第04讲 一元一次方程的应用（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学 华东师大版 2022新课标）

第04讲一元一次方程的应用（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学华东师大版2022新课标）一、教材分析本节课选自华东师大版七年级数学新教材，是一元一次方程章节的核心应用内容，承接一元一次方程的解法，是衔接代数运算与实际生活的关键纽带，也是寒假预习中夯实基础、提升应用能力的重点课时。结合2022年数学新课标要求，本节课以“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”为核心导向，打破“重解法、轻应用”的传统模式，注重引导学生从实际情境中提取数学信息、构建方程模型，培养学生的数学应用意识和建模能力。教材编排贴合七年级学生认知规律，从生活中常见的实际问题入手，逐步引导学生经历“审题—找等量关系—列方程—解方程—检验”的完整过程，既巩固一元一次方程的解法，又渗透数学建模、转化与归纳的数学思想，为后续二元一次方程、一元二次方程的应用以及更复杂的数学建模问题奠定基础。本节课的预习教学，既能弥补学生学期末的知识薄弱点，又能培养学生自主探究、合作交流的学习能力，契合寒假预习“查漏补缺、提前衔接”的核心目标，同时落实新课标中“强化数学与生活的联系，提升学生核心素养”的要求。二、教学目标结合2022新课标数学核心素养要求，遵循“学习理解—应用实践—迁移创新”层层递进的原则，制定本节课教学目标如下：（一）学习理解1.能准确识别一元一次方程应用的常见场景（和差倍比、行程问题、工程问题），理解每个场景中关键量的含义及相互关系；2.掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤，能清晰区分每个步骤的核心任务，理解“找等量关系”是列方程的关键；3.结合新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求，能从实际问题中提取数学信息，将文字描述转化为数学语言，初步感知数学建模的过程。（二）应用实践1.能运用列一元一次方程的一般步骤，独立解决和差倍比、行程问题、工程问题中的基础题型，规范书写解题过程（审题标注、等量关系书写、方程求解、检验作答）；2.能结合具体问题，灵活调整解题思路，准确找到题目中的等量关系，突破“找等量关系难”的易错点，落实“用数学的思维思考现实世界”的素养要求；3.在解题过程中，能主动检验方程的解是否符合实际意义，培养严谨的数学思维习惯，提升数学运算与应用能力。（三）迁移创新1.能将一元一次方程的应用方法迁移到生活中其他简单实际问题（如计费问题、利润问题）中，自主构建方程模型，解决陌生情境下的数学问题；2.能结合寒假生活场景，自主设计简单的一元一次方程应用题，实现“学用结合”，落实“用数学的语言表达现实世界”的核心素养；3.在小组合作探究中，能主动分享解题思路，倾听他人意见，优化解题方法，培养合作交流能力和创新思维，为后续更复杂的数学应用问题学习做好铺垫。三、重点难点（一）教学重点1.列一元一次方程解应用题的一般步骤（审题、设元、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答）；2.掌握和差倍比、行程问题、工程问题这三类基础应用题的等量关系构建方法，能独立列出正确的一元一次方程；3.落实新课标要求，培养学生从实际情境中提取数学信息、构建方程模型的意识和能力。（二）教学难点1.准确找到实际问题中的等量关系，尤其是复杂场景下（如行程问题中的相遇、追及，工程问题中的合作、分工）的等量关系提取；2.设元的合理性（直接设元与间接设元的选择），能根据题目特点灵活选择合适的设元方式，简化解题过程；3.理解方程的解与实际问题的联系，能主动检验解的合理性，避免出现“只解方程、不验实际”的错误，同时实现知识的迁移应用，解决陌生情境下的实际问题。四、课堂导入（5分钟）结合寒假预习场景，采用“生活情境提问+旧知衔接”的导入方式，贴合学生生活，激发预习兴趣，同时落实新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求，具体流程如下：1.