第09讲 二元一次方程组的应用（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版 教学设计

第09讲二元一次方程组的应用（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版教学设计教材分析本节课选自华东师大版七年级数学新教材，是二元一次方程组章节的核心应用内容，承接前面二元一次方程组的概念及解法，是对二元一次方程组知识的深化与实践，也是衔接后续一元二次方程应用、函数应用的重要过渡。结合2022年义务教育数学新课标要求，本节课以“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”为核心素养导向，打破单纯的解题训练，注重引导学生从实际情境中提取数学信息、分析数量关系，体会方程模型的实用性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。教材编排贴合七年级学生认知规律，从生活中常见的实际问题入手，逐步引导学生建立二元一次方程组模型，体现“从具体到抽象、从实践到理论再到实践”的编排思路。寒假预习阶段，本节课既是对前期知识的巩固回顾，也是为新学期进一步学习复杂实际问题奠定基础，同时能让学生感受数学与生活的紧密联系，激发预习兴趣，培养自主学习能力，落实新课标中“立足核心素养，面向全体学生”的教学理念。教学目标学习理解结合2022新课标数学核心素养要求，学生能准确理解二元一次方程组应用的核心本质，掌握运用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤；能清晰识别和差倍比、行程、工程三类常见实际问题的基本特征，梳理每类问题中的核心数量关系，能结合具体情境准确找出两个等量关系，初步体会方程模型在描述现实数量关系中的作用，实现“用数学的眼光观察现实世界”的素养目标。应用实践学生能运用二元一次方程组解决三类基础实际问题，规范书写解题步骤（审题、设元、列方程组、解方程组、检验、作答）；能根据题目条件灵活选择直接设元或间接设元的方式，准确求解并检验答案的合理性；能在解题过程中逐步提升分析问题、解决问题的能力，学会用数学思维梳理数量关系、破解解题难点，落实“用数学的思维思考现实世界”的要求。迁移创新学生能结合寒假生活情境，自主挖掘可运用二元一次方程组解决的实际问题，灵活调整解题策略，突破基础题型的局限；能尝试将复杂实际问题拆解为简单的数量关系，运用所学知识进行拓展延伸，体会数学知识的实用性；能与同伴交流解题思路，反思解题过程中的不足，培养创新意识和合作探究能力，实现“用数学的语言表达现实世界”的核心素养目标。教学重点与难点教学重点掌握和差倍比、行程、工程三类实际问题的核心数量关系，能准确找出等量关系并列出二元一次方程组；规范掌握二元一次方程组解决实际问题的完整步骤，确保解题过程严谨、答案准确，落实新课标中“夯实基础，提升应用能力”的要求。教学难点面对实际问题时，能快速梳理复杂的数量关系，找准隐藏的等量关系（尤其是行程问题中的相遇、追及关系，工程问题中的工作量分配关系）；能根据题目特点灵活选择设元方式，破解“设元不合理、等量关系找不准”的难点；在迁移创新环节，能结合生活实际设计问题、解决问题，真正实现知识的灵活运用。课堂导入贴合寒假预习情境，以学生熟悉的生活场景切入，激发预习兴趣，衔接前期所学知识，自然引出本节课课题。导入话术如下：“同学们，寒假来临，大家是不是都有自己的小计划？有的同学计划买文具准备新学期学习，有的同学计划和家人一起出行，还有的同学会帮家里做一些力所能及的家务。今天我们就从寒假生活中的三个小场景入手，一起来解决这些问题。比如，小明去文具店买笔记本和钢笔，已知买2本笔记本和1支钢笔共花15元，买1本笔记本和2支钢笔共花18元，求笔记本和钢笔的单价各是多少？大家回想一下，我们之前学过二元一次方程组的解法，能不能用它来解决这个问题呢？