第6章 一次方程组2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版新教材)教学设计

第6章一次方程组2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)教学设计一、教材分析本章是华东师大版七年级下册数学核心内容之一，衔接七年级上册一元一次方程的知识，是方程体系的延伸与拓展，也是后续学习二元二次方程组、函数与方程关系的重要基础。一次方程组作为解决含有多个未知量实际问题的重要工具，贯穿初中数学“数与代数”领域，契合2022版新课标对数学学科核心素养的要求——引导学生用数学的眼光发现实际问题中的数量关联，用数学的思维分析未知量之间的等量关系，用数学的语言构建方程模型解决问题。教材遵循“从具体到抽象、从实践到理论、从简单到复杂”的编排逻辑，先通过生活实际情境引入二元一次方程（组）的概念，再逐步探究代入消元法、加减消元法两种核心解法，最后结合实际问题渗透方程组的应用，层层递进，贴合七年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点，注重培养学生的运算能力、模型观念和应用意识，实现“教-学-评”一体化的教学导向。二、教学目标结合2022版新课标数学核心素养要求，从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面设计教学目标，层层递进，兼顾知识掌握、能力培养和素养提升：（一）学习理解层面1.能准确识别二元一次方程、二元一次方程组的定义，明确二元一次方程（组）的解的含义，能判断一组数值是否为方程（组）的解；2.理解代入消元法、加减消元法的核心原理，掌握两种解法的基本步骤，能清晰阐述每一步运算的依据；3.初步感知一次方程组与一元一次方程的内在关联，体会“消元”思想（将二元转化为一元）的本质，建立知识之间的逻辑联系。（二）应用实践层面1.能熟练运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组，能根据方程组的特点选择简便的解法，确保运算准确、步骤规范；2.能从实际生活情境中提取数量关系，列出二元一次方程组，解决简单的实际问题（如行程问题、利润问题、和差倍比问题）；3.能对解题过程进行自我检验和纠错，养成规范书写、认真验算的良好习惯，提升运算能力和问题解决能力。（三）迁移创新层面1.能结合消元思想，尝试解决三元一次方程组（简单形式），实现知识的迁移运用，拓展思维广度；2.能灵活运用一次方程组解决复杂一点的实际问题，能多角度分析数量关系，尝试多种解题思路，培养思维的灵活性和创造性；3.能运用一次方程组的知识分析生活中的简单现象，解释实际问题的解决方案，体会数学与生活的密切联系，增强用数学解决实际问题的意识和信心，落实“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养。三、重点难点（一）教学重点1.二元一次方程（组）及其解的定义，能准确识别相关概念；2.代入消元法、加减消元法的基本步骤和运用，能熟练解二元一次方程组；3.从实际情境中提取数量关系，列出二元一次方程组解决简单实际问题。（二）教学难点1.理解“消元”思想的本质，能根据方程组的特点灵活选择合适的消元方法；2.解决实际问题时，准确找到题目中的等量关系，尤其是隐含的等量关系，完成从实际问题到数学模型的转化；3.运算过程中的细节把控（如移项变号、同类项合并、系数化为1），避免计算失误，养成严谨的运算习惯。四、课堂导入（约5分钟）采用生活情境导入法，结合学生熟悉的校园生活场景，激发学生的学习兴趣，自然引入新课，同时渗透新课标核心素养要求：师：同学们，新学期伊始，学校文具店准备购进一批笔记本和中性笔，方便大家学习使用。已知购进2本笔记本和3支中性笔，一共需要19元；购进1本笔记本和2支中性笔，一共需要11元。大家思考一下，每本笔记本和每支中性笔的单价各是多少元？（给学生30秒思考时间，引导学生发言）师：大家刚才都积极思考了，有同学说可以用一元一次方程来解决，我们不妨试着设未知数——设每本笔记本x元，那么根据第二个条件，每支中性笔的单价可以表示为（11-x）/2元，再代入第一个条件列出方程2x+3×（11-x）/2=19。