第6章 一次方程组2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版新教材)河南专版

第6章一次方程组2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)河南专版一、教材分析本章是华东师大版七年级下册数学核心内容之一，承接上册一元一次方程的学习，是方程知识的延伸与拓展，也是后续学习二元一次方程组的应用、一次函数及不等式组的重要基础，在整个初中代数知识体系中起到承上启下的关键作用。结合2022版数学新课标要求，本章重点培养学生用数学的眼光观察现实世界中含多个未知量的问题，用数学的思维思考未知量之间的等量关系，用数学的语言表达等量关系并转化为方程组求解，契合七年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点。从河南专版教材编排来看，内容贴合本地学生生活实际，融入了校园生活、农业生产、交通出行等河南地域相关的情境案例，注重知识的实用性和层次性，逐步引导学生从“解决单一未知量”向“解决多个未知量”过渡，既落实了新课标对运算能力、模型观念的培养要求，也为学生后续参与数学实践、解决实际问题奠定了基础。本章内容编排遵循“概念引入—解法探究—应用拓展”的逻辑，符合“教-学-评”一体化的教学理念，便于教师开展分层教学，兼顾不同层次学生的学习需求。二、教学目标结合2022版数学新课标核心素养要求，围绕“学习理解—应用实践—迁移创新”三个层次，制定以下教学目标，层层递进、逐步提升，落实“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心要求。（一）学习理解1.能准确识别二元一次方程、二元一次方程组及它们的解，明确二元一次方程（组）的本质特征，理解“含有两个未知数、含未知数的项的次数都是1、整式方程”这三个核心条件，能区分二元一次方程与一元一次方程、分式方程的不同。2.掌握代入消元法的核心思路和完整步骤，理解“消元”的数学思想——将二元一次方程组转化为已经学过的一元一次方程，明确代入消元法中“用一个未知数表示另一个未知数”的关键环节，能说出每一步变形的依据。3.理解二元一次方程组解的含义，知道二元一次方程组的解是两个方程的公共解，能通过检验判断一组数值是否为二元一次方程组的解。（二）应用实践1.能熟练运用代入消元法解二元一次方程组，能规范书写解题步骤，准确处理去括号、移项、合并同类项、系数化为1等运算环节，减少运算错误。2.能结合简单的现实情境（如购物、行程、校园活动等），找出其中的两个等量关系，列出二元一次方程组，初步体会方程组的模型价值。3.能对解题过程进行简单检验和反思，能纠正解题中出现的常见错误（如代入时漏乘、移项不变号等），提升运算的准确性和规范性。（三）迁移创新1.能灵活运用代入消元法解决含字母参数的二元一次方程组问题，能根据方程组解的特点求字母参数的值，培养分类讨论的数学思维。2.能结合河南地域相关的实际情境（如小麦种植产量计算、郑州地铁行程规划、校园义卖等），构建二元一次方程组模型，解决稍复杂的实际问题，体会数学与生活的密切联系，提升应用意识。3.能尝试探索代入消元法的优化思路，能将消元思想迁移到简单的三元一次方程组（选学）的求解中，为后续学习做好铺垫，培养创新思维和知识迁移能力。三、重点难点（一）教学重点1.二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念辨析，能准确识别相关概念并理解其本质。2.代入消元法的核心思路和完整解题步骤，能熟练运用代入消元法解二元一次方程组，确保运算规范、结果准确。3.能结合现实情境找出等量关系，列出二元一次方程组，初步掌握方程组解决实际问题的基本流程。（二）教学难点1.理解“消元”思想的本质，能灵活运用“用一个未知数表示另一个未知数”的方法，突破代入消元法中的关键环节，避免出现漏乘、符号错误等问题。2.结合实际情境寻找两个等量关系，尤其是当情境较为复杂或等量关系不明显时，能准确提炼等量关系并转化为方程组，突破“建模”难点。3.解决含字母参数的二元一次方程组问题，能根据解的特点分析字母参数的取值，培养分类讨论的思维，提升知识迁移能力。