情境提问：“同学们，寒假马上就要到了，很多同学都会帮家里采购年货。假设妈妈让你去超市买苹果和橘子，已知苹果每斤5元，橘子每斤3元，你一共买了10斤水果，花了42元，那么你买了多少斤苹果、多少斤橘子？”引导学生思考：这个问题可以用我们之前学过的什么知识解决？（算术法、一元一次方程）2.旧知衔接：引导学生回忆一元一次方程的解法，提问：“如果我们用一元一次方程来解决这个问题，首先要做什么？”（设未知数）“设完未知数之后，关键是找到什么？”（等量关系），唤醒学生对一元一次方程的已有认知，明确“找等量关系”是解决应用问题的核心。3.导入新课：“算术法解决这个问题需要逆向思考，而一元一次方程可以让我们顺着题意思考，更简洁、更直观。今天我们就来预习一元一次方程的应用，重点学习如何从生活实际问题中提取数学信息、找到等量关系、列出方程并解决问题，掌握三类基础应用题的解题方法，为寒假后的学习做好准备。”导入设计贴合寒假生活，既能激发学生的学习兴趣，又能衔接旧知、点明新课核心，同时渗透“数学源于生活、用于生活”的理念，契合新课标要求。五、探究新知（25分钟）遵循“教-学-评”一体化理念，将探究新知环节拆分为“知识点探究—即时评价—易错点强调”三个部分，每个知识点均遵循“情境导入—自主探究—合作交流—总结归纳”的流程，贴合七年级学生认知规律，突出新课标核心素养要求，共设计3个核心知识点，具体如下：（一）知识点一：和差倍比问题（最基础、最贴近生活）1.情境探究：呈现寒假生活相关例题：“寒假期间，小明和小红一起阅读课外书，小明读的页数比小红的2倍少10页，已知两人一共读了110页，小红读了多少页？”2.自主探究：让学生独立审题，标注题目中的关键信息（小红的页数、小明的页数、两人总页数），尝试设未知数，寻找等量关系，列出方程（给予5分钟时间，教师巡视，关注学生的审题习惯和等量关系寻找情况）。3.合作交流：邀请2-3名学生分享自己的解题思路，重点分享“设什么为未知数”“找到的等量关系是什么”，教师针对学生的分享进行点评，纠正错误思路（如设未知数不规范、等量关系找错），引导学生达成共识：（1）设元：设小红读了x页，则小明读了（2x-10）页（直接设元，贴合题意，简洁易懂）；（2）等量关系：小红读的页数+小明读的页数=两人总页数（x+(2x-10)=110）；（3）解方程：3x-10=110→3x=120→x=40；（4）检验：小红读40页，小明读2×40-10=70页，两人一共读40+70=110页，符合题意，解合理；（5）作答：小红读了40页。4.总结归纳：引导学生结合例题，总结和差倍比问题的核心特点——已知两个量之间的和、差、倍、比关系，求其中一个量；关键是找到“和、差、倍、比”对应的等量关系，设其中一个未知量为x，用含x的代数式表示另一个未知量，再根据等量关系列方程。5.即时评价：给出1道基础变式题（贴合寒假场景）：“寒假里，妈妈买的春联数量是福字的3倍，春联比福字多8副，妈妈买了多少副福字？”让学生独立完成，教师巡视批改，针对错误率较高的地方（如等量关系找错：春联数量-福字数量=8）进行强调，评价学生对知识点的掌握情况，落实“学-评”结合。6.易错点强调：提醒学生，和差倍比问题中，“倍”的关系容易混淆（如“甲是乙的2倍少3”，应为甲=2×乙-3，而非甲=2×(乙-3)），设元后要及时检验代数式是否符合题意。（二）知识点二：行程问题（重点、易错点）1.情境探究：结合寒假走亲戚场景，呈现例题：“寒假期间，小明跟随爸爸去外婆家，两地相距120千米，爸爸开车的速度是每小时60千米，小明想知道，从家到外婆家一共需要多长时间？”同时拓展相遇问题：“如果外婆家的表姐同时从外婆家出发，骑自行车去接小明，表姐骑自行车的速度是每小时15千米，两人同时出发，经过多长时间相遇？”2.自主探究：先让学生解决第一问（简单行程问题），再尝试解决相遇问题，重点思考：行程问题中，核心的量有哪些？（路程、速度、时间）三者之间的关系是什么？（路程=速度×时间）相遇问题中，等量关系又是什么？3.合作交流：先解决第一问，引导学生明确：已知路程和速度，求时间，设时间为t小时，等量关系为“速度×时间=路程”，方程为60t=120，解得t=2，检验后作答（需要2小时）。