这个方法非常好，但是大家有没有发现，这里有两个未知量，用一个未知数表示另一个未知数，有时候会比较繁琐。师：如果我们设两个未知数，设每本笔记本x元，每支中性笔y元，那么根据题目中的两个条件，就可以直接列出两个方程：2x+3y=19，x+2y=11。这样是不是更直观、更简洁？像这样含有两个未知数的方程，以及由两个这样的方程组成的一组方程，就是我们今天要学习的内容——一次方程组。今天我们就一起来探究一次方程组的相关知识，学会用新的方法解决这类含有多个未知量的问题。（设计意图：结合校园生活情境，贴近学生生活实际，激发学生的探究欲望；通过对比一元一次方程与两个未知数的表示方法，凸显一次方程组的优势，自然引入新课，同时引导学生用数学的眼光观察生活中的数量关系，初步感知模型观念。）五、探究新知（约25分钟）探究新知环节围绕三个核心知识点展开，层层递进，注重学生的自主探究、合作交流，落实“教-学-评”一体化，每一个知识点探究后及时进行小评价，确保学生掌握知识、提升能力。知识点一：二元一次方程、二元一次方程组的定义及解1.自主探究，感知概念师：请大家观察我们刚才列出的两个方程：2x+3y=19，x+2y=11。大家思考一下，这两个方程和我们之前学习的一元一次方程有什么相同点和不同点？（引导学生分组讨论，每组2-3人，讨论时间2分钟，然后请小组代表发言，分享讨论结果）师：大家总结得非常好，我们一起来梳理一下——相同点：方程两边都是整式，未知数的次数都是1；不同点：这两个方程都含有两个未知数，而一元一次方程只含有一个未知数。师：结合大家的发现，我们给出二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。（板书定义，强调关键词：两个未知数、次数都是1、整式方程）师：大家试着判断一下，下列方程是不是二元一次方程？（出示练习题：①3x+y=5；②2x+3=7；③xy=6；④x+1/y=3）请大家举手发言，说明理由。（学生发言后，教师点评，强调易错点：xy=6中，未知数的次数是2，不是二元一次方程；x+1/y=3不是整式方程，也不是二元一次方程，强化学生对定义的理解）2.延伸拓展，明确方程组定义师：我们刚才列出的两个二元一次方程2x+3y=19和x+2y=11，它们有什么关联？（引导学生发现：两个方程都含有相同的两个未知数x和y，并且表示的是同一个问题中的数量关系）师：像这样，把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。（板书定义，强调关键词：两个二元一次方程、相同未知数）补充说明：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程组成的，例如{x+y=3，x=1}，其中第二个方程是一元一次方程，但整个方程组仍然是二元一次方程组，因为它含有两个未知数，且未知数的次数都是1。3.深化理解，探究方程（组）的解师：我们知道，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，那么二元一次方程的解是什么呢？大家结合方程x+y=5，思考一下，x和y取哪些值时，这个方程左右两边相等？（给学生1分钟思考时间，引导学生列举不同的数值组合，如x=1，y=4；x=2，y=3；x=0，y=5等）师：大家列举的这些数值组合，都能使方程x+y=5左右两边相等，我们就把这样能使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的解。（板书定义）师：大家发现了吗？二元一次方程的解有什么特点？（引导学生发现：二元一次方程有无数组解）师：那二元一次方程组的解呢？我们回到刚才的文具店问题，方程组{2x+3y=19，x+2y=11}，我们需要找到一组x和y的值，既能满足第一个方程，又能满足第二个方程，这样的一组值就是二元一次方程组的解。大家试着算一算，这个方程组的解是什么？（学生自主计算，教师巡视指导，然后请学生发言，分享计算结果，最后教师总结：x=5，y=3，验证：把x=5，y=3代入两个方程，都能使左右两边相等，所以这个方程组的解是x=5，y=3，也就是每本笔记本5元，每支中性笔3元）师：总结一下，二元一次方程组的解，是使方程组中所有方程左右两边都相等的一组未知数的值，它通常只有一组解（特殊情况除外）。