四、课堂导入结合河南本地生活情境，采用“问题情境导入+旧知迁移”的方式，激发学生兴趣，衔接已有知识，自然引入新课，落实新课标“数学与现实世界联系”的要求。师：同学们，春天是小麦生长的关键时期，咱们河南作为农业大省，很多农户都会关注小麦的种植情况。今天老师带来一个和小麦种植相关的问题：农户家里有两块麦田，一块种的是优质小麦，一块种的是普通小麦，两块麦田的总面积是10亩，优质小麦的面积比普通小麦的面积多2亩，请问这两块麦田各有多少亩？师：请大家思考一下，这个问题中有几个未知量？（引导学生说出“优质小麦面积”和“普通小麦面积”两个未知量）师：咱们之前学过一元一次方程，能不能用一元一次方程解决这个问题？请大家试着列出方程。（给学生2分钟时间思考，邀请1名学生上台书写，教师点评：设普通小麦面积为x亩，则优质小麦面积为(x+2)亩，列方程x+(x+2)=10，解得x=4，优质小麦面积为6亩）师：大家做得非常好！用一元一次方程能解决这个问题，但我们发现，这里有两个未知量，只用一个未知数表示另一个未知数，有时候会比较麻烦。如果我们用两个未知数来表示这两个量，会不会更直观呢？比如设优质小麦面积为x亩，普通小麦面积为y亩，结合题目中的两个条件，能列出什么样的式子？今天我们就来学习一种新的方程知识——一次方程组，一起来解决这类含多个未知量的问题。（板书课题，自然引入新课）五、探究新知围绕三个核心知识点，分三个探究环节开展教学，每个环节遵循“情境探究—合作交流—归纳总结—初步评价”的流程，落实“教-学-评”一体化理念，贴合学生认知规律，逐步突破重点、化解难点。探究环节一：二元一次方程、二元一次方程组的概念1.情境铺垫：结合导入环节的问题，引导学生列出两个式子。师：设优质小麦面积为x亩，普通小麦面积为y亩，“两块麦田的总面积是10亩”可以列出式子x+y=10；“优质小麦的面积比普通小麦的面积多2亩”可以列出式子x-y=2。请大家观察这两个式子，和我们之前学的一元一次方程有什么不同？2.合作探究：将学生分成4人小组，讨论以下问题，时间3分钟：（1）这两个式子中，各含有几个未知数？（2）含未知数的项的次数都是几？（3）这两个式子是不是整式方程？（小组讨论后，邀请2-3个小组代表发言，分享讨论结果）3.归纳总结：结合学生的发言，教师引导归纳。像x+y=10、x-y=2这样，含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。强调三个核心条件：两个未知数、含未知数的项次数为1、整式方程，缺一不可。4.概念延伸：师：我们把这两个二元一次方程合在一起，写成$\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$的形式，这样由两个含有相同未知数的二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。引导学生注意：方程组中两个方程的未知数必须相同，且每个方程都是二元一次方程。5.初步评价：给出3个式子（①2x+3y=5②3x+$\frac{1}{y}$=2③x+2y=3z），让学生判断哪些是二元一次方程，说明理由；给出2个方程组，判断哪些是二元一次方程组，及时反馈学生对概念的理解情况，纠正错误认知。探究环节二：二元一次方程（组）的解1.问题引导：师：我们知道，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，那二元一次方程的解是什么呢？结合x+y=10这个方程，大家试着找一组x、y的值，使方程左右两边相等。（给学生1分钟时间思考，邀请学生发言，如x=4，y=6；x=5，y=5等）2.归纳概念：教师引导学生总结：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。强调：二元一次方程的解有无数组，因为只要满足两个未知数的和（或差、积、商，结合方程特点）为指定值，就都是方程的解。3.延伸探究：师：那二元一次方程组的解是什么呢？结合我们列出的方程组$\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$，大家找一组x、y的值，既要满足第一个方程，也要满足第二个方程。