再重点交流相遇问题，邀请学生分享思路，教师引导学生画图分析（贴合七年级学生具象思维特点），明确：相遇时，小明爸爸行驶的路程+表姐行驶的路程=两地总距离，设经过t小时相遇，则爸爸行驶60t千米，表姐行驶15t千米，等量关系为60t+15t=120，解方程得t=1.6，检验后作答（经过1.6小时相遇）。4.总结归纳：引导学生总结行程问题的核心公式（路程=速度×时间），以及相遇问题的等量关系（两者行驶路程之和=总路程），同时提醒学生：遇到行程问题，可通过画图分析，清晰呈现各量之间的关系，帮助找到等量关系；若题目中涉及追及问题（后续拓展），等量关系为“快者行驶路程-慢者行驶路程=初始距离”。5.即时评价：给出基础变式题：“寒假里，小红从家步行去图书馆，每分钟走60米，走了10分钟后，妈妈发现小红忘带借书证，骑自行车去追小红，妈妈每分钟骑180米，经过多长时间能追上小红？”让学生独立完成，重点评价学生对追及问题等量关系的掌握情况，针对错误思路进行纠正，落实“教-评”同步。6.易错点强调：行程问题中，要注意单位统一（如速度是千米/小时，路程就要用千米，时间用小时）；相遇与追及问题的等量关系容易混淆，画图分析是突破难点的关键；同时要检验解的合理性（如时间不能为负数）。（三）知识点三：工程问题（核心是“工作量”关系）1.情境探究：结合寒假家务场景，呈现例题：“寒假期间，小明主动承担家务，负责打扫家里的客厅，小明单独打扫需要12分钟完成，妈妈单独打扫需要6分钟完成，如果小明和妈妈一起打扫，需要多长时间能完成客厅的打扫任务？”2.自主探究：让学生独立审题，思考：工程问题中，核心的量有哪些？（工作量、工作效率、工作时间）三者之间的关系是什么？（工作量=工作效率×工作时间）题目中没有给出具体的工作量，该如何处理？（引导学生理解“将总工作量看作单位1”）3.合作交流：邀请学生分享自己的思路，教师引导学生达成共识：（1）将打扫客厅的总工作量看作单位1；（2）工作效率：小明单独做12分钟完成，所以小明的工作效率是1/12（每分钟完成总工作量的1/12）；妈妈单独做6分钟完成，妈妈的工作效率是1/6；（3）等量关系：小明的工作量+妈妈的工作量=总工作量（两人合作，工作时间相同，设为x分钟，则小明的工作量为(1/12)x，妈妈的工作量为(1/6)x，等量关系为(1/12)x+(1/6)x=1）；（4）解方程：(1/12+2/12)x=1→(3/12)x=1→x=4；（5）检验：两人合作4分钟，小明完成4×(1/12)=1/3，妈妈完成4×(1/6)=2/3，两人一共完成1/3+2/3=1，符合题意，解合理；（6）作答：两人一起打扫，需要4分钟完成。4.总结归纳：引导学生总结工程问题的核心特点——已知两人或多人的单独工作时间，求合作时间（或反之）；关键是将总工作量看作单位1，根据“工作效率=总工作量÷工作时间”，表示出每个人的工作效率，再根据“合作工作量=各个人工作量之和”找到等量关系，列方程求解。5.即时评价：给出基础变式题：“寒假里，爸爸要修家里的桌椅，单独修需要15分钟完成，爸爸修了5分钟后，小明过来帮忙，两人一起修了2分钟完成了任务，小明单独修需要多长时间？”让学生独立完成，重点评价学生对“部分工作量+合作工作量=总工作量”这一等量关系的掌握情况，及时纠正错误，强化知识点。6.易错点强调：工程问题中，必须将总工作量看作单位1，避免出现“直接用工作时间相加”的错误；同时要注意，若有人先单独工作、再合作，等量关系要体现“单独工作量+合作工作量=总工作量”，确保等量关系的准确性。探究新知环节总结：引导学生回顾三个知识点的核心内容，明确：无论哪种类型的应用题，核心流程都是“审题—设元—找等量关系—列方程—解方程—检验—作答”，其中“找等量关系”是关键，而结合情境画图、提取关键信息，是突破难点的有效方法，同时再次强调，要始终牢记新课标要求，学会用数学的眼光、思维和语言解决生活中的实际问题。六、课堂练习（15分钟）遵循“教-学-评”一体化理念，课堂练习分“基础巩固—提升拓展—综合应用”三个层次，贴合寒假预习难度，覆盖三个核心知识点，兼顾不同层次学生的需求，练习后及时点评，强化知识点掌握，同时检验教学效果，具体练习如下：（一）基础巩固题（每题3分，共3题，全员必做）1.