（板书定义）小评价：请大家快速完成一道小题，检验一下自己的掌握情况——判断{x=2，y=1}是不是方程组{2x+y=5，x-y=1}的解？（学生自主完成，举手回答，教师点评，及时纠正错误，强化对解的理解）知识点二：代入消元法解二元一次方程组1.问题引导，探究方法师：我们已经知道了二元一次方程组的解的含义，那如何准确、快速地求出二元一次方程组的解呢？大家回顾一下，我们刚才解决文具店问题时，是怎么找到x和y的值的？（引导学生回忆：从第二个方程x+2y=11中，我们可以把x表示为x=11-2y，然后把这个式子代入第一个方程，就变成了只含有y的一元一次方程，解出y的值后，再代入求出x的值）师：大家观察这个过程，我们把含有两个未知数的方程组，通过“代入”的方法，转化成了我们熟悉的一元一次方程，这种方法就是我们今天要学习的第一种解二元一次方程组的方法——代入消元法。“消元”就是消除一个未知数，把二元转化为一元，这是解二元一次方程组的核心思想。2.步骤拆解，规范操作师：我们结合具体的方程组，一起来拆解代入消元法的步骤，大家认真观察，做好笔记：解方程组{x+y=7，3x+y=17}。第一步：变形——从方程组中选一个系数比较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。我们选第一个方程x+y=7，变形为y=7-x（板书步骤，强调变形时移项要变号）；第二步：代入——将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。把y=7-x代入第二个方程3x+y=17，得到3x+（7-x）=17（板书，强调代入时要加括号，避免出错）；第三步：求解——解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。解3x+7-x=17，合并同类项得2x+7=17，移项得2x=10，系数化为1得x=5（板书，步骤规范，标注每一步依据）；第四步：回代——将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。把x=5代入y=7-x，得y=7-5=2（板书）；第五步：检验——将两个未知数的值代入原方程组，检验是否满足所有方程（可口头检验，也可书面检验）。检验：把x=5，y=2代入原方程组，第一个方程5+2=7，第二个方程3×5+2=17，均成立，所以方程组的解是{x=5，y=2}（板书，强调检验的重要性，避免计算失误）。3.合作练习，巩固方法师：请大家分组练习，每组解一道方程组，用代入消元法，步骤要规范，完成后小组内互相检查，纠正错误。第一组：{x-y=3，2x+3y=16}；第二组：{2x+y=9，x+3y=11}。（学生练习，教师巡视指导，重点关注基础薄弱的学生，及时解决他们的疑问）小评价：请两组各派一名代表上台板书解题过程，其他同学认真观察，点评他们的步骤是否规范、计算是否准确，教师最后总结，强调易错点：变形时移项变号、代入时加括号、检验不可遗漏，强化学生对代入消元法的掌握。知识点三：加减消元法解二元一次方程组1.情境迁移，发现新方法师：刚才我们学习了代入消元法，大家掌握得非常好。现在我们来看另一组方程组：{2x+3y=13，2x-y=5}。大家试着用代入消元法解一下，看看会遇到什么情况？（学生自主尝试解题，教师巡视，引导学生发现：这个方程组中，两个方程都含有2x，系数相同，如果我们把两个方程相减，就能直接消去x，得到只含有y的一元一次方程）师：大家发现得非常棒！我们一起来试一下：用第一个方程减去第二个方程，（2x+3y）-（2x-y）=13-5，去括号得2x+3y-2x+y=8，合并同类项得4y=8，解得y=2，再把y=2代入第二个方程2x-2=5，解得x=3.5，检验后可知，这个方程组的解是{x=3.5，y=2}。师：这种通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程的方法，叫做加减消元法，它也是解二元一次方程组的常用方法，同样体现了“消元”的核心思想。2.分类探究，掌握技巧师：加减消元法的关键是找到两个方程中，某个未知数的系数相同或互为相反数，这样才能通过相加或相减消去这个未知数。我们分两种情况来探究：情况一：某个未知数的系数相同（如刚才的方程组），用两个方程相减，消去这个未知数；情况二：某个未知数的系数互为相反数，例如方程组{3x+2y=10，x-2y=2}，我们发现y的系数是2和-2，互为相反数，这时把两个方程相加，（3x+2y）+（x-2y）=10+2，消去y，得到4x=12，解得x=3，再回代求出y的值。