（学生尝试寻找，教师引导学生发现x=6，y=4既能使x+y=10成立，也能使x-y=2成立）4.总结概念：二元一次方程组中，各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。强调：二元一次方程组的解一般只有一组（特殊情况无解或有无数组解后续学习），可以通过代入检验的方法判断一组数值是否为方程组的解。5.动手实践：让学生检验x=5，y=5是不是上述方程组的解，x=7，y=3是不是方程组的解，通过动手操作，熟练掌握检验方法，教师巡视指导，及时纠正检验过程中的错误。6.评价反馈：通过随机提问的方式，让学生说出二元一次方程与二元一次方程组解的区别与联系，强化对概念的理解，落实学习理解层面的教学目标。探究环节三：代入消元法解二元一次方程组1.思想引导：师：我们已经知道了二元一次方程组的解，那如何准确求出方程组的解呢？结合导入环节的问题，我们用一元一次方程求出了x=4（普通小麦面积），y=6（优质小麦面积），而这个一元一次方程是由“y=x+2”代入“x+y=10”得到的，这其中蕴含着一种重要的数学思想——消元思想，就是把“二元”转化为“一元”，转化成我们已经学过的知识来解决。2.步骤探究：以方程组$\begin{cases}x+y=10①\\x-y=2②\end{cases}$为例，引导学生逐步探究代入消元法的步骤：（1）变：从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。引导学生观察，方程②中x的系数是1，较简单，由方程②变形得x=y+2③（教师强调变形时要注意移项变号，规范书写）。（2）代：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。将③代入①，得(y+2)+y=10，引导学生思考：为什么能代入？（因为③中x与y+2相等，代入后①中就只有y一个未知数，实现“消元”）。（3）解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。解(y+2)+y=10，去括号得y+2+y=10，合并同类项得2y+2=10，移项得2y=8，系数化为1得y=4（教师规范书写解题步骤，强调每一步的依据）。（4）回：将求出的未知数的值代入变形后的式子（③），求出另一个未知数的值。将y=4代入③，得x=4+2=6。（5）验：检验求得的两个未知数的值是不是原方程组的解，确保结果准确。将x=6，y=4代入①，左边=6+4=10=右边；代入②，左边=6-4=2=右边，所以方程组的解是$\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}$。3.归纳步骤：结合上述过程，教师引导学生总结代入消元法的核心步骤：变（消元变形）→代（代入消元）→解（解一元一次方程）→回（求另一个未知数）→验（检验），强调“变”和“代”是关键环节，“验”是保证结果准确的重要步骤。4.易错提醒：针对学生可能出现的错误，重点强调：（1）变形时移项要变号，不能漏乘；（2）代入时要代入另一个方程，不能代入变形后的式子本身；（3）检验时要代入原方程组的两个方程，缺一不可。5.合作练习：让学生以小组为单位，用代入消元法解方程组$\begin{cases}y=2x①\\3x+y=15②\end{cases}$，每个小组推选1名代表上台书写解题过程，教师点评，及时纠正错误，强化步骤规范，落实应用实践层面的教学目标。六、课堂练习遵循“分层设计、循序渐进”的原则，结合“教-学-评”一体化理念，设计基础题、提升题、拓展题三个层次的练习，对应教学目标的三个层面，及时检测学生的学习效果，反馈教学情况，同时兼顾不同层次学生的学习需求。（一）基础题（对应学习理解层面，全员必做）1.判断下列方程是不是二元一次方程：（1）3x+2y=7（2）x+$\frac{1}{2}$y=3（3）xy=4（4）2x+y+z=5，说明理由。2.判断$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$是不是方程组$\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$的解，写出检验过程。