还有，小红和爸爸骑自行车去外婆家，骑自行车的速度是步行的3倍，骑自行车比步行少用2小时，家到外婆家的距离是12千米，步行和骑自行车的速度各是多少？这些问题都和我们今天要学习的内容有关——二元一次方程组的应用。今天，我们就一起来探究如何运用二元一次方程组解决生活中的实际问题，为新学期的学习做好准备。”导入设计意图：结合寒假生活场景，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣；通过简单的实际问题，衔接二元一次方程组的解法，引导学生思考“解法如何应用于实际”，自然引出课题，同时为后续探究新知做好铺垫，落实新课标中“注重情境创设，激发学习主动性”的要求。探究新知本节课围绕三类核心知识点展开探究，遵循“情境探究—梳理关系—总结方法—小练巩固”的思路，落实“教-学-评”一体化理念，每一个知识点的探究都注重引导学生主动思考、自主尝试，教师做好引导、点评与评价，层层递进，突破重点、化解难点，贴合七年级学生认知规律。知识点一：和差倍比问题探究情境寒假期间，小亮帮家里整理图书，发现家中的故事书和科技书共86本，其中故事书的本数比科技书的2倍少4本，求故事书和科技书各有多少本？探究过程第一步，审题引导：请同学们认真读题，找出题目中的已知条件和所求问题。已知条件有两个：一是故事书和科技书的总本数是86本；二是故事书的本数比科技书的2倍少4本。所求问题是故事书和科技书各自的本数。第二步，梳理数量关系：引导学生思考，题目中涉及两个未知量，分别是故事书的本数和科技书的本数，我们可以用两个未知数来表示这两个量。设科技书有x本，故事书有y本。接下来，结合已知条件梳理等量关系：第一个等量关系，故事书本数+科技书本数=总本数，即y+x=86；第二个等量关系，故事书本数=科技书本数×2-4，即y=2x-4。第三步，列方程组求解：引导学生根据梳理出的等量关系，列出二元一次方程组：$\begin{cases}x+y=86\\y=2x-4\end{cases}$。接下来，让学生自主尝试求解，教师巡视指导，重点关注学生是否掌握代入消元法的应用，以及解题步骤是否规范。学生求解完成后，邀请1名学生分享解题过程，教师进行点评，纠正解题过程中的不规范之处（如未写解、未检验、作答不完整等），并强调检验的重要性——检验所求答案是否符合题目中的所有已知条件，确保答案正确。第四步，总结方法：结合本题探究过程，引导学生总结和差倍比问题的核心特点：涉及两个未知量，存在“和、差、倍、比”中的两种或多种数量关系；解题关键：找准两个等量关系，合理设元（通常直接设两个未知量为x、y），规范书写解题步骤。同时，引导学生用数学语言表达这类问题的数量关系，落实新课标核心素养要求。小练巩固（教-学-评衔接）寒假期间，小丽收到了压岁钱，其中纸币和硬币的总金额是98元，纸币的金额比硬币的3倍多2元，求纸币和硬币的金额各是多少元？练习要求：学生自主完成解题，规范书写步骤；同桌之间相互检查、点评，重点检查等量关系是否找对、方程组是否正确、求解是否准确、检验是否完整；教师随机抽查，针对共性问题进行集中讲解，对表现优秀的学生进行肯定，对存在不足的学生进行针对性指导，确保学生掌握和差倍比问题的解题方法。知识点二：行程问题探究情境寒假期间，小明和家人一起开车去旅游，从家出发到目的地，全程360千米，去时每小时行驶60千米，返回时每小时行驶90千米，求去时和返回时各自所用的时间？若返回时比去时少用多少小时？探究过程第一步，审题引导：引导学生明确行程问题中的核心数量关系——路程=速度×时间，结合本题已知条件，找出未知量：去时所用时间和返回时所用时间；已知条件：全程路程360千米（去时和返回时路程相同），去时速度60千米/小时，返回时速度90千米/小时。第二步，设元与梳理等量关系：引导学生设去时所用时间为x小时，返回时所用时间为y小时。