师：如果两个方程中，没有未知数的系数相同或互为相反数，我们该怎么办呢？例如方程组{2x+3y=8，x+2y=5}，大家思考一下，我们可以通过变形，让某个未知数的系数变得相同或互为相反数。（引导学生发言：可以把第二个方程两边同时乘以2，得到2x+4y=10，这时两个方程中x的系数都是2，就可以用相减的方法消去x了）师：非常好！当系数既不相同也不互为相反数时，我们可以选择一个合适的数，分别乘以两个方程（或其中一个方程），使某个未知数的系数变成相同或互为相反数，再用加减消元法求解。3.规范步骤，强化练习师：我们结合刚才的例子，总结加减消元法的基本步骤：①观察方程组，判断是否有未知数的系数相同或互为相反数；②若没有，变形使某个未知数的系数相同或互为相反数；③将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程；④解一元一次方程，求出一个未知数的值；⑤回代求出另一个未知数的值；⑥检验。师：请大家自主完成练习，用加减消元法解方程组{3x-2y=5，5x+4y=1}，步骤要规范，完成后同桌之间互相检验。（学生练习，教师巡视指导，重点讲解变形的技巧，及时纠正错误）小评价：请几位同学分享自己的解题过程，教师点评，强调变形时要注意方程两边同时乘以同一个数，等式仍然成立，避免出现漏乘的情况，确保学生掌握加减消元法的技巧和步骤。（设计意图：三个知识点层层递进，从概念到解法，再到解法技巧，符合学生的认知规律；通过自主探究、合作交流、小组练习等形式，充分发挥学生的主体作用，教师做好引导和点评，落实“教-学-评”一体化；每一个知识点探究后及时进行小评价，及时反馈学生的学习情况，查漏补缺，同时培养学生的运算能力、思维能力和合作意识，契合新课标核心素养要求。）六、课堂练习（约10分钟）课堂练习围绕三个核心知识点设计，分层递进，兼顾基础巩固、能力提升和拓展延伸，贴合“教-学-评”一体化要求，及时检验学生的学习效果，同时培养学生的规范书写和严谨运算习惯。练习后教师进行集中点评，重点讲解易错点和解题技巧。基础题（全员必做，巩固概念和基础解法）1.判断下列方程（组）是否为二元一次方程（组），并说明理由：（1）4x+y=7（2）3x+2=9（3）{x+y=5，xy=6}（4）{2x-y=3，x+1=4}2.用代入消元法解方程组：{x+2y=9，3x-y=1}3.用加减消元法解方程组：{2x+3y=14，2x-3y=2}提升题（小组讨论，提升应用能力）4.选择简便的方法解方程组：{3x+4y=16，5x-6y=33}5.已知{x=2，y=k}是方程组{2x+y=5，x-3y=-1}的解，求k的值。拓展题（自主尝试，培养迁移创新能力）6.解简单的三元一次方程组：{x+y=5，y+z=7，x+z=6}（设计意图：分层练习，兼顾不同层次学生的学习需求，基础题巩固本节课核心知识点，提升题培养学生选择简便解法的能力，拓展题引导学生迁移消元思想，尝试解决三元一次方程组，落实迁移创新的教学目标；练习过程中，教师巡视指导，及时发现学生的问题，练习后集中点评，查漏补缺，强化学生对知识的掌握，同时培养学生的运算能力和思维能力。）七、课堂总结（约3分钟）课堂总结采用“学生自主总结、教师补充完善”的方式，引导学生梳理本节课的核心知识点、解题方法和思想方法，形成知识体系，同时回顾新课标核心素养的落实情况，强化学生的记忆和理解。师：同学们，本节课我们一起学习了一次方程组的相关知识，现在请大家静下心来，回顾一下，本节课我们都学习了哪些内容？有哪些收获和体会？请大家举手发言，分享一下自己的总结。（学生自主发言，分享自己的总结，教师认真倾听，及时补充和纠正）师：大家总结得非常全面，我们一起来梳理一下本节课的核心内容：1.核心知识点：二元一次方程、二元一次方程组的定义及解的含义；代入消元法、加减消元法解二元一次方程组的步骤和技巧；2.核心思想：消元思想（将二元转化为一元），这是解一次方程组的关键，也是数学中重要的转化思想；3.解题技巧：代入消元法适合其中一个方程中某个未知数系数为1或-1的方程组；加减消元法适合两个方程中某个未知数系数相同或互为相反数的方程组，若没有，可通过变形实现；4.