3.用代入消元法解下列二元一次方程组：（1）$\begin{cases}y=3x\\x+y=8\end{cases}$（2）$\begin{cases}x=2y-1\\3x+y=11\end{cases}$（设计意图：检验学生对二元一次方程（组）概念、解的检验方法及代入消元法基础步骤的掌握情况，夯实基础，纠正常见错误。）（二）提升题（对应应用实践层面，全员必做，学有余力者可拓展）1.已知方程2x+3y=12，写出满足该方程的两组正整数解。2.用代入消元法解方程组$\begin{cases}2x-y=5\\3x+4y=2\end{cases}$（提示：先将第一个方程变形为y=2x-5）。3.结合校园生活情境：七年级（1）班共有45名学生，其中男生人数比女生人数多5人，设男生有x人，女生有y人，列出二元一次方程组，并求出方程组的解。（设计意图：强化代入消元法的灵活运用，引导学生结合简单现实情境列方程组，体会方程组的模型价值，提升应用能力。）（三）拓展题（对应迁移创新层面，选做）1.已知方程组$\begin{cases}x+y=5\\ax+3y=13\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，求a的值。2.结合河南地域情境：一辆货车从郑州运往洛阳，全程120千米，已知货车的速度比客车慢20千米/小时，货车行驶全程所用时间比客车多1小时，设货车速度为x千米/小时，客车速度为y千米/小时，列出二元一次方程组（不求解）。3.尝试用代入消元法解方程组$\begin{cases}x+y+z=6\\x=1\\y=2\end{cases}$，体会消元思想的迁移运用。（设计意图：培养学生的迁移创新能力，结合含字母参数的问题和地域情境问题，提升学生的思维品质和应用意识，兼顾学有余力学生的拓展需求。）练习反馈：学生独立完成练习，教师巡视指导，重点关注基础薄弱学生的解题情况，及时给予帮扶；练习完成后，挑选典型解题过程（正确和错误）进行点评，分析错误原因，强化解题规范，同时对拓展题进行简要讲解，激发学生的探究兴趣。七、课堂总结遵循“学生自主梳理、教师补充完善”的原则，结合“教-学-评”一体化理念，引导学生回顾本节课的核心知识点和解题方法，梳理知识体系，强化记忆，同时反思自己的学习收获和不足，落实教学目标。1.自主梳理：让学生独立思考1分钟，然后同桌之间相互交流，分享本节课学到的知识点、解题方法和易错点，尝试梳理知识框架。2.代表发言：邀请2-3名学生上台，分享自己的梳理结果，教师认真倾听，及时补充和纠正，引导学生完善知识体系。3.教师总结：结合学生的发言，教师进行系统性总结，强调三个核心要点：（1）概念层面：掌握二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念，牢记二元一次方程的三个核心条件，区分二元一次方程与一元一次方程、二元一次方程的解与方程组的解的不同。（2）方法层面：掌握代入消元法解二元一次方程组的核心思路（消元，将二元转化为一元）和完整步骤（变→代→解→回→验），牢记易错点，规范解题步骤，提升运算准确性。（3）思想与应用层面：理解消元思想的本质，能结合简单的现实情境（尤其是河南本地情境）找出等量关系，列出二元一次方程组，初步体会数学建模思想，感受数学与生活的密切联系。4.反思提升：引导学生反思：本节课自己掌握得最好的知识点是什么？最容易出错的地方是什么？还有哪些地方不理解？针对自己的不足，课后可以通过哪些方式弥补？培养学生的反思意识和自主学习能力。八、课后任务结合分层教学理念，设计基础任务、提升任务、实践任务三个层次的课后任务，兼顾不同层次学生的需求，同时衔接课堂知识，强化知识巩固和应用拓展，落实“教-学-评”一体化的延伸要求，贴合2022新课标对实践能力的培养要求。（一）基础任务（全员必做）1.完成课堂练习中的基础题和提升题，规范书写解题步骤，确保每一步都有依据，重点纠正课堂上出现的错误。2.梳理本节课的核心知识点和代入消元法的解题步骤，整理到笔记本上，标注易错点和注意事项。3.用代入消元法解下列方程组：$\begin{cases}y=4x-3\\2x+y=9\end{cases}$，$\begin{cases}3x-y=7\\x+3y=1\end{cases}$，要求写出检验过程。