结合核心数量关系，梳理两个等量关系：第一个等量关系，去时路程=去时速度×去时时间，即60x=360；第二个等量关系，返回时路程=返回时速度×返回时时间，即90y=360。同时，引导学生思考，题目中“返回时比去时少用多少小时”，需要在求出x、y后，用x-y计算得出。第三步，列方程组求解与检验：让学生自主列出方程组并求解，教师巡视指导，重点关注学生是否能结合行程问题的核心数量关系找等量关系，以及是否能准确求解一元一次方程（方程组中的两个方程均为一元一次方程，可引导学生体会“二元一次方程组在简单行程问题中的应用”，为后续复杂行程问题铺垫）。求解完成后，引导学生检验答案：将x、y的值代入路程公式，检验是否符合全程360千米的条件，确保答案正确。第四步，拓展延伸：结合本题，引导学生思考更复杂的行程问题——相遇问题。补充情境：若小明和小红分别从相距240千米的两地同时出发，相向而行，小明每小时行驶50千米，小红每小时行驶30千米，经过几小时两人相遇？引导学生梳理相遇问题的核心等量关系：小明行驶的路程+小红行驶的路程=总距离，设相遇时间为t小时，列出方程50t+30t=240，再引导学生思考，若用二元一次方程组表示，可设小明行驶的路程为x千米，小红行驶的路程为y千米，列出方程组$\begin{cases}x+y=240\\\frac{x}{50}=\frac{y}{30}\end{cases}$，体会不同设元方式的灵活性。第五步，总结方法：引导学生总结行程问题的核心要点：核心数量关系为路程=速度×时间，常见类型包括同向行驶、相向行驶（相遇）、反向行驶；解题关键是根据行驶方向和路程关系，找准等量关系，灵活设元（可设时间、速度或路程为未知数），同时注意单位统一。小练巩固（教-学-评衔接）甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲每小时行驶12千米，乙每小时行驶8千米，甲先出发2小时后，乙再出发，求乙出发几小时后，甲追上乙？练习要求：学生自主审题、梳理数量关系、列方程组求解，规范书写步骤；教师巡视，重点关注学生是否能找准“甲行驶的总路程=乙行驶的总路程”这一隐藏等量关系；练习完成后，邀请2名学生分享解题思路，教师点评，针对学生容易出错的等量关系梳理问题进行重点讲解，确保学生掌握行程问题的解题方法。知识点三：工程问题探究情境寒假期间，学校组织志愿者整理图书馆，若由甲志愿者单独整理，需要12小时完成；若由乙志愿者单独整理，需要18小时完成。现在甲、乙两名志愿者合作整理，需要多少小时才能完成全部工作？探究过程第一步，审题引导：引导学生明确工程问题的核心思路——将总工作量看作单位“1”，结合“工作效率=总工作量÷工作时间”，梳理题目中的已知条件和未知量。已知条件：甲单独完成需12小时，乙单独完成需18小时；未知量：甲、乙合作所需的时间。第二步，梳理数量关系与设元：引导学生设甲、乙合作需要x小时完成全部工作。先计算甲、乙各自的工作效率：甲的工作效率为$\frac{1}{12}$（每小时完成总工作量的$\frac{1}{12}$），乙的工作效率为$\frac{1}{18}$（每小时完成总工作量的$\frac{1}{18}$）。结合工程问题的核心等量关系：甲合作完成的工作量+乙合作完成的工作量=总工作量（单位“1”），即甲的工作效率×合作时间+乙的工作效率×合作时间=1，可列出方程$\frac{1}{12}x+\frac{1}{18}x=1$。第三步，拓展与转化：引导学生思考，若用二元一次方程组表示，可设甲合作x小时完成的工作量为y，乙合作x小时完成的工作量为z，列出方程组$\begin{cases}y+z=1\\y=\frac{1}{12}x\\z=\frac{1}{18}x\end{cases}$，通过代入消元法求解，体会二元一次方程组在工程问题中的应用，同时对比一元一次方程和二元一次方程组的解题思路，感受方程模型的灵活性。第四步，求解与检验：让学生自主求解方程（或方程组），教师巡视指导，重点关注学生是否能正确计算工作效率，以及是否能准确求解分式方程（注意分母不能为0，检验答案的合理性）。