核心素养：本节课我们通过观察生活中的数量关系，用数学的语言构建方程模型，用数学的思维分析和解决问题，提升了运算能力、模型观念和应用意识，落实了新课标对数学学科核心素养的要求。师：希望大家课后能够及时复习，熟练掌握两种解法，灵活运用知识解决实际问题，养成规范书写、认真验算的良好习惯，为后续学习打下坚实的基础。八、课后任务（约1分钟布置）课后任务围绕本节课核心知识点设计，兼顾基础巩固、能力提升和拓展延伸，贴合“教-学-评”一体化要求，同时结合学生的认知特点，分层布置，确保不同层次的学生都能得到提升，同时培养学生的自主学习能力和实践能力。基础任务（全员必做）1.复习本节课所学知识点，背诵二元一次方程（组）的定义、代入消元法和加减消元法的步骤；2.完成教材对应练习题，用代入消元法和加减消元法各解3道二元一次方程组，步骤规范，书写工整，做好检验；3.思考：生活中还有哪些问题可以用二元一次方程组来解决？尝试列举1个例子，并列出方程组。提升任务（选做）1.尝试用两种不同的方法解同一个二元一次方程组，比较两种方法的优劣，总结适合自己的解题技巧；2.解决实际问题：学校组织学生去公园春游，已知成人票每张15元，学生票每张8元，一共购买了30张门票，花费340元，求成人票和学生票各购买了多少张？（用二元一次方程组解决，步骤规范）拓展任务（选做）1.解三元一次方程组：{2x+y-z=3，x-y+z=2，3x+2y+z=10}2.自主查阅资料，了解一次方程组的历史渊源，撰写一段简短的数学小故事（100字左右），下节课分享。（设计意图：分层布置课后任务，基础任务巩固本节课核心知识，确保全员掌握；提升任务和拓展任务满足学有余力学生的需求，培养学生的自主探究能力、迁移创新能力和实践能力；结合实际问题和数学小故事，让学生体会数学与生活的密切联系，激发学生的学习兴趣，落实新课标核心素养要求。）九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、重点突出、逻辑清晰”的原则，贴合教学过程，突出核心知识点和解题步骤，方便学生回顾和记忆，同时体现“教-学-评”一体化理念，具体如下：一次方程组一、核心概念1.二元一次方程：两个未知数、次数1、整式方程2.二元一次方程组：两个含相同未知数的二元一次方程（或其一为一元一次方程）3.解：使方程（组）左右两边相等的未知数的值二、核心思想：消元思想（二元→一元）三、解题方法（一）代入消元法（步骤）1.变形：用一个未知数表示另一个未知数2.代入：消去一个未知数，得一元一次方程3.求解：解一元一次方程4.回代：求另一个未知数的值5.检验示例：解{x+y=7，3x+y=17}（板书解题过程关键步骤）（二）加减消元法（步骤）1.观察：判断系数是否相同/互为相反数2.变形：（若需）使系数相同/互为相反数3.加减：消去一个未知数，得一元一次方程4.求解、回代、检验示例：解{2x+3y=13，2x-y=5}（板书解题过程关键步骤）四、核心素养：用数学的眼光、思维、语言解决问题十、教学反思本节课围绕一次方程组的核心知识点，结合2022版新课标数学核心素养要求，以“教-学-评”一体化理念为核心，设计了完整的教学过程，贴合七年级学生的认知特点，注重学生的自主探究、合作交流，努力实现知识掌握、能力培养和素养提升的有机统一。课后结合课堂实际教学情况，反思如下，为后续教学优化提供方向：（一）教学亮点1.情境导入贴合学生生活实际，选取校园文具店的场景，激发了学生的探究欲望，自然引入新课，同时引导学生用数学的眼光观察生活中的数量关系，初步渗透模型观念，契合新课标核心素养要求；2.探究新知环节层层递进，三个核心知识点的设计遵循“概念-方法-技巧”的逻辑，注重学生的自主探究和合作交流，每一个知识点探究后及时进行小评价，及时反馈学生的学习情况，查漏补缺，落实“教-学-评”一体化；3.教学目标分层设计，从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面展开，贴合新课标要求，兼顾不同层次学生的学习需求；课堂练习和课后任务也采用分层设计，确保全员掌握基础，学有余力的学生得到提升；4.注重解题规范的培养，详细拆解代入消元法和加减消元法的步骤，强调每一步的依据和易错点，要求学生规范书写、认真检验，培养了学生的严谨性和规范性，提升了学生的运算能力；5.突出核心思想的渗透，始终围绕“消元思想”展开教学，引导学