（二）提升任务（学有余力者必做，其他学生选做）1.已知$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$是二元一次方程ax+by=7的一组解，且a-b=1，求a、b的值（提示：将解代入方程，结合a-b=1，列出方程组求解）。2.结合生活实际，编写一道能用二元一次方程组解决的应用题，要求包含两个未知量，写出题目、等量关系和方程组（不求解），下节课分享交流。（三）实践任务（全员参与）回家后，观察家里的生活场景（如购物小票、水电费缴纳、食材采购等），寻找一个含两个未知量的问题，尝试找出等量关系，列出二元一次方程组，记录下来，下节课和同学们一起探讨求解，体会数学在生活中的实际应用，培养应用意识。（设计意图：基础任务夯实课堂知识，提升任务拓展思维，实践任务衔接生活，落实新课标“数学与现实世界联系”的要求，同时培养学生的自主学习能力和实践能力。）九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、重点突出、逻辑清晰”的原则，贴合“教-学-评”一体化理念，突出核心知识点和解题方法，便于学生回顾和记忆，同时预留出互动和点评的空间。（黑板左侧为主板书，右侧为副板书，下方为互动点评区）主板书：一次方程组一、核心概念1.二元一次方程：两个未知数、含未知数项次数为1、整式方程2.二元一次方程组：两个含相同未知数的二元一次方程组成3.解：二元一次方程（无数组）；方程组（公共解，一般一组）二、代入消元法1.核心思想：二元→一元（消元）2.解题步骤：变：用一个未知数表示另一个未知数（如x=y+2）代：代入另一个方程，消去一个未知数解：解一元一次方程回：求另一个未知数的值验：代入原方程组检验3.示例：$\begin{cases}x+y=10①\\x-y=2②\end{cases}$（规范书写解题过程）三、核心素养：用数学的眼光、思维、语言解决问题副板书：易错点：1.变形时移项不变号2.代入时漏乘3.检验只代入一个方程互动点评区：学生典型解题过程（正确/错误）、课堂练习点评要点十、教学反思结合2022版数学新课标要求和“教-学-评”一体化理念，围绕本节课的教学过程、教学效果、学生表现及存在的问题进行全面反思，总结经验、查找不足，提出改进措施，为后续教学优化提供依据，提升教学质量，贴合学生认知发展需求。（一）教学亮点1.情境设计贴合实际，契合新课标要求：本节课以河南本地小麦种植情境导入，衔接校园生活、交通出行等情境，让学生感受到数学与生活的密切联系，有效激发了学生的学习兴趣，同时落实了“用数学的眼光观察现实世界”的核心素养要求，让抽象的数学概念变得具象化，贴合七年级学生的认知特点。2.探究过程层次清晰，落实“教-学-评”一体化：探究新知环节分三个层次，对应三个核心知识点，每个环节都遵循“情境探究—合作交流—归纳总结—初步评价”的流程，让学生主动参与知识的形成过程，不仅掌握了知识点，还提升了合作交流能力和探究能力，同时通过课堂练习和课堂总结，及时检测和反馈学生的学习效果，实现“教、学、评”同步推进。3.教学目标分层落实，兼顾不同学生需求：教学目标分学习理解、应用实践、迁移创新三个层次，课堂练习和课后任务也对应设计了基础、提升、拓展三个层次，既保证了基础薄弱学生掌握核心知识，也兼顾了学有余力学生的拓展需求，落实了分层教学理念，契合新课标“面向全体学生”的要求。4.注重思想渗透和素养培养：本节课重点渗透消元思想和建模思想，引导学生理解“转化”的数学思维，同时结合教学过程，逐步培养学生用数学的语言表达等量关系、用数学的思维思考未知量之间的关系，落实了2022版数学新课标的核心素养要求，为学生后续学习奠定了良好的思维基础。（二）存在不足1.探究环节时间分配不够合理：在探究代入消元法的步骤时，由于引导过于细致，导致时间占用过长，使得拓展题的讲解和学生互动点评的时间不足，部分学生对含字母参数的问题理解不够透彻，迁移创新层面的教学目标落实不够充分。2.对学生易错点的预判不够全面：虽然在探究环节和练习中强调了易错点，但部分学生仍然出现变形时漏乘、检验只代入一个方程等错误，说明对学生的认知难点预判不够全面，对基础薄弱学生的个别