化重点：（1）核心知识点：平面镶嵌的定义（两个核心条件）、单一正多边形的镶嵌种类及条件、多种正多边形组合镶嵌的条件；（2）核心方法：运用多边形内角和知识，推导镶嵌条件，判断图形能否镶嵌，设计镶嵌图案；（3）数学思想：数形结合思想（将图形拼接与角度计算结合）、转化思想（将镶嵌问题转化为角度和问题）、探究思想；（4）新课标体现：通过本节课的学习，学会用数学的眼光观察生活中的镶嵌现象，用数学的思维推导镶嵌规律，用数学的语言表达镶嵌原理和设计思路。3.总结评价：对学生的总结情况进行评价，肯定学生的收获，鼓励学生在生活中继续发现数学、运用数学，强化知识的记忆和理解。课后任务（分层设计，贴合教学目标，兼顾基础巩固、应用实践和迁移创新，联系生活实际，落实新课标“数学用于生活”的理念，延伸课堂学习，同时为后续教学提供反馈依据）基础任务（全员必做）1.完成课堂练习中的基础练习和提升练习，订正错题，整理错题本，简要分析错误原因；2.背诵平面镶嵌的定义、单一正多边形的镶嵌种类及条件，能独立推导单一正多边形的镶嵌条件；3.观察生活中的平面镶嵌图案，记录3个不同的镶嵌实例，标注所用的多边形种类。提升任务（选做，兼顾能力提升）1.完成课堂练习中的拓展练习，尝试探究三种正多边形组合镶嵌的可行性，写出1种符合条件的组合，并推导拼接个数；2.用彩笔绘制1幅两种正多边形组合的镶嵌图案，标注所用图形和每个顶点处的拼接个数，简要说明设计思路。迁移任务（选做，兼顾创新能力）1.结合本节课所学知识，分析生活中某一种镶嵌图案（如古建筑的镶嵌装饰）的设计原理，撰写一段100字左右的分析文字；2.尝试用非正多边形（如任意三角形、任意四边形）拼接，探究其能否完成平面镶嵌，记录探究过程和结论。任务要求：认真完成，书写规范，基础任务确保全员掌握，提升任务和迁移任务鼓励学生大胆尝试，培养探究能力和创新意识，下次课分享交流优秀成果。板书设计（简洁明了，突出核心知识点，贴合教学过程，便于学生回顾和记忆，兼顾新课标要求）用多边形铺设地面一、平面镶嵌（密铺）核心条件：无空隙、不重叠二、单一正多边形的镶嵌1.内角和公式：（n-2）×180°2.镶嵌条件：一个顶点处内角和=360°（k为正整数）3.可行种类：正三角形（k=6）、正方形（k=4）、正六边形（k=3）三、多种正多边形的镶嵌核心条件：一个顶点处，各内角和=360°实例：正三角形+正方形（3个+2个）、正三角形+正六边形（4个+1个）四、数学思想与新课标体现数形结合、转化、探究；用数学的眼光、思维、语言认识世界教学反思（结合教-学-评一体化理念，贴合新课标要求，反思教学过程中的优点与不足，提出改进措施，促进教学优化，贴合七年级学生认知特点）本节课围绕“用多边形铺设地面”展开，紧扣2022版数学新课标“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心要求，以“教-学-评”一体化为核心，设计了情境导入、探究新知、课堂练习、课堂总结、课后任务等环节，分层落实三个维度的教学目标，贴合七年级学生从具体到抽象、从感知到推理的认知规律。本节课的优点的在于：一是情境导入贴合生活，能有效激发学生的学习兴趣，引导学生用数学的眼光观察生活，落实新课标理念；二是探究新知环节结构化设计合理，拆分三个核心知识点，分层探究，教师引导、学生主体，小组合作探究与自主推导结合，既能让学生深入理解知识，又能培养学生的探究能力、逻辑推理能力，落实教-学-评一体化，每个知识点都设计了即时评价，及时反馈学生的学习情况；三是课堂练习和课后任务分层设计，贴合三个维度的教学目标，兼顾不同层次学生的需求，同时联系生活实际，让学生体会数学与生活的密切联系，落实“数学源于生活、用于生活”的理念；四是注重数学思想的渗透，数形结合、转化、探究思想贯穿始终，培养学生的数学思维，贴合新课标对数学思维能力的要求。本节课的不足在于：一是探究多种正多边形组合镶嵌时，部分学生对组合条件的推导理解不够透彻，尤其是公式的运用不够熟练，导致部分学生无法快速判断两种正多边形的组合可行性，这与七年级学生的逻辑推理能力仍在发展中有关，也反映出对难点的突破不够细致；二是课堂时