和差倍比问题：寒假期间，超市里的牛奶销量比果汁多20箱，牛奶的销量是果汁的1.5倍，超市里果汁卖了多少箱？（考查和差倍比问题的等量关系构建与方程求解，基础简单，巩固知识点一）2.行程问题：小明从家骑自行车去书店，速度是每小时12千米，骑了0.5小时后到达书店，小明家到书店的距离是多少千米？（考查行程问题核心公式，基础简单，巩固知识点二）3.工程问题：小红单独整理自己的书包需要8分钟，小明单独整理需要10分钟，两人一起整理，需要多长时间能整理好？（考查工程问题的核心思路，巩固知识点三）（二）提升拓展题（每题4分，共2题，选做+必评）1.行程问题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时5千米，乙的速度是每小时4千米，经过2小时两人相遇，A、B两地相距多少千米？若两人同时出发，同向而行（甲在乙后面），经过多长时间甲能追上乙？（考查相遇与追及问题的综合应用，提升学生的思维灵活性，巩固知识点二）2.工程问题：一项寒假家务任务，妈妈单独做需要10分钟完成，爸爸单独做需要15分钟完成，妈妈先做了3分钟后，爸爸加入一起做，还需要多长时间能完成这项任务？（考查“单独工作+合作工作”的等量关系，提升学生的解题能力，巩固知识点三）（三）综合应用题（5分，选做+拓展）寒假期间，某文具店推出优惠活动，笔记本每本5元，钢笔每支12元，小明带了100元，买了若干本笔记本和2支钢笔，剩余的钱不超过10元，小明最多买了多少本笔记本？（考查和差倍比问题与实际约束条件的结合，渗透不等式思想，培养学生的迁移创新能力，落实新课标核心素养要求）练习点评：练习结束后，教师针对不同层次的题目进行点评，重点讲解提升拓展题和综合应用题的解题思路，纠正学生的共性错误（如等量关系找错、单位不统一、检验环节缺失）；对完成较好的学生进行表扬，对基础薄弱的学生进行针对性指导，确保每个学生都能巩固基础、有所提升；同时结合练习情况，评价学生对本节课知识点的掌握情况，及时调整后续教学节奏，落实“评-教”结合。七、课堂总结（5分钟）遵循“学生自主总结+教师补充完善”的方式，结合“教-学-评”一体化理念，引导学生回顾本节课的核心内容，梳理知识体系，强化记忆，同时升华新课标核心素养要求，具体流程如下：1.学生自主总结：邀请2-3名学生分享本节课的收获，重点分享“学到了哪些知识点”“列一元一次方程解应用题的关键是什么”“遇到了哪些易错点，如何避免”，培养学生的归纳总结能力。2.教师补充完善：结合学生的分享，梳理本节课的核心内容，重点强调：（1）三个核心知识点：和差倍比问题、行程问题、工程问题，分别掌握其等量关系构建方法和解题思路；（2）一个核心流程：列一元一次方程解应用题的一般步骤（审题、设元、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答），其中“找等量关系”是关键，“检验”是保证解的合理性的重要环节；（3）两个核心能力：结合新课标要求，提升“用数学的眼光观察生活、用数学的思维解决问题、用数学的语言表达现实”的核心素养，以及自主探究、合作交流的学习能力；（4）易错点回顾：再次强调和差倍比问题中“倍”的关系、行程问题中的单位统一、工程问题中总工作量看作单位1等易错点，提醒学生牢记，避免犯错。3.升华引导：“本节课我们通过寒假生活中的常见场景，学习了一元一次方程的应用，感受到了数学与生活的密切联系。希望同学们在寒假期间，能主动运用所学知识解决生活中的实际问题，做到‘学用结合’，同时继续夯实基础，查漏补缺，为寒假后的学习做好充分准备，努力成为会用数学、善用数学的人。”八、课后任务（贴合寒假预习特点）结合寒假预习场景，课后任务分“基础巩固—拓展提升—实践探究”三个层次，兼顾“查漏补缺、提前衔接”的核心目标，落实新课标“学用结合”的要求，同时培养学生的自主学习能力，具体任务如下：（一）基础巩固任务（必做）1.完成本节课课堂练习中的基础巩固题和提升拓展题，规范书写解题过程，确保每个步骤都完整（标注等量关系、检验环节不可缺失）；2.整理本节课三个知识点的核心内容、等量关系、易错点，抄写在预习笔记本上，加深记忆；3.完成教材对应课时的课后基础习题，巩固一元一次方程应用的一般步骤和三个核心知识点，查漏补缺。