求解完成后，引导学生检验：将x的值代入方程左边，计算结果是否等于1（总工作量），确保答案正确。第五步，总结方法：引导学生总结工程问题的核心要点：总工作量看作单位“1”，核心数量关系为工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间；解题关键是明确单独工作效率和合作工作效率的关系，找准“各部分工作量之和=总工作量”这一等量关系，灵活设元，规范解题。小练巩固（教-学-评衔接）一项工程，由甲工程队单独做需要10小时完成，由乙工程队单独做需要15小时完成，若甲工程队先做3小时，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，还需要多少小时？练习要求：学生自主完成解题，重点梳理“甲先做的工作量+甲乙合作的工作量=总工作量”这一等量关系；同桌之间相互点评，检查解题步骤和答案是否正确；教师针对共性问题（如工作效率计算错误、等量关系找不准）进行集中讲解，确保学生掌握工程问题的解题方法，实现“教-学-评”闭环。课堂综合练习结合本节课三个核心知识点，设计分层练习，贴合寒假预习特点，兼顾基础巩固和能力提升，落实新课标“分层教学，面向全体学生”的要求，每道练习均对应相应知识点，强化学生对解题方法的掌握，同时检验教学效果。基础题（全员必做）1.甲、乙两个仓库共存粮450吨，甲仓库的存粮比乙仓库的2倍多30吨，求甲、乙两个仓库各存粮多少吨？（对应和差倍比问题）2.一辆汽车从A地开往B地，每小时行驶75千米，行驶4小时后到达B地，若从B地返回A地时，每小时行驶60千米，返回时需要多少小时？（对应行程问题）3.一项工作，单独由小张做需要8小时完成，单独由小李做需要12小时完成，两人合作，需要多少小时完成这项工作的一半？（对应工程问题）提升题（选做，兼顾迁移）1.寒假期间，小明去超市买大米和面粉，买3千克大米和2千克面粉共花28元，买2千克大米和3千克面粉共花27元，求大米和面粉每千克各多少元？（和差倍比问题拓展）2.甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲每小时行驶6千米，乙每小时行驶4千米，两人同时出发，经过3小时相遇，求A、B两地的距离？若两人相遇后继续同向行驶，甲再经过几小时能追上乙？（行程问题综合）3.一项工程，甲、乙合作需要6小时完成，若甲单独做需要10小时完成，求乙单独做需要多少小时完成？（工程问题拓展）练习点评与反馈练习完成后，教师先引导学生自主核对基础题答案，针对易错点进行自我反思；再邀请学生分享提升题的解题思路，教师进行点评，重点讲解解题过程中的难点和易错点，强调“找准等量关系、规范解题步骤、检验答案合理性”的重要性。同时，结合学生练习情况，评价学生对本节课知识的掌握程度，对表现优秀的学生给予肯定，对存在不足的学生进行针对性指导，确保每个学生都能在练习中巩固知识、提升能力，落实“教-学-评”一体化理念。课堂总结本节课遵循“情境导入—探究新知—练习巩固”的思路，围绕和差倍比、行程、工程三类核心知识点，探究了二元一次方程组在实际问题中的应用，结合2022新课标数学核心素养要求，引导学生学会用数学的眼光观察生活中的实际问题，用数学的思维梳理数量关系，用数学的语言表达解题过程。引导学生自主梳理本节课核心内容，教师进行补充总结，重点强调以下几点：一是三类知识点的核心数量关系和解题关键，和差倍比问题找准“和、差、倍、比”关系，行程问题紧扣“路程=速度×时间”，工程问题将总工作量看作单位“1”，找准“各部分工作量之和=总工作量”；二是运用二元一次方程组解决实际问题的完整步骤，即审题、设元、列方程组、解方程组、检验、作答，其中检验是必不可少的环节，确保答案符合实际意义；三是解题过程中要灵活设元，找准等量关系，这是解决实际问题的核心难点。