（二）拓展提升任务（选做）1.完成本节课课堂练习中的综合应用题，尝试总结这类“含约束条件”的应用题的解题思路，为后续学习做铺垫；2.搜集1-2道生活中的一元一次方程应用题（贴合寒假场景，如采购、出行、家务等），独立完成解题，同时写下自己的审题思路和等量关系分析，下节课分享交流；3.尝试解决简单的计费问题（如手机话费、水电费计费），运用一元一次方程的应用方法，构建方程模型，提升迁移创新能力。（三）实践探究任务（选做，鼓励全员参与）结合寒假生活，自主设计一道一元一次方程应用题（涉及本节课所学的三个知识点之一），要求情境真实、题意清晰、数据合理，同时写出对应的解题过程和检验步骤，下节课与同学互相交换做题、点评，实现“学用结合”，落实“用数学的语言表达现实世界”的新课标要求。任务要求：书写规范、字迹工整，基础任务确保完成，拓展任务和实践探究任务根据自身情况选择完成；遇到困难时，可查阅教材、笔记，也可向家长、同学请教，培养自主学习和解决问题的能力；下节课将重点点评课后任务的完成情况，检验预习效果。九、板书设计（简洁明了、突出核心，贴合课堂流程）第04讲一元一次方程的应用（寒假预习）核心素养（2022新课标）：观察、思维、表达现实世界一、核心流程（必记）审题→设元（直接/间接）→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答二、三个核心知识点（一）和差倍比问题关键：找和、差、倍、比等量关系例：小红x页，小明2x-10页，x+(2x-10)=110（二）行程问题核心公式：路程=速度×时间相遇：甲路程+乙路程=总距离追及：快者路程-慢者路程=初始距离（三）工程问题关键：总工作量看作单位1，效率=1÷时间合作：甲工作量+乙工作量=总工作量三、易错点1.等量关系找错；2.单位不统一；3.检验缺失；4.设元不合理四、课后任务基础巩固→拓展提升→实践探究十、教学反思本节课作为七年级数学寒假预习讲义，围绕一元一次方程的应用展开，紧扣2022新课标数学核心素养要求，以“教-学-评”一体化理念为核心，结合寒假生活场景设计教学环节，贴合七年级学生认知规律，重点落实“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的要求，同时注重培养学生的自主探究、合作交流和归纳总结能力，现将教学中的亮点与不足、改进方向总结如下：（一）教学亮点1.贴合寒假场景，激发预习兴趣：本节课的导入、例题、练习、课后任务均结合寒假生活场景（采购、出行、家务等），贴近学生生活，打破了传统应用题的枯燥感，有效激发了学生的预习兴趣，同时落实了“数学源于生活、用于生活”的新课标理念。2.知识点设计合理，层次清晰：围绕3个核心知识点（和差倍比、行程、工程问题）展开，循序渐进、由浅入深，每个知识点均遵循“情境探究—自主探究—合作交流—总结归纳—即时评价”的流程，贴合七年级学生认知规律，同时突出“教-学-评”一体化，及时检验学生的学习效果，强化知识点掌握。3.落实新课标要求，凸显核心素养：整个教学过程始终围绕新课标数学核心素养展开，引导学生从实际情境中提取数学信息、构建方程模型，培养学生的数学应用意识和建模能力，同时通过自主探究、合作交流、实践探究等环节，培养学生的自主学习能力和创新思维，实现“学习理解—应用实践—迁移创新”的三层目标递进。4.注重易错点强调，突破教学难点：每个知识点探究结束后，均强调对应的易错点，结合学生可能出现的错误（如等量关系找错、单位不统一）进行提前提醒，同时通过课堂练习、即时评价等环节，及时纠正学生的错误，帮助学生突破“找等量关系难”这一核心难点，培养严谨的数学思维习惯。（二）教学不足1.对基础薄弱学生的关注不够：本节课探究新知环节以自主探究、合作交流为主，部分基础薄弱的学生可能无法快速跟上教学节奏，在找等量关系、设元等环节容易出现困难，而课堂时间有限，无法对每个基础薄弱学生进行充分的针对性指导，导致这部分学生的预习效果可能不够理想。2.知识迁移的深度不足：虽然设计了迁移创新类题目（如综合应用题、实践探究任务），但对知识点的迁移拓展不够深入，尤其是对行程问题中的追及问题、工程问题中的分工问题，讲解较为基础，未能充分引导学生拓展思维，部分学有余力的学生可能无法得到充