最后，引导学生反思本节课的学习收获与不足，鼓励学生在寒假期间多观察生活中的数学问题，主动运用所学知识解决问题，培养自主学习能力和创新意识，为新学期的学习奠定坚实基础。课后任务结合寒假预习特点，设计分层课后任务，兼顾基础巩固、能力提升和迁移创新，贴合新课标要求，让学生在课后进一步巩固本节课知识，同时培养自主学习能力，落实“学用结合”的教学理念。基础巩固任务（全员必做）1.完成课堂综合练习中的基础题，规范书写解题步骤，确保每一步都有依据，重点巩固三类知识点的解题方法和解题步骤。2.整理本节课三类知识点的核心数量关系和解题关键，抄写在预习笔记本上，结合课堂探究的例题，标注易错点（如等量关系找不准、检验遗漏、单位不统一等）。3.自主查找1道和差倍比问题、1道行程问题、1道工程问题，运用本节课所学知识完成解题，规范书写步骤，进行自我检验。提升拓展任务（选做）1.完成课堂综合练习中的提升题，尝试用两种不同的设元方式解题，对比不同解题方法的优劣，体会方程模型的灵活性。2.结合寒假生活，自主设计1道可运用二元一次方程组解决的实际问题（可围绕购物、出行、家务等场景），并写出完整的解题过程，下一节课分享给同伴。预习衔接任务（全员必做）预习下一节课相关内容，了解二元一次方程组在其他实际问题（如浓度问题、利润问题）中的应用，初步梳理这类问题的数量关系，记录预习过程中遇到的疑问，为新学期课堂学习做好准备。板书设计板书设计遵循简洁明了、重点突出、逻辑清晰的原则，贴合七年级学生认知特点，突出本节课核心知识点和解题关键，便于学生回顾和记忆，同时体现新课标核心素养要求。第09讲二元一次方程组的应用（寒假预习）一、核心素养导向用数学的眼光观察、思维思考、语言表达现实世界二、解题基本步骤审题→设元→列方程组→解方程组→检验→作答三、三类核心知识点（一）和差倍比问题核心：找准和、差、倍、比关系等量关系：未知量之间的和差倍比关系（二）行程问题核心：路程=速度×时间常见类型：同向、相向（相遇）（三）工程问题核心：总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷工作时间等量关系：各部分工作量之和=总工作量四、易错点提醒1.等量关系找不准（重点突破）2.遗漏检验环节3.单位不统一教学反思本节课作为七年级数学寒假预习讲义，围绕二元一次方程组的应用展开，紧扣2022年义务教育数学新课标要求，以“教-学-评”一体化理念为核心，聚焦和差倍比、行程、工程三类核心知识点，结合七年级学生认知规律和寒假预习特点，设计了完整的教学流程，注重情境创设、探究引导和练习巩固，努力落实数学核心素养要求，让学生在预习中巩固知识、提升能力、激发兴趣。结合本节课的教学过程，反思如下，为后续教学优化提供参考。教学亮点1.情境创设贴合实际，激发预习兴趣。本节课的课堂导入和探究情境均围绕寒假生活场景设计（如买文具、出行、整理图书、志愿者服务等），贴近学生生活实际，让学生感受到数学与生活的紧密联系，有效激发了学生的预习兴趣和学习主动性，符合新课标“注重情境创设，激发学习热情”的要求。2.探究新知层层递进，落实教-学-评一体化。每个知识点的探究都遵循“情境探究—梳理关系—总结方法—小练巩固”的思路，引导学生主动思考、自主尝试，教师做好引导、点评与评价，每个探究环节都衔接小练习，及时检验学生的学习效果，形成“教-学-评”闭环，同时注重引导学生梳理数量关系、规范解题步骤，有效突破了教学重点。3.教学目标分层设计，兼顾全体学生。本节课的教学目标分为学习理解、应用实践、迁移创新三个层次，课堂练习和课后任务均设计为基础题和提升题，兼顾了不同层次学生的学习需求，既能让基础薄弱的学生巩固核心知识，也能让学有余力的学生实现能力拓展，落实了新课标“面向全体学生，注重分层教学”的理念。4.聚焦核心素养，落实新课标要求。整个教学过程始终围绕“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养展开，引导学生从实际情境中提取数学信息、